Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny Krzysztof Burnecki Aleksander Weron Centrum Metod Stochastycznych im. Hugona Steinhausa Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska www.im.pwr.wroc.pl/ hugo

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 1 Program wystąpienia Klasyczny proces ryzyka Prawdopodobieństwo ruiny w czasie nieskończonym Znane dokładne wzory na prawdopodobieństwo ruiny Aproksymacje w czasie nieskończonym Porównanie aproksymacji na przykładzie danych szkodowych Prawdopodobieństwo ruiny w czasie skończonym Znane dokładne wzory na prawdopodobieństwo ruiny Aproksymacje w czasie skończonym Porównanie aproksymacji na przykładzie danych szkodowych

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 2 Literatura [1] S. Asmussen (2000), Ruin Probabilities, World Scientific. [2] K. Burnecki, P. Miśta, A. Weron (2005), A new gamma type approximation of the ruin probability, Acta Physica Polonica B 36, 1473 1483. [3] K. Burnecki, P. Miśta, A. Weron (2005), Ruin probabilities in finite and infinite time, w: Statistical Tools for Finance and Insurance. [Edytorzy] P. Cizek, W. Härdle, R. Weron (Springer), 341 379. [4] K. Burnecki, P. Miśta, A. Weron (2005), What is the best approximation of ruin probability in infinite time?, Appl. Math. (Warsaw) 32, 155 176. [5] J. Grandell (2000), Simple approximations of ruin probability, Insurance: Mathematics & Economics 26, 157 173.

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 3 Proces zagregowanej wypłaty S t = N t k=1 X k, S t = 0, gdy N t = 0 N t liczba wypłat w portfelu do czasu t X 1, X 2,... wysokości poszczególnych wypłat Założenia: N t jest jednorodnym procesem Poissona o intensywności λ > 0 X 1, X 2,... są niezależnymi zmiennymi o jednakowych rozkładach danych dystrybuantą F i skończonej średniej µ zmienne losowe N t, X 1, X 2,... są wzajemnie niezależne

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 4 Proces ryzyka R t = u + ct S t, u kapitał początkowy c intensywność napływu składki Założenia: c = (1 + θ)λµ, gdzie względny narzut na bezpieczeństwo θ > 0

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 5 Prawdopodobieństwo ruiny Czas ruiny: τ(u) = inf{t 0 : R t < 0} Definicja 1 Prawdopodobieństwo ruiny w skończonym czasie T ψ(u, T ) = P(τ(u) T ) Prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym czasie ψ(u) = P(τ(u) < )

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 6 Współczynnik dopasowania Definicja 2 Współczynnikiem dopasowania nazywamy dodatnie rozwiązanie (o ile istnieje) równania: 1 + (1 + θ)µr = M X (R), R < sup z M X (z) <

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 7 Rozkłady lekko-ogonowe nazwa parametry gęstość wykładniczy β > 0 f X (x) = βe βx, x 0 gamma α > 0, β > 0 f X (x) = βα Γ(α) xα 1 e βx, x 0 Weibull c > 0, τ 1 f X (x) = cτx τ 1 e cxτ, x 0 n mieszanina wykł. β i > 0, a i = 1 f X (x) = n (a i β i e β i x ), x 0 i=1 Rozkłady ciężko-ogonowe nazwa parametry gęstość Weibull c > 0, 0 < τ < 1 f X (x) = cτx τ 1 e cxτ, x 0 log-normalny µ R, σ > 0 f X (x) = 1 2πσx e (log(x) µ)2 2σ 2, x 0 log-gamma α > 0, β > 0 f X (x) = βα (log(x)) α 1 x β+1, x 1 ( Γ(α) ) Pareto α > 0, ν > 0 f X (x) = α ν α, ν+x ν+x x 0 Burr α > 0, ν > 0, τ > 0 f X (x) = ατνα x τ 1 (ν+x τ ) α+1, x 0 i=1

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 8 Prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym czasie. Wyniki dokładne Zerowy kapitał początkowy Wykładniczy rozkład wypłat ψ(u) = 1 1 + θ ψ(u) = 1 1 + θ exp ( θβu ) 1 + θ

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 9 Prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym czasie. Wyniki dokładne Rozkład wypłat gamma (numeryczne całkowanie od 0 do ); średnia 1 oraz α 1 ψ(u) = θ(1 R/α) exp( Ru) 1 + (1 + θ)r (1 + θ)(1 R/α) + αθ sin(απ) π I, gdzie I = 0 x α exp { (x + 1)αu} [x α {1 + α(1 + θ)(x + 1)} cos(απ)] 2 + sin 2 (απ) dx

