Spis treści 11 Uzupełnienia do rozdziałów 5 i 6

Spis treści 11 Uzupełnienia do rozdziałów 5 i 6 1 11.1 Równania hydrodynamiki krótkie wprowadzenie.............. 1 11.1.1 Tensor naprężeń (napięć)........................ 1 11.1.2 Hydrostatyka.............................. 3 11.1.3 Przypadek ogólny; składowe ścinania................. 4 11.1.4 Równanie Naviera-Stokesa....................... 4 11.1.5 Równanie N-S bez tensorów..................... 5 11.1.6 Pochodna śledcza............................ 6 11.2 Prawo Darcy ego krótki komentarz..................... 7 11.3 Turbulencja charakterystyka ogólna..................... 8 11.3.1 Podstawowe pojęcia turbulencji przepływów............. 8 11.4 Turbulencja kilka uwag ilościowych..................... 14 11.4.1 Tensor naprężeń Reynoldsa interpretacja.............. 14 11.4.2 Przepływ w kanale o przekroju prostokątnym; model długości mieszania........................ 14 11.4.3 Hipotezy Kołmogorowa; hierarchia wirów i kaskada energii..... 20 11.5 Równanie dyfuzji i jego rozwiązania dla podstawowych geometrii...... 23 11.5.1 Nieskończony ośrodek i injekcja punktowa w czasie........ 23 11.5.2 Pół-nieskończony ośrodek i injekcja punktowa w czasie...... 27 11.5.3 Ciągły rozkład koncentracji początkowej............... 27 11.5.4 Źródło o skończonej rozciągłości.................... 28 11.5.5 Dyfuzja w ośrodku o skończonych rozmiarach............ 29 0

Rozdział 11 Uzupełnienia do rozdziałów 5 i 6 Mam nadzieję, że te materiały ułatwią Państwu lekturę rozdziałów 5. i 6. Clarka. Odnośniki w tekście numery równań i rysunków odnoszą się do tłumaczenia (skróconego), które wisi na stronie transportu. Hasło do pierwszej części tłumaczenia ma postać: Mark. Druga część ma hasło: Clark. Obie części są po korekcie, co niestety nie oznacza, że nie mogą się w nich znaleźć jeszcze pewne błędy. Z góry dziękuję za ich wykrycie i zwrócenie mi na nie uwagi. 11.1 Równania hydrodynamiki krótkie wprowadzenie Zjawiska zachodzące w poruszających się płynach (cieczach lub gazach) traktujemy makroskopowo płyn jest ośrodkiem ciągłym. Oznacza to, że nawet bardzo mały element (objętości) płynu zawiera olbrzymią liczbę jego cząsteczek; objętość jest nieskończenie mała w odniesieniu do pewnych charakterystycznych wymiarów przepływu L, ale bardzo duża w porównaniu z wymiarami cząsteczek np. wody (albo, w przypadku gazów, w porównaniu z odległościami międzycząsteczkowymi). Taki nieskończenie mały element płynu to punkt płynu (w sensie makroskopowym). Do opisu formalnego naszego płynu w funkcji czasu (t) i współrzędnych przestrzennych (r) używamy: prędkości u(r, t) i dwóch (z trzech) parametrów stanu np. ciśnienia p i gęstości ρ. 11.1.1 Tensor naprężeń (napięć) Na element płynu działają siły objętościowe (np. grawitacja) i powierzchniowe (ciśnienie, tarcie lepkie). Równanie ruchu takiego elementu to masa du dt = F obj + F pow. (11.1) Warto zauważyć, że siły objętościowe (F obj ) są proporcjonalne do objętości elementu, a więc do drugiej potęgi jego charakterystycznego wymiaru (L 3 ), a siły powierzchniowe do powierzchni (L 2 ). Przy L 0 dominują więc te drugie. 1

Siły powierzchniowe to siły ciśnienia i siły tarcia lepkiego, występujące pomiędzy sąsiednimi warstwami cieczy. Z ich natury wynika, że powinno dać się je zapisać w postaci całki po powierzchni zamkniętej (Σ) i zamykającej w sobie rozważany element płynu (V ). Z analizy wektorowej dobrze znamy wzór Ostrogradskiego-Gaussa, opisujący związek pomiędzy całką powierzchniową i objętościową V dive dv = Σ E dσ. (11.2) Zauważmy, że po objętości całkujemy dywergencję wektora a więc skalar, natomiast po powierzchni całkujemy wektor, a więc wielkość, która w całce objętościowej traktowana jest operatorem dywergencji. W przypadku sił działających na element objętości ale przez powierzchnię stosujemy też twierdzenie O-G, ale całka objętościowa jest całką z wielkości wektorowej. Na przykład dla i-tej składowej siły powierzchniowej taka całka objętościowa będzie miała postać F i dv V (opuszczamy już wskaźnik pow ). Aby taka powierzchniowa całka dała się przekształcić zgodnie z naszymi dezyderatami w całkę powierzchniową wektorowa wielkość F i też musi być dywergencją. Reguły rachunku tensorowego wymagają więc aby F i τ ik x k = τ i1 x 1 + τ i2 x 2 + τ i3 x 3. (11.3) W powyższym wzorze, jak i we wszystkich następnych tego podrozdziału, będziemy stosować konwencję sumowania, polegającą na opuszczaniu znaku sumy w przypadku powtarzającego się wskaźnika (powtórzenie jakiegoś wskaźnika w obrębie wzoru oznacza, że automatycznie sumujemy wyrażenie, po tym właśnie wskaźniku). Przy tak określonej i-tej składowej siły możemy zastosować twierdzenie O-G w postaci tensorowej V F i dv = Wyrażenie pod całką powierzchniową V τ ik dv = τ ik dσ k. (11.4) x k Σ τ ik dσ k τ i1 dσ 1 + τ i2 dσ 2 + τ i3 dσ 3 to iloczyn skalarny składowych tensora τ ik (pierwszy wskaźnik ustalony) i wektora dσ = (dσ 1, dσ 2, dσ 3 ) skierowanego elementu powierzchni całkowania Σ. Tak więc, z formalnych dezyderatów zapisania siły powierzchniowej w postaci całki po powierzchni pojawiła się potrzeba istnienia tensora τ ik. Tensor ten to właśnie tensor naprężeń (napięć). Funkcjonuje on z równym powodzeniem (a może i większym) w opisie deformacji sprężystych ośrodków ciągłych. Z równania (11.4) wynika jego prosta interpretacja τ ik to i-ta składowa siły, działającej na element jednostkowy powierzchni, prostopadły do osi k. Warto dokonać prostych rachunków, oswajających nieco z tensorem, z których wyniknie, że tensor ten musi być tensorem symetrycznym. Jeżeli siły działające na daną objętość płynu wyrażają się poprzez całkę powierzchniową to i ich moment musi mieć postać 2

takiej samej całki. Moment sił jego składowa l to iloczyn wektorowy (formalnie: antysymetryczny tensor drugiego rzędu) M l = ɛ lki x k F i (pamiętajmy o regule sumowania!), gdzie ɛ lki to całkowicie antysymetryczny tensor 3. rzędu. Jego składowe są równe zeru jeżeli jakikolwiek z trzech wskaźników powtarza się, +1 dla lki tworzącej parzysta permutację z trójki 123 i 1 dla permutacji nieparzystej. Tak czy inaczej, powinniśmy oczekiwać, że składowa l (gdzie l i, l k, i k momentu siły powinna dać się zapisać w postaci całki ( τil (F i x k F k x i )dv = x k τ ) kl x i dv. V V x l x l Całkę tę, przekształcamy (całkowanie przez części) ( τil x k τ ) kl x i dv = [τ il x k τ kl x i ] dv V x l x l V x l V ( ) x k x i τ il τ kl dv. x l x l Pierwsza z dwóch całek jest całką z dywergencji a więc można ja przekształcić do całki powierzchniowej; druga całka to ( ) x k x i τ il τ kl dv = (τ il δ kl τ kl δ il ) dv = (τ ik τ ki ). V x l x l V V Aby moment siły dał się przedstawić w postaci wyłącznie całki powierzchniowej ostatnia całka musi być równa zeru tensor τ ik jest więc tensorem symetrycznym. Dlatego też, zawsze może być on przedstawiony w odpowiednim układzie układzie osi własnych w którym tylko diagonalne składowe są różne od zera, a składowe poza przekątną główną znikają. Suma składowych diagonalnych jest to tzw. ślad tensora τ ii τ 11 + τ 22 + τ 33 skalarna wielkość, będąca niezmienikiem transformacji 1. 11.1.2 Hydrostatyka Dla płynu w równowadze, tensor naprężeń wyraża się jednoznacznie przez ciśnienie panujące w otoczeniu (nieskończenie małego) elementu cieczy. Z prawa Pascala wynika, że wszystkie trzy składowe tensora (układ osi własnych) są sobie równe. Ponieważ reprezentują one (patrz wyżej) siły działające na jednostkowe powierzchnie, prostopadłe do trzech głównych osi mamy τ 11 = τ 22 = τ 33 = 1 3 τ ii = p (11.5) (ujemny znak, bo siła działa w kierunku przeciwnym do kierunku skierowanego na zewnątrz wektora dσ). 1 Elementy rachunku tensorowego, także w kontekście tensora naprężeń, można znaleźć w wykładzie MMF1 http://www.ftj.agh.edu.pl/ lenda/alg/print.pdf (wersja do druku) i http://www.ftj.agh.edu.pl/ lenda/alg/screen.pdf (przeglądarka). 3

