XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1
Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie n N {0}, a 0, a 1,..., a n R oraz a n 0. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 2 / 1
Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie n N {0}, a 0, a 1,..., a n R oraz a n 0. a n, a n 1,..., a 2, a 1, a 0 współczynniki wielomianu n stopień wielomianu a 0 wyraz wolny a n współczynnik wiodący XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 2 / 1
Wykresy Wykresy wielomianów XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 3 / 1
Wykresy Wykresy wielomianów wykres wielomianu jest ciągły XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 3 / 1
Wykresy Wykresy wielomianów wykres wielomianu jest ciągły XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 3 / 1
Wykresy Wykresy wielomianów wykres wielomianu jest ciągły wykres wielomianu ma tylko gładkie, zaokrąglone zakręty XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 3 / 1
Wykresy Wykresy wielomianów wykres wielomianu jest ciągły wykres wielomianu ma tylko gładkie, zaokrąglone zakręty XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 3 / 1
Wykresy Wykresy wielomianów XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 4 / 1
Wykresy Wykresy wielomianów Dla dużych x, wykres jest nieograniczony z góry i/lub z dołu XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 4 / 1
Wykresy Wykresy wielomianów Dla dużych x, wykres jest nieograniczony z góry i/lub z dołu Dla n nieparzytego a n > 0 a n < 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 4 / 1
Wykresy Wykresy wielomianów Dla dużych x, wykres jest nieograniczony z góry i/lub z dołu Dla n nieparzytego Dla n parzystego a n > 0 a n < 0 a n > 0 a n < 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 4 / 1
Dzielenie wielomianów Dzielenie wielomianów XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 5 / 1
Dzielenie wielomianów Dzielenie wielomianów Twierdzenie Jeżeli W (x) i Q(x) są wielomianami takimi, że Q(x) 0 i stopień W (x) jest większy lub równy stopniowi Q(x), to istnieją takie dwa wielomiany P (x) i R(x), że W (x) = Q(x)P (x) + R(x) lub W (x) Q(x) = P (x) + R(x) Q(x) gdzie R(x) 0 lub stopień R(x) jest mniejszy od stopnia Q(x). R(x) nazywamy resztą z dzielenia Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 5 / 1
Schemat Hornera Schemat Hornera, W (x) = (x x 0 ) P (x) + r XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 6 / 1
Schemat Hornera Schemat Hornera, W (x) = (x x 0 ) P (x) + r przykład dla wielomianu trzeciego stopnia Aby podzielić ax 3 + bx 2 + cx + d przez (x x 0 ), używamy schematu: W pionie: dodawaj Po przekątnej: mnóż przez x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 6 / 1
Schemat Hornera Schemat Hornera, W (x) = (x x 0 ) P (x) + r przykład dla wielomianu trzeciego stopnia Aby podzielić ax 3 + bx 2 + cx + d przez (x x 0 ), używamy schematu: W pionie: dodawaj Po przekątnej: mnóż przez x 0 Twierdzenie Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian (x x 0 ) r = W (x 0 ) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 6 / 1
Pierwiastki wielomianu Pierwiastki wielomianu XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 7 / 1
Pierwiastki wielomianu Pierwiastki wielomianu Definicja Liczbę rzeczywistą x 0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x), jeżeli W (x 0 ) = 0. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 7 / 1
Pierwiastki wielomianu Pierwiastki wielomianu Definicja Liczbę rzeczywistą x 0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x), jeżeli W (x 0 ) = 0. Twierdzenie (Bezout) Liczba x 0 jest pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian (x x 0 ). Istnieje wówczas wielomian P (x), o jeden stopień niższy od W (x) taki, że W (x) = (x x 0 ) P (x) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 7 / 1
Pierwiastki wielomianu Pierwiastki wielomianu Definicja Liczbę rzeczywistą x 0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x), jeżeli W (x 0 ) = 0. Twierdzenie (Bezout) Liczba x 0 jest pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian (x x 0 ). Istnieje wówczas wielomian P (x), o jeden stopień niższy od W (x) taki, że W (x) = (x x 0 ) P (x) Wniosek: Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 7 / 1