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 10 Prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym czasie. Wyniki dokładne Mieszanina 2 rozkładów wykładniczych ψ(u) = gdzie r 1 = r 2 = 1 (1 + θ)(r 2 r 1 ) {(ρ r 1) exp( r 1 u) + (r2 ρ) exp( r 2 u)}, ρ + θ(β 1 + β 2 ) [ ] 1/2 {ρ + θ(β 1 + β 2 )} 2 4β 1 β 2 θ(1 + θ) 2(1 + θ) [ ρ + θ(β 1 + β 2 ) + {ρ + θ(β 1 + β 2 )} 2 4β 1 β 2 θ(1 + θ) p = aβ 1 1 aβ1 1 + (1 a)β2 1 2(1 + θ), ρ = β 1 (1 p) + β 2 p ] 1/2,,

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 11 nieskończonym czasie Aproksymacja Craméra Lundberga Aproksymacja wykładnicza Aproksymacja Lundberga Aproksymacja Beekmana Bowersa Aproksymacja Renyi Aproksymacja De Vyldera Aproksymacja 4-momentowa gamma De Vyldera

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 12 nieskończonym czasie Aproksymacja heavy traffic Aproksymacja light traffic Aproksymacja heavy-light traffic Aproksymacja podwykładnicza Komputerowa aproksymacja za pomocą wzoru Pollaczka Chinczyna

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 13 nieskończonym czasie Aproksymacja Craméra Lundberga ψ CL (u) = Ce Ru, gdzie C = θµ/ {M X (R) µ(1 + θ)}

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 14 nieskończonym czasie Aproksymacja wykładnicza ψ E (u) = exp { 1 } 2µθu µ (2), (µ (2) ) 2 + (4/3)θµµ (3) gdzie µ (k) = E(X k i )

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 15 nieskończonym czasie Aproksymacja Lundberga ψ L (u) = { 1 + ) (θu µ(2) 4θµ 2 µ (3) } ( ) 2µθu exp 2µ 3(µ (2) ) 3 µ (2)

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 16 nieskończonym czasie Aproksymacja Beekmana Bowersa L 1, L 2, L 3,... wartości drabinowe; f L1 (x) = F X (x)/µ Liczba wartości drabinowych K dana jest rozkładem geometrycznym z parametrem q = θ/(1 + θ), więc K L = i=1 ma złożony rozkład geometryczny L i

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 17 nieskończonym czasie ψ(u) = P(L > u) = P(L > 0)P(L > u L > 0) ψ BB (u) = 1 1 + θ {1 G(u)}, gdzie parametry α, β dystrybuanty rozkładu gamma G są dane przez { ( ) } { ( ) 4µµ (3) 4µµ α = 1 + 3(µ (2) ) 1 θ /(1+θ), β = 2µθ/ µ (2) (3) + µ (2) 2 3µ (2) } θ

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 18 nieskończonym czasie Aproksymacja Renyi ψ R (u) = 1 { 1 + θ exp 2µθu } µ (2) (1 + θ)

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 19 nieskończonym czasie Aproksymacja De Vyldera Parametry definiujące nowy proces z wykładniczym rozkładem wypłat: λ = 9λµ(2)3 2µ (3)2, θ = 2µµ (3) 3µ (2)2 θ i β = 3µ (2) µ (3). ψ DV (u) = 1 1 + ( ) θ βu exp θ 1 + θ

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 20 nieskończonym czasie Aproksymacja 4-momentowa gamma (4MG) De Vyldera Parametry definiujące nowy proces z rozkładem wypłat gamma λ = λ(µ (3) ) 2 (µ (2) ) 3 (µ (2) µ (4) 2(µ (3) ) 2 )(2µ (2) µ (4) 3(µ (3) ) 2 ), θ = θµ(2(µ (3) ) 2 µ (2) µ (4) ) (µ (2) ) 2 µ (3), µ = 3(µ(3) ) 2 2µ (2) µ (4), µ (2) = (µ(2) µ (4) 2(µ (3) ) 2 )(2µ (2) µ (4) 3(µ (3) ) 2 ) µ (2) µ (3) (µ (2) µ (3) ) 2

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 21 nieskończonym czasie Twierdzenie 1 [Burnecki, Miśta, Weron (2005)] ψ 4MG (u) = θ(1 R βr ᾱ )e ᾱ u 1 + (1 + θ)r (1 + θ)(1 R ᾱ ) + ᾱ θ sin(ᾱπ) π I, gdzie I = 0 xᾱe (x+1) βu dx [ x ᾱ ( 1 + ᾱ(1 + θ)(x + 1) ) cos(ᾱπ) ] 2 + sin2 (ᾱπ), oraz ᾱ = µ2 µ (2) µ 2, β = µ µ (2) µ 2