11.1.3 Przypadek ogólny; składowe ścinania W przypadku, kiedy ma czynienia z ruchem względnym warstw płynu tensor τ ik zapisujemy w postaci τ ik = pδ ik + d ik. (11.6) Pierwszy składnik po prawej stronie to przyczynek (do naprężeń) od sił ciśnienia (patrz wyżej) ; drugi tensor d ik związany jest właśnie z ruchem cieczy. Już Newton postulował, że aby ten drugi przyczynek był różny od zera, to pomiędzy przyległymi warstwami płynu musi być pewna różnica prędkości. Na przykład, jeżeli rozpatrywać ruch w kierunku osi 0x (albo x 1 ), możemy mieć do czynienia z pewnym zróżnicowaniem prędkości w kierunku osi 0y (albo x 2 ) i wyrażenie u 1 będzie różne od zera. x 2 Możemy skojarzyć z tym odpowiednią siłę (na jednostkę powierzchni) d 12 = d 21 = µ u 1 x 2, gdzie współczynnik µ jest stałą materiałową i zależy, w pierwszym rzędzie, od rodzaju płynu.tensor d ij jest oczywiście symetryczny, bo stanowi część symetrycznego tensora τ ik ; symetria zresztą wynika z założenia o izotropowych własnościach płynu. Formalnie zapisujemy tensor d ik w postaci nieco bardziej skomplikowanej d ik = 2µ(e ik 1 3 δ ik ), (11.7) gdzie tensor e ik e ik = 1 ( ui + u ) k 2 x k x i to naocznie symetryczny tensor, w którym występują pierwsze pochodne składowych wektora prędkości; natomiast = u i x i = div u = e ii (11.8) to ślad tego tensora (skalar). Dodanie takiego (formalnie przekształconego do wielkości tensorowej mnożnik δ ik ) skalara niewiele zmienia określenie sił (pochodne tensora τ ik ) pozostaje bez zmian. Natomiast tak określony tensor ma ślad (sumę składowych diagonalnych) równy zeru łatwo to sprawdzić, o ile uzmysłowimy sobie że ślad delty Kroneckera (też tensor!) δ ii = 3. Takie zerowanie się dywergencji tensora pozwala na formułowanie dodatkowych wniosków tutaj nie będziemy się nimi zajmować. 11.1.4 Równanie Naviera-Stokesa Powracamy do równania (11.1). Wstawiając do niego masę elementu objętości dv jako ρdv (ρ to oczywiście gęstość) dostaniemy ρdv du i dt = F iρdv + τ ik x k dv, i = 1, 2, 3 (11.9) 4

Rysunek 1: Siły powierzchniowe ciśnienia (a) i lepkości(b) gdzie F i to gęstość sił objętościowych (siła na jednostkę masy), a za siły powierzchniowe podstawiliśmy już z (11.3). Dzieląc przez dv i podstawiając jawną postać tensora naprężeń (wzory 11.7,11.8) dostajemy ρ du i dt = ρf i p x i + x k [ 2µ(e ik 1 ] 3 δ ik ). (11.10) To właśnie równanie nazywamy równaniem Naviera-Stokesa. Dla gęstości ρ stałej w czasie i przestrzeni wynika że divu = u ii = = 0. Mamy wówczas też 2µ e ik x k = µ x k ( ui + u ) ( k 2 u i = µ + ) u x k x i x 2 kk = µ 2 u i k x i x 2 k (wymieniamy szyk liczenia pochodnych mieszanych i jeszcze raz korzystamy z zerowania się dywergencji prędkości). Równanie (11.10) w zapisie wektorowym przybiera wówczas postać ρ du = ρf p + µ u. (11.11) dt 11.1.5 Równanie N-S bez tensorów Czytelnikowi nie czującemu się zbyt pewnie w rachunku tensorowym polecam proste rachunki, z których wynikają te same postacie przyczynków do sił powierzchniowych, które pojawiły się w poprzednim podrozdziale. Siły ciśnienia Tak jak pokazane jest to w części (a) rys. 1 na nieskończenie mały element objętości cieczy, o rozmiarach dxdydz działa z lewej siła o składowej F x (x, y, z) = p(x, y, z)dydz, natomiast z prawej ta sama składowa ma postać F x (x + dx, y, z) = p(x + dx, y, z)dydz. Korzystamy z rozwinięcia w szereg Taylora, zachowując tylko wyrazy nieskończenie małe pierwszego rzędu [ F x = p(x + dx, y, z)dydz p(x, y, z) + p ] x dx dydz. 5

Za ruch w kierunku osi 0x odpowiedzialna jest różnica tych dwóch składowych; ponieważ ruch będzie odbywał się od większego do mniejszego ciśnienia F wypadkowa x = p dxdydz, x (x,y,z) a więc na jednostkę objętości Siły lepkości F wypadkowa x /dv = p. x (x,y,z) Analogicznie możemy wyprowadzić przyczynek do x-owej składowej siły lepkości (część (b) rys. 1). Na dolną podstawę elementu działa ze strony dolnej warstwy płynu zgodnie z założeniem Newtona siła µ u x(x, y, z) dxdy z na górną 2 µ u x(x, y, z + dz) z [ ux (x, y, z) = µ + z z ich różnica odniesiona do elementu o rozmiarach dxdydz to 11.1.6 Pochodna śledcza µ 2 u x (x, y, z) dxdydz. z 2 ] u x (x, y, z) dz dxdy; z Ostatni komentarz dotyczy pochodnej prędkości elementu płynu względem czasu, występującej po lewej stronie równania (11.11). Ta zmiana ma charakter globalny i związana jest zarówno z upływem czasu, jak i przesunięciem się elementu do innego położenia, co również może zmieniać jego prędkość. Formalnie wystarczy obliczyć pochodną prędkości jako pochodną zupełną, pamiętając, że u = u(x, y, z, t) du dt = u t + u dx x dt + u dy y dt + u dz z dt = u t + u x u x + u y u y + u z u z = u + (u )u, t albo w zapisie tensorowym du i dt = u i t + u k u i x k, i = 1, 2, 3. Taka pochodną w żargonie mechaniki ośrodków ciągłych nazywamy pochodną śledczą. 2 Zmiana znaku to konsekwencja 3. zasady dynamiki. Pociągnięty przez dolną warstwę płynu element stara się sam pociągnąć górną warstwę; ta oddziaływuje na niego sił taką samą, ale przeciwnie skierowaną. 6

11.2 Prawo Darcy ego krótki komentarz Prawo Darcy ego 3 wywodzi się z bardzo prostych założeń, dotyczących mechanizmu przepływu płynu przez ośrodek porowaty. (1) Prędkość przepływu jest bardzo mała. Zwykle są to prędkości rzędu kilku centymetrów/dzień chyba, że znajdujemy się w bezpośrednim sąsiedztwie źródła (lub upustu), kiedy taka prędkość może być rzędu 1m/dzień. Ten fakt uprawnia nas do położenia pochodnej śledczej prędkości ( lewa strona równ. N-S) równej zeru. (2) Całkowita siła działająca na element objętości płynu składa się z: grawitacji, sił ciśnienia (zmodyfikowanego bez ciśnienia hydrostatycznego i bez ciśnienia zewnętrznego, np. atmosferycznego) i sił tarcia lepkiego i jest równa zeru (patrz wyżej): ρg p + f tarcie lepkie = 0. (11.12) Otóż założenie Darcy ego polega na przyjęciu, że te ostatnie siły (tarcie lepkie) są proporcjonalne (cały czas odniesione do jednostki objętości) do właściwego wydatku przepływu u objętości cieczy, która przepływa w 1s przez powierzchnię 1m 2, prostopadłą do kierunku û (zauważmy, że jest to wielkość wektorowa; jest to po prostu prędkość transportu płynu w ośrodku). Jeżeli wprowadzić pojęcie prędkości średniej płynu w ośrodku v, to te dwie wielkości są powiązane z sobą poprzez porowatość ośrodka ɛ u = ɛv. (11.13) Założenie Darcy ego to f tarcie lepkie = µ k u (11.14) (µ lepkość płynu; k przepuszczalność (permeability) ośrodka, wielkość której definicja wynika właśnie z powyższego równania). Tak więc uwzględniając siły tarcia lepkiego według pomysłu Darcy ego w równaniu (11.12) mamy ρg p µ u = 0. (11.15) k albo u = k [ρg p]. (11.16) µ Dla pola sił ciężkości g(0, 0, g) trzy składowe skalarnego tego równania to u x = k p µ x, u y = k p µ y, u z = kρg ( µ z [ z + p ]) ρg 3 Henri Darcy, francuski inżynier-hydrolog. W połowie 19. wieku nadzorował prace związane z zaopatrzeniem w wodę miasta Dijon, stolicy francuskiej Burgundii. 7

