Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)

Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 1 / 20

transformacje Lorentza - wyprowadzenie Transformacje współrzędnych muszą być liniowe: = a + bt = a + b t Początek układu S jest w = 0 i spełnia równanie: 0 = a + bt b a = t = v Podobnie początek = 0 układu S spełnia równanie: 0 = a + b t b a = t = v Podstawiamy za a i b: = a( vt) oraz = a ( + vt ) ( ) y y' v Żądanie symetrii przy zmianie S na S prowadzi do warunku a = a z S z' S' ' M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 2 / 20

Transformacje Lorentza - Einsteina Przypuśćmy, że wysyłamy sygnał świetlny w chwili t = t = 0 z punktu = = 0: = ct oraz = ct Korzystając z równań ( ) dostajemy: ct = a(ct vt) oraz ct = a(ct + vt ) Mnożąc powyższe równania stronami dostajemy: c 2 tt = a 2 tt (c 2 v 2 ) a = 1 1 v2 /c 2 γ(v) A więc transformacje współrzędnych przestrzennych mają postać: = γ( vt) oraz = γ( + vt ) Współrzędne przestrzenne prostopadłe do kierunku ruchu transformują się trywialnie: y = y oraz z = z M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 3 / 20

Transformacje Lorentza - Einsteina Aby znaleźć transformacje współrzędnych czasowych, przekształcamy rówania ( ) do postaci: avt = a t = av v = av a v ( vt) = at + (1 a2 ) av Podstawiając a = γ znajdujemy transformacje współrzędnych czasowych: ( t = γ t v ) ( c 2 oraz t = γ t + v ) c 2 Podsumowując, tranformacje Lorentza-Einsteina mają postać: = γ ( vt) = γ ( + vt ) y w przód = y y = y z = z t = γ ( w tył z = z ) ( ) t v c t = γ t + v 2 c 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 4 / 20

Niezmienniczy interwał czasoprzestrzenny Z niezmienniczości prędkości światła wynika, że jeśli c 2 t 2 2 = 0, to również spełniony jest warunek c 2 t 2 2 = 0. Rozważmy transforamację wielkości s 2 c 2 t 2 2 : ( ) 2 s 2 ct 2 2 = c 2 γ 2 t 2 + v c 2 γ 2 ( + vt ) 2 = ( ) = γ 2 c 2 t 2 + 2v t + v2 c 2 2 2 2v t v 2 t 2 = ( ( ) )) = γ 2 c 2 t 2 1 v2 c 2 (1 2 v2 c 2 = c 2 t 2 2 = ( s ) 2 A więc jeśli c 2 t 2 2 = b to również c 2 t 2 2 = b, dla dowolnego b. Wielkość s nazywamy niezmienniczym interwałem czasoprzestrzennym. Przykład: (dylatacja czasu) Rozważmy dwa zdarzenia zachodzące w początku układu S w odstępie czasu t. } S : (, t ) = (0, t ) c 2 t 2 0 = c 2 t 2 v 2 t 2 t t = S : (, t) = (vt, t) 1 v2 /c = 2 γt M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 5 / 20

Interpretacja fizyczna interwału s 2 s 2 > 0 (zdarzenia rozdzielone czasopodobnie ) Ponieważ c 2 t 2 > 2 więc istnieje takie v = /t < c dla którego = γ( vt) = 0, czyli istnieje S w którym oba zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu, a wielkość s/c = t jest czasem własnym. s 2 < 0 (zdarzenia rozdzielone przestrzennopodobnie ) c 2 t 2 < 2 t/ < 1/c. A więc istnieje takie v = c 2 t/ < c, że t = γ(t v/c 2 ) = 0, czyli istnieje S w którym oba zdarzenia zachodzą jednocześnie, a wielkość s jest długością własną (s 2 = c 2 t 2 2 = 2 ). s 2 = 0 (świetlny, zerowy) Ponieważ c 2 t 2 = 2 więc /t = c w każdym układzie. A więc nie istnieje układ w którym oba zdarzenia byłyby jednoczesne lub zachodziły w tym samym miejscu (układ taki musiałby poruszać się z prędkością światła). Przykład: Czy można znaleźć taki układ w którym Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem zaszłyby (a) w tym samym miejscu, (b) w tym samym czasie? } 1 2 200 km s 2 = 17.6 10 36 4 10 10 > 0 t 1 t 2 = 1410 966 = 444 lata Interwał jest czasopodobny, więc istnieje więc taki układ w którym oba zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu. Układ taki porusza się od miejsca Chrztu do miejsca Bitwy z predkością v = (200 km)/(444 lata). M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 6 / 20

