Geodezja fizyczna i geodynamika

Geodezja fizyczna i geodynamika Potencjał normalny. Potencjał zakłócajacy. Podstawowe równanie geodezji fizycznej. Dr inż. Liliana Bujkiewicz 4 czerwca 2017 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 1 / 22

Literatura 1 Geodezja współczesna - Kazimierz Czarnecki, PWN 2014 2 Geodezja fizyczna - Adam Łyszkowicz, Wyd. Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie 2012 3 Geodezja fizyczna i grawimetria geodezyjna. Teoria i praktyka - Marcin Barlik, Andrzej Pachuta, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 2007 4 Physical Geodesy - Martin Vermeer, https://users.aalto.fi/ mvermeer/mpk-en.pdf Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 2 / 22

POTENCJAŁ NORMALNY GRS80 - Geodetic Reference System 1980 - jedna z ostatnich konstrukcji elipsoid używanych przez GPS (WGS84 - niewielkie modyfikacje). Konstrukcja elipsoidy ekwipotencjalnej Pole geopotencjału U będace suma potencjału grawitacyjnego i potencjału odśrodkowego (elipsoida wiruje z prędkościa wirowania Ziemi), konstruowane jest tak, że elipsoida GRS80 jest jego jedna z powierzchni ekwipotencjalnych. Przy założeniu, że zawarta w tej elipsoidzie masa równa jest masie Ziemi (z atmosfera), to U 0 = 62636860, 850 m2 s 2 Potencjał U 0 z założenia równy jest potencjałowi siły ciężkości geoidy W 0. Ponadto kształt elipsoidy (wielka półoś, spłaszczenie) jest tak dobrany, aby powierzchnia elipsoidy była jak najlepszym przybliżeniem geoidy. Model pola siły ciężkości spełniajacy powyższe warunki to pole normalne siły ciężkości Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 3 / 22

Stałe definiujace system GRS 80 duża półoś elipsoidy ziemskiej a = 6 378 137 m geocentryczna stała grawitacyjna GM = 3 986 005 10 8 m 3 s 2 dynamiczny współczynnik kształtu (spłaszczenia) J 2 = 108 263 10 8 prędkość katowa Ziemi doba gwiazdowa T = 2π ω = 23 h 56 4, 091 U 0 = 62636860, 850 m2 s 2 ω = 7 292 115 10 11 rad s 1 jest wielkościa pochodna powyższych Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 4 / 22

Zagadnienia brzegowe Potencjał pola grawitacyjnego U na zewnatrz mas spełnia równanie Laplace a: U = 0: 2 u x 2 + 2 u y 2 + 2 u z 2 = 0 W celu wyznaczenia rozwiazania r.l. definiuje się warunki brzegowe: Zagadnienie Dirichleta: zadane sa wartości funckji U na brzegu obszaru Zagadnienie Nuemanna: zadane sa wartości pochodnej normalnej du funkcji U na brzegu d n obszaru (czyli wartości przyspieszenia) Zaganienie mieszane: na brzegu obszaru zadana jest kombinacja powyższych Przykład: Kula o promieniu R i masie M. Niech potencjał na całej powierzchni ma mieć wartości U 0. Rozwiazanie: U(r) = a 1 r + b U(r) = U 0 R 1 r, r > R Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 5 / 22

harmoniczność u = 1/r W układzie kartezjańskim (poczatek w środku kuli) Dla r > R: 2 u x 2 = 2 x 2 1 r = 2 x 2 1 x 2 + y 2 + z 2 = = 1 r 5 ( y 2 + z 2 2x 2) 2 u x 2 + 2 u y 2 + 2 u z 2 = 1 [( r 5 y 2 + z 2 2x 2) ( + x 2 + z 2 2y 2) ( + x 2 + y 2 2x 2)] = 0 Laplasjan we współrzędnych sferycznych (matematyczne: θ = π/2 φ, ϕ = λ): u = 1/r = r 1 nie zależy od katów, więc : u = 2 u r 2 + 2 u r r + 1 2 u r 2 θ 2 + ctgθ u r 2 θ + 1 2 u r 2 sin 2 θ ϕ 2 u = (r 1) = 2 r 1 r 2 + 2 r 1 ( = 2 r 3 + 2 r 3) = 0 r r Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 6 / 22