Pierwsze dwa z powyższych równań to równanie pojawiające się w książce Clarka; trzecie w zasadzie też, jeżeli za P (u Clarka) podstawimy całkowite ciśnienie (modyfikowane + hydrostatyczne). Hydrolodzy wprowadzają jeszcze jedną stałą, zapisując trzy równania w notacji wektorowej u = κ grad Φ, (11.17) gdzie to tzw. przewodność hydrauliczna, a Φ = κ = kρg µ ( p ρg, p ρg, z + p ). (11.18) ρg Trzecia składowa Φ z to tzw. wysokość słupa wody gruntowej wysokość na jakiej ustala się poziom wody, w otwartej pionowej rurze, liczony względem (dowolnie wybranego wszystko jest pod znakiem gradientu!) poziomu odniesienia. Rysunek 2: Wysokość słupa wody gruntowej wzór 11.18. W powyższych rozważaniach zapomnieliśmy o ciśnieniu zewnętrznym (atmosferycznym). Oczywiście, jeżeli ono występuje to wysokość słupa wody gruntowej będzie odpowiednio (o ca. 10 m) mniejsza. Ale b.często ciśnienie zewnętrzne jest pomijane transport wód podziemnych odbywa się w izolacji od wpływów zewnętrznego ciśnienia atmosferycznego. 11.3 Turbulencja charakterystyka ogólna 11.3.1 Podstawowe pojęcia turbulencji przepływów Uwaga: zamieszczony w tym podrozdziale materiał to praktycznie in extenso wstęp do podręcznika Turbulencja przepływów J.W. Elsnera, PWN, 1987 Warszawa. 8

Turbulencja jest najbardziej powszechnym zjawiskiem obserwowanym w przytłaczającej większości przepływów występujących w przyrodzie i interesujących nas pod względem technicznym. Turbulentne są międzygwiezdne chmury gazowe i wiatr słoneczny, ruchy powietrza atmosferycznego i wód oceanicznych, przepływy w kanałach, warstwach przyściennych, strugach dyszowych czy też w śladach aerodynamicznych opływanych ciał. Turbulencja jest, więc zjawiskiem interesującym astrofizyków i meteorologów, inżynierów budownictwa przemysłowego i wodnego, specjalistów z zakresu maszyn przepływowych, aparatury chemicznej, ochrony środowiska, transportu lotniczego, lądowego i wodnego oraz wielu innych dziedzin. Turbulencja ma więc charakter interdyscyplinarny w najszerszym tego słowa znaczeniu i jako zjawisko występujące w trakcie ruchu cieczy i gazów stanowi przede wszystkim jeden z najbardziej dynamicznie rozwijających się w ostatnich latach działów mechaniki płynów. Turbulencja jest dziedziną stosunkowo młodą, która kształtować się zaczęła dopiero w XIX wieku. Pierwsze obserwacje przepływów turbulentnych zawdzięcza się Hagenowi (1839 r.), który badając przepływ wody w rurze o przekroju kołowym stwierdził istnienie dwóch odmiennych rodzajów ruchu o charakterze zależnym od prędkości płynu U i jego lepkości ν. Dopiero jednak w kilkadziesiąt lat później (1883 r.) O. Reynolds wprowadził pojęcie bezwymiarowej wielkości kryterialnej U d/ν, która nazwana później na jego cześć liczbą Reynoldsa pozwoliła na bardziej precyzyjne rozgraniczenie obu typów przepływu. Termin przepływ turbulentny zaproponowany został w 1887 r. przez lorda Kelvina, który określenie to wprowadził na stałe do zbioru podstawowych kategorii pojęciowych mechaniki płynów. Definicja Jaka jest jednak definicja turbulencji, tego tak wszechobecnego w przyrodzie zjawiska? Według sformułowanego w 1937 r. określenia Taylora i von Kármána przepływ turbulentny charakteryzuje się nieregularnym i nieuporządkowanym ruchem cząstek płynu, występującym w sąsiedztwie ciał stałych lub też pojawiającym się w strefie mieszania dwóch sąsiednich strug tego samego płynu. Definicja ta nie może być jednak uznana za kompletną i obecnie wystarczająco ścisłą ze względu na istnienie szeregu przepływów nieregularnych, które nie należą jednak do rodziny przepływów turbulentnych. Według określenia Frosta i Mouldena termin turbulentny jest synonimem słowa chaotyczny, w chaosie bowiem zawarte są główne cechy tego ruchu. Często stosowany termin, ruch przypadkowy nie jest właściwy, jeżeli bowiem założymy, że fluktuacje jednej ze składowych prędkości chwilowej mają charakter przypadkowy, to fluktuacje pozostałych składowych nie są już przypadkowe, lecz wynikają z równania ciągłości. Charakter turbulencji Przy dostatecznie dużych wartościach Re rozwinięty 4 ruch turbulentny charakteryzują nadzwyczaj nieuporządkowane zmiany prędkości w czasie w każdym punkcie przepływu, przy czym ta sama nieuporządkowana zmiana prędkości ujawnia się przy przejściu od 4 Przez rozwinięty ruch turbulentny rozumiemy taki rodzaj ruchu płynu, w którym uzewnętrzniają się w pełni wszystkie, wymienione niżej, znamienne cechy turbulencji. 9

jednego do drugiego punktu wypełnionej płynem przestrzeni. Właściwość tę najlepiej, jak się wydaje, wyraził Hinze, podkreślając jednocześnie możliwość opisu nieuporządkowanego ruchu płynu za pomocą praw prawdopodobieństwa. Zgodnie ze sformułowaną w pracy [1975 r.] definicją, przepływ turbulentny jest więc nieuporządkowanym ruchem płynu, w którym wszystkie charakteryzujące go wielkości fizyczne wykazują losową zmienność w czasie i w przestrzeni i mogą być opisane za pomocą odpowiednio uśrednionych momentów statystycznych. Podkreślenie losowej zmienności parametrów przepływu w czterowymiarowej czasoprzestrzeni jest niezwykle istotne, wskazać bowiem można na istnienie przepływów, w których prędkość i ciśnienie wykazują losowy charakter tylko w czasie lub tylko w przestrzeni i które w związku z tym nie mogą być zaliczone do klasy przepływów turbulentnych. Integralną właściwością ruchu turbulentnego jest wreszcie występowanie w nim całej galaktyki wirów o rozmiarach zmieniających się w sposób ciągły od największych do najmniejszych skal co wskazuje na istnienie szerokiego zakresu charakteryzujących przepływ liczb falowych. Wszystkie wymienione wyżej specyficzne właściwości turbulencji wzięte łącznie pozwalają dopiero według Cebeciego [1974] na pełne i poprawne opisanie zjawiska. Tennekes i Lumley [1972] podkreślają ponadto, że znamienną cechą turbulencji jest również jej trójwymiarowy i dyfuzyjny charakter, który przejawia się w drastycznej intensyfikacji wszystkich zachodzących w przepływie procesów transportu. Jest to efektem złożonego ruchu wirów, które przenoszą pęd. masę i ciepło z jednego do drugiego punktu przepływu, przy czym uprzywilejowany kierunek tego transportu pokrywa się zawsze z maksymalnym gradientem danej wielkości średniej. Jak już wspomniano, w przepływie turbulentnym biorą udział wiry o różnej skali i energii. Właściwości wirów największych o najniższych częstotliwościach określane są przez warunki ruchu średniego, z którego pobierają one swą energię i przekazują ją następnie wirom o coraz mniejszej skali. Im mniejszy jest rozmiar wiru, tym większy jest gradient prędkości w wirze i tym większe naprężenia styczne, które przeciwdziałają ruchowi wirowemu. Jednocześnie zmniejsza się zależność od warunków ruchu średniego, rośnie zaś wpływ lepkości, która powoduje ostatecznie dysypację energii wirów o najdrobniejszych występujących w przepływie skalach. Tak więc w każdym ruchu turbulentnym istnieje skończony ciąg rozmiarów wirów. Największe z nich uwarunkowane są charakterystyczną skalą ruchu średniego, jak na przykład promieniem rurociągu, czy też grubością warstwy przyściennej. Rozmiary wirów najmniejszych określone są zaś wpływem lepkości, przy czym przy innych warunkach stałych ich skale maleją ze wzrostem liczby Reynoldsa. W przepływach turbulentnych zaobserwować można ponadto istnienie pewnego ciągu periodycznie powtarzalnych struktur wirowych dużej skali, znanych obecnie pod nazwą struktur koherentnych. Obecność ich była już wprawdzie odnotowana w pracach Nikuradsego (1929 r.) i Prandtla (1933 r.), jednakże do niedawna nie zwracano na nie większej uwagi. Dopiero zastosowanie bardziej subtelnych metod wizualizacyjnych pozwoliło na ujawnienie jakościowego charakteru uporządkowanych struktur wirowych. Na szczególną uwagę zasługuje jednak w tym zakresie seria badań, które w pierwszej połowie lat siedemdziesiątych przeprowadzili Brown i Roshko. Im też według opinii Zamana i Hussaina zawdzięczać należy pierwszy, wyczerpujący opis struktur koherentnych. Należy zauważyć, że struktury te nie mogą być wykrywane za pomocą konwencjonal- 10

