Zadanie 4 Zadanie 5 Zadanie 6. Repetytorium z JFiZO. Jakub Michaliszyn 25 maja 2017

Transkrypt

1 Repetytorium z JFiZO Jakub Michaliszyn 25 maja 2017

2 dom(m) jest rekurencyjny wtw, gdy istnieje całkowita funkcja rekurencyjna t M (n) taka, że jeśli M(n) staje, to staje po dokładnie t M (n) krokach.

3 dom(m) jest rekurencyjny wtw, gdy istnieje całkowita funkcja rekurencyjna t M (n) taka, że jeśli M(n) staje, to staje po dokładnie t M (n) krokach.. Załóżmy, że dom(m) jest rekurencyjny i że P go rozstrzyga. Wtedy następujący program oblicza t M : wczytaj n jeśli P(n) = 0, zwróć 0 uruchom M(n) i zwróć liczbę kroków, po jakiej się ona zatrzyma Zaiste, gdy M(n) staje, to P(n) = 1 i zwracamy liczbę kroków, po której M staje.

4 dom(m) jest rekurencyjny wtw, gdy istnieje całkowita funkcja rekurencyjna t M (n) taka, że jeśli M(n) staje, to staje po dokładnie t M (n) krokach.. Załóżmy, że istnieje taka funkcja t M. Wtedy następujący program rozstrzyga dom(m): wczytaj n uruchom M(n) na t M (n) kroków. Jeśli się zatrzyma, zwróć 1, inaczej zwróć 0. Wtedy jeśli n dom(m), to t M (n) jest liczbą kroków, po jakiej M się zatrzymuje, więc powyższy program zwraca 1. W przeciwnym przypadku, M(n) się nie zatrzyma i powyższy program zwróci 0.

5 A zbiór numerów programów zatrzymujących się dla każdej liczby postaci 3k i niezatrzymujących się dla żadnej liczby postaci 3k + 1.

6 A zbiór numerów programów zatrzymujących się dla każdej liczby postaci 3k i niezatrzymujących się dla żadnej liczby postaci 3k + 1. Fakt A = {n k, m i.ϕ n (3k + 1) nie staje po m krokach ϕ n (3k) staje po i krokach}.

7 A zbiór numerów programów zatrzymujących się dla każdej liczby postaci 3k i niezatrzymujących się dla żadnej liczby postaci 3k + 1. Fakt A = {n k, m i.ϕ n (3k + 1) nie staje po m krokach ϕ n (3k) staje po i krokach}. Pokażemy, że 1 A nie jest rekurencyjnie przeliczalny (czyli nie należy do Σ 1, Σ 0 ani Π 0 ) 2 Ā nie jest rekurencyjnie przeliczalne (nie należy do Π 1 ). 3 A należy do Π 2.

8 1. Pokażemy, że K REK A. Niech f będzie redukcją taką, że f (n) jest programem: wczytaj k jeśli 3 k, policz ϕ n (n) zwróć 17

9 1. Pokażemy, że K REK A. Niech f będzie redukcją taką, że f (n) jest programem: wczytaj k jeśli 3 k, policz ϕ n (n) zwróć 17 Jeśli n K (ϕ n (n) nie staje), to f (n) dla liczb niepodzielnych przez 3 się zapętla, a dla podzielnych się nie zapętla, więc f (n) A. Jeśli n K (ϕ n (n) staje), to f (n) zawsze staje, więc f (n) A.

10 2. Pokażemy, że K REK Ā (czyli, że K REK A). Niech f będzie redukcją taką, że f (n) jest programem: wczytaj k jeśli 3 k, policz ϕ n (n) i zwróć 42 inaczej zapętl się

11 2. Pokażemy, że K REK Ā (czyli, że K REK A). Niech f będzie redukcją taką, że f (n) jest programem: wczytaj k jeśli 3 k, policz ϕ n (n) i zwróć 42 inaczej zapętl się Jeśli n K (ϕ n (n) staje), to f (n) dla liczb niepodzielnych przez 3 się zapętla, a dla podzielnych się nie zapętla, więc f (n) A. Jeśli n K, to f (n) zawsze się zapętla, więc f (n) A.

12 3. A = {n k, m i.ϕ n (3k + 1) nie staje po m krokach ϕ n (3k) staje po i krokach}

13 3. A = {n k, m i.ϕ n (3k + 1) nie staje po m krokach ϕ n (3k) staje po i krokach} Niech C będzie programem: Wczytaj u. (u, i) = f 1 (u), (n, u ) = f 1 (u ) oraz (k, m) = f 1 (u ). Jeśli ϕ n (3k) staje po n krokach i ϕ(3k + 1) nie staje po m krokach, zwróć 1, inaczej zwróć 0. Łatwo zauważyć, że C Π 0 oraz że A = {n (k, m) i.c (f (n, f (f (k, m), i)))} Stąd A Π 2. Jakaś tragedia z tymi f.

