Paca domowa 9. W pewnym bowaze zanstalowano dwa automaty do napełnana butelek. Ilość pwa nalewana pzez pewszy est zmenną losową o ozkładze N( m,, a lość pwa dozowana pzez dug automat est zmenną losową o ozkładze N( m,3. Pobano nezależne -elementowe póbk losowe butelek napełnanych pzez każdy z automatów. Śedna z póby dla pewszego automatu wynosła 5ml., a dla dugego 498. na pozome stotnośc.5 zweyfku hpotezę, że automaty nalewaą do butelk pzecętne po tyle samo pwa. I : n X N( m, x 5 II : n X N( m,3 x 498 : m m : m m Stosuemy model a Póby z populac o ozkładach nomalnych, znane X X ~ N(, + n n, µ, α, > µ, W [ u,, < µ, W (, u α ] W (, u ] [ u, X X 5 498,557 3 + n n + Dla powyższego zestawu testowanych hpotez obsza kytyczny popzymue postać: α,5 W (, u ] [ u, (, u ] [ u, (,,96] [,96, W α,975,975 bak podstaw do odzucena hpotezy zeowe. 9. Wśód połączeń cental A było omyłkowych, natomast na 5 połączeń cental B złych było 8. Zweyfkować hpotezę, że pocent złych połączeń est ednakowy w obu centalach na pozome stotnośc,5. k A: n k p, n k 8 B : n 5 k p, n 5 : p p : p p
Skozystamy z modelu 3. 3 Weyfkaca hpotezy o ównośc fakc w dwóch populacach Duża lczebność póby pˆ pˆ n ~ N nn n pˆ (,, gdze, p + n pˆ n p( p n + n n + n : p p, : p p, W (, uα ] [ u, : p p, : p > p, W [ u, : p p, : p < p, W (, u α ] n pˆ + n pˆ + 8 p,9 n + n 35 nn n n + n 85,7 pˆ pˆ,, n 85, 7,594 p( p,9,89 Dla powyższego zestawu testowanych hpotez obsza kytyczny popzymue postać: α,5 W (, u ] [ u, (, u ] [ u, (,,96] [,96, W α,975,975 bak podstaw do odzucena hpotezy zeowe. 9.3 Zanotowano czasy wykonana 5 sztuk pewnego detalu pzez 4 pacownków. Otzymano następuące wynk: Pacownk Śedn czas S wykonywana detalu A 9 3 B C 8,5 D,5 n gdze S (. n X X Zastosuemy model n 4: Model klku póbek (test analzy waanc Rozważmy nezależnych póbek: póbka : Y..., Y ~ N ( µ, ;, n póbka : Y..., Y ~ N ( µ, ;, n póbka : Y,..., Yn ~ N ( µ, ; estuemy hpotezę... wobec altenatywy, że ne wszystke śedne są sobe ówne. Wpowadzamy następuące oznaczena:
n ( ~, n gdze SS oznacza całkowtą sumę kwadatów; ( ~, gdze SSB oznacza sumę kwadatów pomędzy póbkam; n ( ~, n gdze SSW oznacza sumę kwadatów wewnątz póbek. SS Y Y χ SSB n Y Y χ SSW Y Y χ ożsamość analzy waanc pzybea fomę: SS SSB + SSW. Statystyka testowa: SSB /( F ~ F((,( n. potezę odzucamy, eśl F > F. SSW /( n U nas mamy: 4, n 5, n 4 5, α, 5 x 9 + + 8 + 4 4 4 4 SSB ( x x n 5((9 + ( + (8 + ( 5 n ( 5 3 5 5,5 5,5 45 SSW x x + + + a Uzupełn tabelę testu analzy waanc dla weyfkac hpotezy o ównośc pzecętnego czasu wykonywana detalu dla wszystkch pacownków. Źódło zmennośc mędzy póbkam wewnątz póbek Razem Sumy kwadatów 5 45 95 Stopne swobody -3 n-6 n-9 Watość statystyk F 5,96 b Pzymuąc pozom stotnośc.5 pzetestować hpotezę o ównośc śednch. SSB /( 5 / 3 F 5, 96. SSW /( n 45/6 Odczytuemy watośc kytyczne z tabl ozkładu F Snedecoa z (3,6 stopnam swobody. odzucamy, gdy F > F 3, 4,95 W [3, 4, + 3
