4
Spis treści Wstęp 7 Oznaczenia 9 Rozdział 1. Pierścienie i ideały 11 Pierścienie i homomorfizmy pierścieni 11 Ideały, pierścienie ilorazowe 12 Dzielniki zera, elementy nilpotentne, jedności 12 Ideały pierwsze i ideały maksymalne 13 Nilradykał oraz radykał Jacobsona 15 Operacje na ideałach 16 Rozszerzenie i zawężenie 19 Zadania 20 Rozdział 2. Moduły 29 Moduły i homomorfizmy modułów 29 Podmoduły i moduły ilorazowe 30 Operacje na podmodułach 31 Suma prosta i iloczyn prosty 32 Moduły skończenie generowane 32 Ciągi dokładne 34 Iloczyn tensorowy modułów 36 Zawężenie i rozszerzenie skalarów 39 Dokładne własności iloczynu tensorowego 39 Algebry 41 Iloczyny tensorowe algebr 42 Zadania 42 Rozdział 3. Pierścienie i moduły ułamków 49 Własności lokalne 53 Rozszerzenia i zawężenia ideałów w pierścieniach ułamków 54 Zadania 56 Rozdział 4. Rozkład prymarny 63 Zadania 68 Rozdział 5. Zależność całkowita i waluacje 73 Zależność całkowita 73 Twierdzenie going-up 75 Całkowicie domknięte pierścienie całkowite. Twierdzenie going-down 76
6 SPIS TREŚCI Pierścienie waluacyjne 79 Zadania 81 Rozdział 6. Warunki łańcuchowe 91 Zadania 95 Rozdział 7. Pierścienie noetherowskie 97 Rozkład prymarny w pierścieniach noetherowskich 99 Zadania 101 Rozdział 8. Pierścienie artinowskie 107 Zadania 109 Rozdział 9. Pierścienie dyskretnie waluacyjne i pierścienie Dedekinda 111 Pierścienie dyskretnie waluacyjne 112 Pierścienie Dedekinda 113 Ideały ułamkowe 114 Zadania 116 Rozdział 10. Uzupełnienia 119 Topologie i uzupełnienia 120 Filtracje 124 Pierścienie i moduły z gradacją 124 Stowarzyszony pierścień z gradacją 130 Zadania 132 Rozdział 11. Teoria wymiaru 135 Funkcja Hilberta 135 Teoria wymiaru lokalnych pierścieni noetherowskich 138 Regularne pierścienie lokalne 141 Wymiar przestępny 143 Zadania 144 Skorowidz 147
Wstęp Algebra komutatywna zajmuje się przede wszystkim badaniem pierścieni przemiennych. Ogólnie rzecz biorąc, wywodzi się ona z dwóch źródeł: (1) geometrii algebraicznej oraz (2) algebraicznej teorii liczb. W (1) prototypem badanych pierścieni jest pierścień k[x 1,..., x n ] wielomianów wielu zmiennych nad ciałem k; w (2) jest to pierścień Z liczb całkowitych. Z tych dwóch dziedzin przypadek występujący w geometrii algebraicznej ma szerszy zasięg oraz dzięki nowoczesnym metodom wprowadzonym przez Grothendiecka zawiera on znaczną część algebraicznej teorii liczb. Algebra komutatywna jest obecnie jednym z fundamentów współczesnej geometrii algebraicznej. Dostarcza ona narzędzi do badania własności lokalnych w bardzo podobny sposób, w jaki analiza różniczkowa dostarcza narzędzi geometrii różniczkowej. Książka ta powstała na bazie serii wykładów dla studentów trzeciego roku Uniwersytetu w Oksfordzie i ma na celu szybkie zapoznanie czytelnika z tematem. Jest ona przewidziana dla studentów, którzy uczęszczali wcześniej na podstawowy kurs z algebry. Z drugiej strony, nie ma ona zastępować bardziej obszernych książek z algebry komutatywnej autorów takich jak Zariski Samuel [4] lub Bourbaki [1]. Skoncentrowaliśmy się na kilku głównych tematach i niektóre działy, jak np. teoria ciał, nie są w ogóle omówione. Przedstawiamy raczej więcej materiału niż Northcott [3], a nasze podejście jest zasadniczo inne podążając za nowoczesnym trendem, kładziemy większy nacisk na moduły i lokalizację. Głównym pojęciem w algebrze komutatywnej jest pojęcie ideału pierwszego. Jest to uogólnienie pojęcia liczby pierwszej znanego z arytmetyki oraz punktu znanego z geometrii. Geometryczna koncepcja koncentrowania uwagi w pobliżu punktu ma swój odpowiednik algebraiczny. Jest to proces lokalizacji pierścienia względem ideału pierwszego. Nie jest zatem dziwne, iż pożyteczne może być myślenie o rezultatach dotyczących lokalizacji w terminach geometrycznych. Takim podejściem jest np. teoria schematów Grothendiecka. Częściowo jako wstęp do prac Grothendiecka [2], a częściowo ze względu na to, iż pomaga to w lepszym zrozumieniu aspektów geometrycznych, dodaliśmy, jako zadania i uwagi, odpowiedniki wielu twierdzeń w języku schematów. Książka ta powstała na bazie notatek z wykładów, przez co jej styl jest raczej zwięzły, z niedużą ilością ogólnych opisów, a raczej wieloma dowodami. Oparliśmy się pokusie rozbudowania książki w nadziei, iż zwięzłość naszej prezentacji przyczyni się do lepszego przedstawienia struktury matematycznej działu, który jest obecnie elegancką i interesującą teorią. Naszym celem było dotarcie do głównych twierdzeń poprzez serie prostych przejść. Staraliśmy się omijać rutynowe rachunki. Każdy, kto pisze obecnie na temat algebry komutatywnej, staje przed dylematem związanym z algebrą homologiczną, która odgrywa teraz bardzo istotną rolę w rozwoju. Właściwe omówienie algebry homologicznej jest niemożliwe do zrealizowania w małej książce: z drugiej strony, nie byłoby rozsądne całkowite ominięcie tematu.
8 WSTĘP Zdecydowaliśmy się na użycie elementarnych metod algebry homologicznej ciągów dokładnych, diagramów itd. lecz nie prezentowaliśmy wyników wymagających zaawansowanej wiedzy z teorii homologii. W ten sposób mamy nadzieję przygotować czytelnika do właściwego kursu z algebry homologicznej, który jest konieczny dla każdego pragnącego zajmować się geometrią algebraiczną. Przygotowaliśmy znaczną liczbę zadań pod koniec każdego rozdziału. Niektóre z nich są łatwe, a niektóre trudne. Zazwyczaj przy trudnych zadaniach znajdują się wskazówki lub kompletne rozwiązania. Jesteśmy wdzięczni Panu R.Y. Sharpowi, który rozwiązał je wszystkie i niejeden raz uchronił nas od błędu. Nie próbujemy opisać wkładu wielu matematyków, którzy pomogli rozwinąć teorię przedstawioną w tej książce. Pragnęlibyśmy jednakże wyrazić naszą wdzięczność J.-P. Serre owi oraz J. Tate owi, którzy przekazali nam swą wiedzę i których wpływ miał decydujące znaczenie przy sposobie przedstawienia i wyborze materiału. Bibliografia [1] N. Bourbaki, Algébre Commutative, Hermann, Paris 1961 1965. [2] A. Grothendieck i J. Dieudonne, Éléments de Géometrie Algébrique, Publications Mathématiques de l I.H.E.S., Nos. 4, 8, 11,..., Paris 1960. [3] D.G. Northcott, Ideal Theory, Cambridge University Press, 1953. [4] O. Zariski i P. Samuel, Commutative Algebra I, II, Van Nostrand, Princeton 1958, 1960.
Oznaczenia Pierścienie i moduły oznaczane są dużymi pochyłymi literami, a ich elementy małymi pochyłymi literami. Ciało jest często oznaczane przez k. Ideały są oznaczane małymi gotyckimi literami. Z, Q, R, C odpowiadają kolejno pierścieniowi liczb całkowitych, ciału liczb wymiernych, ciału liczb rzeczywistych i ciału liczb zespolonych. Funkcje są zawsze pisane z lewej strony, tak więc wartość funkcji f na elemencie x jest dana przez f(x), a nie (x)f. Złożenie odwzorowań f : X Y, g : Y Z oznaczamy więc g f, a nie f g. Odwzorowanie f : X Y jest injekcją, gdy równość f(x 1 ) = f(x 2 ) implikuje x 1 = x 2 ; surjekcją, gdy f(x) = Y ; bijekcją, gdy jest zarówno injekcją, jak i surjekcją. Koniec dowodu (lub jego brak) jest oznaczany. Zawieranie się zbiorów jest oznaczane przez. Rezerwujemy znak dla silnego zawierania. Tak więc A B oznacza, iż A jest zawarty w B i nie jest równy B.
