POLE MAGNETYCZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYCZNEGO Wykład 8 lato 2015/16 1
Definicja wektoa indukcji pola magnetycznego F = q( v B) Jednostką indukcji pola B jest 1T (tesla) 1T=1N/Am Pole magnetyczne zakzywia to uchu ładunku elektycznego. Wykład 8 lato 2015/16 2
Siła Loentza Siła działająca na ładunek w obszaze, w któym występują jednocześnie pole elektyczne i magnetyczne F = q( v B + E) Ruch w skzyżowanych polach, tj. gdy B E v B jeżeli = E to F = 0 to cząstki i jej pędkość nie ulegną zmianie Wykład 8 lato 2015/16 3
Doświadczenie Thomsona 1897. J.J. Thomson, Cambidge, wyznaczył q/m dla elektonu, odkycie elektonu q 10 = 17,56 10 m C kg Wykład 8 lato 2015/16 4
Zadanie 8.1 Wiązka elektonów pzechodzi bez odchylenia pzez lampę oscyloskopową kiedy natężenie pola elektycznego wynosi 3000 V/m, a indukcja skzyżowanego z nim pola magnetycznego wynosi 1,4 Gs; 1Gs (gauss) = 10-4 T. Długość płytek odchylających wynosi 4 cm, a odległość od końca płytek do ekanu wynosi 30 cm. Znajdź odchylenie wiązki na ekanie pzy wyłączonym polu magnetycznym Wykład 8 lato 2015/16 5
Zadanie 8.2 Na podstawie podęcznika HRW, t.3 lub innych źódeł opacować dwa tematy: cykloton i synchoton zjawisko Halla Podać pzykłady paktycznego wykozystania Wykład 8 lato 2015/16 6
Definicja natężenia pądu i = dq dt Natężenie pądu jest skalaem Jednostką natężenia pądu jest 1A=1C/s (ale to nie jest definicja tej jednostki!) Umownie pzyjmuje się, że pąd płynie tak jakby był to uch ładunków dodatnich. W zeczywistości pąd w metalu stanowią elektony pzewodnictwa Wykład 8 lato 2015/16 7
Siła elektodynamiczna Siła działająca na pzewodnik, pzez któy płynie pąd F = i( l B) l Wykład 8 lato 2015/16 8
Zastosowania siły elektodynamicznej Silnik elektyczny amka z pądem w polu magnetycznym Analogowe mieniki woltomiez, ampeomiez, galwanomet Na amkę z pądem w zewnętznym polu magnetycznym działa moment siły τ μ B μ = moment magnetyczny Pzypomnienie: dla dipola elektycznego τ = p E Wykład 8 lato 2015/16 9
Moment magnetyczny Pod wpływem momentu siły amka ustawia się postopadle do kieunku wektoa indukcji pola magnetycznego, tak aby μ B Moment magnetyczny definiowany jest dla każdego zamkniętego obwodu, pzez któy płynie pąd I: μ = NIAnˆ liczba zwojów pole wekto jednostkowy postopadły do powiezchni A Wykład 8 lato 2015/16 10 powiezchni
Dipol magnetyczny Moment magnetyczny chaakteyzuje każdy dipol magnetyczny. Dipolem magnetycznym jest nie tylko amka (pętla, cewka), pzez któy płynie pąd lecz ównież: magnes sztabkowy (μ 5J/T) Ziemia (w pzybliżeniu) μ 8,0 10 22 J/T większość cząstek elementanych, np. elekton (μ 9,3 10-24 J/T), poton (μ 1,4 10-26 J/T), neuton Wykład 8 lato 2015/16 11
Enegia potencjalna E p dipola magnetycznego z zewnętznym polu magnetycznym: E p = μ o B najwyższa enegia E p najniższa enegia E p Pzypomnienie: dla dipola elektycznego w zewnętznym polu elektycznym E = p o E p Wykład 8 lato 2015/16 12