Diagramy czasoprzestrzenne Współrzedne (t, ) dowolnego zdarzenia P przyjmują różne wartości w różnych układach odniesienia. Do opisu konieczna jest znajomość praw transformacyjnych. Linia świata światła Transformacja Galileusza Transformacja Lorentza t linia świata punktu O w układzie (, t), prosta równoległa do dowolnej prostej łączacej zdarzenia jednoczesne i przechodząca przez punkt t = 0. M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 7 / 20

Diagramy Minkowskiego - jednostki Kąt nachylenia i jednostka osi ct : (, ct ) = (0, 1) = γ ( + vt ) t = γ ( t + v /c 2) (, ct) = (γv/c, γ) A więc kąt nachylenia dany jest przez tg θ 1 = ct = v c = β 1 jednostka ct Na papierze : 1 jednostka ct = 1 + β 2 1 β 2 ct ct' (',ct') = (0,1) (,ct) = (βγ,γ) Kąt nachylenia i jednostka osi : (, ct ) = (1, 0) (, ct) = (γ, γv/c) θ 1 ' A więc kąt nachylenia dany jest przez: tg θ 2 = ct = v c = β θ 2 (',ct') = (1,0) 1 jednostka Na papierze : 1 jednostka = 1 + β 2 (,ct) = (γ,βγ) 1 β 2 Jednostkową długość na osi współrzędnej wyznaczają punkty przecięcia z hiperbolą: 2 c 2 t 2 = 1 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 8 / 20

Diagramy Minkowskiego - przykład Przykład: (skrócenie długości) Rozważmy pręt o długości 1 m spoczywający w układzie S. Chcemy znaleźć długość pręta w układzie S. left end S ct ct' : AC = 1 m S: AC = 1+β 2 1 β 2 długość na papierze AB = AD BD = (AC) cos θ (AC) sin θ tg θ = = (AC) cos θ ( 1 tg 2 θ ) 1 + β = 2 1 β 2 1 β 2 = θ A 1 β 2 1 + β 2 C θ B D Przykład: (skrócenie długości) Rozważmy pręt o długości 1 m spoczywający w układzie S. Chcemy znaleźć długość pręta w układzie S. S: AB = 1 m S : AE = 1 cos θ = 1 + β 2 długość na papierze Ponieważ jednostka na osi ma długość 1 + β 2 1 β 2, więc w jednostkach osi dugość AE wynosi 1 β 2. M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 9 / 20 ct A left end θ ct' E B right end ' right end '

Względność równoczesności - przykład Lampy A, B, C, D, E umieszczono w równych odstępach wzdłuż osi. W układzie w którym spoczywają, zapalają się w chwilach t A, t B, t C, t D i t E. Jaka jest kolejność zapalania się lamp w układach S i S? W jakiej kolejności światło lamp dociera do obserwatorów O i O? Gdzie znajduje się obserwator O w chwili gdy dociera do niego światło lampy D? ct t t t B D E ct t A= t C O A B C D E M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 10 / 20