ROZDZIAŁ 1 Pierścienie i ideały Rozpoczniemy od szybkiego powtórzenia definicji i elementarnych własności pierścieni. To pokaże, ile będziemy wymagać od czytelnika, jak również pozwoli ustalić notację. Po tym przeglądzie przejdziemy do omówienia ideałów pierwszych i maksymalnych. Reszta rozdziału jest poświęcona wytłumaczeniu różnych elementarnych operacji, które mogą być wykonywane na ideałach. Językiem schematów Grothendiecka zajmujemy się w zadaniach na końcu. Pierścienie i homomorfizmy pierścieni Pierścień A jest zbiorem z dwiema binarnymi operacjami (dodawaniem i mnożeniem) spełniającymi poniższe warunki: 1) A jest grupą abelową ze względu na dodawanie (tak więc A posiada zerowy element, oznaczany przez 0, oraz dla każdego x A istnieje jego (addytywna) odwrotność x). 2) Mnożenie jest łączne ((xy)z = x(yz)) oraz rozdzielne ze względu na dodawanie (x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx). Będziemy rozważać jedynie pierścienie przemienne: 3) xy = yx dla dowolnych x, y A oraz posiadające jedynkę (oznaczaną przez 1): 4) 1 A takie, że x1 = 1x = x dla każdego x A. W pierścieniu może być tylko jedna jedynka. W całej książce pisząc pierścień, mamy na myśli pierścień przemienny z jedynką, tak więc spełniający aksjomaty od 1) do 4) wymienione powyżej. Uwaga. W 4) nie zakładamy, że 1 jest różne od 0. Jeśli tak jest, wtedy dla każdego x A mamy x = x1 = x0 = 0, a więc A posiada tylko jeden element: 0. W takim przypadku A jest pierścieniem zerowym, oznaczanym również przez 0. Homomorfizmem pierścieni nazywamy odwzorowanie f prowadzące z pierścienia A w pierścień B takie, że: i) f(x + y) = f(x) + f(y) (oznacza to, iż f jest homomorfizmem grup abelowych, więc również f(x y) = f(x) f(y), f( x) = f(x), f(0) = 0); ii) f(xy) = f(x)f(y); iii) f(1) = 1. Inaczej mówiąc, f jest addytywne, multiplikatywne i zachowuje jedynkę.
12 1. PIERŚCIENIE I IDEAŁY Podzbiór S pierścienia A nazywamy podpierścieniem A, gdy S jest zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie oraz zawiera jedynkę pierścienia A. Funkcja identycznościowa prowadząca z S w A jest wtedy homomorfizmem pierścieni. Jeśli f : A B, g : B C są homomorfizmami pierścieni, to wówczas ich złożenie g f : A C jest również homomorfizmem pierścieni. Ideały, pierścienie ilorazowe Ideałem a pierścienia A nazywamy podzbiór A, który jest podgrupą ze względu na dodawanie oraz Aa a (tzn. x A i y a implikuje xy a). W grupie ilorazowej A/a istnieje kanoniczne mnożenie indukowane z A, które tworzy z tej grupy pierścień, zwany pierścieniem ilorazowym A/a. Elementami A/a są klasy abstrakcji względem a elementów z A. Odwzorowanie φ: A A/a, które przypisuje każdemu x A jego klasę abstrakcji x + a, jest surjektywnym homomorfizmem pierścieni. Często będziemy wykorzystywać następujący fakt: Stwierdzenie 1.1. Istnieje wzajemnie jednoznaczne, zachowujące inkluzje odwzorowanie pomiędzy ideałami b pierścienia A, które zawierają a, a ideałami b pierścienia A/a, zadane przez b = φ 1 (b). Jeśli f : A B jest homomorfizmem pierścieni, to jądro f(= f 1 (0)) jest ideałem a w A, natomiast obraz f(= f(a)) jest podpierścieniem C pierścienia B; w takim przypadku f indukuje izomorfizm pierścieni A/a = C. Czasami będziemy używać zapisu x y (mod a), który oznacza, iż x y a. Dzielniki zera, elementy nilpotentne, jedności Dzielnikiem zera w pierścieniu A nazywamy element x, który dzieli 0, tzn. dla którego istnieje element y 0 pierścienia A taki, że xy = 0. Pierścień bez dzielników zera 0 (i taki w którym 1 0) nazywamy pierścieniem całkowitym. Na przykład Z i k[x 1,..., x n ] (k ciało, x i zmienne) są pierścieniami całkowitymi. Element x A jest nilpotentny 1, gdy x n = 0 dla pewnego n > 0. Element nilpotentny jest dzielnikiem zera (o ile A 0), lecz (w ogólnym przypadku) nie na odwrót. Jednością w A nazywamy element x, który dzieli 1, tzn. taki, że xy = 1 dla pewnego y A. W takim przypadku y jest jednoznacznie wyznaczony przez x i jest oznaczany x 1. Jedności pierścienia A tworzą (multiplikatywną) grupę abelową. Wielokrotności ax elementu x A tworzą ideał główny, oznaczany przez (x) lub Ax. Element x jest jednością (x) = A = (1). Ideał zerowy (0) jest standardowo oznaczany przez 0. Ciałem nazywamy pierścień A, w którym 1 0 oraz każdy niezerowy element jest jednością. Każde ciało jest pierścieniem całkowitym (lecz nie na odwrót: Z nie jest ciałem). Stwierdzenie 1.2. Niech A będzie pierścieniem 0. Następujące warunki są równoważne: i) Pierścień A jest ciałem; ii) Jedyne ideały w A to 0 i (1); iii) Każdy homomorfizm z pierścienia A w niezerowy pierścień B jest injektywny. 1 Czasami używa się też określenia nilpotent (przyp. tłum.).
IDEAŁY PIERWSZE I IDEAŁY MAKSYMALNE 13 Dowód. i) ii). Niech a 0 będzie ideałem A. W takim przypadku a zawiera niezerowy element x; x jest jednością, zatem a (x) = (1), a więc a = (1). ii) iii). Niech φ: A B będzie homomorfizmem pierścieni. W takim przypadku Ker(φ) jest ideałem (1) pierścienia A, a więc Ker(φ) = 0, zatem φ jest injektywne. iii) i). Niech x będzie dowolnym elementem A, który nie jest jednością. W takim przypadku (x) (1), a więc B = A/(x) jest niezerowym pierścieniem. Niech φ: A B będzie kanonicznym epimorfizmem A w B, którego jądrem jest (x). Z założenia φ jest injektywne, więc (x) = 0, a zatem x = 0. Ideały pierwsze i ideały maksymalne Ideał p pierścienia A nazywamy pierwszym, gdy p (1) oraz xy p x p lub y p. Ideał m pierścienia A nazywamy maksymalnym, gdy m (1) oraz nie istnieje ideał a taki, że m a (1) (silne inkluzje). Równoważnie: p jest pierwszy A/p jest pierścieniem całkowitym; m jest maksymalny A/m jest ciałem (z (1.1) i (1.2)). Tak więc każdy ideał maksymalny jest pierwszy (ale w ogólnym przypadku nie na odwrót). Ideał zerowy jest pierwszy A jest pierścieniem całkowitym. Jeśli f : A B jest homomorfizmem pierścieni i q jest ideałem pierwszym w B, to f 1 (q) jest ideałem pierwszym w A, gdyż A/f 1 (q) jest izomorficzny z podpierścieniem B/q, a więc nie posiada dzielników zera 0. Jeśli natomiast n jest ideałem maksymalnym pierścienia B, to f 1 (n) niekoniecznie jest maksymalny w A; jedyne, co możemy o nim stwierdzić, to to, że jest on pierwszy. (Przykład: A = Z, B = Q, n = 0.) Ideały pierwsze są kluczowymi obiektami w całej algebrze przemiennej. Następujące twierdzenie oraz wnioski z niego wynikające pokazują, iż istnieją one w dowolnym pierścieniu. Twierdzenie 1.3. Dowolny pierścień A 0 posiada przynajmniej jeden ideał maksymalny. (Pamiętajmy, iż pierścień oznacza pierścień przemienny z 1.) Dowód. Jest to standardowe zastosowanie lematu Kuratowskiego Zorna 2. Niech Σ będzie zbiorem wszystkich ideałów (1) pierścienia A. Na Σ wprowadzamy częściowy porządek zadany przez inkluzję. Zbiór Σ nie jest pusty, gdyż 0 Σ. Chcąc zastosować lemat Kuratowskiego Zorna, musimy wykazać, iż każdy łańcuch w Σ posiada majorantę należącą do Σ; jeśli (a α ) jest łańcuchem ideałów w Σ, to dla każdej pary indeksów α,β wiemy, że a α a β lub a β a α. Niech a = α a α. Otrzymany zbiór a jest ideałem (proszę sprawdzić) oraz 1 a, gdyż 1 a α dla każdego α. Stąd a Σ oraz oczywiście a jest majorantą danego łańcucha. Z lematu Kuratowskiego Zorna w Σ istnieje element maksymalny. 2 Niech S będzie niepustym, częściowo uporządkowanym zbiorem (tzn. na S zadana jest relacja x y, która jest zwrotna, przechodnia oraz słabo antysymetryczna, tj. x y i y x implikują y = x). Podzbiór T zbioru S nazywamy łańcuchem, jeśli dla każdej pary elementów x, y z T, x y lub y x. Lemat Kuratowskiego Zorna orzeka, iż: jeśli każdy łańcuch T w S ma majorantę (tzn. istnieje x S taki, że t x dla każdego t T ), to w S istnieje element maksymalny. Dowód równoważności lematu Kuratowskiego Zorna, pewnika wyboru, twierdzenia o istnieniu dobrego porządku itd. znajduje się np. w książce P.R. Halmosa pt. Naive Set Theory, Van Nostrand, 1960, Springer-Verlag, 1974.