Pierwiastki wielomianu Pierwiastek k krotny Liczbę x 0 nazywamy pierwiastkiem k krotnym wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy gdy W (x) jest podzielny przez (x x 0 ) k, ale nie jest podzielny przez (x x 0 ) k+1, tzn. gdy istnieje wielomian P (x) taki, że W (x) = (x x 0 ) k P (x) i P (x 0 ) 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 8 / 1
Pierwiastki wielomianu Pierwiastek k krotny Liczbę x 0 nazywamy pierwiastkiem k krotnym wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy gdy W (x) jest podzielny przez (x x 0 ) k, ale nie jest podzielny przez (x x 0 ) k+1, tzn. gdy istnieje wielomian P (x) taki, że W (x) = (x x 0 ) k P (x) i P (x 0 ) 0 Jeżeli x 0 jest nieparzystokrotny, wykres W (x) przecina oś OX w punkcie x = x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 8 / 1
Pierwiastki wielomianu Pierwiastek k krotny Liczbę x 0 nazywamy pierwiastkiem k krotnym wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy gdy W (x) jest podzielny przez (x x 0 ) k, ale nie jest podzielny przez (x x 0 ) k+1, tzn. gdy istnieje wielomian P (x) taki, że W (x) = (x x 0 ) k P (x) i P (x 0 ) 0 Jeżeli x 0 jest nieparzystokrotny, wykres W (x) przecina oś OX w punkcie x = x 0 Jeżeli x 0 jest parzystokrotny, wykres W (x) jest styczny do osi OX w punkcie x = x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 8 / 1
Pierwiastki wielomianu Prawda czy Fałsz XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 9 / 1
Pierwiastki wielomianu Prawda czy Fałsz 1 Istnieje wielomian stopnia 6, który ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 9 / 1
Pierwiastki wielomianu Prawda czy Fałsz 1 Istnieje wielomian stopnia 6, który ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty. 2 Istnieje wielomian stopnia 5, który nie ma pierwiastków rzeczywistych. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 9 / 1
Pierwiastki wielomianu Pierwiastki wymierne wielomianu Jeżeli ułamek nieskracalny p q, p, q Z {0}, jest pierwiastkiem wielomianu W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 o współczynnikach całkowitych, przy czym a 0 a n 0, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a 0, a q jest dzielnikiem wpółczynnika wiodącego a n. Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 10 / 1
Funkcje wymierne Definicja Funkcja wymierna f(x) = P (x), P (x), Q(x) wielomiany, Q(x) 0 Q(x) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 11 / 1
Funkcje wymierne Definicja Funkcja wymierna f(x) = P (x), P (x), Q(x) wielomiany, Q(x) 0 Q(x) Dziedzina D f = {x R : Q(x) 0} XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 11 / 1
Funkcje wymierne Definicja Funkcja wymierna f(x) = P (x), P (x), Q(x) wielomiany, Q(x) 0 Q(x) Dziedzina D f = {x R : Q(x) 0} Typowy przykład: f(x) = 1 x XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 11 / 1
Funkcje wymierne Przykłady Przykłady funkcji wymiernych XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 12 / 1
Funkcje potęgowe Definicja, wykresy Funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 13 / 1
Funkcje potęgowe Definicja, wykresy Funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, zbiór wartości, wykres zależą od wykładnika α: n, p N D f XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 13 / 1
Funkcje potęgowe Definicja, wykresy Funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, zbiór wartości, wykres zależą od wykładnika α: n, p N D f y = x n R XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 13 / 1
Funkcje potęgowe Definicja, wykresy Funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, zbiór wartości, wykres zależą od wykładnika α: n, p N D f y = x n R y = x n = 1 x n R {0} XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 13 / 1
