WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI Analiza w dziedzinie czasu i częstotliwości dla elementarnych obiektów automatyki. Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych - - termin T4 i T5 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Michał Grochowski, dr inż. Robert Piotrowski, dr inż. Tomasz Rutkowski, dr inż. Rafał Łangowski, dr inż. Gdańsk
1. Wstęp Elementarne obiekty (człony) automatyki są to obiekty, które możemy wyróżnić jako elementarne cegiełki, z których zbudowany jest każdy liniowy układ regulacji. Będziemy badali właściwości dynamiczne tych obiektów, które mogą być obiektami regulacji lub ich fragmentami. Badać właściwości dynamiczne - znaczy badać reakcje obiektów przy poddawaniu ich zmiennym w czasie wymuszeniom. Tak jak to jest przyjęte w automatyce, aby umożliwić porównanie właściwości dynamicznych różnych obiektów, poddawać będziemy modele obiektów wymuszeniom o jednolitym charakterze - w tym opracowaniu będzie to wymuszenie skokowe. Odpowiedzi obiektów na takie wymuszenie nazywamy charakterystykami skokowymi. 2. Elementarne obiekty automatyki 2.1 Obiekt proporcjonalny (obiekt bezinercyjny) Obiekt proporcjonalny jest członem nie posiadającym dynamiki (wartości wielkości wejściowych w chwilach innych niż bieżąca chwila nie mają wpływu na wartości wielkości wyjściowych w tej chwili). Ogólna zależność wiążąca wartości sygnału wyjściowego z wartościami sygnału wejściowego (model wejście-wyjście), a więc sposób przetwarzania sygnału wejściowego w wyjściowy (rys. 1) jest postaci (1): U(s) U(s) Y(s) Y(s) Rys. 1 Przetwarzanie sygnału wejściowego w wyjściowy w obiekcie proporcjonalnym (1) gdzie: - sygnał wyjściowy (odpowiedź), - sygnał wejściowy (wymuszenie), - współczynnik wzmocnienia (proporcjonalności) obiektu. Transmitancja operatorowa ma zatem postać: (2) Odpowiedź obiektu proporcjonalnego na skokową zmianę sygnału wejściowego - (rys. 2), a więc jego charakterystyka skokowa została przedstawiona na rysunku 3: 1 t t Rys. 2 Odpowiedź obiektu proporcjonalnego na skokową zmianę sygnału wejściowego - 2 -
y ust (t) = k p a = a 1(t) Rys. 3 Ogólna postać charakterystyki skokowej obiektu proporcjonalnego Na rysunku 4 przedstawiono przykładowe charakterystyki skokowe obiektu proporcjonalnego dla różnych wartości współczynnika wzmocnienia, przy podaniu na wejście sygnału : 10.0 K p = 10 = a 1(t), a =1 5.0 2.0 1.0 0.0 K p = 5 K p = 2 K p = 1 Rys. 4 Charakterystyki skokowe obiektu proporcjonalnego dla różnych wartości współczynnika wzmocnienia Transmitancja widmowa obiektu proporcjonalnego jest postaci: (3) Charakterystyka amplitudowo-fazowa (Nyquist a) obiektu proporcjonalnego została przedstawiona na rysunku 5: (4) - 3 -
Rys. 5 Ogólna postać charakterystyki Nyquist a obiektu proporcjonalnego Charakterystyka logarytmiczne (Bode a): amplitudowa oraz fazowa obiektu proporcjonalnego zostały przedstawione na rysunku 6: (5) Rys. 6 Ogólna postać charakterystyk logarytmicznych obiektu proporcjonalnego Przykłady obiektów proporcjonalnych: Obiekt 1: Wzmacniacz operacyjny z włączonym rezystorem w sprzężeniu zwrotnym i napięciem wejściowym podawanym poprzez rezystor; schemat układu wzmacniacza przedstawia rysunek 7. - 4 -
U f U we1 i f R f U we1 R 1 i 1 U we2 i g e g - + - K U wy R 2 i 2 U we2 Rys. 7 Przykład obiektu proporcjonalnego - obiekt 1 Interesuje nas jak będzie zmieniać się napięcie wyjściowe wejściowych: i. w zależności od zmian napięć Zakładamy, że wzmacniacz ma cechy wzmacniacza idealnego, to znaczy: wartość współczynnika wzmocnienia jest praktycznie równa nieskończoności -, rezystancja wejściowa wzmacniacza jest praktycznie równa nieskończoności -, rezystancja wyjściowa wzmacniacza jest praktycznie równa zeru -. Korzystając z I prawa Kirchhoff a możemy napisać: Natężenia prądów występujące w tym równaniu wynoszą: Potencjał na wejściu wzmacniacza możemy wyliczyć z zależności: Podstawiając powyższe zależności do równania I prawa Kirchhoff a, otrzymujemy: - 5 -