harmoniczność funkcji kulistych Dla rzeczywistego pola grawitacyjnego Ziemi mieliśmy rozwinięcie: [ V(r, θ, λ) = GM n ( ) a n 1 + (C nm cos(mλ) + S nm sin(mλ)) P nm(cos θ)] r r n=2 m=0 W powyższej sumie występuja funkcje zależne od zmiennych sferycznych postaci: 1 r n+1 Pnm(cos θ) cos(mλ), 1 Pnm(cos θ) sin(mλ). rn+1 Funkcje te - tzw. funkcje kuliste - spełniaja równanie Laplace a. Dlatego sa tutaj używane. Uwaga: potencjał siły odśrodkowej nie spełnia równania Laplace a, ale wygodnie jest go wyrazić za pomoca funkcji Legendre a: ω 2 r 2 sin 2 θ = ω2 r 2 cos 2 φ = ω2 r 2 2 2 2 ( 2 3 P 2(cos φ) + 1 ) 3 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 7 / 22

współrzędne elipsoidalne (u, ϑ, λ) Mimośród liniowy E: E 2 = a 2 b 2 ( ) 2 E 2 = u 2 + E 2 u 2 Po prawej: elipsa przechodzaca przez punkt P o półosiach u 2 + E 2 i u oraz okrag o promieniu u 2 + E 2 W tych współrzędnych można zapisać [skomplikowane] równanie Laplace a, które spełniaja harmoniki elipsoidalne pojawiajace się w rozwinięciu potencjału grawitacyjnego (tu nie ma siły odśrodkowej): ( ) U graw = q n (u, E, b) A np n(sin β), q n (u, E, b) = Qnm i u E ), n=0 Q nm (i b E Na powierzchni elipsoidy odniesienia (u = b) mamy warunek: U graw(u = b) + potencjał siły odśrodkowej = U 0 który prowadzi do wniosku, że tylko zerowy i drugi składnik sumy sa różne od zera. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 8 / 22

Rozwiazanie zagadnienia Dirichleta we współrzędnych elipsoidalnych Potencjał z uwzględnieniem efektu siły odśrodkowej ostatecznie ma postać: U = U(u, β) = GM E arctg E u + ω2 q ( 2 a2 sin 2 β 1 ) + ω2 ( u 2 + E 2) cos 2 β q 0 3 2 (brak zalezności od λ - elipsoida obrotowa) U 0 = U(u = b) = GM E arctg ε b + ω2 2 a2 sin 2 β 1 ω 2 3 2 a2 + ω2 ( a 2) cos 2 β 2 = GM E arctg E b + ω2 3 a2 q = q(u, E) = 1 2 [(1 + 3 u2 E 2 ) arctg E u 3 u ], q 0 = q(u = b) E Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 9 / 22

Rozwiazanie zagadnienia Dirichleta we współrzędnych sferycznych Spośród funkcji kulistych: wybieramy: 1 r n+1 Pnm(cos θ) cos(mλ), 1 Pnm(cos θ) sin(mλ). rn+1 m = 0 ze względu na symetrię obrotowa względem osi Z (osi obrotu Ziemi) n 2n - tylko funkcje Legendre a o parzystym indeksie maja symetrię równikowa (f (θ) = f (π θ), inaczej f (φ) = f ( φ)). P n(cos(π θ)) = P n( cos(θ)) P 1 (cos θ) = cos θ, P 2 (cos θ) = 3 2 cos2 θ 1 2 W ten sposób otrzymujemy wzór, dla którego powierzchnia ekwipotencjalna o potencjale U 0 = W 0 to SFEROIDA NORMALNA: [ U = GM ( ) a 2n 1 + C 2nP 2n(cos θ)] + 1 r r 2 ω2 r 2 sin 2 θ n=1 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 10 / 22

