1 WPROWADZENIE 1 Kody korekcyjne - zadania Agata Pilitowska 1 Wprowadzenie 1. Pokazać, że dla dowolnych wektorów c, f Z n 2, d(c, f ) = n (c i f i ) 2, i=1 wt(c + f ) = wt(c) + wt(f ) 2wt(cf ), wt(c + f ) wt(c) wt(f ). 2. Pokazać, że dla dowolnych wektorów c, f Z n 2, jeśli wt(c) = wt(f ) to d(c, f ) jest liczba. 3. Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q). 4. Niech C be dzie kodem binarnym o długości n i odległości d 3. Znaleźć liczbe wektorów a Z2 n wagi i 1 oddalonych od słów kodowych o 1 oraz liczbe słów kodowych wagi i + 1 również oddalonych od słów kodowych o 1. 5. Niech c, f Z n 2. Pokazać, że iloczyn skalarny c f = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wt(cf ) jest liczba. 6. Z ilu maksymalnie słów kodowych może składać sie binarny kod długości 11 poprawiaja cy błe dy podwójne? 7. Niech C be dzie kodem binarnym długości 16, w którym dla dowolnych wektorów c, f C, wtc = 6 oraz d(c, f ) = 8. Pokazać, że C 16. 8. Niech d be dzie liczba. Załóżmy, że a, b, c i f sa czterema różnymi wektorami binarnymi długości n d, parami odległymi od siebie o d. Pokazać, że istnieje dokładnie jeden wektor binarny, odległy od a, b i c o d. Czy zawsze istnieje binarny wektor odległy o d od 2 2 wszystkich czterech wektorów a, b, c i f?
2 KODY LINIOWE 2 9. Niech (X = {x 1,..., x n }, B = {B 1,..., B n }) be dzie konfiguracja kwadratowa 1 o parametrach n, k i λ. Macierz A = (a ij ) M n n(z 2 ), gdzie 1, jeśli x i B j, a ij := 0, jeśli x i / B j, nazywamy macierza incydencji rodziny B. Niech c i f be wierszmi tej macierzy traktowanymi jako wektory binarne długości n. Pokazać, że d(c, f ) = 2(k λ). 2 Kody liniowe 1. Znaleźć macierz generuja binarnego (6,3)-kodu liniowego o macierzy 0 1 1 1 0 0 kontroli parzystości H = 1 0 1 0 1 0. Odkodować wektory 1 1 0 0 0 1 c 1 = (1, 1, 0, 0, 1, 0), c 2 = (0, 1, 1, 1, 0, 0), c 3 = (0, 0, 0, 0, 0, 1), c 4 = (1, 0, 0, 0, 1, 1) oraz c 5 = (1, 0, 1, 0, 1, 1). 2. Niech H M n n k(gf (q)) be dzie macierza kontroli parzystości (n, k)- kodu C, A M n k n k (GF (q)) be dzie macierza odwracalna oraz AH M n n k(gf (q)) be dzie macierza kontroli parzystości kodu C 1. Pokazać, że C = C 1. 3. Znaleźć wszystkie słowa kodowe ( (4, 2)-kodu ) ternarnego C o macierzy 1 1 1 0 kontroli parzystości H =. Sprawdzić, czy kod C jest 1 2 0 1 samodualny. 4. Wektor c = (c 1, c 2, c 3, c 4, c 5, c 6, c 7 ) Z 7 2 jest słowem kodowym binarnego (7, 4)-kodu liniowego C wtedy i tylko wtedy, gdy c 1 = c 4 + c 5 + c 7 c 2 = c 4 + c 6 + c 7 c 3 = c 4 + c 5 + c 6. 1 Niech X be dzie zbiorem n-elementowym zaś B = {B 1,..., B n } pewna rodzina jego podzbiorów. Pare (X, B) nazywamy konfiguracja kwadratowa o parametrach n, k, λ, jeśli: B i = k < n 1 dla 1 i n oraz każdy dwu-elementowy zbiór {x, y} X jest podzbiorem dokładnie λ > 0 bloków spośród B 1,..., B n.
