Proste i odwrotne schematy podziału

Proste i odwrotne schematy podziału Wiesław KOTARSKI * Krzysztof GDAWIEC ** * Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego ** Instytut Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1. Wstęp W 197 roku Chaikin [] przedstawił bardzo prosty algorytm w którym przez kolejne ścinanie rogów wieloboku moŝna otrzymać graniczną krzywą gładką. Podobny algorytm w literaturze pojawił się juŝ wcześniej. W 197 roku algorytm ścinania rogów badał de Rham [8]. Algorytm Chaikina następnie został uogólniony na płaty powierzchni przez Catmulla i Clarka oraz Doo i Sabina w 1978 roku oraz przez Loopa [] w 1987 roku. Wcześniej w latach 60-tych XX wieku Bézier i de Casteljau odkryli krzywe i płaty powierzchni których kształt moŝna zmieniać w sposób intuicyjny za pomocą niewielkiej liczby punktów kontrolnych. Metody podziału (ang. subdivision) ogólnie moŝna opisać za pomocą tzw. schematów podziału które mogą być reprezentowane w postaci macierzowej. Macierze podziału odznaczają się szczególną własnością są macierzami Markowa co oznacza Ŝe sumy elementów ich wierszy są równe 1. Na podstawie spektrum wartości własnych macierzy podziału moŝna stwierdzić gładkość krzywych bądź płatów generowanych za ich pomocą. Sposób tworzenia krzywych i płatów za pomocą podziału ściśle wiąŝe się z fraktalnym generowaniem kształtów. MoŜna bowiem na podstawie schematów podziału zbudować układ IFS (ang. Iterated Function System) definiujący fraktala. W 00 roku Goldman [3] podał wzór definiujący układ IFS za pomocą macierzy podziału który słuŝy do wygenerowania w sposób fraktalny krzywych Béziera. Następnie Schaefer Goldman i Levin [11] w 005 roku opublikowali pracę w której pokazali sposób budowy układu IFS dla dowolnych schematów podziału zarówno dla krzywych jak i płatów powierzchni. Opierając się na tych wynikach pierwszy autor artykułu w monografii [6] przedstawił metodologię generowania w sposób fraktalny dowolnych kształtów dwu- lub trójwymiarowych. Schematy podziału i metody fraktalne są zatem ze sobą ściśle powiązane. Pozwalają nawet wprowadzić do fraktali punkty kontrolne za pomocą których moŝna płynnie zmieniać kształt fraktala. Przez zmianę parametrów w schematach podziału moŝna uzyskiwać kształty gładkie bądź kształty fraktalne. Takie przykłady pokazał w 1990 roku Overweld w pracy [7]. Zaburzając macierze podziału otrzymywał kubiczne krzywe Béziera bądź krzywe fraktalne. Z powyŝszych informacji wynika iŝ generowanie krzywych bądź płatów za pomocą podziału łączy w sobie zarówno cechy fraktali jak i krzywych których kształt zmieniany moŝe być za pomocą punktów kontrolnych. Warto podkreślić iŝ kształty tworzone metodami fraktalnymi są niezaleŝne od rozdzielczości i są otrzymywane w oparciu o niewielką liczbę współczynników układów IFS. Na schematy podziału moŝna takŝe spojrzeć jak na aproksymacje operatorów róŝniczkowych. Takie podejście uogólniające klasyczne schematy podziału przedstawili Warren i Weimer w [1] i [13]. Oznacza to Ŝe rozwiązanie równania róŝniczkowego zwyczajnego bądź cząstkowego przedstawia pewien kształt który często moŝna otrzymać za pomocą odpowiednich schematów podziału które w istocie moŝna uwaŝać za równowaŝne numerycznemu sposobowi rozwiązania tych równań. Rzeczywiście na przykład splajny kubiczne są rozwiązaniami pewnych równań róŝniczkowych które z kolei minimalizują całkowe wskaźniki jakości. Splajny kubiczne bowiem charakteryzują