Funkcje potęgowe Definicja, wykresy Funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, zbiór wartości, wykres zależą od wykładnika α: n, p N D f y = x n R y = x n = 1 x n R {0} y = x p n = n x p R + {0} dla n parzystego R dla n nieparzystego XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 13 / 1
Funkcje potęgowe Definicja, wykresy Funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, zbiór wartości, wykres zależą od wykładnika α: n, p N D f y = x n R y = x n = 1 x n R {0} y = x p n = n x p R + {0} dla n parzystego R dla n nieparzystego y = x p n = n 1 R x p + dla n parzystego R {0} dla n nieparzystego XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 13 / 1
Funkcje potęgowe Definicja, wykresy Funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, zbiór wartości, wykres zależą od wykładnika α: n, p N D f y = x n R y = x n = 1 x n R {0} y = x p n = n x p R + {0} dla n parzystego R dla n nieparzystego y = x p n = n 1 R x p + dla n parzystego R {0} dla n nieparzystego y = x 0 R {0} XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 13 / 1
Funkcje potęgowe Definicja, wykresy Funkcje potęgowe f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, zbiór wartości, wykres zależą od wykładnika α: n, p N D f y = x n R y = x n = 1 x n R {0} y = x p n = n x p R + {0} dla n parzystego R dla n nieparzystego y = x p n = n 1 x p R + dla n parzystego R {0} dla n nieparzystego y = x 0 R {0} y = x α, α IQ R + dla α < 0 R + {0} dla α > 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 13 / 1
Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Równania i nierówności pierwiastkowe XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 14 / 1
Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Równania i nierówności pierwiastkowe Ogólna zasada: jeżeli pojawia się wyraz n..., podnieś obie strony równania lub nierówności do n-tej potęgi. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 14 / 1
Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Równania i nierówności pierwiastkowe Ogólna zasada: jeżeli pojawia się wyraz n..., podnieś obie strony równania lub nierówności do n-tej potęgi. Twierdzenie a = b a n = b n a < b a n < b n a b a n b n jeżeli n parzysta, a, b 0 jeżeli n nieparzysta, a, b R Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 14 / 1
Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Zadanie 1. Wykazać, że funkcja f(x) = x 99 + ax 2 + bx ma co najmniej jedno i nie więcej niż trzy miejsca zerowe. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 15 / 1
Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Zadanie 1. Wykazać, że funkcja f(x) = x 99 + ax 2 + bx ma co najmniej jedno i nie więcej niż trzy miejsca zerowe. Zadanie 2. Dany jest wielomian W (x). Wiedząc, że reszta z dzielenia tego wielomianu przez x + 1 wynosi 2, przez x 8 wynosi 7, podać wielomian, który jest resztą z dzielenia W (x) przez (x + 1)(x 8). XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 15 / 1
Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Zadanie 1. Wykazać, że funkcja f(x) = x 99 + ax 2 + bx ma co najmniej jedno i nie więcej niż trzy miejsca zerowe. Zadanie 2. Dany jest wielomian W (x). Wiedząc, że reszta z dzielenia tego wielomianu przez x + 1 wynosi 2, przez x 8 wynosi 7, podać wielomian, który jest resztą z dzielenia W (x) przez (x + 1)(x 8). Zadanie 3. Wyznaczyć wszystkie wielomiany W spełniające warunek x R (x 1)W (x + 1) (x + 3)W (x 1) = 0 powrót XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 15 / 1
Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Zadanie 4. 1.59, 1.60 powrót XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 16 / 1
Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Zadanie 5. 1.78 g, h XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 17 / 1
Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Zadanie 5. 1.78 g, h Zadanie 6. Rozwiązać równanie x + 3 4 x 1 + x + 8 6 x 1 = 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 17 / 1
Funkcje potęgowe Równania i nierówności pierwiastkowe Zadanie 5. 1.78 g, h Zadanie 6. Rozwiązać równanie x + 3 4 x 1 + x + 8 6 x 1 = 1 Zadanie 7. powrót 1.79 m, n, p XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 17 / 1