2 KODY LINIOWE 3 Znaleźć macierz generuja oraz macierz kontroli parzystości kodu C. Zakodować wiadomość u = (0, 1, 1, 0). Sprawdzić, czy wektor c = (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1) należy do kodu C. Odkodować słowa: c 1 = (0, 0, 0, 0, 1, 1, 1) oraz c 2 = (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1). 5. Znaleźć rozkład wagi (4, 2)-kodu ternarnego, o macierzy generuja cej G = 1 0 0 1 1 2 1 1. 6. Znaleźć odległość binarnego kodu C generowanego przez macierz G = 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 7. Niech C be dzie liniowym (n, k)-kodem binarnym. Pokazać, że zbiór słów o wadze parzystej tworzy podprzestrzeń przestrzeni C. Jaki jest wymiar tej podprzestrzeni? 8. Niech c C be dzie słowem kodowym kodu liniowego. Znaleźć liczbe słów kodowych f C, dla których d(c, f ) = i. 9. Pokazać, że jeśli G M k n(gf (q)) jest macierza generuja w postaci standardowej (n, k)-kodu linowego, a H M n n k(gf (q)) odpowiadaja jej macierza kontroli parzystości, to HG = O k n k oraz G T H T = O n k k. 10. Znaleźć najkrótszy kod linowy wymiaru 3, który poprawia błe dy potrójne. 11. Z ilu maksymalnie słów kodowych może składać sie binarny kod liniowy długości 11, poprawiaja cy błe dy podwójne?.
2 KODY LINIOWE 4 12. Czy istnieje binarny liniowy (10, 5)-kod poprawiaja cy błe dy podwójne? 13. Pokazać, że jeśli kolumny macierzy generuja cej binarnego (ternarnego) (n, k)-kodu linowego C maja wage (podzielna przez 3) i sa wzajemnie ortogonalne, to C jest kodem słabo samo-dualnym. 14. Pokazać, że jeśli kolumny macierzy generuja cej binarnego (n, k)-kodu linowego C maja wage podzielna przez 4 i sa wzajemnie ortogonalne, to C jest kodem słabo samo-dualnym i wszystkie słowa kodowe w C maja wage podzielna przez 4. 15. Niech C be dzie ternarnym kodem słabo samo-dualnym. Pokazać, że dla każdego c C, waga wt(c) jest podzielna przez 3. 16. Niech H = 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 be dzie macierza kontroli parzystości binarnego (8, 4)-kodu C. Pokazać, że kod C jest samo-dualny. 17. Niech C be dzie binarnym (n, k)-kodem liniowym i niech f / C. Pokazać, że C (C + f ), gdzie C + f = {c + f c C}, jest kodem liniowym. Jaki jest wymiar kodu C + f? 18. Niech C be dzie binarnym (2k+1, k)-kodem słabo samo-dualnym. Pokazać, że C = C (C + 1 2k+1 ). 19. Niech G M k n(gf (q)) be dzie macierza generuja, zaś H M n n k(gf (q)) macierza kontroli parzystości (n, k)-kodu C. Pokazać, że H T jest macierza generuja a G T jest macierza kontroli parzystości kodu dualnego C. 20. Niech C 1 i C 2 be kodami tej samej długości nad ciałem GF (q) i niech C 1 + C 2 := {c 1 + c 2 c 1 C 1, c 2 C 2 } (tzw. suma kodów C 1 i C 2 ). Pokazać, że jeśli C 1 i C 2 sa kodami liniowymi, to C 1 +C 2 jest najmniejszym kodem liniowym zawieraja cym sume mnogościowa C 1 C 2.
