Grafy i Grafy i 5: Rozpinaj ce
Spis zagadnie«grafy i i lasy cykle fundamentalne i wªasno±ci cykli i rozci przestrzenie cykli i rozci * : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala* algorytm Prima* : aproksymacja dla problemu komiwoja»era* : aproksymacja dla problemu Steinera*
Drzewo Grafy i drzewo spójnego, nieskierowanego grafu prostego G = (V, E) to taki podgraf T tego grafu, który jest drzewem i zawiera wszystkie wierzchoªki danego grafu. Graf niespójny nie posiada go. Je±li graf G jest niespójny, to graf b d cy sum drzew rozpinaj cych jego skªadowych spójnych (po jednym na skªadow ) nazywamy lasem rozpinaj cym. Drzewo grafu spójnego mo»na otrzyma kolejno usuwaj c kraw dzie grafu tak aby uzyska drzewo. Dla danego grafu spójnego mo»e istnie wiele drzew rozpinaj cych. Ka»de drzewo danego grafu ma tyle samo kraw dzi (i wierzchoªków)
Zliczanie drzew rozpinaj cych grafu spójnego Grafy i Tw. (udowodnione przez G.Kirchoa w 1847) Liczba ró»nych drzew rozpinaj cych spójnego grafu etykietowanego wynosi tyle co dopeªnienie algebraiczne dowolnego elementu macierzy M(G) = D(G) A(G), gdzie D(G) jest diagonaln macierz zawieraj na przek tnej stopnie odpowiednich wierzchoªków, natomiast A(G) jest macierz s siedztwa grafu G. Powy»sze twierdzenie ilustruje techniki tzw. algebraicznej teorii grafów, gdzie wyniki dla grafów uzyskuje si badaj c macierze s siedztwa i inne algebraiczne struktury reprezentuj ce grafy.
Liczba cyklomatyczna i rz d rozci cia Grafy i liczba cyklomatyczna: γ(g), (lub rz d cykliczno±ci) grafu G to liczba kraw dzi dopeªnienia dowolnego lasu go grafu G. rz d rozci cia: ξ(g), grafu G to liczba kraw dzi w dowolnym lesie rozpinaj cym G. Zauwa»my,»e: γ(g) + ξ(g) = E(G) (liczba kraw dzi grafu G )
Cykle a rozci cia Grafy i Twierdzenie: Je±li L jest lasem rozpinaj cym grafu G, to: 1 ka»dy cykl w G ma wspóln kraw d¹ z dopeªnieniem L 2 ka»de rozci cie grafu G ma wspóln kraw d¹ z L Dowód: 1 je±li cykl nie ma kraw dzi wspólnych z dopeªnieniem L, to znaczy jest w nim zawarty, co przeczyªoby acykliczno±ci L 2 rozci cie powoduje rozpad L na dwie skªadowe A i B. Poniewa» L jest lasem rozpinaj cym, wi c musi zawiera kraw d¹ ª cz c pewien wierzchoªek z A z pewnym wierzchoªkiem z B. Jest to szukana kraw d¹
Cykle fundamentalne Grafy i Niech L oznacza pewien las rozpinaj cy grafu G, Zauwa»my,»e dodanie jakiejkolwiek kraw dzi z G nie nale» cej do L utworzy dokªadnie jeden cykl. Taki cykl nazywamy cyklem fundamentalnym grafu G zwi zanym z lasem rozpinaj cym L. Zbiór cykli fundamentalnych zwi zanych z lasem L to zbiór wszystkich takich cykli.
Rozci cia fundamentalne Grafy i Niech L oznacza pewien las rozpinaj cy grafu G, Gdy z lasu L usuniemy dowoln kraw d¹, to (w odpowiadaj cej jej skªadowej spójnej) powstaj dwa rozª czne zbiory wierzchoªków V 1, V 2. Zbiór wszystkich kraw dzi G takich,»e jeden koniec jest w V 1 a drugi w V 2 tworzy rozci cie, które nazywamy rozci ciem fundamentalnym zwi zanym z lasem L. Zbiór wszystkich takich rozci nazywamy zbiorem rozci fundamentalnych zwi zanych z lasem L. Uwaga: zbiór rozci fundamentalnych niekonieczniecznie zawiera wszystkie rozci cia (np. je±li rozci cie jest cz ±ci go)
Wªasno±ci cykli i rozci Grafy i Poni»ej zakªadamy dla uproszczenia,»e graf jest spójny (wyniki mog by zastosowane do ka»dej skªadowej spójnej) Fakty: zbiór kraw dzi jest rozspajaj cy przecina si z ka»dym drzewem rozpinaj cym (ale niekoniecznie minimalny, bo mo»na by wzi caªe E) zbiór kraw dzi C grafu G zawiera cykl dopeªnienie ka»dego go w G przecina si z C cykl i rozci cie maj zawsze parzyst liczb wspólnych kraw dzi (0 te» jest parzysta)
Dalsze wªasno±ci cykli i rozci Grafy i Twierdzenie: T jest drzewem rozpinaj cym, C jest cyklem fundamentalnym otrzymanym z T przez dodanie kraw dzi e. Wtedy C skªada si z e i tych kraw dzi T, które wyznaczaj fundamentalne rozci cia zawieraj ce e Twierdzenie: Rozci cie fundamentalne wyznaczone przez odj cie kraw dzi e z go T skªada si z e i dokªadnie tych kraw dzi w dopeªnieniu T, których cykle fundamentalne zawieraj e.
