Drgania relaksacyjne (pomiar pojemności)

Drgania relaksacyjne (pomiar pojemności) I. el ćwiczenia: zapoznanie z działaniem oraz własnościami najprosszej dwuelekrodowej lampy gazowej neonówki II. Przyrządy: płyka pomiarowa, kondensaor dekadowy, mulimer cyfrowy, zasilacz prądu sałego, oscyloskop. III. Lieraura: [] J. L. Kacperski, I Pracownia fizyczna ; [] H. Hofmokl, A. Zawadzki, Laboraorium fizyczne ; [3] J. L. Kacperski, Opracowanie danych pomiarowych ; [4] T. Rewaja (praca zbiorowa), Ćwiczenia laboraoryjne z fizyki na poliechnice; [5] H. Szydłowski, Pracownia fizyczna. IV. Wsęp W bańkę lampy wypełnionej gazem szlachenym (np. neonem) lub ich mieszaninami, czasami z dodakiem par meali (np. ręci) pod ciśnieniem 300hPa wopione są dwie elekrody. Jes o zw. lampa gazowana dwuelekrodowa. W gazie znajdującym się w lampie jes zawsze pewna liczba jonów dodanich i elekronów powsałych pod wpływem jonizacji wywołanej przez ciała promieniowórcze (znajdujące się niewielkiej ilości w ooczeniu) oraz pod wpływem promieniowania kosmicznego. Jednak liczba par jonów w lampie jes w przybliżeniu sała na skuek wysępowania rekombinacji czyli oddziaływania elekronów z jonami i powsaniu w konsekwencji neuralnych aomów. W przypadku przyłożenia do elekrod lampy napięcia, kórego warość nie przekracza pewnej warości progowej gaz zachowuje się jak izolaor. Prąd płynący na skuek ruchu jonów i elekronów do elekrod ma przy akim napięciu znikome naężenie. Po przyłożeniu do elekrod napięcia powyżej napięcia progowego, nasępuje jonizacja obojęnych aomów gazu podczas zderzania się z nimi elekronów przyspieszanych w polu elekrycznym miedzy elekrodami. Jony dodanie i elekrony podążają w kierunku odpowiednio kaody i anody z prędkościami zależnymi od naężenia pola elekrycznego oraz rodzaju i ciśnienia gazu wypełniającego lampę. Należy nadmienić, że prędkość jonów dodanich jes znacznie mniejsza niż prędkość elekronów, a wynika o sąd, że jony dodanie są cięższe i mniej ruchliwe od elekronów. Te własności jonów dodanich powodują, że wokół kaody wywarza się chmura jonów dodanich, co powoduje duży spadek poencjału w pobliżu kaody zw. spadek kaodowy między ą chmurą a kaodą. W konsekwencji elekrony orzymują energie porzebne do jonizacji już przy kaodzie. Elekrony wybie podążają w kierunku anody z prędkościami, kóre pozwalają im akże na wzbudzanie aomów gazu, co powoduje zjawisko jarzenia się gazu. Naomias dodanie jony przyspieszane w polu elekrycznym podążają do kaody i bombardują jej powierzchnię. W wyniku ego procesu powierzchnia kaody emiuje elekrony, co powoduje lawinowy wynoszący kilka rzędów wielkości wzros naężenia prądu. Wybijanie przez jony dodanie kolejnych elekronów zapocząkowuje ciągle nowe procesy lawinowe co sprawia, że przepływ prądu o dużej gęsości (nazywany wyładowaniem) odbywa się nawe wedy, gdy zosanie usunięe źródło jonizacji. Mówimy wówczas, że mamy do czynienia z wyładowaniem samoisnym. Wyładowanie samoisne można przerwać przez obniżenie napięcia na elekrodach lampy. Napięcie, przy kórym wyładowanie niesamoisne przechodzi w wyładowanie samoisne nazywa się napięciem zapłonu, naomias napięcie, przy kórym nasępuje powró do wyładowania niesamoisnego nazywa się napięciem gaśnięcia. Napięcie gaśnięcia w