14 1. PIERŚCIENIE I IDEAŁY Wniosek 1.4. Jeśli a (1) jest ideałem pierścienia A, to istnieje ideał maksymalny pierścienia A, zawierający a. Dowód. Wystarczy zastosować twierdzenie (1.3) do A/a, pamiętając o stwierdzeniu (1.1). Można również zmodyfikować dowód (1.3). Wniosek 1.5. Dowolny element niebędący jednością w A jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym. Uwagi. 1) Jeśli A jest noetherowski (rozdział 7), możemy uniknąć odwoływania się do lematu Kuratowskiego Zorna: zbiór wszystkich ideałów (1) posiada element maksymalny. 2) Istnieją pierścienie z dokładnie jednym ideałem maksymalnym, np. ciała. Pierścień A z dokładnie jednym ideałem maksymalnym m nazywany jest pierścieniem lokalnym. Ciało k = A/m nazywane jest ciałem rezydualnym pierścienia A. Stwierdzenie 1.6. i) Niech A będzie pierścieniem, a m (1) ideałem A takim, że dowolny x A\m jest jednością pierścienia A. W takim przypadku A jest pierścieniem lokalnym, a m jego jedynym maksymalnym ideałem. ii) Niech A będzie pierścieniem z ideałem maksymalnym m takim, że dowolny element zbioru 1+m (tzn. dowolny element postaci 1+x, gdzie x m) jest jednością. Wtedy A jest pierścieniem lokalnym. Dowód. i) Każdy ideał (1) nie zawiera jedności, więc jest zawarty w m. To oczywiście implikuje, iż m jest jedynym ideałem maksymalnym pierścienia A. ii) Niech x A\m. Ideał m jest ideałem maksymalnym, a więc m + Ax = (1). Wiemy zatem, iż istnieją a A, y m takie, że ax + y = 1. Stąd ax = 1 y, więc ax 1+m, toteż, z założenia, ax jest jednością. Teza wynika teraz z podpunktu i). Pierścień w którym istnieje jedynie skończenie wiele ideałów maksymalnych, nazywamy semilokalnym. Przykłady. 1) A = k[x 1,..., x n ], k ciało. Niech f A będzie wielomianem nierozkładalnym. Z jednoznaczności rozkładu ideał (f) jest pierwszy. 2) A = Z. Każdy ideał w Z ma postać (m) dla pewnego m 0. Ideał (m) jest pierwszy m = 0 lub m jest liczbą pierwszą. Wszystkie ideały (p), gdzie p jest liczbą pierwszą, są maksymalne: Z/(p) jest ciałem p elementowym. To samo dotyczy przykładu 1) dla n = 1, lecz nie dla n > 1. Ideał m wszystkich wielomianów w A = k[x 1,..., x n ] o współczynniku wolnym równym zeru jest maksymalny (jest to jądro epimorfizmu A k, który przypisuje f A wartość f(0)). Jednak dla n > 1 ideał m nie jest główny: minimalny zbiór generatorów zawiera n elementów. 3) Dziedziną ideałów głównych nazywamy pierścień całkowity, w którym każdy ideał jest główny. W takim pierścieniu każdy niezerowy ideał pierwszy jest maksymalny, bo jeśli (x) (0) jest ideałem pierwszym oraz (y) (x), to x (y), czyli x = yz, a więc yz (x) i y (x), zatem z (x): powiedzmy z = tx. W takim przypadku x = yz = ytx, toteż yt = 1 i (y) = (1).
NILRADYKAŁ ORAZ RADYKAŁ JACOBSONA 15 Nilradykał oraz radykał Jacobsona Stwierdzenie 1.7. Zbiór R wszystkich elementów nilpotentnych pierścienia A jest ideałem. Ponadto jedynym elementem nilpotentnym pierścienia A/R jest 0. Dowód. Jeśli x R, to oczywiście ax R dla każdego a A. Niech x, y R: przyjmijmy x m = 0, y n = 0. Ze wzoru dwumianowego Newtona (prawdziwego w dowolnym pierścieniu przemiennym) (x + y) m+n 1 jest sumą iloczynów postaci x r y s, gdzie r + s = m + n 1, r, s 0; nie mogą zachodzić równocześnie nierówności r < m i s < n, a zatem każdy z iloczynów we wzorze wynosi 0, toteż (x+y) m+n 1 = 0. Mamy więc x + y R, a więc istotnie R jest ideałem. Niech x A będzie reprezentantem klasy równoważności x A/R. W takim przypadku x n jest reprezentowane przez x n, więc x n = 0 x n R (x n ) k = 0 dla pewnego k > 0 x R x = 0. Ideał R nazywany jest nilradykałem pierścienia A. Następne twierdzenie podaje alternatywną definicję R: Stwierdzenie 1.8. Nilradykał A jest równy przecięciu wszystkich ideałów pierwszych pierścienia A. Dowód. Niech R oznacza przecięcie wszystkich ideałów pierwszych pierścienia A. Jeśli f A jest nilpotentny oraz p jest ideałem pierwszym, to f n = 0 p dla pewnego n > 0, więc f p (bo p jest pierwszy), stąd f R. W celu wykazania inkluzji w drugą stronę przyjmijmy, iż f nie jest nilpotentny. Niech Σ będzie zbiorem ideałów a o własności n > 0 f n a. Zbiór Σ nie jest pusty, gdyż 0 Σ. Podobnie jak w (1.3) do zbioru Σ z porządkiem zadanym przez inkluzję możemy zastosować lemat Kuratowskiego Zorna. Wiemy więc, iż Σ posiada element maksymalny. Oznaczmy go przez p. Wykażemy, że p jest ideałem pierwszym. Niech x, y p. W takim przypadku ideały p + (x) oraz p + (y) silnie zawierają p, więc nie należą do Σ; stąd f m p + (x), f n p + (y) dla pewnych m, n. Wynika stąd, iż f m+n p + (xy), więc p + (xy) nie należy do Σ, a zatem xy p. Istnieje więc ideał pierwszy p taki, że f p, co pokazuje, iż f R. Radykał Jacobsona R pierścienia A definiujemy jako przecięcie wszystkich maksymalnych ideałów A. Można go również scharakteryzować w następujący sposób: Stwierdzenie 1.9. x R 1 xy jest jednością pierścienia A dla każdego y A. Dowód. : Przypuśćmy, że 1 xy nie jest jednością. Z wniosku (1.5) otrzymujemy, iż 1 xy m dla pewnego ideału maksymalnego m, lecz x R m, więc xy m, a zatem 1 m, co jest niemożliwe. : Przypuśćmy, iż x m dla pewnego ideału maksymalnego m. W takim przypadku m oraz x generują ideał (1), więc u + xy = 1 dla pewnego u m oraz pewnego y A. Stąd 1 xy m, więc nie jest jednością.