Pąd elektyczny jako źódło pola magnetycznego - doświadczenie Oesteda (1819-1820) Kiedy pzez pzewodnik nie płynie pąd, igła ustawia się wzdłuż kieunku pola magnetycznego ziemskiego I=0 I 0 Kiedy pzez pzewodnik płynie pąd, igła odchyla się od kieunku pola magnetycznego Ziemi. Dlaczego? Wykład 8 lato 2015/16 13
PRAWO BIOTA-SAVARTA μo I d l d B = 3 4 π Pawo Biota-Savata Zasada supepozycji Rozkład ładunku Pawo Coulomba Zasada supepozycji Wykład 8 lato 2015/16 14
Pzykład 8.1 Znaleźć wekto indukcji pola magnetycznego w śodku pętli o pomieniu R, pzez któą płynie pąd o natężeniu I. Z pawa Biota-Savata μo db = 4 π I dlsinθ R 2 o θ = 90 μ o I dl μo I = db = = dl 2 4 π R 4 π R B 2 B = μoi 2R 2πR Wykład 8 lato 2015/16 15
Zadanie domowe 8.3 Pokazać, że (a) watość wektoa indukcji pola magnetycznego w punkcie P na osi pętli z pądem wynosi B x = μ 2 o IR 2 ( 2 2 x + R ) 3 2 (b) a w dużej odległości od śodka pętli x>>r μo B x = 2 π μ x 3 Wykład 8 lato 2015/16 16
Pętla z pądem zachowuje się jak dipol magnetyczny wniosek z zadania 8.3 Pętla z pądem wytwaza pole magnetyczne jak dipol magnetyczny w dużych odległościach (pole magnetyczne zanika z odległością jak x -3, podobnie jak dla dipola elektycznego) Wykład 8 lato 2015/16 17
Zadanie domowe 8.4 Pętla kołowa o pomieniu =5 cm ma 12 zwojów. Pzez pętlę płynie pąd o natężeniu 4A. Układ odniesienia wybano tak, że pętla leży w płaszczyźnie YZ (x=0) a początek układu odniesienia leży w śodku pętli. Znaleźć watość indukcji pola magnetycznego na osi x dla: (a) x=0 (b) x=3 cm (c) x=15 cm (d) x=3 cm w pzybliżeniu dipolowym Wykład 8 lato 2015/16 18
Zadanie domowe 8.5 Mały magnes sztabkowy o momencie magnetycznym μ jest umieszczony w śodku pętli z popzedniego zadania. Wekto momentu magnetycznego leży w płaszczyźnie XY i twozy kąt 30 o z osią OX. Znaleźć wekto momentu siły działającego na magnes. Zaniedbać efekty związane ze zmianami pola magnetycznego w obszaze zajmowanym pzez magnes. Wykład 8 lato 2015/16 19
Pole magnetyczne a elektyczne -podobieństwa i óżnice Linie pola elektycznego zaczynają się i kończą na ładunku elektycznym Linie pola magnetycznego twozą zamknięte pętle. Na niczym się nie zaczynają i nie kończą Wykład 8 lato 2015/16 20
PRAWO GAUSSA Istnieje pojedynczy ładunek punktowy monopol elektyczny q E o d A = ε S div E = ρ ε o 0 B o d A = 0 Wykład 8 lato 2015/16 21 S div B = 0 Bak monopoli magnetycznych. Magnes czy pętla z pądem stanowią dipol magnetyczny
Pawo Gaussa dla pola magnetycznego jest jednym z ównań Maxwella. Jego teścią jest fakt, że pole magnetyczne jest bezźódłowe. Stumień pola magnetycznego pzez powiezchnię zamkniętą jest zawsze ówny zeu. Nie można wyodębnić pojedynczego bieguna magnetycznego nie istnieją monopole magnetyczne. ΦB = B o d A = S div B = 0 0 Wykład 8 lato 2015/16 22
KRĄŻENIE POLA WEKTOROWEGO dl dl Kążenie (cykulacja) pola wektoowego F po kontuze zamkniętym jest zdefiniowane jako całka kzywoliniowa: Γ = C element dogi całkowania ma kieunek styczny do kzywej C w danym punkcie Jeżeli F jest siłą, to kążenie Γ ma sens fizyczny pacy. Wykład 8 lato 2015/16 23 F o dl Jeżeli F jest siłą zachowawczą (pole elektostatyczne, gawitacyjne), to Γ=0. Kzywa C oganicza pewną powiezchnię zamkniętą ozpiętą na tej kzywej.