Przestrze«kraw dzi Grafy i W e (G) - zbiór wszystkich podzbiorów E(G) operacja sumy prostej na elementach W e (G): E 1 E 2 = (E 1 \ E 2 ) (E 2 \ E 1 ) (ró»nica symetryczna) Fakt: W e (G) z operacj jest przestrzeni liniow nad ciaªem Z 2. Baz stanowi tu zbiór E(G) wszystkich kraw dzi grafu G.
Podprzestrze«cykli W C (G) Grafy i Elementy to zbiór pusty, i zbiory kraw dzi wszystkich cykli G i sum cykli kraw dziowo rozª cznych. (elementy W C (G) mo»na nazywa cyklami uogólnionymi) Twierdzenie: W C (G) jest podprzestrzeni liniow przestrzeni W E (G) (w szczególno±ci, jest zamnki ta na sum ). Fakt: graf jest eulerowski jego zbiór kraw dzi jest cyklem uogólnionym
Podprzestrze«rozci W S (G) Grafy i Elementy to: zbiór pusty, zbiory kraw dzi wszystkich rozci i sum kraw dziowo rozª cznych rozci. W S (G) stanowi podprzestrze«liniow przestrzeni W E (G). (w szczególno±ci, jest zamnki ta na sum )
Baza przestrzeni liniowej (przypomnienie) Grafy i Baza przestrzeni liniowej to taki podzbiór elementów przestrzeni liniowej,»e: generuje caª przestrze«jest liniowo niezale»ny Uwaga: ka»dy element przestrzeni liniowej jest w dokªadnie jeden sposób wyra»alny jako kombinacja liniowa elementów bazy. Uwaga 2: wymiar przestrzeni liniowej to liczba elementów bazy (ka»da baza ma tyle samo elementów).
Bazy podprzestrzeni W C (G) i W S (G) Grafy i Twierdzenie: Zbiór cykli fundamentalnych dowolnego go stanowi baz podprzestrzeni cykli W C (G). Twierdzenie: Zbiór rozci fundamentalnych dowolnego go stanowi baz przestrzeni W S (G) Wniosek: Wymiar przestrzeni W C (G) wynosi γ(g), a wymiar przestrzeni W S (G) wynosi ξ(g).
Zale»no±ci mi dzy przestrzeniami cykli i rozci Grafy i Tw: Ka»dy element przestrzeni cykli W C (G) ma parzyst liczb kraw dzi wspólnych z ka»dym elementem przestrzeni rozci W S (G) i odwrotnie. Wniosek: Przestrzenie W C (G) i W S (G) s ortogonalnymi podprzestrzeniami przestrzeni kraw dzi W E (G). (tzn. iloczyn skalarny dowolnych par z odpowiednich zbiorów daje zero, poniewa» jest to parzysta liczba jedynek)
Zliczanie cykli i rozci Grafy i Wnioski: w grae G istnieje dokªadnie 2 γ(g) ró»nych cykli uogólnionych. w grae G istnieje dokªadnie 2 ξ(g) ró»nych podgrafów, z których ka»dy jest rozci ciem lub sum rozci kraw dziowo rozª cznych. y
Wªasno±ci macierzy incydencji Grafy i G : nieskierowany graf prosty, wszystkie operacje s nad ciaªem Z 2. Niech D oznacza pewien zbiór kraw dzi grafu G. Przez I D oznaczamy zbiór kolumn macierzy incydencji odpowiadaj cych zbiorowi kraw dzi D. Fakty: D stanowi cykl uogólniony suma kolumn w I D wynosi 0 D reprezentuje graf acykliczny kolumny w I D s niezale»ne liniowo D reprezentuje podgraw spójny kolumny w I D rozpinaj caª przestrze«kolumn macierzy incydencji D reprezentuje drzewo kolumny w I D stanowi baz przestrzeni kolumn caªej macierzy incydencji
Przykªadowe zastosowanie: sieci elektryczne Grafy i Dana jest sie : topologia + opory + przyªo»one napi cie wyznaczy : nat»enia pr du prawo Ohma: U = I R (U - napi cie, I - nat»enie, R - oporno± ) Dwa prawa Kirchoa: 1 dla w zªów sieci: suma nat»e«w w ¹le wynosi 0 2 dla oczek sieci: suma napi w oczku sieci wynosi 0
Ukªad równa«dla sieci elektrycznej Grafy i Mo»na wi c potencjalnie uªo»y a» n + o równa«(gdzie o to liczba w zªów a o to liczba ró»nych oczek sieci). Problemem jest to,»e istnieje potencjalnie bardzo du»o cykli w grae (jak ju» wiemy jest to dokªadnie 2 γ(g) ) Wi kszo± równa«jest redundantna, gdy» potrzebujemy dokªadnie tyle równa«ile jest kraw dzi w grae.