16 1. PIERŚCIENIE I IDEAŁY Operacje na ideałach Niech a, b będą ideałami pierścienia A. Definiujemy ich sumę a + b jako zbiór wszystkich elementów postaci x + y, gdzie x a i y b. Jest to najmniejszy ideał zawierający a i b. W ogólnym przypadku możemy zdefiniować sumę i I a i dowolnej (również nieskończonej) rodziny ideałów a i pierścienia A; jej elementami są wszystkie sumy postaci x i, gdzie x i a i dla i I oraz prawie wszystkie x i (tzn. wszystkie poza skończoną ilością) są równe zeru. Jest to najmniejszy ideał A zawierający wszystkie ideały a i. Przecięcie dowolnej rodziny (a i ) i I ideałów jest również ideałem, tak więc ideały A tworzą kratę zupełną ze względu na inkluzję. Iloczynem dwóch ideałów a, b w A nazywamy ideał ab generowany przez wszystkie iloczyny xy, gdzie x a i y b. Jest to zbiór wszystkich skończonych sum x i y i, gdzie wszystkie x i a i y i b. Analogicznie definiujemy iloczyn dowolnej skończonej rodziny ideałów. W szczególności definiujemy potęgi a n (n > 0) ideału a; przyjmujemy oznaczenie a 0 = (1). Widzimy więc, iż a n (n > 0) jest ideałem generowanym przez wszystkie iloczyny x 1 x 2... x n w których każdy czynnik x i należy do a. Przykłady. 1) Dla A = Z, a = (m), b = (n) ideał a + b jest generowany przez NWD(m, n); a b jest ideałem generowanym przez NWW(m, n); oraz ab = (mn). W takim przypadku ab = a b m, n są względnie pierwsze. 2) A = k[x 1,..., x n ], a = (x 1,..., x n ) = ideał generowany przez x 1,..., x n. Wtedy a m jest zbiorem wielomianów nieposiadających współczynników stopnia < m. Trzy działania na ideałach zdefiniowane do tej pory (suma, przecięcie i iloczyn) są przemienne i łączne. Iloczyn jest również rozdzielny względem sumy: a(b + c) = ab + ac. W pierścieniu Z działania oraz + są wzajemnie rozdzielne względem siebie. W ogólności nie jest to prawdą, a najbliższą zachodzącą własnością jest modularność: a (b + c) = a b + a c, gdy a b lub a c. W pierścieniu Z zachodzi również (a+b)(a b) = ab, jednak w ogólnym przypadku otrzymujemy jedynie (a+b)(a b) ab (gdyż (a+b)(a b) = a(a b) +b(a b) ab). Oczywiście ab a b, więc a b = ab, jeśli tylko a + b = (1). O dwóch ideałach a, b mówimy, że są względnie pierwsze, jeśli a + b = (1). Tak więc dla ideałów względnie pierwszych otrzymujemy a b = ab. Oczywiście dwa ideały a, b są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje x a oraz y b takie, że x + y = 1. Niech A 1,..., A n będą pierścieniami. Ich produkt n A = i=1 to zbiór ciągów postaci x = (x 1,..., x n ), gdzie x i A i (1 i n) oraz dodawanie i mnożenie są zdefiniowane po współrzędnych. A jest pierścieniem przemiennym z jedynką daną przez (1, 1,..., 1). Istnieją rzutowania p i : A A i zdefiniowane jako p i (x) = x i ; są to homomorfizmy pierścieni. A i
OPERACJE NA IDEAŁACH 17 Niech A będzie pierścieniem, a a 1,..., a n ideałami pierścienia A. Zdefiniujmy homomorfizm n φ: A (A/a i ) dany wzorem φ(x) = (x + a 1,..., x + a n ). Stwierdzenie 1.10. i) Jeśli a i, a j są względnie pierwsze dla i j, to a i = a i. ii) φ jest surjektywne a i, a j są względnie pierwsze dla i j. iii) φ jest injektywne a i = (0). i=1 Dowód. i) dowodzimy indukcyjnie ze względu na n. Przypadek n = 2 został rozpatrzony powyżej. Przypuśćmy, iż n > 2 oraz twierdzenie jest prawdziwe dla a 1,..., a n 1. Niech b = n 1 i=1 a i = n 1 i=1 a i. Z założenia a i + a n = (1) (1 i n 1), więc x i + y i = 1 (x i a i, y i a n ), skąd otrzymujemy n 1 i=1 n 1 x i = (1 y i ) 1(mod a n ). i=1 Widzimy więc, iż a n + b = (1), co daje nam n a i = ba n = b a n = i=1 n a i. ii) : Pokażmy dla przykładu, iż a 1, a 2 są względnie pierwsze. Istnieje x A takie, że φ(x) = (1, 0,..., 0); więc x 1 (mod a 1 ) oraz x 0 (mod a 2 ), co daje: i=1 1 = (1 x) + x a 1 + a 2. : Wystarczy oczywiście wykazać, iż istnieje x A taki, że φ(x) = (1, 0,..., 0) 3. Z założenia a 1 + a i = (1) (i > 1), więc mamy u i + v i = 1 (u i a 1, v i a i ). Niech x = n i=2 v i = n i=2 (1 u i). W takim przypadku x 1 (mod a 1 ) oraz x 0 (mod a i ) dla i > 1, więc φ(x) = (1, 0,..., 0). iii) Oczywiste, gdyż a i jest jądrem φ. Suma mnogościowa a b dwóch ideałów nie musi być ideałem. Stwierdzenie 1.11. i) Niech p 1,..., p n będą ideałami pierwszymi i niech a będzie ideałem zawartym w n i=1 p i. Wtedy a p i dla pewnego i. ii) Niech a 1,..., a n będą ideałami oraz niech p będzie ideałem pierwszym zawierającym n i=1 a i. W takim przypadku p a i dla pewnego i. Ponadto, jeśli p = n i=1 a i, to p = a i dla pewnego i. Dowód. i) Przeprowadzimy dowód indukcyjny (ze względu na n) następującego faktu: n a p i dla (1 i n) a p i. Dla n = 1 stwierdzenie jest oczywiste. Jeśli n > 1 oraz twierdzenie jest prawdziwe dla n 1, to dla każdego i istnieje x i a taki, że x i p j dla j i. 3 Elementy A posiadające 1 na i-tej współrzędnej (1 i n) i 0 na pozostałych generują A (przyp. tłum.). i=1
18 1. PIERŚCIENIE I IDEAŁY Jeśli dla pewnego i mamy, że x i p i to dowód jest zakończony. W przeciwnym wypadku x i p i dla każdego i. Rozważmy element n y = x 1 x 2... x i 1 x i+1 x i+2... x n ; i=1 oczywiście y a oraz y p i (1 i n). Widzimy więc, że a n i=1 p i. ii) Przypuśćmy, że p a i dla każdego i. Istnieją więc x i a i, x i p (1 i n), skąd otrzymujemy, że x i a i a i ; lecz x i p (gdyż p jest pierwszy). Widzimy więc, iż p a i. Oczywiście, jeśli p = a i, to p a i (dla każdego i). Z pierwszej części twierdzenia otrzymujemy, że p = a i dla pewnego i. Dla ideałów a, b pierścienia A ich ideałem ilorazowym nazywamy ideał (a : b) = {x A : xb a}. W szczególności (0 : b) jest nazywany anihilatorem b i często jest oznaczany Ann(b): jest to zbiór wszystkich x A takich, że xb = 0. Przy powyższych oznaczeniach zbiór dzielników zera pierścienia A jest dany poprzez D = x 0 Ann(x). W przypadku gdy b jest ideałem głównym (x), będziemy stosować oznaczenie (a : x) zamiast (a : (x)). Przykład. Jeśli A = Z, a = (m), b = (n), gdzie m = p pµ p, n = p pν p, to (a : b) = (q), gdzie q = p pγ p oraz γ p = max(µ p ν p, 0) = µ p min(µ p, ν p ). W tym przypadku q = m/(m, n), gdzie (m, n) oznacza NWD(m, n). Ćwiczenie 1.12. i) a (a : b); ii) (a : b)b a; iii) ((a : b) : c) = (a : bc) = ((a : c) : b); iv) ( i a i : b) = i (a i : b); v) (a : i b i) = i (a : b i). Niech a będzie ideałem pierścienia A. Radykałem ideału a nazywamy r(a) = {x A : x n a dla pewnego n > 0}. Jeśli φ: A A/a jest kanonicznym homomorfizmem, to r(a) = φ 1 (R A/a ), więc r(a), dzięki stwierdzeniu (1.7), jest ideałem. Ćwiczenie 1.13. i) r(a) a; ii) r(r(a)) = r(a); iii) r(ab) = r(a b) = r(a) r(b); iv) r(a) = (1) a = (1); v) r(a + b) = r(r(a) + r(b)); vi) jeśli p jest ideałem pierwszym, to r(p n ) = p dla każdego n > 0. Stwierdzenie 1.14. Radykał ideału a jest równy przecięciu wszystkich ideałów pierwszych zawierających a. Dowód. Wystarczy zastosować stwierdzenie (1.8) do A/a.