przypadku lampy gazowej może być o 0 30V niższe od napięcia zapłonu. Przyczyną ego jes obecność wysarczającej liczby jonów powsałych w czasie wyładowania, nawe jeśli obniży się napięcie poniżej napięcia zapłonu. Przy napięciu gaśnięcia usaje proces wyładowania oraz owarzyszące mu jarzenie gazu i lampa gazowa przesaje przewodzić prąd. Poniższy rysunek pokazuje charakerysykę akiej lampy I a I ma I min Rys. harakerysyka prądowo napięciowa lampy jarzeniowej Od napięcia = p do napięcia zapłonu z rozciąga się obszar wyładowania ciemnego. Powyżej napięcia z nasępuje wyładowanie jarzeniowe. W ym obszarze spadek napięcia na lampie jarzeniowej jes prawie niezależny od naężenia przepływającego prądu, a wzros naężenia prądu powoduje zwiększenie powierzchni kaody objęej jarzeniem się gazu. Dalsze zwiększanie napięcia powoduje wejście w obszar wyładowania łukowego, co grozi zniszczeniem lampy. Zmniejszając prąd płynący przez lampę do warości I min powodujemy obniżenie napięcia na elekrodach do warości napięcia gaśnięcia g, niższego od napięcia zapłonu z. Różnica z g maleje w miarę wzrosu częsości zapalania neonówki na skuek skończonej prędkości zachodzenia rekombinacji. V. Drgania relaksacyjne Relaksacja jes o powró układu do sanu równowagi ermodynamicznej. o za ym idzie drganiami relaksacyjnymi nazywamy drgania (mechaniczne, cieplne, elekryczne) układu spowodowane przejściem od sanu począkowego do jakiegoś innego sanu, po czym nasępuje powró do sanu pierwonego. Wszyskie sany pośrednie pomiędzy sanem począkowym i sanem końcowym nie mogą samodzielnie spowodować powrou do sanu począkowego. Jeśli emu układowi zosanie dosarczona energia z zewnąrz w sposób ciągły, o wówczas mamy periodyczne drgania relaksacyjne. Zmniejszenie dopływu energii spowoduje przerwanie drgań relaksacyjnych. Właściwość samoisnego wyładowania jarzeniowego na skuek różnicy między napięciem zapłonu i napięciem gaśnięcia daje możliwość wyworzenia drgań relaksacyjnych w lampie jarzeniowej (neonowej) co będzie przedmioem badań naszego doświadczenia. VI. kład pomiarowy p g z Lampka neonowa włączona jes w obwód elekryczny (rys.a), w kórym pojemność połączona jes przez opór R z siłą elekromooryczną o. Wraz ze wzrosem napięcia między okładkami kondensaora wzrasa również napięcie między elekrodami lampy neonowej. Do czasu kiedy napięcie jes mniejsze od napięcia zapłonu z, neonówka ma bardzo duży opór (nie będzie