3 KONSTRUKCJE KODÓW 5 21. Niech C 1 be dzie (n, k 1 )-kodem a C 2 be dzie (n, k 2 )-kodem liniowym. Jaki jest wymiar k kodu C 1 + C 2? Kiedy k = k 1 + k 2? 22. Niech C 1 i C 2 be kodami liniowymi tej samej długości nad ciałem GF (q). Pokazać, że (C 1 + C 2 ) = C 1 C 2. 23. Niech C 1 i C 2 be odpowiednio (n, k 1 ) i (n, k 2 ) binarnymi kodami liniowymi. Znaleźć kod ortogonalny C do kodu C, jeśli (a) C = {c c : c C 1 }, (b) C = {c c + f : c C 1, f C 2 }, (c) C = {a + c b + c a + b + c : a, b C 1, c C 2 }, gdzie a b := (a 1,..., a n, b 1,..., b m ) dla a = (a 1,..., a n ) i b = (b 1,..., b m ). 24. Pokazać, że w liniowym kodzie binarnym albo wszystkie słowa kodowe maja wage, albo dokładnie połowa z nich ma wage a połowa nie. 25. Pokazać, że w liniowym kodzie binarnym albo wszystkie słowa kodowe rozpoczynaja sie 0, albo dokładnie połowa z nich rozpoczyna sie 0 a połowa 1. 26. Niech C be dzie binarnym (n, k)-kodem generowanym przez macierz G, w której żaden wiersz nie jest zerowy. Pokazać, że wt(c) = n2 k 1. c C 27. Niech C be dzie binarnym (n, k, d)-kodem liniowym, który osia ga ograniczenie Griesmera i niech d 2 k 1. Pokazać, że w macierzy generuja cej kod C żadne dwa wiersze nie moga sie powtórzyć. 3 Konstrukcje kodów 1. Niech C 1 be dzie binarnym (n, 1)-kodem powtórzeniowym oraz C 2 be dzie binarnym (n, n 1)-kodem kontroli parzystości. Znaleźć
3 KONSTRUKCJE KODÓW 6 (a) kody rozszerzone Ĉ1 i Ĉ2, (b) kody C 1 i C 2 skrócone o ostatnia współrze dna, (c) kody C 1 i C 2 skrócone o pierwsza współrze dna, (d) kody powie kszone C 1 1 i C 1 2, (e) sume C 1 + C 2, dla n = 2, (f) sume prosta C 1 C 2, (g) sume prosta C 1 C 1 + C 2, dla n = 2, (h) sume Levenshteina 2C 2 3C 1, dla n = 2, (i) produkt Kroneckera C 1 C 2, dla n = 2. 2. Znaleźć kod okrojony C powstały ze wszystkich tych słów binarnego (n, n 1)-kodu kontroli parzystości, których ostatnia współrze dna jest równa 1. 3. Znaleźć kod powie kszony C 1 kodu okrojonego C z zadania 2. Jaki jest wymiar i odległość tego kodu? 4. Niech C be dzie (7, 4)-kodem binarnym, dla którego H = 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 jest macierza kontroli parzystości. Znaleźć macierz kontroli parzystości dla rozszerzonego kodu Ĉ. Jaka jest odległość kodu Ĉ? 5. Niech G = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 M 4 7(Z 2 ) be dzie macierza generuja (7, 4)-kod binarny C. Znaleźć macierz kontroli parzystości kodu C skróconego o pia ta współrze dna.
3 KONSTRUKCJE KODÓW 7 6. Niech G 1 = 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 i G 2 = 1 0 2 0 0 1 0 2 0 2 be macierzami generuja cymi (5, 2)-kody ternarne C 1 i C 2. Znaleźć odległość kodów C 1 i C 2 oraz kodów rozszerzonych Ĉ1 i Ĉ2. 7. Pokazać, że jeśli C jest [n, M, d]-kodem binarnym, w którym d jest liczba nie, to odległość kodu rozszerzonego Ĉ wynosi d + 1. 8. Niech C 1 i C 2 be kodami liniowymi o macierzach generuja cych odpowiednio G 1 M k 1 n (GF (q)) i G 2 M k 2 n (GF (q)). Znaleźć macierz generuja kod C 1 C 1 + C 2. 