Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Tomasz Górecki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza

Wciągu ćwiczeń zostaną przeprowadzone 2 kolokwia. Na każdym z nichbędziedozdobycia25punktów(5zadańpo5punktówkażde). Dodatkowo przewidziane jest dodatkowe zadanie(trudniejsze), za którebędziemożnauzyskaćjedynie0lub5punktów.od25punktówbędzie zaliczenie ćwiczeń. Osoby, które uzyskają poniżej 30%(poniżej 15 punktów) automatycznie nie uzyskują zaliczenia z przedmiotu. Pozostali(15 24 punktów) mają prawo do poprawki z ćwiczeń. W ciągu wykładów odbędą się 2 egzaminy połówkowe z części teoretycznej. Na każdymdozdobyciabędzie25punktów.składałsięonbędziez5pytań,z czego trzy będą dotyczyły podania definicji, twierdzeń i własności(wraz z przykładami, które nie były omówione na wykładzie). Jedno będzie polegało na przeprowadzeniu dowodu, który był omawiany na wykładzie. Natomiast ostatnie pytanie będzie dotyczyło zastosowania zdobytej wiedzy teoretycznej do problemu jedynie związanego z tematyką wykładu, ale dokładnie nie omówionego. Od 25 punktów egzamin będzie uważany za zaliczony. Ocena końcowa z egzaminu będzie wystawiana na bazie sumy uzyskanych punktów z wykładu oraz ćwiczeń(każda część musi być zaliczona). W sesji egzaminacyjnej odbędzie się jedynie egzamin poprawkowy z części teoretycznej.

Billingsley, P.(1987). Prawdopodobieństwo i miara, PWN. Bobrowski, D.(2002). Ciągi losowe, Wydawnictwo UAM. Feller, W.(2006). do rachunku prawdopodobieństwa, t. I, PWN. Feller, W.(2009). do rachunku prawdopodobieństwa, t. II, PWN. Gerstenkorn, T.& Śródka, T.(1973). Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa, PWN. Jakubowski, J.& Sztencel, R.(2001). do teorii prawdopodbieństwa, Script.

Krzyśko, M.(2000). Wykłady z teorii prawdopodobieństwa, WNT. Kubik, L.(1976). Rachunek prawdopodobieństwa, PWN. Majsnerowska, M.(2009). Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa, BTC. Misiewicz, J.(2005). Wykłady z rachunku prawdopodobieństwa z zadaniami, Script. Palka, Z. Ruciński, A.(1998). Wykłady z kombinatoryki, WNT. Ross, S.(2010). A First Course in Probability, Pearson.

Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami losowymi, o których nie możemy z całkowitą pewnością powiedzieć, czy się wydarzą, czy nie. Ta nieprzewidywalność zdarzenia losowego może wynikać bądź z tego, że nasza informacja o jego charakterze i przyczynach jest niewystarczająca, bądź z samej natury zdarzenia. Charakteryzują się one brakiem deterministycznej regularności, ale za to wykazują pewną regularność statystyczną. W eksperymencie losowym można wyróżnić mechanizm losujący oraz zbiór możliwych wyników. Matematycznym modelem eksperymentu losowego jest przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo jest pojęciem, którego nie można stosować do zjawisk niepowtarzalnych, jednostkowych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na pewnej planecie poza Ziemią powstanie życie? To pytanie nie ma sensu, musielibyśmy mieć materiał statystyczny, wiele planet, na których powstało życie, i takich, na których się ono nie pojawiło.

Potocznie prawdopodobieństwo to pojęcie określające nasze oczekiwania co do rezultatu danego zdarzenia, którego wynik zależy wyłącznie od przypadku. Jeśli jakieś mające nastąpić zdarzenie(np. rzut kostką) może przyjąć kilka rezultatów(liczba oczek), to jeden z rezultatów(liczba oczek większa od 1) możemy opisać jako bardziej prawdopodobny od drugiego(liczba oczek równa 1), jeżeli na podstawie pewnej przesłanki(np. poprzednich doświadczeń) nasze oczekiwania co do wystąpienia rezultatu A są większe niż co do wystąpienia rezultatu B. Definicja prawdopodobieństwa w oparciu o subiektywne odczucia jest oczywiście zupełnie nieprzydatna dla celów praktycznych.