się minimalnym poziomem energii deformacji co oznacza ze całka reprezentująca tą energię przyjmuje minimum. Całka energii osiąga minimum dla funkcji będących rozwiązaniami tzw. równania Eulera-Lagrange a. Takie ogólniejsze spojrzenie na schematy podziału pozwala opierając się na metodach wariacyjnych definiować nowe schematy podziału o szczególnych własnościach. MoŜliwe jest więc wygenerowanie w sposób fraktalny kształtów będących rozwiązaniami równań róŝniczkowych bo skoro do ich otrzymania moŝna uŝyć schematu podziału to rezultaty Goldmana [3] pozwalają juŝ zdefiniować odpowiednie układy IFS do fraktalnego generowania tych kształtów. Stąd wniosek Ŝe np. znane powierzchnie minimalne otrzymywane jako kształty podobne do baniek mydlanych powinny być moŝliwe do wygenerowania w sposób fraktalny. Schematy podziału jak wiadomo często prowadzą do gładkich krzywych bądź gładkich płatów. Powstaje więc naturalne pytanie czy schematy podziału moŝna odwrócić tzn. czy na podstawie gładkiej krzywej bądź płata moŝna otrzymać wielobok czy siatkę początkową z której poprzez podziały moŝna uzyskać kształt wyjściowy. Pozytywną odpowiedź na to pytania przedstawił w roku 1999 Bartels i Samavati [1] [9]. Odwrotne schematy podziału prowadzą do tzw. wielorozdzielczych reprezentacji kształtów co oznacza Ŝe dany kształt moŝe być przedstawiony dokładniej z większą liczbą szczegółów bądź mniej dokładnie ze zredukowaną liczbą szczegółów. Wielorozdzielcze reprezentacje są interesujące z praktycznego punktu widzenia. Metody podziału metody fraktalne a takŝe odwrotne metody podziału które wiele łączy jak moŝna zorientować się po bogatej literaturze przedmiotu w ostatnich latach cieszą się duŝym zainteresowaniem matematyków i informatyków.. Schematy podziału dla krzywych i płatów RozwaŜmy na płaszczyźnie punkty kontrolne P0 P1 P tworzące łamaną jak na rys.1. Algorytm ścinania rogów działa następująco: odcinki [ P0 P 1] i [ P1 P ] dzielimy odpowiednio w proporcjach u :1 ( u + v) : v gdzie u v 0 oraz 0 < u + v 1. W wyniku podziału powstają nowe punkty " " " 0 1 P P P tworzące odpowiednio lewą część i punkty ' ' ' 0 1 P P P tworzące prawą część nowej łamanej. P 0 P 1 P 0 u 1 (u + v) v P 1 u 1 (u + v) v P P 1 P P P 0 Rys.1. Schemat podziału dla krzywej. Związki między początkowymi punktami i punktami lewej i prawej części powstałymi w wyniku podziału opisują zaleŝności:

' P 0 P0 ' P1 = L P1 ' P P P P P '' 0 '' 1 '' P0 = R P1 gdzie P 1 u L = v 0 u 1 v 1 u 0 0 u v R = 0 0 1 v 1 u v 0 u 1 v są tzw. macierzami podziału z parametrami spełniającymi warunki: u 0 v 0 0 < u + v 1. Kolejne podziały opisują iteracje macierzy L i R. Graniczny kształt zaleŝy od wartości parametrów u i v które wpływają na wartości własne macierzy podziału. W szczególności jeśli u =v = 1/ 3 to macierze podziału mają wartości własne 1 1/ 31/ 3 i graniczna krzywa jest tylko ciągła. Przypadek ten analizował de Rham w 197 roku. Gdy u =v = 1/ to macierze podziału mają wartości własne 1 1/ 1/ i graniczny kształt jest gładki. Przypadek ten odpowiada algorytmowi przedstawionemu przez Chaikina w 197 roku. Trzeci przypadek u =v = 1/ w którym wartości własne teŝ są równe 1 1/ 1/ prowadzi do kwadratowej krzywej Béziera. Analizowane przypadki granicznych krzywych zostały przedstawione na rys.. Rys.. Krzywa górna to krzywa Chaikina środkowa to krzywa de Rhama dolna to krzywa Béziera. Macierze podziału dla kubicznej krzywej Béziera mają postać: 1 0 0 0 1 8 3 8 3 8 1 8 1 1 0 0 0 1 1 1 L = R =. 1 1 1 0 0 0 1 1 1 8 3 8 3 8 1 8 0 0 0 1 Jeśli współczynniki tych macierzy zostaną zaburzone jak niŝej 1 0 0 0 0.08 0. 0.51 0.09 0.6 0.7 0 0 0.5 0 0 0.5 L = R = 0.5 0 0 0.5 0 0 0.6 0.7 0.08 0. 0.51 0.09 0 0 0 1