9. Niech dla i = 1,..., m, G i be macierzami generuja cymi (n, k i )-kody liniowe C i. Znaleźć macierze generuja ce kody C 1 + C 2 +... + C m oraz C 1 C 2... C m. 10. Niech dla i = 1, 2, 3, C i be dzie (n, k i, d i )-kodem liniowym generowanym przez macierz G i M k i n (GF (q)). Załóżmy, że C 3 C 2 oraz k 1 = k 2 k 3. Znaleźć wymiar i odległość kodu generowanego przez macierz G = ( G1 O k 3 n G 2 G 3 gdzie G 2 M k 2 k 3 n (GF (q)) jest macierza taka, że G 2 = ( G 2 G 3 ). 11. Niech C 1 i C 2 be odpowiednio [n, M 1, d 1 ] i [n, M 2, d 2 ] kodami binarnymi. Pokazać, że suma prosta kodów C 1 i C 1 + C 2 jest [2n, M 1 M 2, d]- kodem, gdzie d = min{2d 1, d 2 }. 12. Niech d Z + be dzie liczba. Pokazać, że jeśli istnieje binarny [n, M, d]-kod, to istnieje również [n, M, d]-kod C taki, że dla każdego c C, waga wt(c) jest liczba. ),
4 KODY NIELINIOWE I OGRANICZENIA NA WIELKOŚĆ KODÓW 8 4 Kody nieliniowe i ograniczenia na wielkość kodów 1. Pokazać, że dla kodów binarnych i dowolnych n, d N: A(n, 2d 1) = A(n + 1, 2d), A(n, d) 2A(n 1, d). 2. Niech d N be dzie liczba. Pokazać, że A(2d, d) 4d. Czy istnieje binarny kod, dla którego A(2d, d) = 4d? 3. Niech n N be dzie liczba, d N taka, że 2d > n d oraz d M := 2[ ]. Skonstruować binarny [n, M, d]-kod. 2d n 4. Skonstruować binarny [27, 6, 16]-kod. 5. Niech A(n, d, w) oznacza maksymalna liczbe binarnych wektorów długości n, odległości co najmniej d i wagi równej w. Pokazać, że A(n, 2d 1, w) = A(n, 2d, w). 6. Pokazać, że jeśli w < d to A(n, 2d, w) = 1. 7. Pokazać, że A(n, 2d, d) = [ n d ]. 8. Pokazać, że dla w 2 wn + dn > 0, dn A(n, 2d, w) [ w 2 wn + dn ]. 9. Oszacować możliwie najlepiej liczbe binarnych wektorów o wadze równej 4, długości 9 i odległości co najmniej 6. 10. Pokazać, że A(n, 2d, w) [ n A(n 1, 2d, w 1)]. w 11. Oszacować możliwie najlepiej wartość A(20, 8, 7). 12. Czy istnieje binarny nieliniowy [16, 10, 9]-kod?
4 KODY NIELINIOWE I OGRANICZENIA NA WIELKOŚĆ KODÓW 9 13. Jeśli c C jest słowem kodowym kodu liniowego C, to liczba słów kodowych f C, dla których d(c, f ) = i, równa jest A i. Czy jest to nadal praw dla kodów nieliniowych? 14. Skonstruować [12, 24, 6]-kod binarny. 15. Znaleźć wszystkie słowa kodowe kodów Hadamarda dla n = 11. 16. Pokazać, że kody z zadania 16 nie sa liniowe. 17. Niech m N i p > 2 be dzie liczba pierwsza taka, że p m + 1 4 2. Pokazać, że odległość kodu konferencyjnego C p m równa jest d = 1 2 (pm 1). 18. Znaleźć kod konferencyjny C 9. 19. Czy istnieje [9, 20, 4]-kod nierównoważny z kodem C 9? 20. Skonstruować [5, 12, 2]-kod binarny. 21. Skonstruować [25, 52, 12]-kod binarny. 22. Niech C be dzie binarnym (7, 4, 3)-kodem liniowym o macierzy kontroli parzystości 0 0 0 1 1 1 1 H = 0 1 1 0 0 1 1. 1 0 1 0 1 0 1 Niech ponadto π : Z 7 2 Z 2 be dzie zdefiniowane naste puja co: 0, jeśli wt(a) jest liczba π(a) :=, 1, jeśli wt(a) jest liczba nie. Znaleźć liczbe słów kodowych binarnego kodu D := {a a + c π(a) + 2 wt(c) + 2 1 : a Z 7 2, 0 7 c C} {a a π(a) : a Z 7 2}. Znaleźć odległość kodu D. Czy D jest kodem liniowym?