Wartości współczynników Współczynniki rozkładu mas: U = GM r C 2n J 2n [ ( ) a 2n 1 J 2nP 2n(cos θ)] + 1 r 2 ω2 r 2 sin 2 θ n=1 J 2 = 1082, 63 10 6 J 4 = 2, 37091222 10 6 J 6 = 0, 00608347 10 6 J 8 = 0, 00001427 10 6 Dla porównania: dla pola rzeczywistego Ziemi, na podstawie pomiarów satelitarnych otrzymano: J 3 = 2, 54 10 6, J 4 = 1, 62 10 6, J 5 = 0, 23 10 6, J 6 = 0, 55 10 6 C n = J n 2n + 1 EGM96 EGM96: brak symetrii względem równika (geoida na biegunie południowym - zapadnięta, a na północnym wypiętrzona); powolna zbieżność szeregu. Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 11 / 22

Wzór na przyspieszenie normalne na powierzchni elipsoidy Na podstawie wzoru we współrzędnych eliptycznych: γ = U h γ = aγ b sin 2 β + bγ a cos 2 β a 2 sin 2 β + b 2 cos 2 β tan β = b a tan ϕ = a b tan φ φ - szerokość geocentryczna; ϕ - szerokość geodezyjna γ = aγa cos2 ϕ + bγ b sin 2 ϕ a 2 cos 2 ϕ + b 2 sin 2 ϕ wzór Somigliana We współrzędnych geograficznych dla modelu GRS80 wzór dajacy dokładność 1µms 2 = 0, 1mGal: GRS80 ( ) γ = 9, 780327 1 + 0, 0053024 sin 2 ϕ 0, 0000058 sin 2 2ϕ ms 2 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 12 / 22

CTP - Conventional Terrestrial Pole (Umowny biegun ziemski) BIH - Bureau International de l Heure (Międzynarodowe Biuro Czasu ), Paryż https://en.wikipedia.org/wiki/world_geodetic_system Autor: Defense Mapping Agency Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 13 / 22

Potencjał zakłócajacy W - potencjał rzeczywistej siły ciężkości Ziemi (siły grawitacji i siły odśrodkowej) W 0 - wartość potencjału na geoidzie U - potencjał normalny (elipsoidy) U 0 - wartość potencjału normalnego na elipsoidzie odniesienia U 0 = W 0 Potencjał zakłócajacy (w danym punkcie) T = W U W szczególności w dowolnym punkcie P na geoidzie: T P = W 0 U P Różnica ta eliminuje potencjał siły odśrodkowej, więc to, co pozostaje jest funkcja harmoniczna na zewnatrz mas. T = 0 2 T x 2 + 2 T y 2 + 2 T z 2 = 0 Zagadnienie brzegowe dla T będzie zagadnieniem mieszanym (Stokesa) - dana będzie wartość na brzegu obszaru kombinacji liniowej samego potencjału T i jego pochodnej kierunkowej : αt + T n = dane Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 14 / 22

co mamy z modelu geopotencjału φ = π 2 θ, W = GM r cos θ = sin φ [ n 1 + n=2 m=0 U = GM r ( ) a n ( Cnm cos(mλ) + S nm sin(mλ) ) Pnm(sin φ)] + 1 r 2 ω2 r 2 cos 2 φ [ ( ) a 2n 1 J 2nP 2n(sin φ)] + 1 r 2 ω2 r 2 cos 2 φ n=1 Potencjał zakłócajacy: T(r, φ, λ) = W U = GM r n ( ) a n ( C nm r cos(mλ) + S nm sin(mλ) ) Pnm(sin φ) n=2 m=0 gdzie np. C k,0 = C k,0 (EGM 96) ( C k,0 (GRS 80)) dla k = 2, 4, 6, 8. C k,0 (GRS 80) = J k 2k + 1 Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 15 / 22