Pierwsze pytanie probabilistyczne opublikowano w 1477 roku w jednym z komentarzy do Boskiej komedii Dantego. Za pierwszą pracę naukową z tej dziedziny uważana jest książka Cardano Księga gier losowych(łac. Liber de ludo aleae), odnalezionapośmierciautorawroku1576,awydanawroku1663. Dalszy rozwój teorii rachunku prawdopodobieństwa nastąpił w drugiej połowie XVII wieku dzięki pracom Pascala i Fermata (w roku 1654 nawiązali korespondencję na temat tzw. problemu podziału nagrody), którzy pierwsi uzasadnili matematycznie prawidłowości występujące w grach hazardowych. Sformułowane przez nich wstępne założenia i wnioski rozwijało wielu wybitnych teoretyków rachunku prawdopodobieństwa, przede wszystkim Bernoulli, który u schyłku XVII wieku pierwszy sformułował i uzasadnił tzw. prawo wielkich liczb.

Już w 1711 de Moivre wprowadził prawdopodobieństwo klasyczne jako odwrotność liczby wszystkich możliwych wyników przy założeniu, że są one równoprawdopodobne. Ta definicja spotkała się natychmiast z zarzutem, że opiera się na błędnym kole. Inną próbę sformułowania definicji prawdopodobieństwa podjął w 1919 roku von Mises. Zaproponował, żeby zdefiniować prawdopodobieństwo jako granicę ciągu częstości n A P(A) = lim n n, gdzie n A toliczbarezultatówsprzyjającychzdarzeniu Apo n próbach. Definicja ta nie mówi jednak nic o warunkach istnienia granicy i dlatego nie spełnia wymogów formalnych. Poza tym dokładne określenie wartości prawdopodobieństwa wymaga przeprowadzenia nieskończonej liczby doświadczeń, co w praktyce jest niemożliwe.

Nową definicję prawdopodobieństwa podał w roku 1933 Kołmogorow, który korzystając z teorii miary zaksjomatyzował teorię prawdopodobieństwa. W tym nowoczesnym ujęciu, prawdopodobieństwo, podobnie jak punkt w geometrii, jest obiektem niedefiniowalnym, który spełnia tylko pewne warunki. Rachunek prawdopodobieństwa bada własności miary probabilistycznej.

Twierdzenie(Prawo mnożenia) Niech A 1,A 2,...,A n będąskończonymizbiorami.liczbaciągów (a 1,a 2,...,a n ),gdzie a i A i, i =1,2,...,n,wynosi A 1 A 2... A n Twierdzenie(Ogólne prawo mnożenia) Jeśli pewna procedura może być rozbita na n kolejnych kroków, z r 1 wynikamiwpierwszymkroku, r 2 wynikamiwdrugimkroku,..., r n wynikamiwn-tymkroku,towcałejprocedurzemamy r 1 r 2... r n łącznychwyników(uporządkowaneciągiwyników cząstkowych).

Przykład(PM1) Gra Mastermind polega na odgadnięciu tajnego kodu zbudowanego z sześciu kolorów na czterech pozycjach, dzięki informacjom uzyskiwanym w kolejnych krokach. Ile kodów można ułożyć mając do dyspozycji cztery miejsca i sześć kolorów? Przykład(PM2) Ilejest3-literowychciągówzbudowanychliter:a,b,c,d,e,f,w której żadna litera się nie powtarza? Ile spośród tych ciągów zawiera literę e? Ile 3-literowych ciągów złożonych z tych liter, w których litery mogą się powtarzać, zawiera literę e?