5 KODY DOSKONAŁE 10 5 Kody doskonałe 1. Znaleźć macierz kontroli parzystości binarnego kodu Hamminga H 4. Zakodować wiadomość u = (1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0). Odkodować słowo c = (1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0). 2. Znaleźć macierz kontroli parzystości kodu Hamminga H 3 (3). 3. Znaleźć macierz kontroli parzystości rozszerzonego kodu Ĥ3 i opisać algorytm dekodowania dla tego kodu. 4. Jakie jest prawdopodobieństwo P C błe du po dekodowaniu dla binarnego kodu Hamminga C = H m, m 1? 5. Znaleźć prawdopodobieństwo P C błe du po dekodowaniu dla kodu Golaya C = G 23, jeśli prawdopodobieństwo błe du przy przesyłaniu pojedynczego symbolu wynosi 1 p. 6. Niech A i be dzie liczba słów kodowych wagi i w binarnym kodzie Hamminga H m. Pokazać, że (i + 1)A i+1 + A i + (n i + 1)A i 1 = ( ) n i. 7. Znaleźć numerator binarnego kodu Hamminga H 3 oraz rozszerzonego kodu Ĥ3. 8. Znaleźć macierz generuja i macierz kontroli parzystości kodu sympleksowego H 3. 9. Znaleźć macierz generuja kodu liniowego, którego wszystkie niezerowe słowa kodowe maja wage równa 4. 10. Znaleźć wielomian Lloyda dla binarnego kodu Hamminga H 3. 11. Niech C be dzie [n, M, 2t + 1]-kodem doskonałym nad ciałem GF (q) i niech L t (x) be dzie wielomianem Lloyda. Pokazać, że L t (0) = q r, dla pewnego r N. 12. Niech C be dzie nietrywialnym [n, M, 2t + 1]-kodem doskonałym nad ciałem GF (q) i niech L t (x) be dzie wielomianem Lloyda. Pokazać, że L t (1) 0 oraz L t (2) 0. 13. Pokazać, że kody Vasileva nie sa liniowe.
6 KODY CYKLICZNE 11 14. Pokazać, że wektor 1 24 należy do kodu G 24. 15. Pokazać, że każde słowo kodowe kodu G 24 ma wage podzielna przez 4. 16. Pokazać, że kod G 24 jest samodualny, tzn. G 24 = G 24. 17. Znaleźć liczbe słów kodowych o wadze 0 i 9 doskonałego (23, 12, 7)- kodu binarnego. 18. Niech A be dzie zbiorem wszystkich kolumn macierzy Q 11 (zdefiniowanej przy konstrukcji kodu Golaya G 24 ) i niech c C wtedy i tylko wtedy, gdy c A lub c = a + 1 11 lub c = a + b lub c = a + b + 1 11, gdzie a b A. Pokazać, że C jest nieliniowym, binarnym [11, 132, 3]- kodem. 6 Kody cykliczne 1. Sprawdzić, czy wielomian 1 + x 3 + x 4 + x 6 + x 7 jest słowem kodowym binarnego kodu wielomianowego C 1+x 2 +x 3 +x4 długości n = 8. 2. Stosuja c algorytm systematyczny znaleźć wszystkie słowa kodowe binarnego kodu wielomianowego C 1+x+x 3 długości n = 6. 3. Znaleźć macierz generuja binarny kod wielomianowy C 1+x 2 +x 4 +x 5 długości n = 9. Sprawdzić, czy wektor f = (1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1) jest słowem kodowym kodu C. 4. Znaleźć kod wielomianowy długości n = 7 w pierścieniu Z 5 [x]/(3x + x 2 + 4x 5 + 2x 7 ). 5. Wiemy, że nad ciałem Z 2 x 15 1 = (x+1)(1+x+x 2 )(1+x+x 4 )(1+x 3 +x 4 )(1+x+x 2 +x 3 +x 4 ). (a) Ile jest wszystkich binarnych kodów cyklicznych długości n = 15? (b) Znaleźć macierz generuja oraz macierz kontroli parzystości dowolnie wybranego kodu cyklicznego C długości n = 15 i wymiaru k = 7. (c) Stosuja c wybrany w punkcie (b) nietrywialny kod cykliczny C, zakodować wiadomość u = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1).