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 22 nieskończonym czasie Aproksymacja heavy traffic ψ HT (u) = exp ( 2θµu ) µ (2)

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 23 nieskończonym czasie Aproksymacja light traffic ψ LT (u) = 1 (1 + θ)µ u F X (x)dx

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 24 nieskończonym czasie Aproksymacja heavy-light traffic ψ HLT (u) = θ 1 + θ ψ LT ( ) θu 1 + θ + 1 (1 + θ) 2 ψ HT (u)

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 25 nieskończonym czasie Aproksymacja podwykładnicza S = { ψ S (u) = 1 θµ F : lim x ( µ F 2 (x) F (x) u 0 = 2 } ) F (x)dx

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 26 nieskończonym czasie Komputerowa aproksymacja za pomocą wzoru Pollaczka Chinczyna ψ(u) = P(L > u) = θ 1 + θ n=0 ( ) n 1 B0 n 1 + θ (u), B 0 ogon rozkładu odpowiadający gęstości b 0 (x) = F X (x) µ

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 27 nieskończonym czasie Ponieważ ψ(u) = EZ, gdzie Z = 1(L > u), otrzymujemy następujący algorytm Algorytm 1. Wygeneruj zmienną losową K z rozkładu geometrycznego z p = 1 1+θ, 2. Wygeneruj zmienne losowe X 1, X 2,, X K opisane gęstością b 0 (x), 3. Oblicz L = X 1 + X 2 + + X K, 4. Jeżeli L > u, to Z = 1, w przeciwnym wypadku Z = 0,

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 28 nieskończonym czasie Twierdzenie 2 [Burnecki, Miśta, Weron (2005)] Gęstość b 0 (x) ma postać zamkniętą dla tylko czterech rozkładów: wykładniczy = b 0 (x) wykładniczy, mieszanina wykładniczych ( = b 0 (x) mieszanina a 1 ) β wykładniczych z wagami n 1,, an i=1 ( a βn i β ) n i i=1 ( a i, β ) i Pareto = b 0 (x) Pareto z (α 1, ν), Burr = b 0 (x) zmodyfikowany beta.

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 29 nieskończonym czasie. Podsumowanie

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 30 Rozkład Wykł. Gamma Wei- Miesz. Log- Pareto Burr Metoda bull wykł. norm. Craméra-Lundberga + + + Wykładnicza + + + + + α > 3 ατ > 3 Lundberga + + + + + α > 3 ατ > 3 Beek.- Bow. + + + + + α > 3 ατ > 3 Renyi + + + + + α > 2 ατ > 2 De Vyldera + + + + + α > 3 ατ > 3 4MG De Vyldera + + + + + α > 3 ατ > 3 Heavy Traffic + + + + + α > 2 ατ > 2 Light Traffic + + + + + + + H.-L. Traffic + + + + + α > 2 ατ > 2 Podwykładnicza 0<τ <1 + + + Poll.- Chincz. + + + + + + +

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 31 Rozważane dane Dane pochodzą od Property Claim Services (PCS) (jednostka Insurance Services Office Inc. (ISO)) i opisują straty w mieniu ubezpieczonym będące rezultatem katastrof naturalnych na terenie USA w latach 1990-1999

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 32 Rozważane dane

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 33 Numeryczne aproksymacje p-stwa ruiny w nieskończonym czasie Błąd względny 11 metod względem wartości dokładnych (mieszanina dwóch rozkładów wykładniczych) i aproksymacji Pollaczka Chinczyna (przypadek log-normalny), θ = 30%

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 35 (psi(u)-psi_{exact}(u))/psi_{exact}(u) -0.3-0.2-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 u (USD billion) (psi(u)-psi_{exact}(u))/psi_{exact}(u) -1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 u (USD billion) Rysunek 1: Bardziej skuteczne metody (lewa strona): aproksymacja Craméra Lundberga (ciągła niebieska linia), wykładnicza (przerywana brązowa linia), Beekmana Bowersa (kropkowana czerwona linia), De Vyldera (przerywana czarna linia) i 4- momentowa gamma De Vyldera (przerywana zielona linia). Mniej skuteczne (prawa strona): Lundberga (przerywana czerwona linia), Renyi (kropkowana niebieska linia), heavy traffic (ciągła różowa linia), light traffic (przerywana zielona linia) and heavy-light traffic (przerywana brązowa linia). Mieszanina rozkładów wykładniczych