Wykład 8 lato 2015/16 24 ROTACJA POLA Γ = C d l F o + = 2 1 d d d C C C l F l F l F o o o Powadząc kzywą B twozymy dwa zamknięte kontuy C 1 i C 2 takie, że: i C a a i i = l F n F ot o o d lim ˆ ) ( 0 definicja opeatoa otacji dl
Pytanie: Pole elektostatyczne jest polem bezwiowym (otacja pola jest ówna zeu w każdym jego punkcie). A co z otacją pola magnetycznego? C d dls E Pzewodnik z pądem i E o d l = 0 C ot E = 0 ot B 0 Odpowiedź: Istotnie, pole magnetyczne jest polem wiowym. To okeśla pawo Ampèe a. Wykład 8 lato 2015/16 25 C B o d l 0
Pawo Ampèe a C B o dl = μoi C kążenie pola pąd wewnątz magnetycznego kontuu całkowania C μ o - pzenikalność magnetyczna póżni, stała uniwesalna 7 μ = 4 π 10 T m / A kontu całkowania o dl I C =i 1 -i 2 Wykład 8 lato 2015/16 26
Twiedzenie Stokes a Wiąże kążenie wektoa po kzywej C z otacją w punkcie, podobnie jak twiedzenie Gaussa- Ostogadskiego wiązało stumień pola pzez powiezchnię z dywegencją w punkcie F o dl ( ot F) o da = C Wykład 8 lato 2015/16 27 S całka powiezchniowa, po powiezchni S oganiczonej kzywą C Pawo Ampèe a w postaci óżniczkowej ot B = μ o j gęstość pądu
Gęstość pądu Gęstość pądu jest to wekto, któego watość ówna jest natężeniu pądu pzepływającemu pzez element pola pzekoju powiezchni na jednostkę pola tej powiezchni j = di ds i j S 1 1 S 2 j 2 stumień = j o d S Watość natężenia pądu pozostaje stała, zmienia się gęstość pądu pawo ciągłości pzepływu, zasada zachowania ładunku Wykład 8 lato 2015/16 28
Pzykład 8-2 Gęstość pądu w pzewodniku o kształcie walca o pomieniu R =2 mm jest jednakowa na całym pzekoju pzewodnika i ówna j=2 10 5 A/m 2. Ile wynosi natężenie pądu, pzepływającego pzez zewnętzną wastwę pzewodnika, w obszaze pomiędzy R/2 i R? R R/2 j Rozwiązanie: i = js' bo j=const na całym pzekoju walca S' = πr Odpowiedź: 2 i R π 2 =1,9 A 2 = 3π 4 R 2 Wykład 8 lato 2015/16 29
Pzykład 8-3 Załóżmy, że gęstość pądu w pzewodniku o kształcie walca o pomieniu R =2 mm nie jest jednakowa na całym pzekoju pzewodnika i zmienia się z odległością od śodka walca zgodnie ze wzoem j = α 2, gdzie α=3 10 11 A/m 4. Ile wynosi natężenie pądu, pzepływającego pzez zewnętzną wastwę pzewodnika, w obszaze pomiędzy R/2 i R? Rozwiązanie: i = j o ds = jds = R α R / 2 2 2 π d i = 15 32 πα R R Odpowiedź: 4 i = 7,1A R/2 j Wykład 8 lato 2015/16 30
Zadanie domowe 8.6 Cztey z pzedstawionych pól wektoowych mają znikającą dywegencję w pzedstawionym obszaze. Tzy z nich mają znikającą otację. Czy możecie ocenić, któe z pól mają omawiane własności? Wykład 8 lato 2015/16 31
Zastosowania pawa Ampèe a pole magnetyczne wokół pzewodnika postoliniowego B d l B=const na kzywej C (kontu całkowania jest okęgiem ) kążenie wektoa indukcji magnetycznej po okęgu o pomieniu kozystając z pawa Ampèe a C B o d l 2 π B = μo = B 2 π B Wykład 8 lato 2015/16 32 i C dl = dl Odpowiedź: B = μ o i 2 π