6 KODY CYKLICZNE 12 (d) Sprawdzić, czy wektor c = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1) jest słowem kodowym kodu C. 6. Niech C 1 = (g 1 (x)) i C 2 = (g 2 (x)) be kodami cyklicznymi. Pokazać, że C 1 C 2 wtedy i tylko wtedy, gdy g 2 (x) g 1 (x). 7. Niech C 1 = (g 1 (x)) i C 2 = (g 2 (x)) be kodami cyklicznymi. Pokazać, że C 1 C 2 oraz C 1 + C 2 również sa kodami cyklicznymi. Znaleźć ich wielomiany generuja ce. 8. Niech C = (1 + x) be dzie binarnym kodem cyklicznym długości n. Znaleźć kod dualny C. 9. Niech C = (1 + x) be dzie binarnym kodem cyklicznym długości n. Pokazać, że dla każdego wektora c Z n 2 o wadze parzystej, c C. 10. Pokazać, że binarny kod cykliczny C = (g(x)) zawiera tylko wektory wagi parzystej wtedy i tylko wtedy, gdy (1 + x) g(x). 11. Niech n, q N be wzgle dnie pierwsze i niech C = (g(x)) be dzie kodem cyklicznym długości n nad ciałem GF (q). Pokazać, że 1 n C wtedy i tylko wtedy, gdy g(1) 0. 12. Pokazać, że binarny kod cykliczny długości n, który zawiera wektor o nieparzystej wadze, zawiera wektor 1 n. 13. Niech h(x) be dzie wielomianem sprawdzaja cym kodu cyklicznego C = (g(x)). Pokazać, że C jest słabo samo-dualny wtedy i tylko wtedy, gdy x sth(x) h(x 1 ) g(x). 14. Sprawdzić, czy binarny kod cykliczny C = (1 + x 2 + x 3 + x 4 ) długości n = 7 jest kodem słabo samo-dualnym. 15. Niech C = (g(x)) be dzie samo-dualnym binarnym kodem cyklicznym. Pokazać, że (1 + x) g(x). 16. Znaleźć wielomian generuja cy kod sympleksowy H 3. 17. Niech α be dzie elementem pierwotnym ciała GF (2 5 ). Określić wymiar binarnego kodu C długości n = 31, dla którego elementy α, α 2, α 3, α 4, α 5, α 6, α 7, α 8, α 9 i α 10 sa zerami. Ile błe dów może poprawić kod C?
7 KODY BCH 13 18. Niech C = (g(x)) be dzie kodem cyklicznym długości n na ciałem GF (q). Pokazać, że wielomian g 2 (x) również generuje kod C. 19. Niech r, n N i niech NW D(r, n) = 1. Pokazać, że kod cykliczny długości n z zerami α b, α b+r, α b+2r,..., α b+(δ 2)r, ma odległość wie ksza ba dź równa δ. 7 Kody BCH 1. Znaleźć wielomian generuja cy binarny BCH kod C w wa skim sensie, długości n = 15, który poprawia t = 3 błe dy. Jaki jest wymiar kodu C? 2. Znaleźć macierz H kontroli przystości kodu BCH z zadania 1. 3. Znaleźć binarna postać macierzy H z zadania 2. 4. Niech C be dzie binarnym BCH kodem, długości n = 7 i odległości d = 5. Znaleźć macierz kontroli parzystości kodu C. Sprawdzić, czy wektor c = (1, 0, 1, 0, 0, 0, 1) C. 5. Znaleźć macierz kontroli parzystości binarnego BCH kodu w wa skim sensie, długości n = 7, o zadanej odległości δ = 2. Znaleźć binarna postać tej macierzy. 6. Znaleźć stopień wielomianu generuja cego binarny BCH kod długości n = 31, o zadanej odległości δ = 3 i b = 2. Jaki jest wymiar tego kodu? 7. Niech C be dzie binarnym BCH kodem w wa skim sensie, długości n = 15, poprawiaja cym do trzech błe dów. Odkodować wektor f = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0). 8. Znaleźć wielomian generuja cy binarny BCH kod długości n = 7 dla b = 2, który poprawia błe dy podwójne. 9. Niech α be dzie elementem pierwotnym ciała GF (2 5 ). Znaleźć BCH kod C długości n = 31 taki, że c(x) C wtedy i tylko wtedy, gdy elementy α, α 2, α 3, α 4, α 5, α 6, α 7, α 8, α 9 i α 10 sa pierwiastkami wielomianu c(x). Ile błe dów może poprawić kod C?