Wyścig żółwia i zająca I Zając i żółw startują z tego samego miejsca, jednak meta dla żółwia jest o połowę bliżej niż dla zająca. Sędzia znajdujący się w spoczynku względem gruntu stwierdza remis. Które punkty oznaczają przekroczenie mety odpowiednio przez zająca i żółwia? W momencie gdy jedno z nich przekracza linie mety, gdzie znajduje się drugie? Kto wygrał według zająca? Czy żółw sie zgadza się z zającem? ct ct ct C B A E D F O start meta zolw meta zajac M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 11 / 20

Wyścig żółwia z zającem II Zając i żółw startują naprzeciw siebie i kończą na wspólnej linii mety, mając do przebycia jednakowe odległości. Sędzia znajdujący się w spoczynku względem gruntu stwierdza, że obaj wystartowali jednocześnie i jednocześnie przekroczyli linię mety. ct ct E ct Podaj lokalizacje zdarzeń: żółw przekracza linię startu, gdzie wtedy (w układzie żółwia) znajduje się zając? zając widzi start żółwia, czy zgadzają się z sędzią co do równoczesnego przekroczenia linii startu i mety? C B A start zolw D meta F G H I start zajac M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 12 / 20

Pociąg przejeżdżający przez tunel Pociąg i tunel mają jednakowe długości własne L 0, i poruszają się ze względną prędkością v. ct ct ct E A B C D F E D A B F C ct G pociag H I tunel J W którym punkcie początek pociągu opuszcza tunel? (C) W którym punkcie koniec pociągu wjeżdża do tunelu? (D) W którym punkcie znajduje się koniec pociągu, w układzie związanym z pociągiem, w chwili gdy początek pociągu opuszcza tunel? (E) W którym punkcie znajduje się początek pociągu, w układzie związanym z tunelem, kiedy koniec pociągu wjeżdża do tunelu? Czy pociąg zmieści się w tunelu, w układzie związanym z tunelem? A w układzie związanym z pociągiem? M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 13 / 20 G pociag H I tunel J

Efekt Dopplera - klasyczny Fala dźwiękowa wysyłana jest przez źródło Z, poruszające się z prędkością u 1 w kierunku odbiornika O, który porusza się w tym samym kierunku co zródło z prędkoscia u 2. Źródło wysyła impulsy o okresie T = 1/f. Jaka jest częstość f impulsów rejestrowanych przez odbiornik? λ = (w u 1 ) τ τ λ = = τ w u 1 f = f w u 2 w u 2 w u 2 w u 1 Szczególne przypadki: ( f = f 1 v ) gdy u 1 = 0, u 2 = v w f f = 1 + v/w gdy u 1 = v, u 2 = 0 t=0 t= τ Z Ι 1 Ι Z u1 τ w τ Ι 2 1 λ O u 2 O u 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 14 / 20

Relatywistyczny efekt Dopplera - podłużny W układzie S źródła (τ T 0 = 1/f 0 ): skąd 1 = ct 1 = 0 + vt 1 2 = c(t 2 nτ) = 0 + vt 2 t 2 t 1 = cnτ c v 2 1 = vcnτ c v ct Zrodlo Obserwator ct ( 2,t 2 ) W układzie S obserwatora: T = 1 f τ t 2 t 1 = n = 1 [(t n γ 2 t 1 ) v ] c 2 ( 2 1 ) = ( cτ = γ c v v ) vcτ c 2 = γ(1 + β)τ c v 1 β A więc f = f 0 1 + β t=nτ (n+1) szy impuls 1 szy impuls (,t ) 1 1 O 0 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 15 / 20

Relatywistyczny efekt Dopplera - podłużny To samo z innej perspektywy. W układzie Obserwatora: skąd 0 = 0 + ct 1 0 = 0 vnτ + c(t 2 nτ) t 2 t 1 = nτ(1 + β) Dylatacja czasu daje τ = γτ, więc T t 2 t 1 n A więc = γτ (1 + β) = T 0 1 + β 1 β f = f 0 1 β 1 + β Zrodlo ct (n+1) szy impuls 0 t=nτ 1 szy impuls Obserwator ct O t 2 t 1 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 16 / 20