Twierdzenie(Prawo dodawania) Niech A 1,A 2,...,A n będąskończonymizbioramiparami rozłącznymi,tzn. A i A j = dla i j,to n A i = i=1 n A i i=1 Twierdzenie(Zasada bijekcji) Niech A i B będą skończonymi zbiorami. Jeśli istnieje bijekcja f : A B,to A = B.

Przykład(PD) Ile dwucyfrowych liczb ma parzysty iloczyn cyfr? Przykład(ZB) Ile podzbiorów ma n-elementowy zbiór?

Twierdzenie(Zasada szufladkowa Dirichleta) Niech A, B będą dowolnymi skończonymi zbiorami, przy czym A > B.Wówczasdladowolnejfunkcji f : A B,istnieją elementy a 1,a 2 A, a 1 a 2,dlaktórych f(a 1 ) = f(a 2 ). Jeśli pewną liczbę przedmiotów włożymy do szuflad, a szuflad jest mniej niż przedmiotów, które wkładamy, to w pewnej szufladzie znajdą się co najmniej dwa przedmioty.

Przykład(ZSD1) Udowodnić, że w dowolnym zbiorze dziesięciu różnych dwucyfrowych liczb naturalnych istnieją dwa rozłączne podzbiory takie, że sumy liczb obu podzbiorów są równe. Przykład(ZSD2) Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną. Spośród liczb 1,2,...,2nwybrano n+1liczb.udowodnić,żewśródwybranych liczb istnieje taka, która jest dzielnikiem co najmniej jednej z pozostałych n liczb.

Twierdzenie(Zasada włączeń i wyłączeń) Dladowolnychzbiorów A 1,A 2,...,A n n A i = A i i=1 + 1 i n 1 i 1 <i 2 <i 3 n +( 1) k 1 1 i 1 <i 2 n A i1 A i2 + A i1 A i2 A i3 +...+ 1 i 1 <i 2 <...<i k n +( 1) n 1 A 1 A 2... A n A i1 A i2... A ik +...+ Zasada włączeń i wyłączeń pozostaje prawdziwa, gdy nasze rozważania przeniesiemy na dowolną przestrzeń z miarą, w szczególności z miarą probabilistyczną.

Lemat n ( ) n ( 1) k =0, n 1 k k=0

Przykład(ZWW1) Spośród 100 studentów pięćdziesięciu uczy się francuskiego, czterdziestu łaciny, a dwudziestu obu tych języków. Ilu z nich nie uczy się ani francuskiego, ani łaciny? Przykład(ZWW2) W trzydziestoosobowej klasie dwudziestu uczniów uczy się łaciny, czternastu greki, a dziesięciu hebrajskiego. Jeśli żadne dziecko nie uczy się wszystkich trzech języków, a ośmioro nie uczy się żadnego, to ilu uczy się greki i hebrajskiego?

Przed przystąpieniem do losowania trzeba odpowiedzieć sobie na dwa pytania: I. Czy istotna jest kolejność wylosowanych elementów(ciągi czy zbiory)? II. Czy wylosowane elementy mogą się powtarzać? W zależności od odpowiedzi na te pytania wyróżniamy cztery schematy losowania.

Definicja(Wariacje z powtórzeniami(i- TAK, II- TAK)) Wariacją z powtórzeniami k-wyrazową zbioru n-elementowego A nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru. V k n = n k Definicja(Wariacjebezpowtórzeń(I-TAK,II-NIE)) Wariacją bez powtórzeń k-wyrazową zbioru n-elementowego A (1 k n)nazywasiękażdy k-wyrazowyciąg króżnych elementów tego zbioru. V k n = n! (n k)!

Definicja(Permutacje bez powtórzeń) Permutacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego, nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony z wszystkich elementów tego zbioru(szczególny przypadek wariacji bez powtórzeń dla k = n). P n = n! Definicja(Permutacje z powtórzeniami) Permutacją n-elementową z powtórzeniami zbioru X = {x 1,x 2,x 3,...,x k },wktórej x 1 występuje n 1 razy, x 2 występuje n 2 razyitd.oraz n 1 +n 2 +...+n k = nnazywamykażdy n-wyrazowyciąg,wktórym x i występuje n i razydla i =1,2,...,k. P n 1,n 2,...,n k n = n! n 1! n 2!... n k!