nych metod termoanemometrycznych z zastosowaniem klasycznej procedury uśredniania czasowego, ponieważ w trakcie tej procedury zgubiona jest znaczna część informacji o charakterze mierzonej wielkości. Umożliwia to rozwinięta w ostatnich latach technika warunkowego uśredniania sygnałów napięciowych czujnika pomiarowego (conditional sampling technique), dzięki której dysponuje się już obecnie bardziej szczegółowymi danymi ilościowymi o charakterze i o właściwościach struktur koherentnych. Zagadnienie struktur koherentnych jest nadal problemem otwarty w zgodnym przekonaniu większości autorów są one w znacznym stopniu odpowiedzialne za występujące w przepływie turbulentnym procesy wymiany masy, pędu i ciepła. Transfer energii Ogólny schemat transportu energii z ruchu średniego przez kaskadę wirów o stopniowo malejących skalach przedstawiony został przez Richardsona we wczesnych latach dwudziestych. Poetycka forma opisu tego procesu wyrażona została w oryginale słowami: Big whorls have little whorls, that feed their velocity; Little whorls have lesser whorls, and so on to viscosity (in the molecular sense). AUTHOR: Jonathan Swift (1667 1745) So, naturalists observe, a flea Has smaller fleas that on him prey; And these have smaller still to bite em; And so proceed ad infinitum. Jakościowy schemat Richardsona i zaobserwowana właściwość drobnych wirów, które wraz z malejącą skalą tracą stopniowo swą indywidualność, doprowadziły Kołmogorowa we wczesnych latach czterdziestych do sformułowania teorii lokalnej izotropii turbulencji, występującej w przepływach o dostatecznie dużych liczbach Reynoldsa. Ustalony ruch turbulentny wymaga dla swego podtrzymania nieustannego dopływu energii z zewnątrz. Energia ta doprowadzana jest z przepływu średniego wskutek oddziaływania naprężeń stycznych, które ujawniać się mogą nawet w bezgradientowym polu konwencjonalnie określonej prędkości średniej. Klasycznym przykładem jest tu warstwa przyścienna, na której granicy przepływ ma silnie intermitentny 5 charakter, wywołany istnieniem struktur koherentnych o znaczącym udziale we wszystkich procesach turbulentnego transportu. Obecność tych struktur nie może być jednak wykryta wówczas, gdy czas uśredniania prędkości chwilowej jest wielokrotnie dłuższy od skali czasowej największych wirów. Jeżeli brak jest zewnętrznych źródeł energii do ciągłej generacji ruchu turbulentnego i pokrycia ubytku energii wywołanego jej dysypacją, ruch ten będzie stopniowo zanikać. 5 tzn. podlegający czasowym okresowym lub nie zawieszeniom, albo zatrzymaniom, albo zmieniający również nieregularnie charakter. Słowo intermitencja nie należy do słownictwa polskiego, choć bywa używane w żargonie naukowym. Określa ono proces, który doznaje regularnych, bądź raczej nieregularnych aktów zatrzymania lub jakościowej zmiany; długość takich przerw ma charakter losowy. A.L. 11

Turbulencja a lepkość; parametry uśrednione Wpływ lepkości wyraża się w tendencji do ujednorodnienia struktury turbulencji i zmniejszenia jej właściwości kierunkowych. W skrajnym przypadku turbulencja osiąga ilościowo taką samą strukturę we wszystkich punktach przepływu, przy czym prędkość średnia jest również stała w przestrzeni. Turbulencję taką, w której uśrednione statystycznie wielkości są niezależne od położenia, nazywamy turbulencją homogeniczną. Jeżeli dodatkowo wielkości te pozostają stałe przy obrocie osi współrzędnych układu odniesienia i nie wykazują preferencji żadnego z możliwych kierunków w przestrzeni, to turbulencja taka nosi nazwę izotropowej. Ze względu na niezwykłą złożoność turbulencji, jej ścisła teoretyczna analiza napotyka nieprzezwyciężone trudności. Ruch turbulentny nawet w ustalonym, jednorodnym i jednowymiarowym przepływie średnim ma zawsze charakter przestrzenny i opisywany jest nierozwiązywalnym w ogólnym przypadku układem nieliniowych cząstkowych równań różniczkowych o czterech zmiennych niezależnych: x 1, x 2, x 3, t. Czas jako parametr ruchu musi być bezwzględnie włączony. ponieważ w każdym punkcie przestrzeni fluktuacje wszystkich charakteryzujących przepływ wielkości fizycznych mają zgodnie ze swą naturą charakter nieustalony. Mamy tu więc typowy przykład paradoksalnej sytuacji, w której zachodzi dysproporcja między zdolnościami człowieka do formułowania równań opisujących badane zjawisko a możliwościami ich rozwiązania. Turbulencja stanowi cechę ruchu o tak wielkiej liczbie stopni swobody, że próby przyporządkowania każdej cząstce płynu odpowiednich warunków początkowych byłaby nierealna i fizycznie bezsensowna. W każdym punkcie przepływu i w każdej chwili chwilowe wartości ciśnień czy składowych prędkości nie są znane ściśle, lecz najwyżej z pewnym prawdopodobieństwem. Dla pełnego opisu przepływu nie wystarczają jednak indywidualne rozkłady prawdopodobieństwa poszczególnych wielkości. Wymagana jest również znajomość rozkładów wielowymiarowych zmiennych losowych, niezbędna do określenia prawdopodobieństwa występowania dowolnych koniunkcji tych wielkości w różnych punktach przepływu i w różnych chwilach. Ponieważ pełny zbiór takich rozkładów nie jest obecnie znany, dlatego też teoretyczna analiza turbulencji w małym stopniu wykorzystuje prawa prawdopodobieństwa i koncentruje się zwykle na jej opisie w języku średnich korelacyjnych. Poza szczególnym przypadkiem wykrywania struktur koherentnych nie jesteśmy w badaniach turbulencji zainteresowani analizą ruchu poszczególnych cząstek płynu czy też indywidualnych struktur wirowych. Uwaga skoncentrowana zostaje wyłącznie na odpowiednich, statystycznie uśrednionych wielkościach, które charakteryzują przepływ turbulentny. Dlatego też przy opisie turbulencji stosuje się procedurę uśredniania równań ciągłości, ruchu i energii, która w efekcie przekształca je jednak w układ niezamknięty. Ponieważ liczba niewiadomych staje się większa od liczby stojących do dyspozycji równań, uzupełnione być one muszą przez jedną. lub kilka hipotez zamykających, które pozwalają na sformułowanie odpowiedniej liczby brakujących związków. Problem niezamkniętości równań Konstrukcja hipotez zamykających (closure problems) stanowi jeden z najtrudniejszych, wciąż aktualnych i perspektywicznie ważnych problemów współczesnej teorii przepływów 12

turbulentnych. Istniejące metody opierają się na spekulatywnych modelach turbulencji formułowanych czasem na podstawie równań zachowania, czasem zaś opartych na analizie wymiarowej lub po prostu intuicji i niemających w gruncie rzeczy przekonywającego, fizykalnego uzasadnienia i głębszych, racjonalnych podstaw. Szczególną rolę odegrała w swym czasie koncepcja lepkości turbulentnej ν T, oparta na założonej przez Boussinesqa liniowej zależności między tensorem naprężeń Reynoldsa a tensorem prędkości deformacji ruchu średniego oraz różne formy hipotez drogi mieszania l m Prandtla i Taylora, stanowiących analogię do pojęcia drogi swobodnej w teorii kinetycznej gazów. Podobieństwo to rzeczywiście istnieje, jednakże analogia nie jest doskonała, ponieważ sumaryczna energia poruszających się molekuł gazowych jest niezmienna w czasie podczas gdy energia struktur wirowych ulega zawsze rozproszeniu wskutek dysypatywnego wpływu lepkości. Hipoteza drogi mieszania jest zresztą, jak wykazano obecnie niekompletna i wewnętrznie sprzeczna, jednak, podobnie zresztą jak i koncepcja Boussinesqa, z zadziwiającą dokładnością opisuje pole prędkości średniej w szerokiej klasie przepływów turbulentnych. Wadą obu wspomnianych metod jest konieczność posiadania empirycznych informacji o przestrzennych rozkładach ν T lub l m, które powinny być dostosowane do każdego indywidualnego przypadku. Obecnie znamy już szereg modeli turbulencji: algebraicznych, jedno-, dwu-, czy wreszcie wielorównaniowych, których przeglądowi poświęcona została między innymi obszerna monograficzna praca Laundera i Spaldinga. Niesłabnące zainteresowanie tym problemem doprowadzić może w niedalekiej przyszłości do skompletowania biblioteki matematycznych modeli turbulencji, odpowiadających potrzebom większości spotykanych w praktyce klas przepływów. Ich wykorzystanie połączone z zastosowaniem odpowiednio dużych i szybkich maszyn liczących pozwala optymistycznie ocenić perspektywy rozwojowe numerycznej mechaniki przepływów turbulentnych. Już obecnie w tym i w ośrodkach krajowych istnieje w wielu wypadkach możliwość zastąpienia badań doświadczalnych procesem obliczeń komputerowych opartych na odpowiednich algorytmach numerycznych i właściwie dla danego przepływu dobranym modelem turbulencji. Pesymistycznie zaś należy ocenić możliwość sformułowania modelu uniwersalnego, który byłby dostatecznie ścisły dla wszystkich możliwych klas przepływów turbulentnych. Ewidencja eksperymentalna Ze względu na przedstawione wyżej trudności w teoretycznej analizie przepływów turbulentnych szczególnie duży udział w procesie ich poznawania miały, mają i nadal mieć będą metody eksperymentalne. Ich gwałtowny, jakościowy rozwój związany był z wprowadzeniem do techniki pomiarowej w latach czterdziestych termo-anemometru z grzanym czujnikiem, a w latach sześćdziesiątych dopplerowskiej anemometrii 6 laserowej. Obie te metody, doskonalone nieprzerwanie dzięki postępowi nowoczesnej elektroniki, zapewniają możliwość pomiaru szeregu niezwykle złożonych wielkości fizycznych, charakteryzujących przepływy turbulentne. Zebrana za ich pomocą olbrzymia ilość informacji szczegółowych stwarza jednocześnie bazę wyjściową dla udoskonalonych modeli turbulencji następnej generacji, weryfikowaniem z kolei przez doświadczenie w procesie sprzężenia zwrotnego 6 Z greckiego anemos wiatr. Anemometria to dział metrologii, poświęcony pomiarom prędkości płynów: gazów i cieczy. 13