Zastosowanie cykli fundamentalnych Grafy i Ile wi c dokªadnie równa«potrzebujemy? 1 n-1 dla pierwszego prawa (n-te równanie jest redundantne) 2 γ(g) dla drugiego prawa (zauwa»my,»e faktycznie (n 1) = ξ(g) a wi c otrzymamy dokªadnie tyle ile trzeba (γ(g) + ξ(g) = E(G) ). Które równania dla oczek wybra? Rozwi zanie: wybra równania odpowiadaj ce dowolnemu zbiorowi cykli fundamentalnych tej sieci
Problem: drzewo (MST) Grafy i Dany jest nieskierowany graf G z wagami na kraw dziach (liczby wymierne). Znale¹ drzewo o minimalnym ª cznym koszcie kraw dzi (tzw minimalne drzewo ) Problem ten ma rozliczne zastosowania. Jest on rozwi zywalny w czasie wielomianowym. Algorytmy znajdowania MST oparte s na wªasno±ciach cykli i rozci (Kruskal) lub na modykacji algorytmu BFS (Prim).
Agorytm Prima (przypomnienie) Grafy i Zaczyna od wierzchoªka startowego s i stopniowo powi ksza drzewo. Niech S oznacza zbiór wierzchoªków rosn cego. Poczatkowo S = {s}. Zauwa»my,»e zbiór kraw dzi o dokªadnie jednym ko«cu w S stanowi zbiór rozspajaj cy. W ka»dym kroku dodawany jest wierzchoªek b d cy drugim ko«cem najl»ejszej kraw dzi z tego zbioru rozspajaj cego. U»ywana jest kolejka priorytetowa, aby efektywnie znale¹ taki wierzchoªek (priorytetem jest waga najl»ejszej kraw dzi ª cz cej ten wierzchoªek ze zbiorem S). Po wybraniu, wszystkie kraw dzie wychodz ce z nowo-dodanego wierzchoªka poddawane s relaksacji.
Algorytm Prima Grafy i w(u, v) oznacza wag kraw dzi (u, v), w atrybucie dist przechowywana jest najkrótsza aktualnie znana odlegªo± wierzchoªka do zbioru S, a pq oznacza kolejk priorytetow. U»ywamy list s siedztwa. Wynikowe drzewo reprezentowane jest w atrybutach parent. MSTPrim(V,w,s){ PriorityQueue pq s.dist = 0 s.parent = null pq.insert(s) for each u in V\{s}: u.dist = INFINITY } while(!pq.isempty()): u = pq.deletemin() u.dist = 0 for each v in u.adjlist: if (w(u,v) < v.dist): v.dist = w(u,v) v.parent = u if (pq.contains(v)): pq.decreasekey(v) else pq.insert(v)
Analiza algorytmu Prima Grafy i rozmiar danych: n= V, m= E dominuj ca operacja: przypisanie (w inicjalizacji) i porównanie priorytetów (w tym ukryte w kolejce) i odlegªo±ci inicjalizacja: O(n) p tla: (n delmin()) + (m decreasekey()) Je±li kolejka zaimplementowana jako kopiec binarny: p tla: O(nlog(n)) + O(mlog(n)) = O((n+m)log(n)) Je±li u»ywamy kopca Fibonacciego (amortyzowany koszt staªy operacji decreasekey()): O(nlog(n) + m)
Algorytm Kruskala (przypomnienie) Grafy i 1 pocz tkowo T = 2 rozpatruj kraw dzie w kolejno±ci niemalej cych wag i dodawaj do T te, które nie tworz cyklu z poprzednio dodanymi, pozostaªe odrzucaj, do momentu, gdy T nie tworzy go Gªówny problem to efektywne sprawdzanie, czy rozpatrywana kraw d¹ nie tworzy cyklu z dotychczasowo dodanymi. Pomysª polega na u»ywaniu pomocniczej struktury danych typu union-nd. Poniewa» w ka»dej iteracji T stanowi las, ka»da nowa kraw d¹ (u, v), która utworzyªaby cykl ma t wªasno±,»e oba jej ko«ce u i v nale» do tego samego w lesie T.