Definicja(Kombinacje bez powtórzeń(i- NIE, II- NIE)) Kombinacją(bez powtórzeń) k-elementową zbioru n-elementowego Anazywasiękażdy k-elementowypodzbiórzbioru A(0 k n). ( ) n Cn k = k Definicja(Kombinacje z powtórzeniami(i- NIE, II- TAK)) k-elementową kombinacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego A nazywa się każdy k-elementowy multizbiór(pseudozbiór, kolekcja, zbiór z powtórzeniami) składający się z elementów zbioru A. ( ) n+k 1 C n k = k

Uwaga Kombinacje z powtórzeniami nie przydają się raczej w rachunku prawdopodobieństwa. Służą bowiem do przeliczania obiektów nieoznaczonych(nieistotna kolejność), jak ma to miejsce np. przy rzucie dwoma identycznymi kośćmi do gry. Możliwych rezultatów jest 21, aczkolwiek nie wszystkie są jednakowo prawdopodobne. Stosująctenmodelnależyprzypisaćwynikomtypu {i,i} prawdopodobieństwo 1/36 a pozostałym 1/18. Prościej jest zatem od razu rozważać rzut dwoma różnymi kośćmi(kolejność istotna) z równymi prawdopodobieństwami.

Twierdzenie(Wzór Newtona, twierdzenie dwumianowe) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b oraz dla dowolnej liczby naturalnej n (a+b) n = n k=0 ( ) n a k b n k, k gdzie ( n) k = n! k!(n k)! jestwspółczynnikiemdwumianowym.

Twierdzenie(Twierdzenie wielomianowe) Dladowolnychliczbrzeczywistych x 1,x 2,...,x k orazdladowolnej liczby naturalnej n (x 1 +x 2 +...+x k ) n = = n 1 +n 2 +...+n k =n ( n n 1,n 2,...,n k gdzie ( n ) n 1,n 2,...,n k = n! n 1! n 2! n k! jestwspółczynnikiem wielomianowym. ) x n 1 1 xn 2 2 nn k k, Suma jest brana po wszystkich kombinacjach nieujemnych, całkowitychliczb n 1,n 2,...,n k,któresumująsiędo n.

Przykład(SW1) Na ile sposobów można otrzymać 13 kart w rozdaniu brydżowym? A ile jest różnych rozdań brydżowych? Przykład(SW2) Grupa składa się z 15 małżeństw. Na ile sposobów można spośród nich wybrać czteroosobową delegację, jeśli w skład delegacji nie może wchodzić żadne małżeństwo?

Przykład(SW3) Nailesposobówmożnapołączyćwpary2nosób? Przykład(SW4) Zebrało się n szachistów, mających do dyspozycji k szachownic (n 2k).Naileróżnychsposobówmożnautworzyć kpar szachistów do rozegrania pierwszej partii?

Przykład(SW5) Ile rozwiązań całkowitych(całkowitych dodatnich) ma równanie postaci: x 1 +x 2 +...+x n = k? Przykład(SW6) Na ile sposobów można wybrać trzy liczby spośród liczb 1,2,...,30wtensposób,żeichsumajetparzysta?

Przykład(permutacje koralikowe) Szczególnym wariantem permutacji są permutacje koralikowe, gdzie nie jest wyróżniony początek i koniec(np. rozstawienie na okręgu). W takiej sytuacji nie ma znaczenia gdzie znajdują się elementy, ważne jest jedynie z czym sąsiadują. Wyznaczyć liczbę permutacji koralikowych zbioru n-elementowego. Przykład(dowód kombinatoryczny) Wykazać,żedla n 1 n ( ) n k = n 2 n 1. k k=0