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 37 (psi(u)-psi_{exact}(u))/psi_{exact}(u) -1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u (USD billion) (psi(u)-psi_{exact}(u))/psi_{exact}(u) -1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u (USD billion) Rysunek 2: Bardziej skuteczne metody (lewa strona): aproksymacja wykładnicza (kropkowana niebieska linia), Beekmana Bowersa (przerywana brązowa linia), heavylight traffic (ciągła czerwona linia), De Vyldera (przerywana czarna linia) and 4- momentowa gamma De Vyldera (przerywana zielona linia). Mniej skuteczne (prawa strona): Lundberga (przerywana czerwona linia), heavy traffic (ciągła różowa linia), light traffic (przerywana zielona linia), Renyi (przerywana brązowa linia) i podwykładnicza (kropkowana niebieska linia). Rozkład log-normalny

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 38 Prawdopodobieństwo ruiny w skończonym czasie. Wyniki dokładne Wypłaty z rozkładu wykładniczego (β = 1, c = 1) gdzie ψ(u, T ) = λ exp { (1 λ)u} 1 π f 1 (x) = λ exp f 2 (x) = cos π 0 f 1 (x)f 2 (x) dx, f 3 (x) { 2 ( )} λt cos x (1 + λ)t + u λ cos x 1, ( u ) ( λ sin x cos u ) λ sin x + 2x i f 3 (x) = 1+λ 2 λ cos x

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 39 skończonym czasie Symulacje Monte Carlo Aproksymacja Segerdahla Aproksymacja dyfuzyjna Poprawiona aproksymacja dyfuzyjna Aproksymacja De Vyldera skończony horyzont

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 40 skończonym czasie Aproksymacja Segerdahla ( ) T uml ψ S (u, T ) = C exp( Ru)Φ, ω L u gdzie C = θµ/ {M X (R) µ(1 + θ)}, m L = C {λm X (R) 1} 1 i ωl 2 = λm X (R)m3 L

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 41 skończonym czasie Aproksymacja dyfuzyjna ( T µ 2 ψ D (u, T ) = IG c σ 2 c ; 1; u µ ) c σc 2, gdzie µ c = λθµ, σ c = λµ (2), oraz IG(x; ζ; u) = 1 Φ (u/ x ζ x) + exp (2ζu) Φ ( u/ x ζ x)

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 42 skończonym czasie Poprawiona aproksymacja dyfuzyjna Niech c = 1, wtedy ψ CD (u, t) = IG ( T δ1 u 2 + δ 2 u ; Ru 2 ; 1 + δ ) 2, u gdzie δ 1 = λm X (γ 0), δ 2 = M X (γ 0)/ {3M X (γ 0)} i γ 0 spełnia równanie: κ (γ 0 ) = 0, gdzie κ(s) = λ {M X (s) 1} s

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 43 skończonym czasie Aproksymacja De Vyldera skończony horyzont Zamiana procesu zagregowanej wypłaty takim z wypłatami z rozkładu wykładniczego dopasowując pierwsze trzy momenty. Zastosowanie dokładnego wyniku dla rozkładu wykładniczego Twierdzenie 3 [Burnecki, Miśta, Weron (2005)] β = 3µ(2) µ, 9λµ λ (2) 3 2µµ = i θ (3) = θ (3) 2µ (3)2 3µ (2)2

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 44 Numeryczne aproksymacje p-stwa ruiny w skończonym czasie porównanie 4 aproksymacji dla mieszaniny dwóch rozkładów wykładniczych, θ = 30%

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 45 psi(u,t) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 u (USD billion) (psi(u,t)-psi_(mc)(u,t))/psi_(mc)(u,t) -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 u (USD billion) Rysunek 3: Wynik metody Monte Carlo (lewa strona), błąd względny (prawa strona). Aproksymacja Segerdahla (niebieska przerywana linia), dyfuzyjna (kropkowana czerwona linia), poprawiona dyfuzyjna (ciągła czarna linia) oraz De Vyldera w skończonym horyzoncie (przerywana zielona linia). T jest ustalone a u się zmienia

Numeryczne aproksymacje prawdopodobieństwa ruiny 46 psi(u,t) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 T (years) (psi(u,t)-psi_(mc)(u,t))/psi_(mc)(u,t) -1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 T (years) Rysunek 4: Wynik metody Monte Carlo (lewa strona), błąd względny (prawa strona). Aproksymacja Segerdahla (niebieska przerywana linia), dyfuzyjna (kropkowana czerwona linia), poprawiona dyfuzyjna (ciągła czarna linia) oraz De Vyldera w skończonym horyzoncie (przerywana zielona linia). u jest ustalone a T się zmienia