14 Zakładamy dla łatwości prezentacji, że w obu problemach pytają o kwadrat o boku co najmniej 3.

15 Zakładamy dla łatwości prezentacji, że w obu problemach pytają o kwadrat o boku co najmniej 3. Odpowiedź: Tak. Niech KAF będzie problemem kafelkowania o którym wiemy, że jest nierozstrzygalny, a Z6 to będzie problem z zadania.

16 Pokażemy,KAF REK Z6. Weźmy instancję problemu kafelkowania K = (C, N, cz, b). Wartością redukcji dla takiej czwórki będzie K = (C {nc, nb, nk, l, p}, N, nc, nb), gdzie nc, nb, nk, l, p to pewne kolory spoza C. Chcemy, by rozwiązaniami K były kafelkowania postaci: nc nb nb nb nb nb nb... nb l # # # # #... # p l # # # # #... # p l # # # # #... # p l... p l # # # # #... # p nc nk nk nk nk... nk nk nk gdzie pod płotkami jest poprawne rozwiązanie K (a zamiast p mogą być inne symbole).

17 Będę pola rozwiązania oznaczał tak: (n, 0) (n, 1) (n, 2)... (n, n)... (1, 0) (1, 1) (1, 2)... (1, n) (0, 0) (0, 1) (0, 2)... (0, n)

18 Niech N zawiera N, oraz dodatkowo czwórki lg pg ld pd gdzie: nc {ld, pd} lub p {lg, ld} l b2 {rg, rd}, lub lg {nc, l} i ld l, lub b (biały) lub k (kremowy) pojawia się w dwóch różnych rzędach, lub b pojawia się pod kaflem innym niż nb, lub k pojawia się nad kaflem innym niż nk nb lub nk pojawia się z jakimś kolorem innym niż nc, nb, l, p, c, lub b jest po lewej a c po prawej, lub wśród lg, pg, ld, pd jest jednocześnie b i k ld = l i pd = b.

19 Weźmy dowolne dobre kafelkowanie K. Wtedy:

20 Weźmy dowolne dobre kafelkowanie K. Wtedy: Czwórka (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) jest brzydka (bo nc na dole). Zatem wszystkie inne będą estetyczne.

21 Weźmy dowolne dobre kafelkowanie K. Wtedy: Czwórka (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) jest brzydka (bo nc na dole). Zatem wszystkie inne będą estetyczne. Lewa kolumna wygląda tak: nc, l, l,..., l, nc.

22 Weźmy dowolne dobre kafelkowanie K. Wtedy: Czwórka (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) jest brzydka (bo nc na dole). Zatem wszystkie inne będą estetyczne. Lewa kolumna wygląda tak: nc, l, l,..., l, nc. Kafle (1, i) oraz (n 1, i), dla i {2,..., n 1}, mają kolor b.

23 Weźmy dowolne dobre kafelkowanie K. Wtedy: Czwórka (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) jest brzydka (bo nc na dole). Zatem wszystkie inne będą estetyczne. Lewa kolumna wygląda tak: nc, l, l,..., l, nc. Kafle (1, i) oraz (n 1, i), dla i {2,..., n 1}, mają kolor b. Kafle (1, 1) oraz (n 1, 1) są czerwone.

24 Weźmy dowolne dobre kafelkowanie K. Wtedy: Czwórka (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) jest brzydka (bo nc na dole). Zatem wszystkie inne będą estetyczne. Lewa kolumna wygląda tak: nc, l, l,..., l, nc. Kafle (1, i) oraz (n 1, i), dla i {2,..., n 1}, mają kolor b. Kafle (1, 1) oraz (n 1, 1) są czerwone. W K nie ma żadnej czwórki z N a c, b i k są tam, gdzie trzeba.

25 Weźmy dowolne dobre kafelkowanie K. Wtedy: Czwórka (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) jest brzydka (bo nc na dole). Zatem wszystkie inne będą estetyczne. Lewa kolumna wygląda tak: nc, l, l,..., l, nc. Kafle (1, i) oraz (n 1, i), dla i {2,..., n 1}, mają kolor b. Kafle (1, 1) oraz (n 1, 1) są czerwone. W K nie ma żadnej czwórki z N a c, b i k są tam, gdzie trzeba. Zatem kwadrat od (1, 1) do (n 1, n 1) jest dobrym kafelkowaniem K (o boku co najmniej 3).

26 A jeśli weźmiemy dobre kafelkowanie K, to możemy z niego zrobić dobre kafelkowanie K o tak: nc nb nb nb nb nb... nb nb l # # # # #... # p l # # # # #... # p l # # # # #... # p l... p l # # # # #... # p nc nk nk nk nk nk... nk nk gdzie pod płotkami jest poprawne rozwiązanie K. Zatem K ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy K ma.