8 KODY RS 14 10. Znaleźć macierz generuja oraz wielomian sprawdzaja cy binarnego BCH kodu w wa skim sensie i długości n = 7, który poprawia błe dy podwójne. 11. Niech C be dzie binarnym (15, 5, 7)-kodem BCH w wa skim sensie. Odkodować wektor f = (1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1). 12. Niech m N i t N be dzie takie, że t+1 i=1 ( 2 m ) 1 > 2 mt. i Niech C be dzie kodem BCH długości n = 2 m 1 oraz zadanej odległości δ = 2t + 1. Sprawdzić, czy faktyczna odległość d kodu C może być wie ksza ba dź równa 2t + 3. 13. Niech C be dzie binarnym (31, 21, 5)-kodem BCH i niech i 0 12 16 20 A i 1 310 527 186 be dzie rozkładem wagi kodu dualnego C. Znaleźć numerator kodu C. 14. Znaleźć wymiar binarnego kodu BCH w wa skim sensie, długości n = 127 i zadanej odległości δ = 7. 8 Kody RS 1. Znaleźć macierz kontroli parzystości RS kodu C długości n = 7, poprawiaja cego błe dy podwójne (dla b = 1). Sprawdzić, czy wektor 1 7 jest słowem kodowym kodu C. 2. Znaleźć macierz kontroli parzystości kodu binarnego powstałego z kodu RS z zadania 1. 3. Znaleźć wielomian generuja cy 4-ro wymiarowy RS kod C nad ciałem GF (8). Jaka jest długość i odległość kodu C? 4. Niech C be dzie 4-ro wymiarowym RS kodem nad ciałem GF (8). Stosuja c algorytm Reeda-Solomona zakodować wiadomość u = (0, 1, 0, 1).
9 KODY MDS 15 5. Niech C be dzie RS kodem z zadania 4. Odkodować wektor f = (1, 1 + α + α 2, 1 + α, 1 + α + α 2, 1 + α 2, 1 + α 2, 1 + α), gdzie α jest elementem pierwotnym ciała GF (8). 6. Opisać wszystkie słowa kodowe 1-wymiarowego kodu RS nad ciałem GF (2 m ). 7. Znaleźć kod dualny do kodu RS. 8. Niech c = (c 0, c 1,..., c N 1 ) należy do (N, K, D)-kodu RS nad ciałem GF (2 m ). Zasta pmy każdy element c i GF (2 m ) przez odpowiadaja cy mu binarny cia g m-elementowy φ(c i ) i dodajmy do każdego takiego cia gu symbol kontroli parzystości. W rezultacie otrzymamy kod C długości n = (m + 1)(2 m 1) i wymiaru k = mk. Znaleźć odległość kodu C. 9. Niech α be dzie elementem pierwotnym ciała GF (8) i niech C be dzie (7, 2, 6)-kodem cyklicznym nad tym ciałem, generowanym przez wielomian g(x) = (x + α)(x + α 2 ). Niech B 1 = {1, α, α 2 } i B 2 = {α 3, α 6, α 5 } be dwiema różnymi bazami GF (8). Dla każdej z tych baz znaleźć rozkład wagi i odległość kodu C. Naste pnie, dla każdej z baz B 1 i B 2, określić odwzorowanie φ : GF (8) Z2 3 i znaleźć rozkład wagi oraz odległość kodu binarnego powstałego z kodu C. 10. Niech α be dzie elementem pierwotnym ciała GF (8) = Z 2 [x]/(1+x+x 3 ). Sprawdzić, czy wektor c = (1, 1 + α + α 2, 1 + α, 1 + α + α 2, 1 + α 2, 1 + α 2, 1 + α) należy do RS kodu C z zadania 1. Znaleźć odpowiadaja ce wektorowi c słowo kodowe kodu Justesen utworzonego z kodu C. 9 Kody MDS 1. Niech C be dzie (15, 7, 9)-kodem RS. Znaleźć macierz kontroli parzystości kodu rozszerzonego Ĉ. 2. Znaleźć macierz kontroli parzystości podwójnie rozszerzonego kodu C z zadania 1. 3. Niech C be dzie (n, k, d)-kodem MDS nad ciałem GF (q). Pokazać, że dla każdego wyboru d współrze dnych 1 i 1,..., i d n, istnieje słowo c C takie, że wt(c) = d oraz dla każdego i i 1,..., i d, c i = 0.
