Wartość Shapleya. Oskar Skibski. Institute of Informatics, University of Warsaw. 8 października 2012

Wartość Shapleya Oskar Skibski Institute of Informatics, University of Warsaw 8 października 2012 Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 1 / 17

Przykład Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 2 / 17

CO TERAS? Jak podzielić wspólną wypłatę? Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 3 / 17

Gry koalicyjne zbiór graczy N koalicja dowolny podzbiór graczy S N podział (lub układ koalicyjny) zbiór rozłącznych koalicji P = {S 1, S 2,..., S k } których sumą jest N gra koalicyjna funkcja v : 2 N R która przypisuje każdej koalicji jej wartość (zakładamy, że v( ) = 0). Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 4 / 17

Gry koalicyjne Problem tworzenia koalicji (ang. Coalition formation problem) Znajdź podział P P(N) dla którego S P v(s) jest maksymalne. Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 5 / 17

Gry koalicyjne Problem tworzenia koalicji (ang. Coalition formation problem) Znajdź podział P P(N) dla którego S P v(s) jest maksymalne. Inaczej: jaki układ koalicyjny powstanie? Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 5 / 17

Gry koalicyjne Problem podziału (ang. Problem of division) Załóżmy, że powstanie grand coalition, czyli koalicja wszystkich graczy. Znajdź funkcję ϕ : R 2N R N, która przypisuje każdemu graczowi jego udział we wspólnej wypłacie. Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 6 / 17

Gry koalicyjne Problem podziału (ang. Problem of division) Załóżmy, że powstanie grand coalition, czyli koalicja wszystkich graczy. Znajdź funkcję ϕ : R 2N R N, która przypisuje każdemu graczowi jego udział we wspólnej wypłacie. Inaczej: jak się podzielić tym co uzyskaliśmy? Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 6 / 17

Wartość Shapleya Odpowiedź Wartość Shapleya: Sh i (v) = S N,i S ( S 1)!( N S )! (v(s) v(s \ {i})) N! Załóżmy, że gracze przychodzą na miejsce spotkania w losowej kolejności. Gracz i zwiększa wartość zastanego zbioru S \ {i} o swój wkład marginalny v(s) v(s \ {i}). Jego wartość w grze wyliczamy teraz jako średnią z jego wszystkich wkładów marginalnych po wszystkich porządkach przyjścia graczy. Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 7 / 17

Wartość Shapleya Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 8 / 17

Standardowa aksjomatyka Efektywność cała wypłata jest rozdzielona pomiędzy graczy ϕ i (v) = v(n) i N Symetria podział wypłaty nie zależy od imion graczy ϕ(σ(v)) = σ(ϕ(v)) Addytywność wypłata graczy w dwóch połączonych grach jest równa sumie wypłat w tych grach rozpatrywanych rozłącznie ϕ(v 1 + v 2 ) = ϕ(v 1 ) + ϕ(v 2 ) Aksjomat gracza-atrapy gracz który nie wnosi nic do wartości żadnej koalicji nic nie dostaje S N (v(s) v(s \ {i}) = 0) ϕ i (v) = 0 Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 9 / 17

Standardowa aksjomatyka Twierdzenie (Shapley, 1953) Wartość Shapleya jest jedyną wartością która spełnia aksjomaty Efektywności, Symetrii, Addytywności oraz Gracza-atrapy. Dowód Wartość Shapleya je spełnia (łatwe), pokażemy że jest jedyna. 1 znajdź (jedyne) rozbicie gry v(r) = S N α S e S (R) na proste gry e S postaci: (addytywność) { 1 jeżeli S R, e S (R) = 0 wpp; 2 wyznacz wypłatę dla gracza i S w grze e S ; (aksj. gracza-atrapy) 3 wyznacz wypłatę dla gracza i S w grze e S. (efektywność,symetria) Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 10 / 17

Aksjomat Marginalności (...) Shapley value, which happens to be calculated as the average of marginal contributions of players to coalitions. This comes as a surprise at first glance: uniqueness is the consequence of four basic axioms, and nothing in those axioms hints at the marginality principle, of long tradition in economic theory. In the clarification of this puzzle, Young (1985) provided a key piece. De Clippel & Serrano, Econometrica, 2008 Marginalność wypłata gracza zależy tylko od jego wektora wkładów marginalnych mc i (v 1 ) = mc i (v 2 ) ϕ i (v 1 ) = ϕ i (v 2 ) gdzie mc i (v) = v(s) v(s \ i) S N,i S. Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 11 / 17

Aksjomat Marginalności Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 12 / 17

Aksjomat Marginalności Wniosek: na wektor marginalny możemy patrzyć jak na grę! Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 12 / 17

Aksjomat Marginalności Wniosek: na wektor marginalny możemy patrzyć jak na grę! Co więcej: wektor marginalny w tej grze jest znowu tą samą grą! Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 12 / 17

Aksjomat Marginalności Twierdzenie (Young, 1985) Wartość Shapleya jest jedyną wartością która spełnia aksjomaty Efektywności, Symetrii oraz Marginalności. Dowód Wartość Shapleya je spełnia (łatwe), pokażemy że jest jedyną. Zastosujemy odwrotną indukcję po przecięciu wszystkich koalicji z niezerową wartością: S(v) = {S v(s) 0}. 1 podstawa: pokaż, że jeżeli S(v) = N to wypłaty graczy łatwo wyznaczyć; (efektywność,symetria) 2 założenie: jeżeli S(v) > k to wypłaty graczy są jednoznaczne; 3 krok: niech S(v) = k; pokaż, jak wyznaczyć jednoznacznie wypłatę gracza i S (marginalność), a następnie gracza i S. Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 13 / 17

Balanced Contributions Czemu gracze mają się zgodzić na taki podział? Może mogą wytargować więcej od kogoś? Sprzeciw! (gracza i względem j) Daj mi więcej, bo odejdę i zamiast Twojej wielkiej wypłaty ϕ j (v) dostaniesz tylko ϕ j (v i )! Odpowiedź (gracza j do i) To prawda, że jak odejdziesz to stracę, ale nie cwaniakuj, bo jak ja odejdę to Ty stracisz ϕ i (v) ϕ i (v j ). Balanced Contributions zysk z kooperacji dwóch graczy jest dzielony po równo między nich ϕ i (v) ϕ i (v j ) = ϕ j (v) ϕ j (v i ) Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 14 / 17

Balanced Contributions Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 15 / 17

Balanced Contributions Twierdzenie (Myerson, 1977) Wartość Shapleya jest jedyną wartością która spełnia aksjomaty Efektywności oraz Balanced Contributions. Dowód Wartość Shapleya je spełnia (łatwe), pokażemy że jest jedyna. Aby to zrobić wystarczy zsumować nasze równanie przy ustalonym i po wszystkich j. ϕ i (v) = ϕ j (v) ϕ j (v i ) + ϕ i (v j ) j Zauważając, że j ϕ j(v) = v(n) oraz j ϕ j(v i ) = v(n \ {i}) (oba z efektywności) dostajemy równanie rekurencyjne: ϕ i (v) = v(n) v(n \ {i}) + j ϕ i (v j ). Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 16 / 17

Balanced Contributions Oskar Skibski (University of Warsaw) Shapley value 8 października 2012 17 / 17