Korzystając z założenia o idealności wzmacniacza możemy opuścić składniki małe; otrzymamy równanie wiążące napięcie wyjściowe rozważanego układu wzmacniacza z napięciami podawanymi na wejście układu: Wprowadzając oznaczenia: możemy napisać: Inne obiekty: Dźwignia dwuramienna, przekładnia zębata, prasa hydrauliczna. 2.2 Obiekt inercyjny (obiekt inercyjny I rzędu) Obiekt inercyjny jest członem dynamicznym (na wartości wielkości wyjściowych obiektu w chwili, mają wpływ nie tylko wartości wielkości wejściowych w tej właśnie chwili, ale również ich wartości w chwilach wcześniejszych od ). Ogólna zależność wiążąca wartości sygnału wyjściowego z wartościami sygnału wejściowego (model wejście-wyjście), a więc sposób przetwarzania sygnału wejściowego w wyjściowy (rys. 8) jest postaci (5): U(s) U(s) Y(s) Y(s) Rys. 8 Przetwarzanie sygnału wejściowego w wyjściowy w obiekcie inercyjnym (5) gdzie: - sygnał wyjściowy (odpowiedź), - sygnał wejściowy (wymuszenie), - współczynnik wzmocnienia obiektu, - stała czasowa inercji (bezwładności) obiektu. Transmitancja operatorowa ma zatem postać: (6) - 6 -
Odpowiedź obiektu inercyjnego na skokową zmianę sygnału wejściowego - (rys. 9), a więc jego charakterystyka skokowa została przedstawiona na rysunku 10: 1 t t Rys. 9 Odpowiedź obiektu inercyjnego na skokową zmianę sygnału wejściowego Styczna do charakterystyki w punkcie t = 0 y ust = K p a = a 1(t) 0.63 y ust 0.0 T b Rys. 10 Ogólna postać charakterystyki skokowej obiektu inercyjnego Dodatkowo na rysunku 10 zaznaczono, w jaki sposób można z charakterystyki skokowej odczytać dwa wymieniowe wyżej parametry charakteryzujące obiekt inercyjny. Na dalszych dwóch rysunkach (rys. 11 i rys. 12) przedstawione są przykładowe charakterystyki skokowe obiektów inercyjnych: na pierwszym (rys. 11) dla różnych wartości współczynników wzmocnienia członu przy tej samej stałej czasowej inercji, a na drugim (rys. 12) dla różnych wartości stałych czasowych inercji przy tym samym współczynniku wzmocnienia. 10.0 5.0 2.0 1.0 0.0 K p = 10 K p = 5 K p = 2 K p = 1 = a 1(t) a = 1, T b = 1 Rys. 11 Charakterystyki skokowe obiektu inercyjnego dla różnych wartości współczynnika wzmocnienia - 7 -
T b = 1.0 T b = 2.0 T b = 5.0 = a 1(t) a = 1, K p = 1 T b = 10.0 0.0 Rys. 12 Charakterystyki skokowe obiektu inercyjnego dla różnych wartości stałej czasowej inercji Transmitancja widmowa obiektu inercyjnego jest postaci: (7) Charakterystyka amplitudowo-fazowa (Nyquist a) obiektu inercyjnego została przedstawiona na rysunku 13: (8) Rys. 13 Ogólna postać charakterystyki Nyquist a obiektu inercyjnego Charakterystyka logarytmiczne (Bode a): amplitudowa oraz fazowa obiektu inercyjnego zostały przedstawione na rysunku 14: (9) - 8 -
Rys. 14 Ogólna postać charakterystyk logarytmicznych obiektu inercyjnego Przykłady obiektów inercyjnych: Obiekt 2: Wzmacniacz operacyjny z włączonymi równolegle kondensatorem i rezystorem w sprzężeniu zwrotnym i napięciem wejściowym podawanym poprzez rezystor; schemat układu wzmacniacza przedstawia rysunek 15. U f C f U we1 i f R f R 1 i 1 i g U we1 U we2 e g - - K + U wy R 2 i 2 U we2 Rys. 15 Przykład obiektu inercyjnego - obiekt 2 Interesuje nas jak będzie zmieniać się napięcie wyjściowe wejściowych: i. w zależności od zmian napięć Zakładamy, że wzmacniacz ma cechy wzmacniacza idealnego, to znaczy: wartość współczynnika wzmocnienia jest praktycznie równa nieskończoności -, rezystancja wejściowa wzmacniacza jest praktycznie równa nieskończoności -, rezystancja wyjściowa wzmacniacza jest praktycznie równa zeru -. Korzystając z I prawa Kirchhoff a możemy napisać: - 9 -
Natężenia prądów występujące w tym równaniu wynoszą: Potencjał na wejściu wzmacniacza możemy wyliczyć z zależności: Podstawiając powyższe zależności do równania I prawa Kirchhoff a, otrzymujemy: Korzystając z założenia o idealności wzmacniacza możemy opuścić składniki małe; otrzymamy równanie wiążące napięcie wyjściowe rozważanego układu wzmacniacza z napięciami podawanymi na wejście układu: Obiekt 3: Nieobciążony prądowo czwórnik RC (rys. 16): u R (t) i R (t) i obc (t) R i C (t) u we (t) C u C (t) u wy (t) Rys. 16 Przykład obiektu inercyjnego - obiekt 3-10 -
Korzystając z II prawa Kirchhoff a dla wejściowego oczka możemy napisać: Korzystając ze znanych z elektrotechniki praw mamy: ; Uwzględniając, że otrzymujemy: Ponadto: Stąd: 2.3 Obiekt podwójnej i wielokrotnej inercji (obiekt II rzędu i wyższego) Obiekt podwójnej inercji jest członem dynamicznym (na wartości wielkości wyjściowych obiektu w chwili, mają wpływ nie tylko wartości wielkości wejściowych w tej właśnie chwili, ale również ich wartości w chwilach wcześniejszych od ). Ogólna zależność wiążąca wartości sygnału wyjściowego z wartościami sygnału wejściowego (model wejście-wyjście), a więc sposób przetwarzania sygnału wejściowego w wyjściowy (rys. 17) jest postaci (10): U(s) U(s) Y(s) Y(s) Rys. 17 Przetwarzanie sygnału wejściowego w wyjściowy w obiekcie inercyjnym II rzędu (10) gdzie: - sygnał wyjściowy (odpowiedź), - sygnał wejściowy (wymuszenie), - współczynnik wzmocnienia obiektu, - stałe czasowe inercji (bezwładności) obiektu. Transmitancja operatorowa ma zatem postać: (11) Odpowiedź obiektu inercyjnego II rzędu na skokową zmianę sygnału wejściowego - (rys. 18), a więc jego charakterystyka skokowa została przedstawiona na rysunku 19: - 11 -