prakycznie przez nią przepływał prąd), dlaego eż nie bierze udziału w ładowaniu kondensaora. W związku z ym możemy rozważyć uproszczony schema pomijający neonówkę z rys.b. R R o R n + o + R n a) b) c) Rys. a) Schema włączenia lampy neonowej do obwodu, b) schema uproszczony dla < z (ładowanie kondensaora przez opór R), c) schema uproszczony dla > z (rozładowanie kondensaora przez opór neonówki R n ). Sosując dla ego przypadku (rys.b) prawa Kirchoffa możemy napisać dq Q R + = o () d gdzie Q ładunek zebrany na okładkach kondensaora. Różniczkując relację Q =, orzymamy dq = d, a po wsawieniu do równania () dosajemy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne: d + d =o, () kóre rozwiązuje się meodą uzmienniania sałej (parz zupełnienie). Wykorzysując warunek począkowy = 0 dla = 0, orzymujemy nasępujące rozwiązanie: = o ( e / ) (3) (rozwiązanie równania zamieszczono w zupełnieniu ). Iloczyn ma wymiar czasu i nazwany jes sałą czasową obwodu. Kiedy napięcie na okładkach kondensaora (a więc i na elekrodach neonówki) osiągnie warość z, oporność wewnęrzna neonówki maleje bardzo szybko o kilka rzędów wielkości i jes R n «R. Można więc przyjąć, że kondensaor jes izolowany od źródła prądu i rozładowuje się przez nieduży opór R n. proszczony schema obwodu odpowiadający ej syuacji pokazuje rys c. Dla ego schemau korzysając z praw Kirchoffa można napisać równanie R n dq Q + = 0 (4) d R n d + = 0 (5) d Rozwiązanie równania (5) zamieszczone jes w zupełnieniu. Wykorzysując warunek począkowy = z dla = 0, orzymamy rozwiązanie = z e / (6) Prąd rozładowujący kondensaor płynie do momenu, gdy na okładkach kondensaora i elekrodach neonówki napięcie spadnie do napięcia gaśnięcia g. Opór R jes rzędu kilku MΩ, co po- 3

woduje, że prąd płynący przez niego jes za mały, aby podrzymać jarzenie. Po osiągnięciu ego napięcia neonówka przesaje przewodzić, a kondensaor podobnie jak na począku znów zaczyna się ładować i napięcie między jego okładkami wzrasa do z, po czym rozładowuje się jak poprzednio przez neonówkę do warości g id. o z g A T g z Rys.3 Przebieg napięcia w funkcji czasu na neonówce. Rys.3 przedsawia wykres drgań relaksacyjnych. Wykres en przypomina kszałem zęby piły, dlaego eż częso nazwa a jes używana do scharakeryzowania drgań akiego ypu. W naszych rozważaniach pomijamy czas opadania impulsu zn. czas rozładowania kondensaora, w kórym napięcie na nim spadnie od warości z do warości g. zas en jes znacznie mniejszy od czasu ładowania, dlaego zosaje pominięy (bo R n «R). zasy z i g odpowiadające zapłonowi i gaśnięciu neonówki orzymujemy z warunków g = o ( e g / ) g = g ln (7) o z = o ( e z / ) z = z względniając wyżej wymienione rozważania mamy: T = z g = ln o o z g ln (8) o Przy usalonych o, g, z okres T jes proporcjonalny do sałej czasowej. Wzór (9) orzymano, zaniedbując skończony czas zachodzenia w gazie lampy neonowej akich procesów jak rozwój wyładowania samoisnego, rekombinacja ip.. względnienie ych efeków w przypadku neonówki nie jes zreszą w ogóle możliwe, bowiem pole elekryczne jes w niej niejednorodne naomias jego naężenie oraz dodakowo skład i ciśnienie gazu nie są dokładnie znane. Dlaego wprowadzimy najprossze poprawki przyjmując, że napięcie gaśnięcia g = consans (dla danego egzemplarza neonówki), a napięcie zapłonu z zależne od szybkości zmian napięcia na elekrodach, może zmieniać się w pewnych granicach. Oznaczmy przez op czas. opóźnienia upływający pomiędzy osiągnięciem saycznego napięcia zapłonu z (napięcie zapłonu przy bardzo powolnym wzroście napięcia na anodzie), a momenem rozpoczęcia się wyładowania samoisnego. Przy bardzo powolnym wzroście napięcia na anodzie jego warość prawie się nie zmienia w (9) 4