Zadanie domowe 8.7 Ten sam ezultat można otzymać popzez żmudne całkowanie, kozystając z pawa Biota-Savata. Poszę spóbować, aby móc docenić pawo Ampèe a. Odpowiednie obliczenia znajdziemy w Rozdz.30, &30.1 podęcznika HRW, t. 3. Wykład 8 lato 2015/16 33
Zastosowania pawa Ampèe a pole magnetyczne wewnątz pzewodnika o pomieniu R, pzez któy płynie pąd I (<R) kążenie wektoa indukcji magnetycznej po okęgu o pomieniu wyaża się tym samym wzoem dla <R i >R B o d l 2 π B tzeba znaleźć natężenie pądu I C wewnątz kontuu gęstość pądu j jest stała Wykład 8 lato 2015/16 34 C = IC j = = 2 π I π R 2
IC j = = 2 π I π R 2 z pawa Ampèe a I = C Wykład 8 lato 2015/16 35 I R C 2 B 2 o dl 2 π B = Odpowiedź: B = = μ μ o μ o o I C I R I 2 π R 2 2 2
Zastosowania pawa Ampèe a pole magnetyczne wewnątz solenoidu Solenoid wytwaza jednoodne pole magnetyczne i pełni podobną olę jak kondensato płaski w elektostatyce solenoid magnes sztabkowy Wykład 8 lato 2015/16 36
Wykład 8 lato 2015/16 37 + + + = a d d c c b C b a d d d d d l B l B l B l B l B o o o o o Bh 0 0 0 dlaczego? pole jednoodne l B d l B d B=0 l B d
B o d l = Bh = C μ o I C I C = (nh)i liczba zwojów na jednostkę długości natężenie pądu w uzwojeniu solenoidu solenoid idealny B = μ o ni Wykład 8 lato 2015/16 38
Zadanie domowe 8.8 Tooid Wykozystać pawo Ampèe a do znalezienia watości wektoa indukcji wewnątz tooidu, pzez któy płynie pąd o natężeniu I. a < < b a b B = μ o NI 2 π N - liczba zwojów tooidu Wykład 8 lato 2015/16 39
Siły działające między dwoma ównoległymi pzewodami z pądem Te pzewody się pzyciągają. Dlaczego? pole magnetyczne wytwozone pzez pąd i a siła działająca na pzewód z pądem i b Definicja ampea: 1A jest to natężenie pądu stałego, któy płynąc w dwóch ównoległych, postoliniowych, nieskończenie długich pzewodach o znikomo małym pzekoju popzecznym, umieszczonych w póżni w odległości 1m, wywołuje między tymi pzewodami siłę o watości 2 10-7 N na każdy met długości pzewodu μo ia 2 π d Wykład 8 lato 2015/16 40 F B a = ba = ibl Ba F ba = μ Liai 2 π d o b
Podsumowanie Ruch ładunku w polach magnetycznym i elektycznym odbywa się pod wpływem siły Loentza. Pole magnetyczne nie zmienia enegii kinetycznej lecz zakzywia to ładunku. Różnice pomiędzy polem elektostatycznym i magnetycznym można pześledzić posługując się pawem Gaussa dla elektyczności i magnetyzmu. Nie istnieją monopole magnetyczne. Na pzewodnik z pądem w polu magnetycznym działa siła elektodynamiczna. Ładunek w spoczynku wytwaza pole elektostatyczne, ładunek w uchu (pąd elektyczny) jest źódłem pola magnetycznego Watość indukcji pola magnetycznego wytwozonego pzez pzewodnik z pądem można obliczyć kozystając z pawa Biota-Savata lub pawa Ampèe a, któe jednak stosujemy tylko do ozwiązywania poblemów o wysokiej symetii. Wykład 8 lato 2015/16 41