to wówczas zamiast kubicznej krzywej Béziera otrzymuje się krzywą fraktalną jak na rys.3. Rys. 3. Kubiczna krzywa Béziera oraz krzywa fraktalna oparte na tych samych punktach kontrolnych. Jak widać obie krzywe: kubiczna krzywa Béziera oraz krzywa fraktalna powstały w oparciu o schematy podziału z róŝnymi macierzami L i R. W tym miejscu widoczne jest to Ŝe krzywe generowane na podstawie schematów podziału wyznaczają bardzo szeroką klasę krzywych do której naleŝą zarówno krzywe gładkie jak równieŝ krzywe fraktalne. Rezultat ten wzbogacony został o wynik Goldmana [3] który wskazał postać układu IFS do wygenerowania krzywej Béziera: IFS P L P P R P 1 1 = { } gdzie P jest nieosobliwą macierzą punktów kontrolnych P -1 jest macierzą odwrotną do P. W przypadku kwadratowej krzywej Béziera macierz P tworzą współrzędne punktów kontrolnych w postaci jednorodnej: x y P x y 0 0 = 1 1 1 x y Natomiast w przypadku krzywych wyŝszych stopni macierz P złoŝona z punktów kontrolnych musi być uzupełniona dowolnymi elementami do nieosobliwej macierzy kwadratowej. Na rys. przedstawiono kolejne iteracje tworzenia w sposób fraktalny krzywej de Rhama. 1. 1 Rys.. Krzywa de Rhama generowana fraktalnie za pomocą algorytmu deterministycznego.

Wyniki przedstawione w rozdziale mogą być w sposób bezpośredni uogólnione na płaty powierzchni będące iloczynami tensorowymi krzywych. W przypadku płatów powierzchni zamiast dwóch macierzy podziału wystąpią cztery następujące macierze: B = L L B = L R B = R L B = R R 1 3 gdzie symbol oznacza iloczyn tensorowy macierzy podziału dla krzywych. W przypadku płata dwukwadratowego macierze podziału mają wymiary 9x9 a w przypadku płata dwukubicznego juŝ 16x16. Wzór Goldmana na układ IFS do fraktalnego generowania płata przyjmuje postać: 1 1 1 1 { 1 3 } IFS = P B P P B P P B P P B P gdzie B1 B B3 B to macierze podziału dla płata P to nieosobliwa macierz kwadratowa punktów kontrolnych płata a P -1 to macierz odwrotna do P. RównieŜ dla płata spektrum wartości własnych macierzy podziału daje informację odnośnie gładkości płata wygenerowanego za pomocą macierzy podziału. I tak dla płata będącego iloczynem tensorowym krzywych Chaikina wartości własne macierzy podziału są następujące: 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 8 8 16 Natomiast dla płata zbudowanego jako iloczyn tensorowy krzywych de Rhama wartości własne są następujące: 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 3 3 3 3 9 9 9 9 3. Schematy podziału a równania róŝniczkowe Z rachunku wariacyjnego [1] znany jest fakt iŝ funkcja y(x) spełniająca warunki brzegowe i minimalizująca całkę: b ( ) ( ) min J y = F x y y dx a y( a) = A yb ( ) = B jest rozwiązaniem równania róŝniczkowego Eulera-Lagrange a: d Fy F = 0. y dx Całka ta zazwyczaj reprezentuje energię pewnego układu natomiast rozwiązanie równania Eulera-Lagrange a opisuje własności dynamiczne tego układu. W szczególności następująca całka:

t m t0 F( t) dt min t { } F( t ) = v T = t... t i i 0 m reprezentuje energię deformacji odkształconej krzywej przechodzącej przez zadane punkty. Minimum energii tej krzywej osiągane jest dla funkcji spełniającej następujące równanie Eulera-Lagrange a: F( t) = 0 t T. t Jest to równanie róŝniczkowe cząstkowe rzędu czwartego. Jego rozwiązaniem jest naturalny splajn kubiczny tzn. krzywa interpolacyjna składająca się z kawałków krzywej wielomianowej trzeciego stopnia. W szczególnym przypadku gdy T = 01 3 v = {133 } krzywa przedstawiona w lewej części rys. 5 jest krzywą { } o minimalnej energii deformacji. Rys. 5. Z lewej naturalny splajn kubiczny o minimalnej energii deformacji z prawej B- splajn kubiczny otrzymany w oparciu o macierze podziału. Naturalny splajn kubiczny moŝe być wygenerowany jako B- splajn kubiczny (prawa część rys. 5) za pomocą następujących macierzy podziału: 1 0 0 0 0 0 1 8 3 1 8 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 L = 1 8 3 1 8 0 0 R = 0 0 1 8 3 1 8 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 8 3 1 8 0 0 0 0 0 1 oraz wieloboku początkowego zbudowanego na następujących punktach kontrolnych: [01] [105/56][33/1]375/56][] które oblicza się z zaleŝności: 1 p = C v gdzie p to punkty kontrolne B-splajna kubicznego v to węzły interpolacji dla naturalnego splajna kubicznego a C jest macierzą o postaci:

1 0 0 0 0 1 6 3 1 6 0 0 C = 0 1 6 3 1 6 0. 0 0 1 6 3 1 6 0 0 0 0 1 Opierając się na monografii Warrena i Weimera [13] moŝna próbować w sposób fraktalny wygenerować takŝe np. płaty o minimalnej powierzchni jak na rys. 6. Rys. 6. Przykładowe płaty o minimalnej powierzchni. Płaty te odznaczają się podobnie jak splajny kubiczne własnościami ekstremalnymi minimalizują energię co przekłada się na fakt Ŝe spełniają one odpowiednie równania Eulera-Lagrange a. Rozwiązania tych równań z kolei mogą być otrzymane za pomocą odpowiednich schematów podziału.. Odwrotne schematy podziału dla krzywych i płatów RozwaŜmy schemat podziału Chaikina zastosowany dla n > 3 punktów tworzących wielobok jak na rys. 7. p 0 j p 1 j p 1 j+1 p 0 j+1 p 0 p 1 p p Rys.7. Algorytm ścinania rogów Chaikina. Kolejno kaŝdy bok wieloboku dzielony jest na trzy części w proporcji 1 / :1/ :1/. W miejscach podziału umieszczone zostają dwa nowe punkty i ucinane są rogi. Powstaje w ten sposób wielobok o większej liczbie boków i z iteracji na iterację tworzy się coraz gładszy kontur dając graniczną krzywą p. Proces podziału moŝna opisać za pomocą macierzy dwuprzekątniowej mającej w wierszach elementy 1 3 lub równowaŝnie za pomocą następującej zaleŝności rekurencyjnej:

p p k + 1 j k + 1 j+ 1 3 = p 1 = p k j k j 1 + p 3 + p gdzie k oznacza numer podziału a j numer punktu. Z układu tego moŝna wyliczyć: 3 1 p = p p k + 1 j k + 1 j k k 1 k 1 j j 1 j. Punkt k p j moŝe być równieŝ wyliczony na podstawie innej pary punktów: 3 1 p = p p k k + 1 k + 1 j j j 3. Po uśrednieniu otrzymuje się: 1 3 3 1 p = p + p + p p k k + 1 k + 1 k + 1 k + 1 j j 3 j j 1 j Stąd widać Ŝe moŝliwe jest znalezienie przybliŝonej zaleŝności pomiędzy punktami niŝszego poziomu a punktami poziomu wyŝszego. Oznacza to Ŝe moŝliwe jest odwrócenie schematu podziału Chaikina. Na rys. 8 przedstawiono działanie schematu podziału wprost a na rys. 9 działanie odwrotnego schematu Chaikina.. Rys. 8. Schemat podziału Chaikina wprost. Rys. 9. Odwrócony schemat podziału Chaikina. W podobny sposób udaje się odwrócić działanie innych schematów podziału dla krzywych jak np. schematu dla kubicznych krzywych Béziera czy schematu czteropunktowego. TakŜe odwracalne są schematy podziału dla płatów jak np. schematu Doo [10] Loopa czy