1 t t Rys. 18 Odpowiedź obiektu inercyjnego II rzędu na skokową zmianę sygnału wejściowego y ust = K p a = a 1(t) 0.0 Rys. 19 Ogólna postać charakterystyki skokowej obiektu inercyjnego II rzędu Z charakterystyki przedstawionej na rysunku 19 można bez trudu określić wartość współczynnika wzmocnienia. Stałych czasowych bezpośrednio z przebiegu charakterystyki skokowej odczytać nie można. Na dalszych rysunkach (rys. 20 - rys. 22) przedstawione są przykładowe charakterystyki skokowe obiektów inercyjnych II rzędu: na pierwszym (rys. 20) dla zmieniających się wartości współczynnika wzmocnienia przy stałych i jednakowych wartościach stałych czasowych inercji, na drugim (rys. 21) dla zmieniających się i jednakowych wartości stałych czasowych inercji przy stałej wartości współczynnika wzmocnienia, a na trzecim (rys. 22) dla zmieniających się i różnych wartości stałych czasowych inercji przy stałej wartości współczynnika wzmocnienia. 10.0 K p = 10.0 = a 1(t), a = 1 T b1 = T b2 = 1 5.0 K p = 5.0 2.0 1.0 0.0 K p = 2.0 K p = 1.0 Rys. 20 Charakterystyki skokowe obiektu inercyjnego II rzędu dla różnych wartości współczynnika wzmocnienia - 12 -
T b1 = T b2 = 1 = a 1(t), a = 1 K p = 1 T b1 = T b2 = 2 T b1 = T b2 = 5 T b1 = T b2 = 10 0.0 Rys. 21 Charakterystyki skokowe obiektu inercyjnego II rzędu dla różnych, jednakowych stałych czasowych inercji i stałej wartości współczynnika wzmocnienia T b1 = T b2 = 1 = a 1(t), a = 1 K p = 1 T b1 = 1, T b2 = 5; T b1 = 5, T b2 = 1 T b1 = T b2 = 5 0.0 Rys. 22 Charakterystyki skokowe obiektu inercyjnego II rzędu dla różnych, niejednakowych stałych czasowych inercji i stałej wartości współczynnika wzmocnienia Transmitancja widmowa obiektu inercyjnego II rzędu jest postaci: (12) Charakterystyka amplitudowo-fazowa (Nyquist a) obiektu inercyjnego II rzędu została przedstawiona na rysunku 23: (13) (14) - 13 -
Rys. 23 Ogólna postać charakterystyki Nyquist a obiektu inercyjnego II rzędu Charakterystyka logarytmiczne (Bode a): amplitudowa oraz fazowa obiektu inercyjnego II rzędu zostały przedstawione na rysunku 24: Rys. 24 Ogólna postać charakterystyk logarytmicznych obiektu inercyjnego II rzędu Przykłady obiektów inercyjnych: W najprostszy sposób człon podwójnej inercji powstaje przez kaskadowe (łańcuchowe, szeregowe) połączenie dwóch nie obciążających się członów inercyjnych. Obiekt 4: Dwa szeregowo połączone układy wzmacniaczy operacyjnych ze sprzężeniem zwrotnym RC; schemat układu przedstawia rysunek 25. - 14 -
u f1 u f2 C f1 R f1 C f2 i f1 R f2 u we u we1 R 1 i we1 i g1 - e g1 + u wy1 = u we2 u we2 R 2 i f2 i we2 i g2 - e g2 + u wy Rys. 25 Przykład obiektu inercyjnego II rzędu - obiekt 4 Interesuje nas jak będzie zmieniać się napięcie wyjściowe wejściowego. w zależności od zmian napięcia Korzystając z wyników uzyskanych dla obiektu 2 i zakładając idealne właściwości obydwu układów ze wzmacniaczami operacyjnymi możemy napisać: Zachodzi zależność wiążąca: Podstawiając tą zależność do równania układu pierwszego wzmacniacza a następnie wyznaczając z równania drugiego wzmacniacza i podstawiając również do równania układu pierwszego wzmacniacza otrzymamy po uporządkowaniu: Obiekt 5: Dwa szeregowo połączone, poprzez idealny wzmacniacz-wtórnik, czwórniki RC (rys. 26): u R1 (t) i R1 (t) a i obc1 (t) u R2 (t) i R2 (t) b i obc (t) u we (t) A R 1 u C1 (t) u wy1 (t) i C1 (t) B C 1 K = 1 R we = R wy = 0 u we2 (t) R 2 C u C2 (t) i C2 (t) C 2 D u wy (t) Rys. 26 Przykład obiektu inercyjnego II rzędu - obiekt 5-15 -
Interesuje nas jak będzie zmieniać się napięcie wyjściowe wejściowego. w zależności od zmian napięcia Korzystając z II prawa Kirchhoff a dla oczek A i C możemy napisać następujące równania bilansowe: Dla tego układu zachodzą następujące zależności wiążące: Podstawiając drugie z równań bilansowych do pierwszego i wykorzystując wypisane zależności otrzymamy równanie postaci: W układach automatycznej regulacji spotyka się również człony wielokrotnej inercji - potrójnej,, ogólnie n-krotnej inercji. Transmitancja członu wielokrotnej inercji ma postać: (15) gdzie: - współczynnik wzmocnienia obiektu, - stałe czasowe inercji (bezwładności) obiektu. Odpowiedź obiektu n-krotnej inercji na skokową zmianę sygnału wejściowego - jego charakterystyka skokowa została przedstawiona na rysunku 27., a więc - 16 -