ciągu krókiego czasu op (warość najczęściej wynosi kilkadziesią µs), ale jeśli wzros napięcia nasępuje szybko (przy małej sałej czasowej), wówczas napięcie na anodzie może w czasie op przekroczyć znacznie saysyczne napięcie zapłonu osiągając warość dynamiczną zd. Przez analogię do (8) możemy napisać i w konsekwencji okres drgań wyniesie VII. Pomiary zd = z d ln (0) o o g T = ln () ozd a) Pomiar saycznego napięcia zapłonu z i napięcia gaśnięcia g. R zabezpieczający + o V Rys.4 Schema układu do pomiaru napięcia zapłonu i gaśnięcia neonówki.. Zbudować układ według schemau z rys.4. Wykorzysać do ego celu elemeny rozmieszczone na płyce monażowej (rys.5). Opór zabezpieczający chroni neonówkę przed zniszczeniem w wyniku przepływu prądu o zby dużym naężeniu. Równolegle do neonówki włączyć wol- o,5 MΩ 0 nf R R zabezpieczający 50kΩ, MΩ 0 nf R 3,9 MΩ 0 nf oscyloskop Rys.5 Płyka monażowa i schema rozmieszczenia wykorzysywanych elemenów elekrycznych. Symbol oznacza gniazdko radiowe, liniami ciągłymi oznaczono wewnęrzne połączenia elekryczne elemenów. 5

omierz cyfrowy w celu pomiaru napięcia zapłonu neonówki (napięcie zmieniamy odpowiednimi pokręłami zasilacza). Zwiększać sopniowo napięcie na wyjściu zasilacza aż do momenu zapalenia się neonówki. Warość napięcia zapłonu w samym momencie zapłonu wskazuje wolomierz, po czym napięcie o momenalnie spada do warości zw. napięcia pracy neonówki. Warość wskazywana wówczas przez wolomierz jes zależna od spadku napięcia na oporniku zabezpieczającym oraz od oporu wewnęrznego neonówki R n.. Po orienacyjnym określeniu warości saycznego napięcia zapłonu z, obniżać napięcie zasilania aż do chwili zgaśnięcia neonówki i odczyać g z wolomierza. 3. Po ych wsępnych czynnościach ponownie zmierzyć kilka razy z i g. Tym razem wolno zmieniać napięcie zasilania przy zbliżaniu się do wyznaczonych wcześniej warości. Zwrócić szczególną uwagę na pomiar napięcia gaśnięcia, ponieważ bezpośrednio przed zupełnym zgaśnięciem neonówka jarzy się prawie niezauważalnie. b) Pomiar okresu drgań. R + o do oscyloskopu Rys.6 Schema do badania drgań relaksacyjnych Zbudować układ pomiarowy zgodnie ze schemaem z rys.6. Porzebne elemeny znajdują się na płyce monażowej (rys.5). Jako pojemności można użyć kondensaora dekadowego i nie korzysać z umieszczonych na płyce kondensaorów o pojemności 0 nf (kondensaory e należałoby łączyć szeregowo lub równolegle, aby zwiększyć liczbę punków pomiarowych). Warość napięcia zasilającego lampkę neonową usawić na o = 40V.. Dla danego oporu R i różnych warości pojemności (z przedziału 0 30 nf) zmierzyć oscyloskopem okres T drgań relaksacyjnych (zaniedbując czas opadania impulsu. Wykonać rzy serie pomiarów okresów drgań dla rzech warości oporów R. Wyniki zapisać w Tabeli., oznaczają dwie pojemności o nieznanej warości (umieszczone na płyce monażowej), dla kórych również należy dokonać pomiarów okresu T; l długość pozioma impulsu w cm na ekranie oscyloskopu, s współczynnik odchylania poziomego oscyloskopu w ms/cm. Tabela Lp 3 M [nf] l [cm] s R =,5MΩ R =, MΩ R 3 = 3,9 MΩ Okres T Okres T Okres T T = l s l [cm] T = l s s l [cm] s T = l s 6