Catmulla-Clarka. Odwrócenie schematów podziału umoŝliwia wielorozdzielczą reprezentację kształtów. 5. Zastosowanie prostych i odwrotnych schematów podziału Schematy podziału wprost dają moŝliwość generowania dowolnych kształtów na podstawie wieloboków czy siatek w procesie ścinania rogów. Otrzymywane kształty odznaczać się mogą dowolną złoŝonością. Kształty tworzone w ten sposób są gładkie co jest waŝnym wymaganiem przy modelowaniu geometrycznym obiektów. Algorytmy oparte o schematy podziału są łatwe w implementacjach. Są przy tym efektywne. Te zalety zdecydowały o tym Ŝe metody podziału znalazły zastosowanie w studiach filmowych przy tworzeniu animacji komputerowych. W szczególności studio filmowe Pixar [1] po raz pierwszy uŝyło tej techniki przy realizacji 3.5 min animacji komputerowej Geri s Game nagrodzonej Oskarem w 1997 roku. Ponadto te techniki zaimplementowane są w programach graficznych do modelowania kształtów trójwymiarowych np. POV Ray Maya. Odwrócenie schematu podziału moŝe być wykorzystane do wielorozdzielczej reprezentacji konturów. Na rys. 10 pokazano za pracą [5] moŝliwość redukcji liczby punktów opisującej kontur na przykładzie konturu Polski. Rys. 10. Kontur Polski przedstawiony za pomocą róŝnej liczby punktów (góra 107 dół od lewej 69 68 17). Podobnie redukcję liczby punktów konturu moŝna uzyskać stosując metodę fraktalną. Na rys. 11 kontur słonia został wygenerowany na podstawie znajomości zbioru 39 układów IFS reprezentujących ten kontur. Jak widać obie metody - metoda odwracania schematu Chaikina i metoda fraktalna prowadzą do wielorozdzielczego opisu konturu.

Rys. 11. Kontur słonia wygenerowany na postawie metody fraktalnej z odpowiednio 39 78 i 156 punktami. 6. Uwagi końcowe W artykule przedstawiono metodę podziału szeroko stosowaną do generowania obiektów graficznych zarówno dwu- jak i trójwymiarowych. Pokazano związek metody podziału z algorytmami fraktalnymi oraz z zadaniami rachunku wariacyjnego. Dzięki temu związkowi moŝliwe jest wygenerowanie wielu kształtów za pomocą metod podziału. Ponadto wskazano na moŝliwość odwrócenia schematów podziału. Jak widać zagadnienia podziału podziału odwrotnego i metody fraktalne pozostają w ścisłym związku. Równocześnie pozwalają one uzyskać reprezentację wielorozdzielczą obiektów graficznych. Zagadnienia przedstawione w pracy dotyczyły głównie kształtów dwuwymiarowych. Autorzy prowadzą dalsze badania nad metodami podziału wprost metodami odwrotnymi metodami fraktalnymi oraz reprezentacją wielorozdzielczą obiektów w trzech wymiarach. 7. Literatura [1] Bartels R. H. Samavati F. F.: Reversing subdivision rules: local linear conditions and observations on inner products. Journal of Computational and Applied Mathematics Vol. 119 9-67 000. [] Chaikin G.: An Algorithm for High Speed Curve Generation Computer Graphics and Image Processing Vol. 3 36-39 197. [3] Goldman R.: The Fractal Nature of Bézier Curves Proceedings of the Geometric Modeling and Processing April 13-15 Beijing China 00 pp.3-11. [] Farin G.: Curves and surfaces for CAGD. A practical guide Academic Press 00. [5] Holeksa S.: Wielorozdzielcza reprezentacja konturu za pomocą odwrotnych schematów podziału praca magisterska Instytut Informatyki UŚ Sosnowiec 008. [6] Kotarski W.: Fraktalne modelowanie kształtu Wydawnictwo EXIT Warszawa 008. [7] Overveld C.W.A.M. van: Family of Recursively Defined Curves Related to the cubic Bézier Curve Computer Aided Design Vol. No. 9 591-597 1990. [8] de Rham G.: Un peu de mathematique a propos d'une courbe plane Elem. Math. 73-76; 89-97 197.

[9] Samavati F.F. Amiri N. M. Bartels R. H. : Multiresolution Representation of Surface with Arbitrary Topology by Reversing Doo Subdivision Computer Graphic Forum Vol.1 No. 11-136 00. [10] Samavati F.F. Bartels R. H.: Multiresolution Curve and Surface Representation by Reversing Subdivision Rules by Least-Squares Data Fitting Computer Graphics Forum Vol. 18 No. 97-10 1999. [11] Schaefer S. Levin D. Goldman R.: Subdivision Schemes and Attractors Eurographics Symposium on Geometry Processing 005 pp. 171-180. [1] Warren J. and Weimer H.: Subdivision schemes for variational splines. Rice University Department of Computer Science Technical Report CS-TR 00-35 dostępne online: http://cs-tr.cs.rice.edu/ 000. [13] Warren J. Weimer H.: Subdivision Methods for Geometric Design. Morgan Kaufmann Publishers 00. [1] Zorin D. Schroder P.: Subdivision for Modeling and Animation ACM Computer Graphics Course Notes 000.