między teorią a eksperymentem. Tak więc w ciągu zaledwie stu lat turbulencja ukształtowała się jako odrębna, wyspecjalizowana gałąź mechaniki płynów, wyposażona w odpowiednie metody badań teoretycznych i własną, bogatą bazę instrumentalną. Ich harmonijny rozwój zapewnia coraz głębszą znajomość wewnętrznej struktury przepływów turbulentnych i umożliwia coraz pełniejszy opis towarzyszących im zjawisk. Jako kompleks zagadnień, turbulencja pozostaje jednak nadal jednym z najtrudniejszych i nierozwiązanych dotąd w pełni problemów współczesnej fizyki. 11.4 Turbulencja kilka uwag ilościowych 11.4.1 Tensor naprężeń Reynoldsa interpretacja Tensor (wzór 5.71) t0 +T τ ik = ρu i(t)u k(t) = ρ 1 u T iu k dt (11.19) t 0 to tensor strumienia pędu, związany z przepływem turbulentnym. Wyobraźmy sobie element powierzchni, da, którego wektor normalny ma kierunek osi 0x j, a który to element przemieszcza się z prędkością u i. Objętość płynu, która w wyniku turbulencji (fluktuacji prędkości) przechodzi przez nasz element w czasie dt to (przypomnijmy sobie wyprowadzenie równania ciągłości) dv = u jdtda. W takiej objętości, składowa (uśredniona) i-ta pędu jest równa dp i = ρdv u i = ρu ju i dtda. Tak więc, tensor naprężeń Reynoldsa to gęstość pędu. Konkretnie, jego składowa (i, j) to ilość składowej i pędu, przechodzącego w ciągu 1s, przez jednostkową powierzchnię, prostopadłą do osi j, równa ρu ju i = ρu j(ūi + u i) = ρu ju i. 11.4.2 Przepływ w kanale o przekroju prostokątnym; model długości mieszania Jest to bardzo uproszczony przypadek, ilustrowany u Clarka na rysunku 5.9. Warto go prześledzić ilościowo. Mimo, że zastrzegamy się zawsze, że turbulencja jest procesem przestrzennie 3-wymiarowym, to w przypadku w pełni rozwiniętego przepływu w głębokim kanale, możemy próbować rozpatrzyć zagadnienie w dwóch wymiarach. Przepływ następuje w kierunku osi 0x, szerokość kanału jest mierzona wzdłuż osi 0y ta ostatnia współrzędna zmienia się od y = 0 do y = h. Przepływ w pełni rozwinięty odpowiada sytuacji, kiedy w kierunku przepływu (narzuconego przez więzy zewnętrzne) uśrednione momenty prędkości (a więc i funkcje korelacji) pozostają stałe. Mamy tylko jedną, różną od zera, składową prędkości średniej Ū = (Ū(y), 0, 0); natomiast składowe fluktuacji prędkości oznaczmy dla prostoty u 1 u; u 2 v. 14

W równaniu (5.67) lewa strona jest, dla składowej x-owej i y-owej, równa zeru (może warto to samemu sprawdzić?). Prawe strony to 0 = p x + 0 = p y ρ dv2 dy d ( µ dū ) dy dy ρuv, (11.20) (11.21) (Zamiast pochodnych cząstkowych pojawiły się pochodne zwyczajne właśnie ze względu na wspomniany brak zależności momentów prędkości od x.) Biorąc pochodną względem x obu równań dostajemy x p x = y p x = 0, co oznacza, że spadek średniego ciśnienia wzdłuż osi x jest wszędzie taki sam (dla każdego x i y!). Możemy to zapisać w postaci Równanie (11.21) p(x, y) p(x + L, y) = p(x, 0) p(x + L, 0). (11.22) 0 = p x + d ( µ dū ) dy dy ρuv całkujemy względem zmiennej y, w granicach od y = 0 do określonego y, przy ustalonym x. Daje to p(x, y) = C ρv 2 (y) = p(x, 0) ρv 2 (y) (11.23) stała całkowania C = p(x, 0), ponieważ v 2 (y = 0) = 0 (na ścianie kanału fluktuacje są równe zeru). Równanie (11.23) wskazuje na istnienie antykorelacji: średniego ciśnienia i średniej fluktuacji składowej y-owej fluktuacji prędkości. Ciśnienie zmienia się więc na przekroju kanału w przepływie laminarnym ciśnienie na przekroju kanału (określone x) jest stałe! Równanie (11.20) całkujemy: najpierw, względem zmiennej y, w granicach od y = 0 do y = h, a następnie względem zmiennej x, w granicach od x = 0 do x = L. Daje to (pamiętajmy, że na ściankach średnie fluktuacje prędkości są równe zeru) [ p(0, y) p(l, y)] h = Lµ dū dy bo z symetrii średniego (!) przepływu wynika Lµ dū dy Lµ dū = 2 Lµ dū, y=h dy y=0 dy y=0 = Lµ dū. y=h dy y=0 Zapisujemy to skrótowo h p = 2τ 0 L, (11.24) 15

gdzie p = [ p(0, y) p(l, y)] = [ p(x, 0) p(x + L, 0)] = L p x (korzystamy tu z (11.22)); natomiast τ 0 = µ dū dy (11.25) (11.26) y=0 to naprężenie ścinania przy ścianie kanału. Równanie (11.24) pokazuje, że w przepływie ustala się równowaga pomiędzy siłami pochodzącymi od średniego ciśnienia i naprężeniem ścinania przyściennego (stąd indeks 0, nawiązujący do definicji prędkości tarcia u Clarka wzór 5.78). Z wzorów (11.25) i (11.24) wyliczymy p x = 2 h τ 0, podstawiamy do (11.20) i całkujemy względem y od zera do pewnego y: µ dū ( dy ρuv = τ 0 1 2y ). (11.27) h Ten właśnie wynik liniowy wzrost całkowitego naprężenia ścinania (będącego sumą przyczynków od lepkości i turbulencji) pokazany jest na rys.5.9 w tłumaczeniu Clarka. Naprężenia są równe zeru w centrum kanału (prawy kraniec osi poziomej rysunku (b), rosną liniowo gdy zbliżamy się do ściany kanału (wszystko jedno której). Dokładniejsze obliczenia pozwalają rozdzielić przyczynki turbulencyjne od przyczynków lepkich; jak to wynika z rysunku 3 te ostatnie są znaczące tylko w bezpośrednim sąsiedztwie ścian. Możemy to dokładniej zobaczyć także na rys.3, na którym zależność: sumarycznego, turbulencyjnego i lepkiego τ od odległości od ściany kanału pokazana jest, przy wprowadzeniu pewnej normalizacji wielkości opisujących przepływ. Rysunek 3: Przepływ w kanale. Przyczynki: turbulencyjny (prawy rysunek) i lepki (lewy rysunek) do całkowitego naprężenia ścinania (linia prosta) dwa wyniki symulacji (różne liczby Reynoldsa): krzywe ciągłe i przerywane 16