F W odzucamy hpotezę zeową o ównośc śednch w analzowanych podpókach. 9.4 Poównano czas pzeznaczony na czytane ksążek w cągu tygodna (w godznach w póbe mężczyzn kobet. Otzymano następuące wynk: Kobety (lczebność ówna : Mężczyźn (lczebność ówna : Y S X X, 375 7,. Pzy założenu że mamy do czynena z ozkładam nomalnym: Zastosuemy model nume b Weyfkaca hpotezy o ównośc dwóch śednch w populac Póby z populac o ozkładach nomalnych, neznane X X nn ( n S + ( n S n + n n + n, µ, W tα t, > µ, W [ t,, < µ, W (, t α ] ( n + n ~ t, gdze (, ] [, n n S ( X X. a zweyfku hpotezę, że czas pośwęcany na czytane ksążek est tak sam dla kobet mężczyzn wobec hpotezy altenatywne, że kobety czytaą węce, pzymuąc pozom stotnośc,. K : n x II : n x 7 : m m : m > m W [ t, [,467,,99 X X nn 7 ( n + n 8, 9 ( n S + ( n S n + n 375 3 9 + 9 9 W bak podstaw do odzucena hpotezy zeowe. b zweyfku hpotezę o ównośc waanc na pozome stotnośc,. Skozystamy z modelu. Weyfkaca hpotezy o ównośc waanc w dwóch populacach Póby z populac o ozkładach nomalnych S S ~ F(( n,( n 4
:, :, W [,, do lcznka statystyk testowe F wstawamy wększą z waanc :, :, W [, > F :, : <, W F [,, ako statystyk testowe używamy F F estuemy hpotezy: :, :, na pozome stotnośc α, S 9,739 S,97 Odczytuemy watośc kytyczne z tablc ozkładu F Snedecoa z (9,9 stopnam swobody. odzucamy, gdy F > F,94,95 W [3, 4, + 9.5 Badano koszty wynamu losowo wybanych meszkań dwupokoowych w każdym z tzech mast: W, K P. Otzymano następuące wynk: Masto W K P Śedn koszt wynamu 4 5 5 3 x x ( 9435 Stosuąc test analzy waanc zweyfku hpotezę o ównośc pzecętnych kosztów wynamu w tzech mastach na pozome stotnośc,5. Zastosuemy model n 4: Model klku póbek (test analzy waanc Rozważmy nezależnych póbek: póbka : Y..., Y ~ N ( µ, ;, n póbka : Y..., Y ~ N ( µ, ;, n póbka : Y,..., Yn ~ N ( µ, ; estuemy hpotezę... wobec altenatywy, że ne wszystke śedne są sobe ówne. Wpowadzamy następuące oznaczena: n ( ~, n gdze SS oznacza całkowtą sumę kwadatów; ( ~, gdze SSB oznacza sumę kwadatów pomędzy póbkam; n ( ~, n gdze SSW oznacza sumę kwadatów wewnątz póbek. SS Y Y χ SSB n Y Y χ SSW Y Y χ ożsamość analzy waanc pzybea fomę: SS SSB + SSW. Statystyka testowa: SSB /( F ~ F((,( n. potezę odzucamy, eśl F >. SSW /( n F α 5
U nas mamy: 3, n, n 3 63, α, 5 x 4 + 5 + 5 3 3 3 SSB ( x x n ((4 + (5 + (5 365 SSB /( 365 / F,7 SSW /( n 9435 / 6 Źódło zmennośc mędzy póbkam wewnątz póbek Razem Sumy kwadatów 365 9435 3385 Stopne swobody - n-6 n-6 Watość statystyk F,7 Odczytuemy watośc kytyczne z tablc ozkładu F Snedecoa z (,6 stopnam swobody. odzucamy, gdy F > F 3,5,95 W [3,5, + F W odzucamy hpotezę zeową o ównośc śednch w analzowanych podpókach. 6