ROZSZERZENIE I ZAWĘŻENIE 19 W przypadku ogólnym możemy analogicznie zdefiniować radykał r(e) dla dowolnego podzbioru E pierścienia A. Nie zawsze jest to ideał. Zachodzi jednak r( α E α ) = α r(e α ) dla dowolnej rodziny podzbiorów E α pierścienia A. Stwierdzenie 1.15. D = zbiór dzielników zera pierścienia A = x 0 r(ann(x)). Dowód. D = r(d) = r( x 0 Ann(x)) = x 0 r(ann(x)). Przykład. Dla A = Z, a = (m) niech p i (1 i r) będą wszystkimi różnymi dzielnikami pierwszymi liczby m. W takim przypadku r(a) = (p 1... p r ) = r i=1 (p i). Stwierdzenie 1.16. Jeśli a, b są ideałami pierścienia A takimi, że r(a), r(b) są względnie pierwsze, to a, b są względnie pierwsze. Dowód. r(a + b) = r(r(a) + r(b)) = r(1) = (1), więc, na mocy (1.13), otrzymujemy, że a + b = (1). Rozszerzenie i zawężenie Niech f : A B będzie homomorfizmem pierścieni. Dla ideału a pierścienia A, zbiór f(a) nie musi być ideałem pierścienia B (np. dla f będącego zanurzeniem Z w Q oraz dowolnego niezerowego ideału a pierścienia Z). Rozszerzeniem a e ideału a nazywamy ideał Bf(a) generowany przez f(a) w pierścieniu B: dokładniej, a e jest zbiorem wszystkich skończonych sum postaci y i f(x i ) dla dowolnych x i a, y i B. Jeśli b jest ideałem pierścienia B, to f 1 (b) jest zawsze ideałem pierścienia A nazywanym zawężeniem ideału b i oznaczanym przez b c. Zawężenie ideału pierwszego jest również ideałem pierwszym. Rozszerzenie ideału pierwszego nie musi być ideałem pierwszym (np. f : Z Q, a 0; w takim przypadku a e = Q, który nie jest ideałem pierwszym). Homomorfizm f możemy rozłożyć w następujący sposób: A p f(a) j B, gdzie p jest surjekcją, a j injekcją. Dla odwzorowania p sytuacja jest bardzo prosta (1.1): istnieje bijekcja pomiędzy zbiorem ideałów pierścienia f(a) a ideałami pierścienia A zawierającymi Ker(f), przy czym ideały pierwsze odpowiadają ideałom pierwszym. Przypadek odwzorowania j może być znacznie bardziej skomplikowany. Klasycznego przykładu dostarcza nam algebraiczna teoria liczb. Przykład. Rozważmy zanurzenie Z Z[i], gdzie i = 1. Rozszerzenie ideału pierwszego (p) pierścienia Z może być lub nie być ideałem pierwszym w pierścieniu Z[i]. Pierścień Z[i] jest dziedziną ideałów głównych (jest to pierścień euklidesowy). Charakteryzacja rozszerzeń ideałów pierwszych przedstawia się następująco: i) (2) e = ((1 + i) 2 ) jest to kwadrat ideału pierwszego w Z[i]; ii) jeśli p 1 (mod 4), to (p) e jest iloczynem dwóch różnych ideałów pierwszych (np. (5) e = (2 + i)(2 i)); iii) jeśli p 3 (mod 4), to (p) e jest ideałem pierwszym pierścienia Z[i].
20 1. PIERŚCIENIE I IDEAŁY Z podanych wyżej faktów ii) nie jest trywialny. Jest on równoważny twierdzeniu Fermata mówiącemu, iż liczba pierwsza p 1 (mod 4) może być jednoznacznie przedstawiona jako suma kwadratów dwóch liczb naturalnych (np. 5 = 2 2 + 1 2, 97 = 9 2 + 4 2 itd.) 4. W rzeczywistości badanie podobnych rozszerzeń ideałów pierwszych jest jednym z centralnych problemów algebraicznej teorii liczb. Niech f : A B, a oraz b jak wyżej. W takim przypadku: Stwierdzenie 1.17. i) a a ec, b b ce. ii) b c = b cec, a = a ece. iii) Niech C będzie zbiorem ideałów pierścienia A będących zawężeniami pewnych ideałów pierścienia B, a E niech będzie zbiorem ideałów pierścienia B będących rozszerzeniami ideałów pierścienia A. W takim przypadku C = {a : a ec = a}, E = {b : b ce = b} oraz odwzorowanie a a e jest bijekcją z C na E, do której odwzorowaniem odwrotnym jest b b c. Dowód. i) jest oczywiste. ii) wynika bezpośrednio z i). iii) Jeśli a C, to a = b c = b cec = a ec. Odwrotnie, jeśli a = a ec, to a jest zawężeniem a e. Analogicznie dla E. Ćwiczenie 1.18. Niech a 1, a 2 będą ideałami pierścienia A oraz b 1, b 2 będą ideałami pierścienia B. W takim przypadku: (a 1 + a 2 ) e = a e 1 + a e 2; (b 1 + b 2 ) c b c 1 + b c 2; (a 1 a 2 ) e a e 1 a e 2; (b 1 b 2 ) c = b c 1 b c 2; (a 1 a 2 ) e = a e 1a e 2; (b 1 b 2 ) c b c 1b c 2; (a 1 : a 2 ) e (a e 1 : a e 2); (b 1 : b 2 ) c (b c 1 : b c 2); r(a 1 ) e r(a e 1); r(b 1 ) c = r(b c 1). Zbiór ideałów E jest zamknięty za względu na sumę i iloczyn, natomiast C jest zamknięty za względu na trzy pozostałe operacje 5. Zadania (1) Niech x będzie elementem nilpotentnym pierścienia A. Wykazać, że 1 + x jest jednością pierścienia A. Następnie udowodnić, iż suma elementu nilpotentnego i jedności jest jednością. (2) Niech A będzie pierścieniem, a A[x] pierścieniem wielomianów zmiennej x o współczynnikach z pierścienia A. Niech f = a 0 + a 1 x + + a n x n A[x]. Udowodnić, że: i) f jest jednością pierścienia A[x] a 0 jest jednością pierścienia A oraz a 1,..., a n są nilpotentami. [Jeśli b 0 +b 1 x+ +b m x m jest odwrotnością f, to można udowodnić indukcyjnie ze względu na r, iż a r+1 n b m r = 0. Stąd a n jest elementem nilpotentnym i wystarczy skorzystać z zadania 1.] ii) f jest nilpotentny a 0, a 1,..., a n są nilpotentne. 4 Istnienie co najmniej jednego takiego przedstawienia jest faktem elementarnym, którego dowód można znaleźć w książce M. Aignera oraz G. M. Zieglera pt. Dowody z Księgi, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002. Jednoznaczność wynika z faktorialności pierścienia Z[i] (przyp. tłum.). 5 Zbiór C jest zamknięty ze względu na iloraz, gdyż (b c 1 : b c 2 ) (bc 1 : bc 2 )ec (b ce 1 : bce 2 )c (b cec 1 : b cec 2 ) = (bc 1 : bc 2 ), więc wszędzie zachodzą równości.