W końcu warto zauważyć, że jeżeli zaniedbać w równaniu (11.27) Reynoldsowski wyraz ρuv otrzymamy dobrze nam znane równanie Hagena-Poiseuille a, które potrafimy prosto scałkować. Prowadzi to do parabolicznego profilu prędkości (linia przerywana na rys.4). Scałkowanie kompletnego równ. (11.27) wymaga dodatkowych założeń, związanych z problem zamknięcia równań. Niemniej jednak, typowy profil prędkości jest zamieszczony na rysunku 4 (linia ciągła) wyniki zostały uzyskane metodami symulacji numerycznej. Rysunek 4: Średnia prędkość (znormalizowana do prędkości uśrednionej po wysokości kanału) w przepływie w kanale, w funkcji odległości od centrum kanału. Linia ciągła przepływ turbulentny; linia przerywana przepływ laminarny cieczy lepkiej (Wzór H-P). Powyżej wykazaliśmy, że całkowite naprężenie w przepływie turbulentnym to µ dū dy ρuv. Czy te dwa przyczynki lepki i turbulentny mogą się unicestwić? Otóż, nie. Wystarczy wyobrazić sobie cząstkę płynu, znajdującą się w dolnej połowie kanału (y < h/2), której y-owa fluktuacja prędkości jest dodatnia, v > 0. Cząstka przesuwa się ku górze, z warstwy której średnia prędkość Ū(y) była mniejsza, do warstwy o większej prędkości średniej. Powoduje to opóźnienie ruchu płynu w kierunku osi 0x (do szybszej warstwy wpycha się maruder z wolniejszej warstwy), a więc fluktuacja x-owa prędkości będzie ujemna u < 0. Iloczyn uv będzie dodatni będzie miał taki sam znak jak dū. Podobny wynik dy dostaniemy rozważając ruch cząstki w dół (v < 0), a także rozważając oba scenariusze dla cząstek w górnej połowie kanału (y > h/2). Właśnie stąd powstaje pomysł (por. wzór 5.69) że 1 ρ τ xy = uv = µ t ρ 17 dū dy = ν t dū dy, (11.28)

gdzie ν t (µ t ) to lepkość turbulencyjna, która nie jest własnością płynu, ale przepływu. Aby uzyskać jakieś ilościowe wyniki, odwołujemy się do modeli u których podstaw leży analiza wymiarowa oraz tzw. natchniona intuicja fizyczna. Z równania (11.28) wynika, że lepkość turbulencyjna ma wymiar m 2 /s, a jeżeli tak to możemy postulować ν t = UL, gdzie U i L są pewną charakterystyczną prędkością i długością. Ta pierwsza, U, będzie dū związana z wartością bezwzględną stała proporcjonalności między nimi ma wymiar dy długości. Próbujemy ν t = L 2 dū dy. (11.29) Równolegle, próbujemy skojarzyć iloczyn fluktuacji prędkości uv ( wymiarowo jest to naprężenie na jednostkę powierzchni, podzielone przez gęstość płynu) z naprężeniem przy samej powierzchni ograniczającej przepływ, τ 0, które wyrażamy poprzez prędkość tarcia u (por. 5.78) τ0 u = ρ. Te dość intuicyjne i prawdę mówiąc, nie dla każdego do końca przekonywujące rozważania prowadzą do równania, które i tu jest dla mnie słaby punkt obowiązuje zarówno blisko ścianek kanału (gdzie dominują efekty lepkości), jak i dość daleko od ścianek gdzie efekty (naprężenia) lepkie są zupełnie do zaniedbania w porównaniu z efektami (naprężeniami) turbulencyjnymi. Właśnie dla tej drugiej sytuacji przyrównujemy całkowite naprężenie (podzielone przez ρ), praktycznie równe Reynoldsowskiemu, do u 2 dū = uv = ν t dy = L2 Następny krok, to przyjęcia za von Kármánem dū dy dū dy. (11.30) L = κy, (11.31) (κ 0, 4 stała Kármána co tłumaczymy tym, że wpływ turbulencji będzie bardziej odczuwalny jeżeli odsuwamy się od ściany, przy której dominuje lepkość, natomiast przy samej ścianie (y = 0) wpływ turbulencji jest zerowy (fluktuacje prędkości są równe zeru). Równanie (11.30) przyjmuje więc postać a jego rozwiązanie to u 2 = κ 2 y 2 dū dy dū dy, (11.32) U(y) = u κ ln y y 0. (11.33) Występujące w nim y 0 oznacza oczywiście pewną wysokość nad powierzchnią ścianki kanału, na której prędkość średnia praktycznie staje się równa zeru. Równanie (11.32) jest mocno eksploatowane w praktyce (por. zad. 5.19 Clarka). 18

Przyrównanie w równaniu (11.30) kwadratu prędkości tarcia do tensora naprężeń Reynoldsa było równoznaczne pominięciem efektów lepkości wobec efektów turbulencji (całe naprężenie jest naprężeniem turbulencyjnym ). Analogicznie, w bezpośrednim sąsiedztwie ściany, tzw. warstwie lepkiej, dla której y 0 możemy skojarzyć kwadrat prędkości tarcia z (podzielonym przez gęstość) naprężeniem lepkim u 2 = µ ρ dū dy = ν dū dy. (11.34) To proste równanie różniczkowe całkujemy, z warunkiem Ū(0) = 0 i otrzymujemy jeszcze prostszy związek Ū(y) = u2 y, (11.35) ν który obowiązuje jednak tylko w bezpośrednim sąsiedztwie ograniczającej przepływ ściany, tzw podwarstwie lepkiej. Tłumaczy ono kształt obwiedni (liniowy, nie paraboliczny) pola średniej prędkości w przepływie turbulentym (w sąsiedztwie ścianek), a także wyjaśnia rolę prędkości tarcia u jako wielkości, która rządzi polem prędkości w obszarze, w którym dominuje tarcie. W przypadku przepływów ograniczonych ścianami charakterystyczne jest właśnie to, że przy samej ścianie całe naprężenie jest naprężeniem lepkim ( ) d Ū τ 0 = ρν. (11.36) dy y=0 Jest to zupełnie inna sytuacja niż w turbulentnym przepływie swobodnym (bez ograniczających powierzchni), kiedy przy liczbach Reynoldsa Re 2000 naprężenie turbulencyjne usuwają wszędzie w cień naprężenia lepkie. Ponieważ τ 0 to siła oporu na jednostkę powierzchni (F op /A) można przypomnieć sobie wzór Newtona 2.3 F op = 1 2 C opρ pl U 2 A, wiążący siłę oporu (na jednostkę powierzchni) z kwadratem prędkości. Dla przepływów turbulentnych w kanałach definiuje się współczynniki oporu naskórkowego τ 0 c f = albo (11.37) 1/2ρŪcl τ 0 C f = (11.38) 1/2ρ < Ū >, gdzie Ūcl to średnia prędkość w środku kanału (y = h/2), natomiast < Ū > to składowa średniej prędkości uśredniona po całej szerokości (wysokości) kanału. Opisany powyżej przepływ w kanale to przykład zastosowaniu modelu długości mieszania do niedomkniętych równań N-S, zawierających człony turbulentne (tensor naprężeń Reynoldsa). Hipoteza Kármána (11.31) jest szalenie prosta, ale nieźle sobie radzi z całą klasą nieskomplikowanych przepływów. Dla tych bardziej skomplikowanych specyfikacja długości mieszania następuje w wyniku zarówno ewidencji doświadczalnej (dopasowywanie parametrów modelu do wyników pomiarów) jak i modelowania numerycznego. Co więcej, model długości mieszania znajduje także zastosowanie (choć mocno ograniczone) w opisie turbulentnych przepływów swobodnych. 19

Model k ɛ Obie wielkości, poprzez które wyliczamy lepkość wirów, spełniają w kontekście modelu pewne równania, będące znowu sumą pewnych koncepcji fizycznych i ewidencji doświadczalnej. Są to generalnie typu równania dyfuzji (z członem niejednorodnym), zawierające w sobie kilka semi-empirycznych stałych (zwykle 4; piąta stała to stała C k ɛ w równ.(5.79). Można ten model oceniać jako prosty (czytaj: mocno uproszczony), ale jednocześnie kompletny opisujący bardzo szeroką gammę procesów. Wartości stałych modelu są (nieco) adjustowane w zależności od typu turbulencji. Co ciekawe jeszcze do niedawno równania modelu dla ɛ nosiły charakter czysto empirycznych; w drugiej połowie lat 90-tych pojawiły się prace, których autorzy wyprowadzają te równania z... równań Navier-Stokesa. 11.4.3 Hipotezy Kołmogorowa; hierarchia wirów i kaskada energii Rysunek 5: Rozmiary kaskady wirów w przepływie turbulentnym (skala logarytmiczna!) i stowarzyszone z nimi obszary turbulencyjne. Ideę kaskady energii wprowadził do opisu turbulencji Richardson (1920-ste). Według tej idei, kinetyczna energia (od zewnętrznych czynników, napędzających turbulencję) wnika do turbulencji w obszarze wirów o największych rozmiarach. Ta energia jest przekazywana (poprzez procesy nie-lepkie!) wirom o coraz to mniejszych wymiarach (mniejszej skali); dopiero w momencie rozdziału energii pomiędzy najmniejsze wiry rozpoczyna się proces dysypacji energii, zachodzący na skutek efektów lepkości. Rozważamy w pełni rozwinięty przepływ turbulentny, dla dużych wartości liczby Re = U L /ν (kilka tysięcy); U charakterystyczna (średnia) prędkość, L charakterystyczna długość. Kaskada wirów składa się z wirów o różnych wartościach charakterystycznego wymiaru l i charakterystycznej prędkości u = u(l). Z tymi dwoma skalami: długości i prędkości związana jest skala czasu: T = T (l) = l/u. Mówiąc o rozmiarach wiru mamy na myśli pewien obszar przestrzeni, w którym zlokalizowany jest wir i w którym charakter wiru jest w miarę jednorodny. Taki obszar, zawierający duży wir może jednocześnie zawierać cały szereg mniejszych wirów. 20