y ust = K p a = a 1(t) 0.0 Rys. 27 Ogólna postać charakterystyki skokowej obiektu inercyjnego n-tego rzędu Z charakterystyki przedstawionej na rysunku 27 można bez trudu określić wartość współczynnika wzmocnienia. Stałych czasowych bezpośrednio z przebiegu charakterystyki skokowej odczytać nie można. Na kolejnych rysunkach (rys. 28 - rys. 30) przedstawione są przykładowe charakterystyki skokowe obiektów inercyjnych n-tego rzędu: na pierwszym (rys. 28) pokazano jak dodawanie kolejnych członów inercyjnych wpływa na postać charakterystyki skokowej przy jednakowym wzmocnieniu i jednakowych wartościach stałych czasowych inercji kolejnych członów, na drugim (rys. 29) jak przy tej samej liczbie członów inercyjnych na postać charakterystyki wpływają wartości stałych czasowych inercji przy nie zmieniającym się współczynniku wzmocnieniu, a na trzecim (rys. 30) jak, przy tej samej liczbie członów na postać charakterystyki wpływa wartość współczynnika wzmocnienia przy nie zmieniających się i jednakowych stałych czasowych inercji. n =1, T b1 = 1 = a 1(t), a = 1 K p = 1 n = 2, T b1 = T b2 = 1 n = 3, T b1 = T b2 = T b3 = 1 n = 4, T b1 = T b2 = T b3 = T b4 = 1 0.0 Rys. 28 Charakterystyki skokowe obiektu inercyjnego n-tego rzędu dla różnych liczb członów inercyjnych o niejednakowej stałej czasowej inercji i stałej wartości współczynnika wzmocnienia - 17 -
T b1 = T b2 = T b3 = T b4 = 1 T b1 = T b2 = T b3 = T b4 = 2 T b1 = T b2 = T b3 = T b4 = 5 T b1 = T b2 = T b3 = T b4 = 10 = a 1(t), a =1 K p =1 n =4 0.0 Rys. 29 Charakterystyki skokowe obiektu inercyjnego n-tego rzędu o tej samej liczbie członów inercyjnych i tym samym współczynniku wzmocnienia, ale różnych stałych czasowych inercji 10.0 5.0 2.0 1.0 K p = 10 K p = 5 = a 1(t), a =1 n = 4, T b1 = T b2 = T b3 =T b4 = 1 0.0 K p = 2 K p = 1 Rys. 30 Charakterystyki skokowe obiektu inercyjnego n-tego rzędu o tej samej liczbie członów inercyjnych i tych samych stałych czasowych inercji, ale o różnych współczynnikach wzmocnienia Przykłady obiektów wielokrotnej inercji: Układ n zbiorników ułożonych w kaskadę, układ n wzmacniaczy operacyjnych ze sprzężeniem RC połączonych szeregowo, układ n czwórników RC połączonych szeregowo. 2.4 Obiekt oscylacyjny (obiekt II rzędu) Obiekt oscylacyjny jest członem dynamicznym (na wartości wielkości wyjściowych obiektu w chwili, mają wpływ nie tylko wartości wielkości wejściowych w tej właśnie chwili, ale również ich wartości w chwilach wcześniejszych od ). Ogólna zależność wiążąca wartości sygnału wyjściowego z wartościami sygnału wejściowego (model wejście-wyjście), a więc sposób przetwarzania sygnału wejściowego w wyjściowy (rys. 31) jest postaci (16): U(s) U(s) Y(s) Y(s) Rys. 31 Przetwarzanie sygnału wejściowego w wyjściowy w obiekcie oscylacyjnym - 18 -
(16) lub równoważną: (17) gdzie: - sygnał wyjściowy (odpowiedź), - sygnał wejściowy (wymuszenie), - współczynnik wzmocnienia obiektu, - pulsacja (częstotliwość kątowa) drgań własnych nietłumionych, - okres drgań własnych nietłumionych,, - współczynnik tłumienia. Transmitancja operatorowa ma zatem postać: (18) Odpowiedź obiektu oscylacyjnego na skokową zmianę sygnału wejściowego - (rys. 32), a więc jego charakterystyka skokowa została przedstawiona na rysunku 33: 1 t t Rys. 32 Odpowiedź obiektu oscylacyjnego na skokową zmianę sygnału wejściowego = a 1(t) A 1 A 2 y ust = K p a T 0.0 Rys. 33 Ogólna postać charakterystyki skokowej obiektu oscylacyjnego Z charakterystyki przedstawionej na rysunku 33 można bez trudu określić wartość współczynnika wzmocnienia. Natomiast stałe lub oraz można obliczyć dokonując odczytania wartości, oraz i korzystając z zależności: - 19 -
Na rysunku 34 pokazano jak na przebieg charakterystyki wpływa wartość współczynnika tłumienia (współczynnik wzmocnienia i pulsacja pozostają stałe). = 0.1 = 0.2 = 0.5 = a 1(t), a = 1 K p = 1, 0 = 1 1.0 = 1 = 2 0.0 = 5 Rys. 34 Charakterystyki skokowe obiektu oscylacyjnego dla różnych wartości współczynnika tłumienia i tej samej wartości współczynnika wzmocnienia oraz pulsacji (okresu) drgań nietłumionych Z rysunku widać, że dla wartości przebieg charakterystyki nie ma charakteru oscylacyjnego. Łatwo to wytłumaczyć. Weźmy przykładowo pierwszą postać transmitancji członu oscylacyjnego: Znajdźmy pierwiastki równania kwadratowego będącego mianownikiem tej transmitancji, czyli pierwiastki równania: Wyróżnik (wyznacznik) tego równania wynosi: Widać zatem, że: brak pierwiastków rzeczywistych, - 20 -