ZADANIA 21 iii) f jest dzielnikiem zera istnieje a 0, a A takie, że af = 0. [Niech g = b 0 + b 1 x + + b m x m będzie wielomianem o najniższym możliwym stopniu takim, że fg = 0. Stąd a n b m = 0, więc a n g = 0 (a n g anihiluje f oraz ma niższy stopień niż wielomian g). Indukcyjnie ze względu na r można wykazać, iż a n r g = 0.] iv) f nazywamy wielomianem pierwotnym, gdy (a 0, a 1,..., a n ) = (1). Udowodnić, iż dla dowolnych f, g A[x] zachodzi: fg jest pierwotny f i g są pierwotne. (3) Uogólnić twierdzenie z zadania 2 na pierścień A[x 1,..., x r ] wielomianów wielu zmiennych. (4) Wykazać, iż w pierścieniu A[x] radykał Jacobsona jest równy nilradykałowi. (5) Niech A będzie pierścieniem oraz A[[x]] pierścieniem szeregów formalnych f = n=0 a nx n o współczynnikach z pierścienia A. Udowodnić, że: i) f jest jednością w A[[x]] a 0 jest jednością w A. ii) Jeśli f jest elementem nilpotentnym, to a n są elementami nilpotentnymi dla każdego n 0. Czy implikacja przeciwna zachodzi? (porównaj rozdział 7, zadanie 2) iii) f należy do radykału Jacobsona pierścienia A[[x]] a 0 należy do radykału Jacobsona pierścienia A. iv) Zawężenie ideału maksymalnego m pierścienia A[[x]] jest ideałem maksymalnym pierścienia A oraz m jest generowany przez m c i x. v) Każdy ideał pierwszy pierścienia A jest zawężeniem ideału pierwszego pierścienia A[[x]]. (6) Niech A będzie pierścieniem takim, że każdy ideał niezawarty w nilradykale zawiera niezerowy idempotent (element e taki, że e 2 = e 0). Wykazać, że w pierścieniu A nilradykał oraz radykał Jacobsona są sobie równe. (7) Niech A będzie pierścieniem, którego każdy element x spełnia x n = x dla pewnego n > 0 (n zależy od x). Udowodnić, że każdy ideał pierwszy pierścienia A jest maksymalny. (8) Niech A będzie niezerowym pierścieniem. Wykazać, że rodzina ideałów pierwszych posiada element minimalny ze względu na inkluzje. (9) Niech a (1) będzie ideałem pierścienia A. Wykazać, że a = r(a) a jest przecięciem pewnej rodziny ideałów pierwszych. (10) Niech A będzie pierścieniem o nilradykale R. Wykazać, że następujące warunki są równoważne: i) A posiada dokładnie jeden ideał pierwszy; ii) każdy element pierścienia A jest jednością lub nilpotentem; iii) A/R jest ciałem. (11) Pierścień A nazywamy pierścieniem Boole a, gdy x 2 = x dla każdego x A. Wykazać, że w pierścieniu Boole a zachodzą następujące fakty: i) 2x = 0 dla każdego x A; ii) Każdy ideał pierwszy p jest maksymalny oraz ciało A/p składa się z dwóch elementów; iii) Każdy skończenie generowany ideał pierścienia A jest główny. (12) Udowodnić, że pierścień lokalny nie posiada idempotentów różnych od 0 i 1.
22 1. PIERŚCIENIE I IDEAŁY Konstrukcja domknięcia algebraicznego ciała (E. Artin). (13) Niech K będzie ciałem oraz Σ zbiorem nierozkładalnych, unormowanych 6 wielomianów f jednej zmiennej o współczynnikach z ciała K. Niech A będzie pierścieniem wielomianów o współczynnikach z ciała K o zmiennych x f dla każdego f Σ. Niech a będzie ideałem pierścienia A wygenerowanym przez wielomiany f(x f ) dla każdego f Σ. Wykazać, że a (1). Niech m będzie ideałem maksymalnym pierścienia A zawierającym a oraz niech K 1 = A/m. W takim przypadku K 1 jest rozszerzeniem ciała K, w którym każdy wielomian f Σ ma pierwiastek. Analogicznie konstruujemy K 2, zastępując K ciałem K 1. Ogólnie otrzymujemy ciąg kolejnych ciał K n. Niech L = n=1 K n. Wtedy L jest ciałem, w którym każdy wielomian f Σ rozkłada się na czynniki liniowe. Niech K będzie zbiorem tych elementów L, które są algebraiczne nad K. Otrzymane ciało K jest domknięciem algebraicznym ciała K. (14) Niech A będzie pierścieniem, a Σ zbiorem wszystkich ideałów złożonych z samych dzielników zera. Wykazać, że Σ posiada elementy maksymalne oraz że każdy element maksymalny Σ jest ideałem pierwszym. Stąd wynika, iż zbiór dzielników zera pierścienia A jest sumą ideałów pierwszych. Spektrum pierścienia (15) Niech A będzie pierścieniem oraz X zbiorem ideałów pierwszych pierścienia A. Dla każdego podzbioru E pierścienia A, niech V (E) oznacza zbiór wszystkich ideałów pierwszych zawierających E. Udowodnić, że: i) Jeśli a jest ideałem generowanym przez E, to V (E) = V (a) = V (r(a)). ii) V (0) = X, V (1) =. iii) Dla dowolnej rodziny (E i ) i I podzbiorów A zachodzi wzór: V ( i I E i ) = i I V (E i ). iv) Dla dowolnych ideałów a, b pierścienia A zachodzi wzór V (a b) = V (ab) = V (a) V (b). Widać więc, iż zbiory V (E) spełniają aksjomaty zbiorów domkniętych w przestrzeni topologicznej. Otrzymaną topologię nazywamy topologią Zariskiego. Przestrzeń topologiczna X jest nazywana spektrum pierścienia A i oznaczana przez Spec(A). (16) Narysować Spec(Z), Spec(R), Spec(C [x]), Spec(R[x]), Spec(Z[x]). (17) Dla każdego f A niech X f oznacza dopełnienie zbioru V (f) 7 w przestrzeni X = Spec(A). Zbiory X f są oczywiście otwarte. Wykazać, iż stanowią one bazę dla topologii Zariskiego oraz że i) X f X g = X fg ; ii) X f = f jest nilpotentem; iii) X f = X f jest jednością; iv) X f = X g r((f)) = r((g)); 6 Posiadających współczynnik 1 przy najwyższej potędze (przyp. tłum.). 7 V(f)=V({f})=V((f)) (przyp. tłum.).
ZADANIA 23 v) X jest quasi-zwarta (tzn. z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone); vi) Ogólniej, każdy zbiór X f jest quasi-zwarty; vii) Otwarty podzbiór przestrzeni X jest quasi-zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończoną sumą zbiorów X f. Zbiory X f są nazywane głównymi zbiorami otwartymi przestrzeni X = Spec(A). [Aby udowodnić (v), wystarczy wpierw zauważyć, iż można rozważać tylko pokrycia składające się z głównych zbiorów otwartych X fi (i I). Następnie wykazać, iż f i generują ideał będący całym pierścieniem, więc 1 = g i f i (g i A), i J gdzie J jest pewnym skończonym podzbiorem I. Łatwo widać, iż X fi i J stanowią pokrycie X.] (18) Z przyczyn czysto psychologicznych czasami lepiej jest oznaczać ideał pierwszy pierścienia A literami, jak x lub y, gdy myślimy o nim jako o punkcie przestrzeni topologicznej X = Spec(A). W drugą stronę, gdy punkt x chcemy rozważać jako ideał pierścienia A, to wygodnie jest oznaczać go p x (oczywiście x i p x są tym samym ideałem pierwszym). Wykazać, że: i) Zbiór {x} jest domknięty (mówimy, że x jest punktem domkniętym) w przestrzeni Spec A p x jest maksymalny; ii) {x} = V (p x ); iii) y {x} p x p y ; iv) X jest przestrzenią T 0 (tzn. jeśli x, y są różnymi punktami X, to istnieje otoczenie punktu x, które nie zawiera punktu y, lub istnieje otoczenie punktu y, które nie zawiera punktu x) 8. (19) Przestrzeń topologiczna X jest nazywana nierozkładalną, gdy X oraz każda para niepustych, otwartych podzbiorów X przecina się niepusto. Równoważnie każdy niepusty, otwarty podzbiór X jest gęsty. Wykazać, że Spec(A) jest nierozkładalna wtedy i tylko wtedy, gdy nilradykał pierścienia A jest ideałem pierwszym. (20) Niech X będzie przestrzenią topologiczną. i) Jeśli Y jest nierozkładalną (zadanie 19) podprzestrzenią X, to domknięcie Y zbioru Y w X jest nierozkładalne. ii) Każda nierozkładalna podprzestrzeń X jest zawarta w maksymalnej nierozkładalnej podprzestrzeni. iii) Maksymalne nierozkładalne podprzestrzenie X są domknięte i pokrywają X. Są one nazywane nierozkładalnymi składowymi przestrzeni X. Jakie są składowe nierozkładalne przestrzeni Hausdorffa? iv) Niech A będzie pierścieniem oraz X = Spec(A). W takim przypadku składowe nierozkładalne X to zbiory domknięte postaci V (p), gdzie p jest minimalnym ideałem pierwszym pierścienia A (zadanie 8). (21) Niech φ: A B będzie homomorfizmem pierścieni. Niech X = Spec(A) oraz Y = Spec(B). Jeśli q Y, to φ 1 (q) jest ideałem pierwszym pierścienia 8 Ciekawym ćwiczeniem jest wykazanie, że jeśli X jest przestrzenią T1, to jest przestrzenią T 3 (przyp. tłum.).