. Dla usalonej pojemności i dla różnych warości oporów R dokonać pomiarów okresu drgań T. Wykorzysać w ym celu załączone rzy znane opory oraz kombinacje ich połączeń szeregowych i równoległych. Dokonać pomiarów okresu również dla nieznanych warości oporów R i R. Wyniki zapisać w Tabeli 3. L p 3 M R [MΩ] l [cm] s R R = 5nF = 5nF 3 = 5nF Okres T Okres T Okres T T = l s l [cm] T = l s s l [cm] s Tabela T = l s c) Badanie zależności okresu drgań od napięcia zasilania. Dla wybranej warości oporu R i wybranej warości pojemności, zmieniając napięcie zasilania o od 00 do 00V skokiem co 0V zmierzyć na ekranie oscyloskopu okres T i ampliudę A drgań. Tabela 3 R = = Lp Napięcie o [V] Okres T Ampliuda A [V] 00 0 M M VIII. Opracowanie wyników. zd = g + A [V]. Obliczenie saycznego napięcia zapłonu z i napięcia gaśnięcia g... Obliczyć średnią warość saycznego napięcia zapłonu z i napięcia gaśnięcia g.. Obliczyć błąd z oraz g, wykorzysując wzór na średni błąd kwadraowy średniej arymeycznej n ( ) z = ±, g = ± n(n) gdzie n jes liczbą pomiarów wielkości mierzonej. Z Zśrd n ( g ) n(n). Zależność okresu drgań T od i R. Wykorzysując dane z abeli, przedsawić na jednym wykresie zależność okresu T drgań relaksacyjnych w funkcji pojemności dla usalonej warości oporu R (dla rzech różnych warości oporów R). Orzymamy w en sposób zw. krzywe kalibracyjne.. Wykorzysując dane z abeli wykreślić zależność okresu T drgań relaksacyjnych w funkcji oporu R dla usalonej warości pojemności (dla rzech różnych warości pojemności )..3 Mając wykresy T = f() oraz T = f(r), znaleźć nieznane warości pojemności i oporu R w oparciu o znajomość odpowiednich okresów drgań T (parz rys.7). g śrd 7

Jeśli nieznaną pojemność i nieznaną warość oporu R wyznaczano z rzech krzywych kalibracyjnych, o należy obliczyć średnie warości i R. Wzór (9) przewiduje, że krzywe kalibracyjne będą liniami prosymi, wzór () przewiduje krzywe wypukłe. Porównaj orzymane zależności doświadczalne z ymi przewidywaniami. T 40 30 T + T T T T 0 0 R = consans Rys.7 Przypadek jednej krzywej kalibracyjnej dla R = cons. Wyznaczanie nieznanej pojemności oraz niepewności z wykresu. 0 0 0 30 ' '' [nf] Dla jednej krzywej kalibracyjnej T = f(), najlepiej dla R = 3,9 MΩ zaznaczyć na wykresie niepewności pomiarowe T i dla punków doświadczalnych. Wykorzysać do ego celu informacje zaware w punkcie IX insrukcji (Ocena dokładności). Niepewność nieznanej pojemności wyznaczyć ze wzoru: '' ' = gdzie ', pojemności wyznaczone z wykresu odpowiadające okresom T T, T + T. '' W podobny sposób określić niepewność R nieznanego oporu R przy wykorzysaniu krzywej kalibracyjnej T = f(r) dla = 5nF. 3. Zależność okresu T od napięcia zasilania o. Wzór () podzielmy sronami przez i wprowadźmy liniową skalę funkcyjną: T o g y=, = ln. o zd Wykorzysując wyniki z Tabeli 3 sporządzić wykres zależności y = y(). Zgodnie ze wzorem () punky powinny ułożyć się wzdłuż linii prosej y = IX. Ocena dokładności T,, R, A, Na dokładność wyznaczenia okresu drgań T mają wpływ dwa czynniki: dokładność odczyu długości poziomego odcinka na ekranie oscyloskopu jes ona rzędu l = ±mm, dokładność skalowania oscyloskopu w posaci maksymalnej niepewności względnej s współczynnika odchylania = 0, 03, s Zaem niepewność pomiaru okresu T wynosi: 8