Wiry o największych rozmiarach mają skalę długości l 0, porównywalną ze skalą samego przepływu; z kolei ich charakterystyczna prędkość u 0 = u 0 (l 0 ) jest rzędu średniej prędkości kwadratowej turbulencji u, związanej z energią kinetyczną fluktuacji turbulencji [por. 5.79] k: k = 1 2 u iu i = 1 2 (u2 1 + u 2 2 + u 2 3) 1 2 3u 2, ū = 2/3k. (11.39) Taka prędkość u będzie porównywalna z prędkością U. Liczba Reynoldsa takich wirów Re 0 = u 0 (l 0 )l 0 /ν będzie więc duża, co wskazuje na możliwość kompletnego pominięcia efektów lepkich w dużych wirach. W końcu, charakterystyczny czas skala czasowa dużych wirów to T 0 = l 0 /u 0. Obraz Richardsona transfer energii od większych do (coraz) mniejszych wirów stawia dysypację energii w najmniejszych wirach, na skutek lepkości na samym końcu kaskady. Szybkość dysypacji energii [por.5.80] ɛ jest iloczynem kwadratu pochodnej przestrzennej prędkości i lepkości kinematycznej ν, stąd wymiar ɛ to [ɛ] = ( ) 2 [ ] [u] u 2 [ν] 0 [x] T 0 szybkość dysypacji skaluje się jak u 3 0/l 0, niezależnie od wartości ν. Hipotezy Kołmogorowa Czy możemy coś powiedzieć o kierunku zmian skal: prędkości i czasu jeżeli zmniejsza się rozmiar wirów (liczba Reynoldsa prawdopodobnie maleje)? Według tzw. hipotezy Kołmogorowa o lokalnej izotropii przy dostatecznie dużych wartościach Re ruchy turbulencyjne których skala jest b. mała (l l 0 ) są w sensie statystycznym (uśrednionym) i lokalnie izotropowe. Kołmogorow argumentował, że w procesie przejścia od dużych do małych wirów zatraca się wszelka informacja o geometrii i ukierunkowaniu dużych wirów stąd izotropia takiej rozdrobnionej turbulencji. Bardziej ilościowe rozważania pozwalają wprowadzić pewne przedziały skali długości por. rys. 5. Pojawiające się na rysunku indeksy D,I,E oznaczają odpowiednio: Dysypację, Inercję (w tym obszarze rządzą siły bezwładności) i Energię. Granicznymi długościami są l DI oraz l IE 1 6 l 0. Ta ostatnia długość charakterystyczna rozgranicza duże (l > l IE ), anizotropowe i zasobne w energię wiry od małych, izotropowych wirów, należące do obszaru uniwersalnej równowagi. W obszarze dużych wirów obszarze energii, albo obszarze ekstrakcji energii zawarta jest większa część energii turbulencji. W obszarze mniejszych wirów mamy kolejny podział: na podobszar bezwładnościowy (inercyjny) i dysypatywny. Powracając do hipotez Kołmogorowa pierwsza hipoteza podobieństwa zakłada, że dla obszaru l < l IE charakterystyki statystyczne (np. momenty prędkości) mają uniwersalną postać, określoną przez dwa parametry: ν i ɛ. W tym obszarze skale czasowe l/u(l) są niewielkie w porównaniu z l 0 /u 0 (l), co pozwala mniejszym wirom osiągać szybko stan dynamicznej równowagi w procesie przekazywania energii przez wiry większe. 21

W użyciu są tzw. skale Kołmogorowa η (ν 3 /ɛ) 1/4, (11.40) u η (νɛ) 1/4, (11.41) τ η (ν/ɛ) 1/2. (11.42) Oczywiście, odpowiednia liczba Reynoldsa Re η = 1, co oznacza, że skale Kołmogorowa odpowiadają najmniejszym, dysypatywnym wirom. Z kolei, szybkość dysypacji energii [por.5.79] będzie skalowana jak ɛ = ν(u η /η) 2 = ν/τ 2 η (11.43) gradienty składowych prędkości skalują się jak odwrotności czasu τ η. Już pół-ilościowa analiza pozwala stwierdzić, że przy dużej wartości Re i w obszarze skali Kołmogorowa (po odpowiednim przeskalowaniu) turbulentne pola prędkości są statystycznie identyczne. Można też wyznaczyć stosunek parametrów skali Kołmogorowa i skali dużych wirów (l 0 i jej pochodne). Dostajemy η/l 0 Re 3/4, (11.44) u η /u 0 Re 1/4, (11.45) τ η /T 0 Re 1/2. (11.46) (11.47) Oznacza to, że dla dużych wartości Re skale prędkości i czasowe najmniejszych wirów są też (podobnie jak skale długości) mocno zmniejszone, w stosunku do analogicznych skali w obszarze dużych (największych) wirów. To, że stosunek η/l 0 zmniejsza się wraz z wzrostem Re powoduje, że dla dostatecznie dużych Re mamy zakres skali l 0 l η, w którym wiry są na tyle duże, że ich liczba Reynoldsa u(l)l/ν jest też duża, a więc przepływ jest mało zależny od efektów lepkości. Tzw. druga hipoteza statystyczna Kołmogorowa mówi, że w każdym przepływie turbulentnym, przy wysokich wartościach Re, parametry statystyczne wirów (ruchów turbulentnych) w obszarze l 0 l η mają postać uniwersalną, która określona jest wyłącznie przez ɛ, a nie zależy od ν. Właśnie z tą hipotezą łączy się wielkość l DI ilościowo l DI 60η, która określa dolną granicę obszaru, w którym obowiązuje druga hipoteza podobszaru inercyjnego. Górna granica tego obszaru to l IE. Zabiegi skalowanie dla podobszaru inercyjnego są nieco utrudnione, bo trudno jest zbudować odpowiednie jednostki z samego ɛ. Musimy użyć równolegle l rozmiarów wirów w podobszarze inercyjnym. Prowadzi to do u(l) = (ɛ l ) 1/3 = u η (l/η) 1/3 u 0 (l/l 0 ) 1/3 (11.48) τ(l) = (l 2 /ɛ) 1/3 = (τ η )(l/η) 2/3 T 0 (l/l 0 ) 2/3 (11.49) skąd wnioskujemy, że wraz ze zmniejszaniem się l maleją także skale prędkości i czasu. 22

W obszarze inercyjnym wielkością o dużym znaczeniu jest szybkość transfery energii od większych do mniejszych wirów T (l). W języku wielkości skalujących T (l) u(l) 2 /τ(l). Obliczając ten stosunek z (11.48) i (11.49) dostajemy u(l) 2 /τ(l) = ɛ, (11.50) co jest relacją wysoce satysfakcjonującą: szybkość transferu nie tylko nie zależy od l (jest stałą w całym podobszarze inercyjnym), ale także jest równa szybkości dysypacji energii, ɛ. Na zakończenie tej bardzo krótkiej charakterystyki koncepcji Kołmogorowa, które stały się podstawą olbrzymiej ilości prac teoretycznych i doświadczalnych, zapiszmy szybkość dysypacji energii jako funkcję gęstości tej ostatniej E(κ). Ta gęstość jest wyrażona w języku liczby falowej wirów. Ta ostatnia to κ = 2π/l, gdzie l to rozmiar wiru. Można stosunkowo łatwo pokazać, że ilość energii traconej w przedziale (κ 1, κ 2 ) to W podobszarze inercyjnym mamy ɛ κ1,κ 2 = κ2 gdzie C to tzw. pierwsza stała Kołmogorowa. κ 1 2νκ 2 E(κ)dκ. (11.51) E(κ) = C ɛ 2/3 κ 5/3 (11.52) Rysunek 6: Schemat kaskady energii w przepływie turbulentnym przy wysokich wartościach Re 11.5 Równanie dyfuzji i jego rozwiązania dla podstawowych geometrii 11.5.1 Nieskończony ośrodek i injekcja punktowa w czasie Najprostszym przypadkiem problemu dyfuzyjnego jest sytuacja kiedy mamy do czynienia z nieskończonym, jednowymiarowym (oś 0x) ośrodkiem jednorodnym. Ośrodek ten 23