24 1. PIERŚCIENIE I IDEAŁY A, czyli punktem przestrzeni X. Widać więc, iż φ indukuje odwzorowanie φ : Y X. Udowodnić, że i) Jeśli f A, to φ 1 (X f ) = Y φ(f), a zatem φ jest ciągłe. ii) Jeśli a jest ideałem pierścienia A, to φ 1 (V (a)) = V (a e ). iii) Jeśli b jest ideałem pierścienia B, to φ (V (b)) = V (b c ). iv) Jeśli φ jest surjekcją, to φ jest homeomorfizmem Y na domknięty podzbiór V (Ker(φ)) przestrzeni X. (W szczególności Spec(A) oraz Spec(A/R) (gdzie R oznacza nilradykał pierścienia A) są homeomorficzne.) v) Jeśli φ jest injektywne, to φ (Y ) jest gęstym podzbiorem X. Dokładniej, φ (Y ) jest gęstym podzbiorem X Ker(φ) R. vi) Jeśli ψ : B C jest również homomorfizmem pierścieni, to (ψ φ) = φ ψ. vii) Niech A będzie dziedziną całkowitości z dokładnie jednym niezerowym ideałem pierwszym p. Niech K będzie ciałem ułamków pierścienia A. Niech B = (A/p) K. Zdefiniujmy φ: A B wzorem φ(x) = (x, x), gdzie x jest obrazem x w pierścieniu A/p. Wykazać, że φ jest bijekcją, lecz nie jest homeomorfizmem. (22) Niech A = n i=1 A i będzie produktem prostym pierścieni A i. Wykazać, że Spec(A) jest rozłączną sumą otwartych (i równocześnie domkniętych) podprzestrzeni X i, gdzie X i jest kanonicznie homeomorficzna z Spec(A i ). Odwrotnie, niech A będzie dowolnym pierścieniem. Wykazać, że następujące warunki są równoważne: i) X = Spec(A) jest niespójna; ii) A = A 1 A 2 dla pewnych niezerowych pierścieni A 1, A 2 ; iii) A zawiera idempotent 0, 1. W szczególności spektrum pierścienia lokalnego jest zawsze spójne (zadanie 12). (23) Niech A będzie pierścieniem Boole a (zadanie 11) oraz X = Spec(A). i) Dla każdego f A zbiór X f (zadanie 17) jest równocześnie otwarty i domknięty w X. ii) Niech f 1,..., f n A. Wykazać, że X f1 X fn = X f dla pewnego f A. iii) Zbiory X f są jedynymi podzbiorami X, które są równocześnie otwarte i domknięte. [Niech Y X będzie zarówno domknięte, jak i otwarte. Y jest domkniętym podzbiorem zbioru quasi-zwartego X (zadanie 17), więc jest również quasi-zwarty. Stąd Y jest skończoną sumą głównych zbiorów otwartych. Teza wynika teraz z (ii).] iv) X jest zwarta 9. (24) Niech L będzie kratą, w której supremum i infimum dwóch elementów a, b oznaczamy odpowiednio przez a b oraz a b. Kratę L nazywamy kratą Boole a (lub algebrą Boole a), jeśli: i) Krata L posiada najmniejszy i największy element (oznaczane odpowiednio przez 0 i 1). ii) Działania i są wzajemnie rozdzielne. 9 Jest quasi-zwarta oraz jest przestrzenią Hausdorffa (przyp. tłum.).
ZADANIA 25 iii) Każdemu elementowi a L odpowiada jednoznacznie wyznaczone dopełnienie a L takie, że a a = 1 i a a = 0. (Np. rodzina wszystkich podzbiorów danego zbioru, z porządkiem wprowadzonym przez inkluzję, jest kratą Boole a.) Niech L będzie kratą Boole a. Definiujemy dodawanie i mnożenie w L przez: a + b = (a b ) (a b), ab = a b. Udowodnić, że tym sposobem otrzymujemy strukturę pierścienia Boole a na L. Otrzymany pierścień oznaczamy przez A(L). Odwrotnie, niech A będzie pierścieniem Boole a. Definiujemy porządek na A poprzez relację a b a = ab. Wykazać, że A z takim porządkiem jest kratą Boole a. [Supremum i infimum są zadane przez a b = a + b + ab, a b = ab, natomiast a = 1 a.] W ten sposób otrzymujemy wzajemną odpowiedniość pomiędzy pierścieniami Boole a a kratami Boole a. (25) Korzystając z dwóch poprzednich zadań, udowodnić twierdzenie Stone a: Każda krata Boole a jest izomorficzna z kratą otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej zwartej przestrzeni Hausdorffa. (26) Niech A będzie pierścieniem. Podprzestrzeń Spec(A) składającą się z wszystkich maksymalnych ideałów pierścienia A z topologią indukowaną nazywamy spektrum maksymalnym pierścienia A i oznaczamy Max(A). W ogólnym przypadku przestrzeń ta nie posiada własności funktorialnych Spec(A) (zadanie 21), ponieważ zawężenie ideału maksymalnego nie musi być ideałem maksymalnym. Niech X będzie przestrzenią zwartą oraz niech C(X) oznacza pierścień wszystkich ciągłych funkcji f : X R ((f + g)(x) = f(x) + g(x), (fg)(x) = f(x)g(x)). Dla każdego x X, niech m x będzie zbiorem wszystkich funkcji f C(X) takich, że f(x) = 0. Ideał m x jest maksymalny, gdyż jest jądrem (surjektywnego) homomorfizmu C(X) R, który f przyporządkowuje f(x). Niech X oznacza Max(C(X)). Otrzymujemy odwzorowanie µ : X X (µ(x) = m x ). Wykażemy, że µ jest homeomorfizmem X na X. i) Niech m będzie dowolnym ideałem maksymalnym pierścienia C(X) oraz niech V = V (m) będzie zbiorem wspólnych zer funkcji z ideału m, tzn: V = {x X : f(x) = 0 dla każdego f m}. Przypuśćmy, że V jest zbiorem pustym. W takim przypadku dla każdego x X istnieje f x m takie, że f x (x) 0. Korzystając z ciągłości f x, otrzymujemy otwarte otoczenie U x punktu x, na którym f x się nie zeruje. Przestrzeń X jest zwarta, więc istnieje skończona liczba zbiorów otwartych U x1,..., U xn pokrywających X. Niech f = f 2 x 1 + + f 2 x n. W takim przypadku f(x) 0 dla każdego x X, więc f jest jednością pierścienia C(X). Stąd f nie należy do m i otrzymujemy sprzeczność, więc V jest niepusty. Niech x V. Wtedy m m x. Korzystając z maksymalności m, otrzymujemy m = m x, więc µ jest surjekcją.