l T=± T l s + s Podobnie na dokładność wyznaczenia ampliudy A wpływają dwa czynniki: dokładność odczyu długości pionowego odcinka na ekranie oscyloskopu jes ona rzędu l y = ±mm, dokładność skalowania oscyloskopu w posaci maksymalnej niepewności względnej sy współczynnika odchylania = 0, 03, s y Niepewność pomiaru ampliudy A wynosi zaem: l y sy A=± A + ly sy Względną niepewność / nasawienia pojemności na kondensaorze dekadowym przyjąć równą 0,05, czyli = 0,05. Względną niepewność R/R określenia oporności przyjąć równą 0,05, czyli R = 0,05R. Niepewności pomiaru napięcia z, g, o zależą od użyego ypu wolomierza oraz od zakresu na jakim dokonywano pomiaru napięcia. Należy je obliczyć korzysając z informacji uzyskanych od prowadzącego zajęcia. Niepewność pomiaru dynamicznego napięcia zapłonu: zd = g + A.. 9

zupełnienie. Znajdźmy rozwiązanie równania () ze srony 3 ej insrukcji: d + = d o () Jes o równanie różniczkowe liniowe niejednorodne pierwszego rzędu. Aby znaleźć rozwiązanie ego równania, należy najpierw znaleźć rozwiązanie równania dla o = 0. W przypadku, gdy o = 0 równanie nosi nazwę równania liniowego jednorodnego i ma posać d + = 0 (3) d Rozwiązujemy je meodą rozdzielenia zmiennych. Równanie (3) po przekszałceniach przyjmie posać ałkując sronami osanie równanie d = d d = d orzymujemy ln = + K gdzie K jes pewną sałą. Korzysając z własności funkcji logarymicznej możemy napisać = e K e = ± e K e = B e (4) gdzie sała B = ±e K może przybierać dowolną warość dodanią lub ujemną. Wyrażenie (4) jes całką ogólną czyli rozwiązaniem równania jednorodnego (3). W przypadku równania (5) dla warunku począkowego = 0, napięcie = z. Wyznacza o jednoznacznie sałą B = z w wyrażeniu (4), dając całkę szczególną. Sąd wynika zależność dana wzorem (6) czyli = z e. ałka ogólna (4) nie jes jednak rozwiązaniem równania (). Nasępnym eapem poszukiwania właściwej funkcji spełniającej o równanie jes zasąpienie sałej B funkcją zmiennej, czyli B(). Powyższa meoda znajdowania rozwiązania równania różniczkowego liniowego niejednorodnego nazywa się meodą uzmienniania sałej. Napięcie będzie wówczas funkcją = B() e (5) kóra jes całką równania (). Aby znaleźć posać funkcji B() różniczkujemy funkcję () daną wzorem(5): d = B () d e e + ( ) B() (6) 0

d i podsawiamy wyrażenia na z równania (5) oraz z równania (6) do równania (). d Orzymamy Po przekszałceniu Po uproszczeniu mamy e B ( ) e + B( ) + B e = ( ) B ( ) e e + B( ) + B () e B () = o = o e B( ) e o o = Po scałkowaniu mamy Wprowadźmy nową zmienną: u = B() = o e d d. Wówczas mamy również du = i orzymamy B() = o e u du = o e + K Po wsawieniu osaniego wyrażenia do wzoru (5) dosaniemy = ( o e + K) e Jes o całka ogólna (rozwiązanie) równania () dla każdej warości sałej K. Wykorzysując warunek począkowy, że dla = 0 napięcie = 0 orzymamy sałą K Osaecznie czyli 0 = o + K K = o = ( o e o ) e = o ( Orzymaliśmy zależność daną wzorem (3). e )