podwójny pierwiastek rzeczywisty: Zatem, transmitancję członu dla tego przypadku możemy zapisać: co pokazuje, że obiekt ma w istocie charakter obiektu inercji II rzędu o stałej czasowej równej. dwa różne pierwiastki rzeczywiste: Zatem, transmitancję członu dla tego przypadku możemy zapisać: co pokazuje, że obiekt ma w istocie charakter obiektu inercji II rzędu ze stałymi czasowymi: Na rysunku 35 pokazano, jak na przebieg charakterystyki skokowej wpływa zmiana wartości pulsacji (wartości współczynnika wzmocnienia i tłumienia pozostają stałe). - 21 -
= 5 = 2 = 1 = a 1(t), a =1 K p = 1, = 0.2 1.0 0.0 Rys. 35 Charakterystyki skokowe obiektu oscylacyjnego dla różnych wartości pulsacji drgań nietłumionych i tej samej wartości współczynnika wzmocnienia oraz współczynnika tłumienia Na rysunku 36 pokazano, jak na przebieg charakterystyki skokowej wpływa wartość współczynnika wzmocnienia. K p = 10.0 K p = 5.0 = a 1(t), a = 1 0 = 1, = 0.2 10.0 5.0 2.0 1.0 0.0 K p = 1.0 K p = 2.0 Rys. 36 Charakterystyki skokowe obiektu oscylacyjnego dla różnych wartości współczynnika wzmocnienia i tej samej wartości pulsacji drgań nietłumionych oraz współczynnika tłumienia Transmitancja widmowa obiektu oscylacyjnego jest postaci: (19) Charakterystyka amplitudowo-fazowa (Nyquist a) obiektu oscylacyjnego została przedstawiona na rysunku 37: (20) - 22 -
Rys. 37 Ogólna postać charakterystyki Nyquist a obiektu oscylacyjnego Charakterystyka logarytmiczne (Bode a): amplitudowa oraz fazowa obiektu oscylacyjnego zostały przedstawione na rysunku 38: (21) Rys. 38 Ogólna postać charakterystyk logarytmicznych obiektu oscylacyjnego - 23 -
Przykłady obiektów oscylacyjnych: Obiekt 6: Nieobciążony prądowo czwórnik RLC (rys. 39): u R (t) u L (t) i RL (t) i obc (t) R L i C (t) u we (t) C u C (t) u wy (t) Rys. 38 Przykład obiektu oscylacyjnego - obiekt 6 Interesuje nas jak będzie zmieniać się napięcie wyjściowe wejściowego. w zależności od zmian napięcia Korzystając z II prawa Kirchhoff a dla oczka wejściowego możemy napisać następujące równanie bilansowe: Dla tego układu zachodzą następujące zależności wiążące: oraz warunek : Podstawiając powyższe zależności do równania bilansowego, otrzymamy równanie postaci: Porządkując, otrzymamy: - 24 -
Porównując to równanie z równaniem 16 możemy stwierdzić, że rozważany w powyższy sposób czwórnik jest członem oscylacyjnym, dla którego: Inne obiekty: Amortyzator samochodowy, siłownik pneumatyczny membranowy. 2.5 Obiekt całkujący (całkujący idealny, integrator) Obiekt całkujący jest członem dynamicznym (na wartości wielkości wyjściowych obiektu w chwili, mają wpływ nie tylko wartości wielkości wejściowych w tej właśnie chwili, ale również ich wartości w chwilach wcześniejszych od ). Ogólna zależność wiążąca wartości sygnału wyjściowego z wartościami sygnału wejściowego (model wejście-wyjście), a więc sposób przetwarzania sygnału wejściowego w wyjściowy (rys. 39) jest postaci (5): U(s) U(s) Y(s) Y(s) Rys. 39 Przetwarzanie sygnału wejściowego w wyjściowy w obiekcie całkującym (22) gdzie: - sygnał wyjściowy (odpowiedź), - sygnał wejściowy (wymuszenie), - stała czasowa całkowania obiektu. Transmitancja operatorowa ma zatem postać: (23) Odpowiedź obiektu całkującego na skokową zmianę sygnału wejściowego - (rys. 40), a więc jego charakterystyka skokowa została przedstawiona na rysunku 41: - 25 -
1 t t Rys. 40 Odpowiedź obiektu całkującego na skokową zmianę sygnału wejściowego, = a 1(t) a 0.0 T i Rys. 41 Ogólna postać charakterystyki skokowej obiektu całkującego Parametr charakteryzujący działanie obiektu na podstawie jego charakterystyki skokowej można znaleźć w następujący sposób. Weźmy równanie opisujące działanie obiektu i napiszmy jego rozwiązanie dla funkcji wymuszającej, otrzymamy: Z równania tego widać, że dla odpowiedź członu będzie równa liczbowo amplitudzie skoku wymuszenia. Wynika stąd sposób określania wartości przedstawiony na rysunku 41. Na rysunku 42 przedstawiono, w jaki sposób wartość stałej całkującego., wpływa na przebieg charakterystyki członu = a 1(t), a = 1 T i = 0.5 1.0 T i = 1 T i = 2 0.0 0.5 1.0 2.0 Rys. 42 Charakterystyki skokowe obiektu całkującego dla różnych wartości stałej czasowej całkowania - 26 -
Transmitancja widmowa obiektu całkującego jest postaci: (24) Charakterystyka amplitudowo-fazowa (Nyquist a) obiektu całkującego została przedstawiona na rysunku 43: (25) Rys. 43 Ogólna postać charakterystyki Nyquist a obiektu całkującego Charakterystyka logarytmiczne (Bode a): amplitudowa oraz fazowa obiektu całkującego zostały przedstawione na rysunku 44: (26) - 27 -