26 1. PIERŚCIENIE I IDEAŁY ii) Korzystając z lematu Urysohna (jest to jedyny nietrywialny fakt wykorzystywany w rozumowaniu), funkcje ciągłe rozdzielają punkty X. Stąd x y m x m y, więc µ jest injekcją. iii) Niech f C(X) oraz niech U f = {x X : f(x) 0}, Ũ f = {m X : f m}. Wykazać, że µ(u f ) = Ũf. Zbiory otwarte U f (odpowiednio Ũf ) stanowią bazę topologii na X (odpowiednio X), więc µ jest homeomorfizmem. Wynika stąd, iż z pierścienia funkcji rzeczywistych C(X) możemy odtworzyć wyjściową przestrzeń X. Afiniczne rozmaitości algebraiczne (27) Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym oraz niech f α (t 1,..., t n ) = 0 będzie układem równań wielomianowych n zmiennych o współczynnikach z ciała k. Zbiór X wszystkich punktów x = (x 1,..., x n ) k n, które spełniają dany układ równań, nazywamy afiniczną rozmaitością algebraiczną. Rozważmy zbiór wszystkich wielomianów g k[t 1,..., t n ], dla których g(x) = 0 dla każdego x X. Zbiór ten jest ideałem I(X) pierścienia wielomianów i nazywany jest ideałem rozmaitości X. Pierścień ilorazowy P (X) = k[t 1,..., t n ]/I(X) jest (izomorficzny z) pierścieniem funkcji wielomianowych na X, gdyż dwa wielomiany g, h przyjmują te same wartości na X wtedy i tylko wtedy, gdy g h znika tożsamościowo na X, czyli dokładnie wtedy, gdy g h I(X). Niech ξ i będzie obrazem t i w pierścieniu P (X). Takie ξ i (1 i n) nazywamy układem współrzędnych na X: jeśli x X, to ξ i (x) jest i-tą współrzędną x. P (X) jest generowany jako k-algebra przez układ współrzędnych i jest nazywany pierścieniem współrzędnych (lub pierścieniem funkcji regularnych) na X. Analogicznie do zadania 26 dla każdego x X zdefiniujmy m x jako ideał składający się z wszystkich f P (X) takich, że f(x) = 0; jest to ideał maksymalny pierścienia P (X). Przyjmując X = Max(P (X)), możemy zdefiniować odwzorowanie µ : X X przypisujące elementowi x ideał m x. Łatwo jest wykazać injektywność odwzorowania µ: jeśli x y, to musi zachodzić x i y i dla pewnego i (1 i n), więc ξ i x i należy do m x, lecz nie należy do m y, skąd oczywiście wynika, iż m x m y. Mniej oczywistym faktem (lecz prawdziwym) jest to, iż µ jest surjekcją. Jest to jedna z możliwych wypowiedzi twierdzenia Hilberta o zerach (patrz również rozdział 7). (28) Niech f 1,..., f m będą elementami k[t 1,..., t n ]. Określają one odwzorowanie wielomianowe φ: k n k m w następujący sposób: dla x k n określamy φ(x) = (f 1 (x),..., f m (x)).
ZADANIA 27 Niech X i Y będą afinicznymi rozmaitościami algebraicznymi odpowiednio w k n i k m. Odwzorowanie ϕ: X Y nazywamy odwzorowaniem regularnym, gdy jest zawężeniem do X pewnego odwzorowania wielomianowego z k n w k m. Jeśli η jest funkcją wielomianową na Y, to η ϕ jest funkcją wielomianową na X. Wynika stąd, iż ϕ indukuje homomorfizm k-algebr P (Y ) P (X), który η przeprowadza w η ϕ. Udowodnić, że w ten sposób otrzymujemy wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy odwzorowaniami regularnymi X Y oraz homomorfizmami k-algebr P (Y ) P (X).
ROZDZIAŁ 2 Moduły Jedną z cech, które wyróżniają nowoczesne podejście do algebry przemiennej, jest położenie dużego nacisku na moduły, a nie tylko na ideały. Ta dodatkowa przestrzeń, którą dają, prowadzi do większej przejrzystości i prostoty rozumowań. Dla przykładu, zarówno ideał a oraz jego pierścień ilorazowy A/a są modułami, a więc, do pewnego stopnia, mogą być traktowane podobnie. W tym rozdziale podajemy definicję i elementarne własności modułów. Krótko charakteryzujemy też iloczyn tensorowy, włącznie z dyskusją na temat jego działania na ciągi dokładne. Moduły i homomorfizmy modułów Niech A będzie pierścieniem (przemiennym, jak zwykle). A-modułem nazywamy grupę abelową M (zapisywaną addytywnie), na której A działa liniowo: dokładniej, jest to para (M, µ), gdzie M jest grupą abelową, a µ jest odwzorowaniem A M w M takie, że będziemy pisać ax zamiast µ(a, x)(a A, x M), to spełnione są następujące aksjomaty: a(x + y) = ax + ay, (a + b)x = ax + bx, (ab)x = a(bx), 1x = x (a, b A; x, y M). (Równoważnie, M jest grupą abelową razem z homomorfizmem pierścieni A E(M), gdzie E(M) jest pierścieniem endomorfizmów grupy abelowej M.) Pojęcie modułu jest wspólną generalizacją kilku znanych pojęć, co pokazują poniższe przykłady: Przykłady. 1) Ideał a w A jest A-modułem. W szczególności A jest A-modułem. 2) Jeśli A jest ciałem k, to pojęcie A-modułu pokrywa się z pojęciem k-przestrzeni wektorowej. 3) A = Z, wtedy Z -moduł to grupa abelowa (definiujemy nx jako x + + x). 4) A = k[x], gdzie k jest ciałem; każdy A-moduł jest k-przestrzenią wektorową z transformacją liniową. 5) G = grupa skończona, A = k[g] = algebra grupy G nad ciałem k (a zatem A nie jest przemienna, jeśli G nie jest przemienna). Wtedy A-moduł = k-reprezentacja grupy G.
30 2. MODUŁY Niech M, N będą A-modułami. Odwzorowanie f : M N nazywamy homomorfizmem A-modułów (albo A-liniowym), jeśli: f(x + y) = f(x) + f(y), f(ax) = a f(x) dla wszystkich a A oraz wszystkich x, y M. A zatem F jest homomorfizmem grup abelowych, który jest przemienny z działaniem wszystkich a A. Jeśli A jest ciałem, homomorfizm A-modułów to to samo, co odwzorowanie liniowe przestrzeni wektorowych. Złożenie dwóch homomorfizmów A-modułów jest także homomorfizmem A-modułów. Zbiór wszystkich homomorfizmów A-modułów z M do N może być rozważany jako A-moduł, jeśli f + g oraz af zdefiniujemy jako: (f + g)(x) = f(x) + g(x), (af)(x) = a f(x) dla wszystkich x M. W prosty sposób można sprawdzić, że spełnione są wtedy aksjomaty A-modułu. A-moduł ten oznaczamy Hom A (M, N) (lub po prostu Hom(M, N), jeśli nie ma wątpliwości, o jakim pierścieniu mówimy). Homomorfizmy u : M M i v : N N indukują odwzorowania ū: Hom(M, N) Hom(M, N) oraz v : Hom(M, N) Hom(M, N ) zdefiniowane jako: ū(f) = f u, v(f) = v f. Odwzorowania te są homomorfizmami A-modułów. Dla każdego modułu M istnieje naturalny izomorfizm Hom(A, M) = M: każdy homomorfizm A-modułów f : A M jest jednoznacznie wyznaczony przez zadanie wartości f(1), która może być dowolnym elementem M. Podmoduły i moduły ilorazowe Podmodułem M modułu M nazywamy podgrupę M, która jest zamknięta ze względu na mnożenie przez elementy z A. Grupa abelowa M/M dziedziczy strukturę A-modułu z M, zdefiniowaną jako a(x + M ) = ax + M. A-moduł M/M nazywamy ilorazem M przez M. Istnieje zachowująca porządek wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy podmodułami M zawierającymi M a podmodułami M/M (tak jak w przypadku ideałów; stwierdzenie dla ideałów jest przypadkiem szczególnym stwierdzenia powyższego). Jeśli f : M N jest homomorfizmem A-modułów, to jądrem f nazywamy zbiór Ker(f) = {x M : f(x) = 0} i jest on podmodułem M. Obrazem f nazywamy zbiór Im(f) = f(m) i jest on podmodułem N. Kojądrem f nazywamy będący modułem ilorazowym N. Coker(f) = N/ Im(f)