stanowi tło dla dyfundującej substancji, która w chwili t = 0 zostaje wyemitowana impulsowo. Każdy metr kwadratowy płaszczyzny x = 0 wysyła w chwili t = 0 w równych ilościach na prawo i na lewo pewną ilość substancji powiedzmy S. Możemy przyjąć, że wymiar S to kg/m 2, chociaż w rzeczywistości sprawa jest nieco bardziej skomplikowana 7. Koncentracja podlegającej dyfuzji substancji to c(x, t); w chwili początkowej c(x, 0) = Sδ(x). (11.53) Jednostki C to kg/m 3 bo dirakowska delta wnosi wymiar 1/m 8. Ta koncentracja spełnia równanie dyfuzji D 2 c x 2 = c t. (11.54) Równanie to najprościej rozwiązać metodą transformaty Fouriera. Przypomnijmy: para transformat Fourierowskich sama transformata F i transformata odwrotna F 1 to F [f(x)] = F 1 [F (k)] = 1 + e ikx f(x) dx F (k), (11.55) 2π 1 + e ikx F (k) dk f(x). (11.56) 2π Podstawowa własność transformaty Fouriera udowadniamy ją prościutko, całkując przez części; korzystamy przy tym z f(± ) = 0, a więc warunku istnienia transformaty F to F [f (x)] = 1 + e ikx f (x) dx = ( ik) F [f(x)]. (11.57) 2π Dla drugiej pochodnej będzie analogicznie F [f (x)] = + e ikx f (x) dx = ( ik) 2 F [f(x)]. (11.58) Transformatę Fouriera stosujemy teraz do obu stron równania (11.54). Wprawdzie występująca w nim funkcja jest funkcją dwóch zmiennych, ale formalnie nic nie stoi na przeszkodzie aby napisać ( ik) 2 DF [c(x, t)] = df [c(x, t)]. (11.59) dt 7 Warunki normalizacyjne wymagają aby ilość emitowanej w chwili t = 0 substancji odnieść mimo, że emisja ma charakter punktowy w czasie do jednostki czasu. Poprawniejsze formalnie określenie S będzie mieć postać S = lim s t 0 s/ t, gdzie s to liczba jednostek masy emitowana przez jeden metr kwadratowy w czasie t. 8 Wynika to z podstawowej własności delty + δ(x) dx = 1, skąd wynika, że wymiar delty jest odwrotnością wymiaru zmiennej x. 24

(Zmieniliśmy kolejność: obliczania transformaty F i różniczkowania względem czasu; pojawił się znak pochodnej zwyczajnej bo jest to jedyny operator różniczkowania w równaniu.) Równanie (11.59) przepisujemy w postaci [C(k, t) F {c(x, t)}] i (bez trudności) rozwiązujemy dc(k, t) dt + k 2 DC(k, t) = 0 (11.60) C(k, t) = C e k2 Dt. (11.61) Aby wyznaczyć stałą C korzystamy z warunku (11.53), który też musimy poddać transformacie F F [Sδ(x)] = S 1 + e ikx δ(x) dx = S C(x, 0) 2π 2π a więc ostatecznie C(k, t) = S 2π e k2 Dt. (11.62) Pozostaje transformata odwrotna obliczenia znowu są nietrudne. Wykładnik funkcji eksponencjalnej dopełniamy do kwadratu c(x, t) = = S 2π 1 + 2π = S x2 e 4Dt 2π e ikx C(k, t) dk = 1 2π ( + e k Dt+ ix 2 Dt 1 + Dt S + e ikx e k2dt dk 2π ) 2 e x2 4Dt dk... k Dt u; dk = e ( u+ ix 2 Dt) 2 du =... du Dt... Rysunek 7: Koncentracja c(c, t) w funkcji odległości x od płaszczyzny-źródła i dla różnych wartości iloczynu Dt. 25

W ostatniej całce znowu możemy podstawić za u + nadzieję znajomej) całki Poissona ix 2 Dt z prowadzi to do (mam + e z2 dz = π. Ostatecznie c(x, t) = x 2 S e 4Dt. (11.63) 4πDt Poprawność rozwiązania warto sprawdzić różniczkując i podstawiając do (11.54). Graficzna postać rozwiązania, dla różnych wartości iloczynu Dt pokazana jest na rys. 7. 26

11.5.2 Pół-nieskończony ośrodek i injekcja punktowa w czasie Rozważamy sytuacje identyczną jak w poprzednim podpunkcie z ta różnicą, że transport dyfuzyjny zachodzi tylko w jednej na przykład prawej części ośrodka, a więc dla x > 0. Rozwiązanie otrzymamy natychmiast z rozwiązania (11.63), stosując tzw. metodę odbicia. Zamiast zachodzącej w chwili t = 0 punktowej w czasie emisji substancji w obie strony ośrodka emisja następuje tylko dla x > 0 możemy sobie wyobrazić, że wyemitowane w lewo cząstki substancji ulegają odbiciu od płaszczyzny x = 0 i dyfundują w kierunku dodatnich x-ów. Odpowiada to podwojeniu koncentracji w stosunku sytuacji, kiedy dyfuzja zachodzi w obie strony wzór (11.63) przekształca się w x 2 S c(x, t) = πdt e 4Dt. (11.64) 11.5.3 Ciągły rozkład koncentracji początkowej Bardzo często spotykamy w praktyce sytuację, która odpowiada skokowemu przejściu w chwili t = 0 od sytuacji typu zero do sytuacji typu jedność. Tak na przykład jest, gdy na wejściu do pół-nieskończonego ośrodka jednowymiarowego, który dla x > 0 oraz t < 0 zawiera czysty płyn, pojawia się właśnie w chwili t = 0 stałe stężenie pewnej substancji, C 0. Innymi słowy { C0 dla x < 0, c(x, t = 0) = (11.65) 0 dla x 0. Takie pół-nieskończone źródło możemy sobie wyobrazić jako superpozycję liniowych (typu delty Diraca) źródeł, umieszczonych na całej ujemnej półosi 0x (por. rys 8) Każde Rysunek 8: Stałe źródło koncentracji początkowej C 0 jako superpozycja źródeł liniowych, o rozciągłości δξ. liniowe źródło, o rozciągłości δξ wytwarza w punkcie P, odległym od liniowego źródła o ξ, przyczynek do koncentracji [por. (11.63)] dc(x p, t) = C ξ 2 0δξ e 4Dt. (11.66) 4πDt 27

Całkowita koncentracja w punkcie P, x p x, będzie więc całką c(x, t) = C 0 4πDt x e ξ 2 4Dt dξ =... η = ξ/ 4Dt =... C 0 π x/ 4Dt e η2 dη = 1 2 C x 0erfc. (11.67) 4Dt Występująca w (11.67) funkcja erfc to dopełnienie funkcji błędu error function complement. Dwie funkcje funkcja błędu i jej dopełnienie są zdefiniowane jako całki erf(z) 2 π z 0 e η2 dη (11.68) erfc(z) 2 e η2 dη (11.69) π i jak łatwo sprawdzić przedstawiają sobą podwojone pole pod wykresem krzywej gaussowskiej (wartość oczekiwana η = 0, odchylenia standardowe σ η = 1/ 2) pomiędzy zerem i η (erf) oraz η i nieskończonością (erfc) 9. Wykres zależności koncentracji od parametru x 4Dt pokazany jest na rys. 9 z Rysunek 9: Wykres zależności koncentracji od parametru x 4Dt dla pół-nieskończonego źródła o stałej wartości koncentracji C 0. 11.5.4 Źródło o skończonej rozciągłości Metodę traktowania źródła jako superpozycji źródeł liniowych można zastosować do źródła o skończonej rozciągłości np. umieszczonego na osi 0x pomiędzy x h i x + h (por. 9 O związkach funkcji erf i erfc z niekompletną funkcją gamma Eulera można przeczytać w rozdziale 1.5 Wybranych działów matematycznych metod fizyki (http://www.ftj.agh.edu.pl/ lenda/mmf/skrypt.pdf). 28

rys. 10). Granice całkowania zmienią się na x h i x+h, a sam wynik przy wprowadzeniu konwencji erf( z) = erfz to jak łatwo sprawdzić c(x, t) = 1 [ 2 C 0 erf h x + erf h + x ]. (11.70) 4Dt 4Dt Rysunek 10: Dyfuzja z źródła o skończonej rozciągłości pomiędzy x h i x + h dla róż nych wartości 4Dt. 11.5.5 Dyfuzja w ośrodku o skończonych rozmiarach Opisane w poprzednich punktach przypadki dyfuzji dotyczyły transportu w ośrodku nieskończonym lub półnieskończonym. Dla ośrodka o skończonych rozmiarach np. dla poziomej kolumny o długości L i dla źródła o skończonej szerokości 2h można także zaadaptować opisaną w ostatnim punkcie procedurę całkowania, ale z odpowiednią modyfikacją. Punktem wyjścia jest tu warunek c(x, t) x = 0, dla x = L, x = 0 (11.71) Spełnienie takiego warunku można stosunkowo prosto uzyskać stosując metodę obrazów uzyskaną w (11.70) krzywą koncentracji odbijamy zwierciadlanie w punkcie x = L, uzyskane odbicie odbijamy zwierciadlanie w punkcie x = 0 i tak dalej. Proces teoretycznie powinien być powielany nieskończenie wiele razy, ale już po kilku odbiciach otrzymujemy dostatecznie dokładne przybliżenie stanowiącego dokładne rozwiązanie szeregu c(x, t) = 1 + [ 2 C 0 erf h + 2nL x n= 4Dt + erf h 2nL + x ]. (11.72) 4Dt 29