Rys. 44 Ogólna postać charakterystyk logarytmicznych obiektu całkującego Przykłady obiektów całkujących: Obiekt 7: Wzmacniacz operacyjny z włączonym kondensatorem w sprzężeniu zwrotnym i napięciem wejściowym podawanym poprzez rezystor; schemat układu wzmacniacza przedstawia rysunek 45: u f u we1 i f Cf R 1 i 1 i g - u we1 u we2 e g + -K u wy R 2 i 2 u we2 Rys. 45 Przykład obiektu całkującego - obiekt 7 Interesuje nas jak będzie zmieniać się napięcie wyjściowe wejściowych: i. w zależności od zmian napięć Zakładamy, że wzmacniacz ma cechy wzmacniacza idealnego, to znaczy: wartość współczynnika wzmocnienia jest praktycznie równa nieskończoności -, rezystancja wejściowa wzmacniacza jest praktycznie równa nieskończoności -, rezystancja wyjściowa wzmacniacza jest praktycznie równa zeru -. Korzystając z I prawa Kirchhoff a możemy napisać: - 28 -
Natężenia prądów występujące w tym równaniu wynoszą: Potencjał na wejściu wzmacniacza możemy wyliczyć z zależności: Podstawiając powyższe zależności do równania I prawa Kirchhoff a, otrzymujemy: Korzystając z założenia o idealności wzmacniacza możemy opuścić składniki małe; otrzymamy równanie wiążące napięcie wyjściowe rozważanego układu wzmacniacza z napięciami podawanymi na wejście układu: 2.6 Obiekt całkujący rzeczywisty Obiekt całkujący rzeczywisty jest członem dynamicznym (na wartości wielkości wyjściowych obiektu w chwili, mają wpływ nie tylko wartości wielkości wejściowych w tej właśnie chwili, ale również ich wartości w chwilach wcześniejszych od ). Ogólna zależność wiążąca wartości sygnału wyjściowego z wartościami sygnału wejściowego (model wejście-wyjście), a więc sposób przetwarzania sygnału wejściowego w wyjściowy (rys. 46) jest postaci (27): U(s) U(s) Y(s) Y(s) Rys. 46 Przetwarzanie sygnału wejściowego w wyjściowy w obiekcie całkującym rzeczywistym - 29 -
(27) gdzie: - sygnał wyjściowy (odpowiedź), - sygnał wejściowy (wymuszenie), - stała czasowa całkowania obiektu, - stała czasowa inercji (bezwładności) obiektu. Transmitancja operatorowa ma zatem postać: (28) Odpowiedź obiektu całkującego rzeczywistego na skokową zmianę sygnału wejściowego - (rys. 47), a więc jego charakterystyka skokowa została przedstawiona na rysunku 48: 1 t t Rys. 47 Odpowiedź obiektu całkującego rzeczywistego na skokową zmianę sygnału wejściowego = a 1(t) (T b /T i ) a równoległa do asymptoty: y ra (t) = (1/T i ) at T b asymptota: y a (t) = (1/T i ) a(t T b ) Rys. 48 Ogólna postać charakterystyki skokowej obiektu całkującego rzeczywistego Dodatkowo na rysunku 48 przedstawiono w jaki można korzystając z tej charakterystyki określić parametry charakteryzujące działanie tego obiektu. Na kolejnych dwóch rysunkach (rys. 49 i rys. 50) przedstawione są przykładowe charakterystyki skokowe obiektów całkujących rzeczywistych: na pierwszym (rys. 49) dla różnych wartości stałej przy stałej wartości, a na drugim (rys. 50) dla różnych wartości stałej przy stałej wartości. - 30 -
= a 1(t), a = 1 T b = 1 T i = 0.5 T i = 1 T i = 2 T i = 5 0.0 1.0 Rys. 49 Charakterystyki skokowe obiektu całkującego rzeczywistego dla różnych wartości stałej czasowej całkowania i jednakowej wartości stałej czasowej inercji (bezwładności) = a 1(t), a = 1 T i = 1 T i = 1 T i = 5 T i = 10 T i = 20 0.0 10.0 20.0 Rys. 50 Charakterystyki skokowe obiektu całkującego rzeczywistego dla różnych wartości stałej czasowej inercji (bezwładności) i jednakowej wartości stałej czasowej całkowania Transmitancja widmowa obiektu całkującego rzeczywistego jest postaci: (29) Charakterystyka amplitudowo-fazowa (Nyquist a) obiektu całkującego rzeczywistego została przedstawiona na rysunku 51: (30) - 31 -
Rys. 51 Ogólna postać charakterystyki Nyquist a obiektu całkującego rzeczywistego Charakterystyka logarytmiczne (Bode a): amplitudowa oraz fazowa obiektu całkującego rzeczywistego zostały przedstawione na rysunku 52: (31) Rys. 52 Ogólna postać charakterystyk logarytmicznych obiektu całkującego rzeczywistego Przykłady obiektów całkujących rzeczywistych: Obiekt 8: Wirnik silnika elektrycznego - rys. 53. - 32 -