Algorytm Kruskala Grafy i kruskalmst(v,e,w){ T = 0 UnionFind uf foreach edge (u,v) in non-decreasing order of weight: if (uf.find(u)!= uf.find(v)): T = T + (u,v) uf.union(uf.find(u),uf.find(v)) return T } Istnieje bardzo szybka (drzewowa) implementacja struktury union-nd, która zapewnia staªy czas operacji union i prawie 1 staªy amortyzowany czas operacji find. Analiza zªo»ono±ci czasowej tej implementacji nie jest jednak matematycznie ªatwa. Przy takiej implementacji zªo»ono± jest O(mlog(m)) (i jest zdominowana przez pocz tkowe posortowanie kraw dzi po wagach) 1 jest to pewna funkcja, która bardzo wolno ro±nie
Przykªad: problem Komiwoja»era (TSP) Grafy i Dany jest peªny graf G = (V, E) z nieujemnymi wagami w : E Q + na kraw dziach. Znale¹ cykl Hamiltona H w G o minimalnym ª cznym koszcie kraw dzi w(e(h)). Problem ten jest NP-trudny. Ma on wiele zastosowa«praktycznych.
MST jako przybli»enie dla metrycznego TSP Grafy i Mo»na w czasie wielomianowym znale¹ przybli»one o wspóªczynnik co najwy»ej 2 rozwi zanie dla TSP je±li funkcja wag w speªnia nierówno± trójk ta. Algorytm: znale¹ dowolne drzewo i zast pi ka»d kraw d¹ par kraw dzi przerciwnych znale¹ cykl Eulera w takim grae pomin (stosuj c skróty) w tym cyklu wszystkie wierzchoªki, które wyst powaªyby wielokrotnie (jest to tzw algorytmu aproksymacyjnego ze wspóªczynnikiem aproksymacji 2. Istnieje te» wielomianowy algorytm aproksymacyjny dla tego problemu z lepszym wspóªczynnikiem aproksymacji 3/2 (istniej jeszcze lepsze).
Przykªad: drzewo Steinera Grafy i Dany jest graf nieskierowany G = (V, E) z nieujemnymi wagami na kraw dziach wraz z wyró»nionym podzbiorem wierzchoªków wymaganych. Nale»y znale¹ poddrzewo G zawieraj ce wszystkie wierzchoªki wymagane (i by mo»e inne), które ma minimalny ª czny koszt kraw dzi.
Algorytm aproksymacyjny dla Steinera Grafy i Problem jest NP-trudny, ale istnieje dla niego wielomianowy algorytm aproksymacyjny znajduj cy rozwi zanie nie dro»sze ni» 2 razy od optymalnego. Stwórz na podstawie G graf peªny G, gdzie koszty uzupeªnionych kraw dzi to dªugo±ci najkrótszych ±cie»ek pomi dzy ich ko«cami w oryginalnym grae G. Nast pnie: 1 znajd¹ w G drzewo. 2 znajd¹ w G cykl Eulera (podobnie jak w TSP). 3 usu«z otrzymanego cyklu pewne kraw dzie, tak aby uzyska drzewo Steinera.
Grafy i i lasy cykle fundamentalne i wªasno±ci cykli i rozci przestrzenie cykli i rozci * : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala* algorytm Prima* : aproksymacja dla problemu komiwoja»era* : aproksymacja dla problemu Steinera*
Przykªadowe wiczenia i zadania Grafy i podaj warto±ci γ(g), ξ(g) dla podanego grafu G wyznacz zbiór cykli i rozci fundamentalnych danego grafu maj c dan sie elektryczn z podanym napi ciem i oporno±ciami, oblicz nat»enia pr dów na wszystkich poª czeniach (kraw dziach) sieci wyznacz drzewo danego grafu u»ywaj c algorytmu Prima/Kruskala oblicz ile jest cykli i rozci uogólnionych w danym grae oblicz ile jest drzew rozpinaj cych w danym grae etykietowanym podaj rozwi zanie przybli»one metrycznego problemu komiwoja»era w podanym grae podaj rozwi zanie przybli»one problemu Steinera w podanym grae
Grafy i Dzi kuj za uwag