Wysokość geoidy f (x P ) f (x Q ) + f (x Q ) ( x P x Q ), pochodna normalna potencjału = minus przyspieszenie U P U Q + U n N Q U Q = U 0 = W 0, U n = γ Q U P W 0 = γ Q N T P = γ Q N Wysokość geoidy - wzór Brunsa N = T P γ Q Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 16 / 22

Wysokość geoidy z modelu geopotencjału źródło: http://icgem.gfz-potsdam.de/icgem/service.html zadanie: wyszukanie punktów w przestrzeni, dla których potencjał W równy jest U 0 metoda iteracyjna W(N) = W 0 = U 0 W(N) W(N i ) + W h (N N i ), h=ni W h = g(ni ) γ(0) h=ni N N i + U 0 W(N i ) γ(0) Gdy N 0 = 0 N i+1 (λ, ϕ) = N i (λ, ϕ) + N 1 (λ, ϕ) = 1 γ(0, ϕ) [W(0, λ, ϕ) U 0] 1 γ(0, ϕ) [W(N i, λ, ϕ) U 0 ] (W 0 - wartość geopotencjału na poziomie elipsoidy - to może być obszar masy) Z definicji potencjału zakłócajacego mamy: wzór Brunsa: N 1 (λ, ϕ) = T(0, λ, ϕ) γ(0, ϕ) dalej: N 2 (λ, ϕ) T(N 1, λ, ϕ) γ(0, ϕ) Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 17 / 22

w poniższym wzorze r takie, aby punkt (r, ϕ, λ) był na elipsoidzie zerowej N 1 (λ, ϕ) = T(0, λ, ϕ) γ(0, ϕ) = GM rγ(0, ϕ) n n=2 m=0 ( ) a n ( C nm cos(mλ) + S nm sin(mλ) ) Pnm(sin φ) r https://geographiclib.sourceforge.io/cgi-bin/geoideval *** Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 18 / 22

Anomalia grawimetryczna g - wektor rzeczywistego przyspieszenia siły ciężkości, określony na podstawie: pomiarów modelu geopotencjału g = W γ - wektor przyspieszenia normalnego γ = U U 0 = W 0 - różne powierzchnie, różne gradienty Anomalia grawimetryczna (skalar!): g = g P γ Q Inne oznaczenie anomalii: Ag Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 19 / 22

Podstawowe równanie geodezji fizycznej γ P γ Q + γ n N Q Dla anomalii grawimetrycznej: ( g = g P γ Q g P γ P γ ) n N = (g P γ P ) + γ Q n N Q = ( W n U ) P n + γ P n N = T Q n + γ P n TP Q γ Q różnica pochodnych kierunkowych w punktach P i Q jest zaniedbywalna - można pominać indeks (lub zastępuje się znakiem pochodnej względem wysokości - np.: U H ) wiadomo, że wartość T dotyczy punktu na geoidzie, a wartość γ - dla odpowiedniego punktu na elipsoidzie odniesienia, więc znowu pomijamy indeksy warunek graniczny dla potencjału zakłócajacego - podstawowe równanie grawimetrii g = T n + 1 γ γ n T Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 20 / 22

Anomalia grawimetryczna: g = T n + 1 γ γ n T = T r + 1 2γ T = T γ r r 2 r T W przybliżeniu sferycznym pochodna w kierunku normalnym, to pochodna po r, ponadto γ r 2, (r 2 ) = 2r 3, zatem γ r = 2 γ r. T(r, φ, λ) = GM r n ( ) a n ( C nm cos(mλ) + S nm sin(mλ) ) Pnm(sin φ) r n=2 m=0 ( ) 1 ( r n+1 = r (n+1)) = (n + 1)r (n+2) 1 = (n + 1) r n+2 2 r 1 1 = 2 rn+1 r n+2 g = GM r 2 n=2 m=0 n (n 1) ( ) a n ( C nm r cos(mλ) + S nm sin(mλ) ) Pnm(sin φ) Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 21 / 22

http://icgem.gfz-potsdam.de/icgem/service.html Dr inż. Liliana Bujkiewicz Geodezja fizyczna i geodynamika 4 czerwca 2017 22 / 22