J- moment bezwładności wirnika i układu napędzanego M o M n Rys. 53 Przykład obiektu całkującego rzeczywistego - obiekt 8 Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego pozwala napisać: gdzie: - prędkość kątowa wirnika, - moment bezwładności wirnika i układu napędzanego sprowadzone do wału wirnika, - moment napędowy działający na wirnik, - moment oporowy działający na wirnik. Moment oporowy działający na wirnik posiada ogólnie dwie składowe: moment oporowy wewnętrzny wynikający z oporów strat mechanicznych samego wirnika, moment oporowy zewnętrzny pochodzący od urządzenia napędzanego. Zatem, można napisać: Zasadniczą składową momentu oporowego wewnętrznego jest tak zwany moment oporowy tarcia lepkiego (m. in. opory powietrza) proporcjonalny do prędkości kątowej wirnika. Przyjmiemy, że opory te stanowią całość oporów wewnętrznych: gdzie: - współczynnik tarcia lepkiego. Możemy zatem napisać: Różnicę momentu napędowego i momentu oporowego zewnętrznego nazwiemy momentem dynamicznym i oznaczymy: Ostatecznie drugie równanie dynamiki dla naszego układu przyjmie postać: - 33 -
W rozważanym układzie za wymuszenie przyjmiemy właśnie moment dynamiczny działający na wirnik, a za odpowiedź kąt obrotu wału wirnika. Pamiętając, że: Równanie dynamiki przyjmie postać: lub inaczej: Widać zatem, że dla przetwarzania w torze rzeczywistym dla którego: oraz. wirnik silnika jest członem całkującym 2.7 Obiekt różniczkujący (różniczkujący idealny) Obiekt różniczkujący jest członem dynamicznym (sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do pochodnej sygnału wejściowego). Ogólna zależność wiążąca wartości sygnału wyjściowego z wartościami sygnału wejściowego (model wejście-wyjście), a więc sposób przetwarzania sygnału wejściowego w wyjściowy (rys. 54) jest postaci (32): U(s) U(s) Y(s) Y(s) Rys. 54 Przetwarzanie sygnału wejściowego w wyjściowy w obiekcie różniczkującym (32) gdzie: - sygnał wyjściowy (odpowiedź), - sygnał wejściowy (wymuszenie), - stała czasowa różniczkowania obiektu. Transmitancja operatorowa ma zatem postać: (33) Odpowiedź obiektu różniczkującego na skokową zmianę sygnału wejściowego - (rys. 55), a więc jego charakterystyka skokowa została przedstawiona na rysunku 56: - 34 -
1 t t Rys. 55 Odpowiedź obiektu różniczkującego na skokową zmianę sygnału wejściowego, t 0.0 Rys. 56 Ogólna postać charakterystyki skokowej obiektu różniczkującego Transmitancja widmowa obiektu różniczkującego jest postaci: (34) Charakterystyka amplitudowo-fazowa (Nyquist a) obiektu różniczkującego została przedstawiona na rysunku 57: (35) Rys. 57 Ogólna postać charakterystyki Nyquist a obiektu różniczkującego - 35 -
Charakterystyka logarytmiczne (Bode a): amplitudowa oraz fazowa obiektu różniczkującego zostały przedstawione na rysunku 58: (36) Rys. 58 Ogólna postać charakterystyk logarytmicznych obiektu różniczkującego Przykłady obiektów różniczkujących: Przykładem idealnego członu różniczkującego jest idealny kondensator, jeżeli jako wymuszenie przyjąć napięcie przyłożone do okładek kondensatora a odpowiedź prąd płynący przez ten kondensator: Praktyczna realizacja obiektu różniczkującego idealnego nie jest możliwa. 2.8 Obiekt różniczkujący rzeczywisty Obiekt różniczkujący rzeczywisty jest członem dynamicznym. Ogólna zależność wiążąca wartości sygnału wyjściowego z wartościami sygnału wejściowego (model wejście-wyjście), a więc sposób przetwarzania sygnału wejściowego w wyjściowy (rys. 59) jest postaci (37): U(s) U(s) Y(s) Y(s) Rys. 59 Przetwarzanie sygnału wejściowego w wyjściowy w obiekcie różniczkującym rzeczywistym (37) gdzie: - sygnał wyjściowy (odpowiedź), - 36 -
- sygnał wejściowy (wymuszenie), - stała czasowa różniczkowania obiektu, - stała czasowa inercji (bezwładności) obiektu. Transmitancja operatorowa ma zatem postać: (38) Odpowiedź obiektu różniczkującego rzeczywistego na skokową zmianę sygnału wejściowego - (rys. 60), a więc jego charakterystyka skokowa została przedstawiona na rysunku 61: 1 t t Rys. 60 Odpowiedź obiektu różniczkującego rzeczywistego na skokową zmianę sygnału wejściowego = a 1(t) (T d /T b ) a styczna do charakterystyki w t = 0 T b Rys. 61 Ogólna postać charakterystyki skokowej obiektu różniczkującego rzeczywistego Dodatkowo na rysunku 61 przedstawiono w jaki sposób można korzystając z tej charakterystyki określić parametry charakteryzujące działanie tego obiektu. Na dalszych dwóch rysunkach (rys. 62 i rys. 63) przedstawione są przykładowe charakterystyki skokowe obiektów różniczkujących rzeczywistych: na pierwszym (rys. 62) dla różnych wartości stałej przy stałej wartości, a na drugim (rys. 63) dla różnych wartości stałej przy stałej wartości. - 37 -