Relatywistyczny efekt Dopplera - poprzeczny Jaką częstotliwość widzimy gdy źródło (S ) znajduje się w najmniejszej odległości od obserwatora (S)? Z punktu widzenia źródła S y, obserwator porusza się v z prędkością v przecinając oś y w chwili gdy fotony wyemitowane przez źródło wpadają do jego oczu (case 1) (S : T, S : T 0 ): T = T 0 γ f = f 0 1 β 2 Jaką częstotliwość widzimy gdy źródło widzimy w najmniejszej odległości od obserwatora? y Fotony do oczu obserwatora S biegną wzdłuż osi y. v Kiedy obserwator widzi, że źródło S przecina oś y, (case 2) widzi też błyski o mniejszej częstotliwości niż emitowane przez źródło: T = γt 0 f = f 0 1 β 2 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 17 / 20

Paradoks bliźniąt Paradoksy w teorii względności oznaczają pozorną sprzeczność pomiędzy wynikami doświadczeń w zależności od obserwatora. Schemat doświadczenia leżącego u podstaw paradoksu bliźniąt: Dwóch obserwatorów A i B przeprowadza eksperyment związany z dylatacją czasu. Synchronizuja identyczne zegary (w tym samym układzie odniesienia). Nastepnie A wybiera się w podróż w rakiecie z predkością v poruszając się w wybranym kierunku przez okres czasu T A /2, a następnie zawraca i po czasie T A /2 wraca na Ziemię, gdzie został jego kolega B. Obserwator B mierząc czas podróży T B na swoim zegarze jest w stanie przewidzieć czas T A zmierzony przez obserwatora A: T B = γt A. Paradoks, czyli pozorna sprzeczność, pojawia się gdy obserwator A twierdzi, ze to B poruszał się względem niego najpierw z prędkością v, a nastepnie z prędkością v, i w związku z tym T A = γt B. Rozwiązanie: Obserwator A doznaje przyspieszenia podczas zawracania, co łamie symetrię pomiędzy A i B, a więc to A był wpodróży, a nie B. M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 18 / 20

Paradoks bliźniąt - efekt Dopplera Każdy z obserwatorów wysyła do drugiego sygnały w równych odstępach czasu własnego (1/f 0 ). Po zakończeniu podróży porównują zliczenia. Obserwator B Obserwator A Całkowity czas podróży: T B = 2L v T A = 2L γv Liczba wysłanych sygnałów: f 0 T B = 2f0L v f 0 T A = 2f0L γv Kiedy widzi moment t B1 = L v + L c = L v (1 + β) t A1 = L γv zawracania obserwatora A: Liczba odebranych sygnałów f t B1 = f0l v 1 β 2 o częstości f 1 β = f 0 1+β Pozostały czas podróży: t B2 = L v L c = L v (1 β) t A2 = L γv Liczba odebranych sygnałów f t B2 = f0l v 1 β 2 o częstości f 1+β = f 0 1 β Całk. liczba odebranych sygn.: 2f 0L v 1 β2 = 2f0L γv f t A1 = f0l v (1 β) f t A2 = f0l v (1 + β) Wniosek o upływie czasu zmie- T A = 2L γv T B = 2L v rzonego przez drugiego obserw.: Każdy z obserwatorów odbiera tyle sygnałów ile drugi wysłał pomiędzy początkiem i końcem podróży. Obydwoje zgadzają się co do zmierzonych upływów czasu. M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 19 / 20 2f 0L v

Paradoks bliźniąt - przykład Podróż z Ziemi na Canopus: L = 99 ly v = 99 101 c γ = 101 20 1 2 T A = 20 lat 1 2 T B = 101 lat t ( = γ t v ) c 2 t = 1 2 T A t = 0.98 + 3.96 Podróż z Canopus na Ziemię: ( ) t v( 198) = γ t + c 2 t = 0.98 + 198.04 t = 1 2 T A M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności Wykład 2 20 / 20