10 KODY RESZT KWADRATOWYCH 16 4. Nie korzystaja c z Twierdzenia 10.6, znaleźć liczbe słów kodowych o wadze w = n k + 1 w (n, k, d)-kodzie MDS nad ciałem GF (q). 5. Niech H = 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 0 1 0 1 α1 2 α2 2 α3 2 α4 2 α5 2 α6 2 0 0 1 M 10 3 (GF (q)), gdzie 1, α 1, α 2, α 3, α 4, α 5, α 6 GF (8) sa niezerowe i parami różne, be dzie macierza kontroli parzystości kodu liniowego C nad ciałem GF (8). Sprawdzić, czy kod C jest kodem MDS. 6. Niech k, n k 3 i C be dzie (n, k)-kodem liniowym o macierzy generuja ( ) P cej G = M k n(gf (q)), gdzie P M k n k(gf (q)). Pokazać, I k że jeśli C jest kodem MDS, to macierz utworzona z 3 ostatnich kolumn i 3 dowolnych wierszy macierzy P ma niezerowy wyznacznik. 7. Znaleźć wielomiany generuja ce cykliczne kody MDS nad ciałem GF (4) długości n = 5 i wymiaru k = 1, 2, 3, 4. 8. Znaleźć cykliczny kod MDS długości n = 17 i wymiaru k = 8. 9. Znaleźć cykliczny kod MDS długości n = 9 i wymiaru k = 4. 10. Znaleźć liczbe słów kodowych wagi w = 5 w 4-ro wymiarowym RS kodzie C nad ciałem GF (8). 11. Niech C be dzie 4-ro wymiarowym RS kodem C nad ciałem GF (8). Znaleźć liczbe słów kodowych wagi w = 6 w rozszerzonym oraz podwójnie rozszerzonym kodzie C. 12. Znaleźć wielomian generuja cy kod dualny do kodu C z zadania 1. Znaleźć zera kodu C. 10 Kody reszt kwadratowych 1. Czy istnieje binarny kod reszt kwadratowych długości n = 23?
10 KODY RESZT KWADRATOWYCH 17 2. Znaleźć wielomiany generuja ce binarne kody reszt kwadratowych długości n = 17. 3. Znaleźć kody dualne do ternarnych kodów reszt kwadratowych wymiaru k = 7. 4. Niech C be dzie ternarnym kodem reszt kwadratowych generowanym przez wielomian g(x) = 1 x + x 2 x 3 + x 5. Znaleźć kod dualny C. 5. Kody Golaya oraz binarny (7, 4)-kod Hamminga H 3 to przykłady kodów doskonałych, które sa jednocześnie kodami reszt kwadratowych. Czy moga istnieć jeszcze inne kody reszt kwadratowych, które sa doskonałe i których długość jest mniejsza niż 11? 6. Niech p 4 takie, że 3 be dzie liczba pierwsza i niech f 0,..., f p 1 Z 2 be p 1 f i x i := 1 + x n. i=0 n N p Wiedza c, że macierz f 0 f 1... f p 1 f p 1 f 0... f p 2.... f 1 f 2... f 0 Mp p(z 2 ) ma rza d równy p 1 2 oraz, że wektor (f 0, f 1,..., f p 1 ) jest słowem kodowym binarnego okrojonego kodu reszt kwadratowych Q długości p, znaleźć wszystkie słowa c Q takie, że wt(c) 4 0 lub wt(c) 4 3.