5.0 = a 1(t), a = 1 T b = 1 T d = 5 2.0 1.0 T d = 2 T d = 1 0.0 1.0 Rys. 62 Charakterystyki skokowe obiektu różniczkującego rzeczywistego dla różnych wartości stałej czasowej różniczkowania i jednakowej wartości stałej czasowej inercji (bezwładności) 1.0 = a 1(t), a = 1 T d = 1 0.5 T b = 1 T b = 2 0.2 T b = 5 0.0 1.0 2.0 5.0 Rys. 63 Charakterystyki skokowe obiektu różniczkującego rzeczywistego dla różnych wartości stałej czasowej inercji (bezwładności) i jednakowej wartości stałej czasowej różniczkowania Transmitancja widmowa obiektu różniczkującego rzeczywistego jest postaci: (39) Charakterystyka amplitudowo-fazowa (Nyquist a) obiektu różniczkującego rzeczywistego została przedstawiona na rysunku 64: (40) - 38 -
Rys. 64 Ogólna postać charakterystyki Nyquist a obiektu różniczkującego rzeczywistego Charakterystyka logarytmiczne (Bode a): amplitudowa oraz fazowa obiektu różniczkującego rzeczywistego zostały przedstawione na rysunku 65: (41) Rys. 65 Ogólna postać charakterystyk logarytmicznych obiektu różniczkującego rzeczywistego Przykłady obiektów różniczkujących rzeczywistych: Obiekt 9: Nieobciążony prądowo czwórnik CR (rys. 66): - 39 -
u C (t) i C (t) i obc (t) = 0 C i R (t) u we (t) R u R (t) u wy (t) Rys. 66 Przykład obiektu różniczkującego rzeczywistego - obiekt 9 Interesuje nas jak będzie zmieniać się napięcie wyjściowe wejściowego. w zależności od zmian napięcia Jego działanie opisuje równanie: Porównując to ostatnie równanie z równaniem 37 możemy stwierdzić, że rozważany w powyższy sposób czwórnik jest członem różniczkującym rzeczywistym, dla którego: 2.9 Obiekt opóźniający Obiekt opóźniający jest członem nie posiadającym dynamiki. Ogólna zależność wiążąca wartości sygnału wyjściowego z wartościami sygnału wejściowego (model wejście-wyjście), a więc sposób przetwarzania sygnału wejściowego w wyjściowy (rys. 67) jest postaci (42): - 40 -
U(s) U(s) Y(s) Y(s) Rys. 67 Przetwarzanie sygnału wejściowego w wyjściowy w obiekcie opóźniającym (42) gdzie: - sygnał wyjściowy (odpowiedź), - sygnał wejściowy (wymuszenie), - współczynnik wzmocnienia obiektu, - czas opóźnienia obiektu. Transmitancja operatorowa ma zatem postać: (43) Odpowiedź obiektu opóźniającego na skokową zmianę sygnału wejściowego - (rys. 68), a więc jego charakterystyka skokowa została przedstawiona na rysunku 69: 1 t t Rys. 68 Odpowiedź obiektu opóźniającego na skokową zmianę sygnału wejściowego K p a, = a 1(t) a 0.0 T o Rys. 69 Ogólna postać charakterystyki skokowej obiektu opóźniającego Dodatkowo na rysunku 69 pokazano, w jaki sposób wyznaczyć można z charakterystyki skokowej parametry charakteryzujące działanie tego obiektu. Na dalszych dwóch rysunkach (rys. 70 i rys. 71) przedstawione są przykładowe charakterystyki skokowe obiektów opóźniających: na pierwszym (rys. 70) dla różnych wartości czasu przy stałej wartości - 41 -
współczynnika wzmocnienia, a na drugim (rys. 71) dla różnych wartości współczynnika wzmocnienia przy stałej wartości czasu. T o = 1 = a 1(t), a = 1 K p = 1 T o = 2 T o = 5 T o = 10 0.0 1.0 2.0 5.0 10.0 Rys. 70 Charakterystyki skokowe obiektu opóźniającego dla różnych wartości czasu opóźnienia i jednakowej wartości współczynnika wzmocnienia 10.0 5.0 K p = 10 K p = 5 = a 1(t), a = 1 T o = 2 2.0 1.0 K p = 2 0.0 2.0 K p = 1 Rys. 71 Charakterystyki skokowe obiektu opóźniającego dla różnych wartości współczynnika wzmocnienia i jednakowego czasu opóźnienia Transmitancja widmowa obiektu opóźniającego jest postaci: (44) Charakterystyka amplitudowo-fazowa (Nyquist a) obiektu opóźniającego przy zastosowaniu aproksymacji Padego (aproksymacja Padego służy do utworzenia przybliżenia transmitancji obiektu opóźniającego za pomocą transmitancji układu liniowego) została przedstawiona na rysunku 72: (45) - 42 -
Rys. 72 Ogólna postać charakterystyki Nyquist a obiektu opóźniającego Charakterystyka logarytmiczne (Bode a): amplitudowa oraz fazowa obiektu opóźniającego przy zastosowaniu aproksymacji Padego zostały przedstawione na rysunku 73: (46) Rys. 73 Ogólna postać charakterystyk logarytmicznych obiektu opóźniającego Natomiast na rysunku 74 przedstawiono charakterystyki logarytmiczne (Bode a): amplitudową oraz fazową obiektu opóźniającego bez aproksymacji. - 43 -
Rys. 74 Ogólna postać charakterystyk logarytmicznych obiektu opóźniającego Przykłady obiektów opóźniających: Przykładem członu opóźniającego jest podajnik taśmowy przedstawiony na rysunku 74, jeżeli jako wymuszenie przyjąć grubość warstwy transportowanej tuż przy zasuwie, a za odpowiedź grubość tej warstwy na końcu podajnika. u v t y.. L Rys. 74 Przykład obiektu opóźniającego W obiekcie opóźniającym następuje opóźnienie sygnału o czas i ewentualne jego wzmocnienie, a kształt sygnału nie ulega zmianie. Stąd równanie dynamiki podajnika: Czas opóźnienia możemy policzyć z zależności: - 44 -