Konsultacje. Poniedziałek 9-11 Piątek 11-13

Transkrypt

1 Konsultacje Poniedziałek 9-11 Piątek 11-13

2 Tom 1: Tom 2: Tom 3:

3 Temat XXXI Prędkość światła

4 Jak szybko biegnie światło?

5 Proste próby zawodzą Zbyt duża prędkość Zbyt małe odległości Zbyt niedokładny pomiar czasu

6 Wskazówki astronomiczne W 1676 Ole Rømer, duński astronom wykorzystuje astronomiczne obiekty. Badania związane były z opracowaniem metody pomiaru długości geograficznej na oceanie. Galileusz zaproponował wykorzystanie systemu Jowisza jako kosmicznego zegara, jednak nie była to metoda praktyczna Dopracował ją Gioanni Cassini, który na zaproszenie Ludwika XIV został dyrektorem obserwatorium paryskiego (1671)

7 Cassini i jego asystent Jean Picard mierzyli zaćmienia księżycy Jowisza w obserwatorium Uraniborg w Dani oraz w Paryżu. Różnica czasu była przeliczana na różnicę długości geograficznej. Picardowi pomagał Ole Rømer, który następnie został zaproszony do Paryża.

8 Metody laboratoryjne

9 Fizeau W lipcu 1849 Fizeau ogłosił, że prędkość światła wynosi km/s. Rozmiary aparatury wynosiły około 8km. Koło zębate miało 720 zębów i miało regulowaną prędkość obrotową.

10 Focault W 1862 roku Focault uzyskał swój najlepszy wynik dla światła rozchodzącego się w powietrzu c=298000km/s

11 Podsumowanie Pierwsze pomiary prędkości światła wykorzystywały zjawiska astronomiczne Pierwsze metody laboratoryjne opracowali Fizeau i Foucualt.

12 Stała c

13 Jeszcze jedna, dziwna metoda pomiaru prędkości światła

14 I co to szkodzi?

15 Symetria przypomnienie I semestr (temat VII) Symetria jest parą składającą się z przekształcenia i wybranego zestawu cech obiektu, na które to przekształcenie działa. Jeżeli po przekształceniu wybrany zbiór cech pozostaje nieodróżnialny od wyjściowego to mówimy, że para ta jest symetrią.

16 Czy równanie może mieć symetrie?

17 Zmiana układu współrzędnych m d2 x dt 2 = F x m d2 x dt 2 = F x

18 F w =0 = ma

19

20 Przykład symetrii dla równania m d2 x dt 2 = F x x = x + V x t dx dt = dx dt + V x = dx dt + V x d2 x dt 2 = d2 x dt 2

21 Przykład przekształcenia nie będącego symetrią równania m d2 x dt 2 = F x x = x a xt 2 dx dt = dx dt + a xt = dx dt + a xt d2 x dt 2 = d2 x dt 2 + a x

22 Symetrie drugiego prawa Translacje w czasie, trzy niezależne translacje w przestrzeni, obroty wokół trzech osi układu współrzędnych i pchnięcia w trzech ortogonalnych kierunkach są jedynymi przekształceniami, które są symetriami dla drugiego prawa Newtona.

23 Co z tego wynika? Nie istnieje miernik prędkości własnej

24 Prędkość względna

25 Miernik?

26 Łatwo jest zbudować miernik przyspieszenia własnego

27 Stała c to psuje!

28

29 Koncepcja eteru

30 Zasada względności w ujęciu Einsteina W teorii elektromagnetyzmu, podobnie jak w mechanice, zjawiska nie cechują się żadnymi właściwościami, które byłyby związane z pojęciem bezwzględnego spoczynku

31 Czy zjawiska E-M podlegają zasadzie względności Mamy inne równanie równania Maxwella Czy ten inny zbiór równań ma ten sam zbiór symetrii, co układ Newtona?

32

33

34 A może tak?

35 Ale znów mamy problem

36 Ratujemy względność! Niech wszyscy mierzą w próżni c

37 Dylatacja czasu 2z c t 0 s z 2 0 V 2 t 4 2 t 2 s c 2 z 2 0 V c 2 t 4 2

38 t V z c t c V c z c V c z V c z t c z t 0 2 t t c V Wzór na dylatację czasu Czynnik gamma

39 Skrócenie długości na skróty

40 l l 0 Skrócenie długości: Linijka poruszająca się względem danego układu ma w tym układzie długość gamma razy mniejszą niż w układzie własnym.

41 Współczynnik 1 V 1 c 2 2 ( V1) V ( V2) V2

42 3 2.5 ( V3) V ( V4) V

43 Składanie prędkości Pociąg jedzie względem ziemi z prędkością z;poc Psotna Anna rzuciła w pociągu piłkę z prędkością p;p Jaka jest prędkość piłki względem ziemi?

44 Z pozoru oczywista odpowiedź z; p p; p z; poc

45 Jak wyznaczamy prędkość?

46 Prosta procedura Pod warunkiem, że mamy zsynchronizowane zegary

47 Synchronizacja zegarów przykładowa procedura

48 Jak zsynchronizować zegary w pociągu z zegarami na ziemi? Wiemy, że gdy wszyscy obserwatorzy mierzą prędkość światła jako c, to nie da się tego zrobić, gdyż a) Zegary, które są dla nas w ruchu chodzą inaczej b) Nadto linijki w ruchu mają inną długość

49 Ale za to wiemy, że wszyscy mierzą c! Musimy to wykorzystać

50 W układzie odniesienia pociągu Niech foton po odbiciu od zwierciadła trafi w detektor w punkcie L-q L; q<1. Foton przebył całą długość pociągu L plus odcinek ql: L(1+q) Detektor przeleciał całą długość pociągu pomniejszoną o ql: L(1-g) Zatem mamy wzór pozwalający na wyznaczenie prędkości detektora pd ; 1 c q 1 q

51 Wzór pd ; 1 c 1 q q Przekształcamy do postaci q c c pd ; pd ; p;d Prędkość detektora względem pociągu

52 W układzie ziemi Foton też podróżuje z prędkością c Niech pociąg jedzie w tym samym kierunku co detektor z prędkości z;p Niech detektor porusza się z prędkością z;d Przez d oznaczę odległości detektora od zwierciadła w momencie, gdy do tegoż zwierciadła dobiega foton

53 Niech T0 będzie czasem w jakim foton dotrze do zwierciadła. W tym czasie foton wyprzedzi detektor o długość d. d ct T 0 zd ; 0 Po odbiciu fotonu, detektor i foton potrzebują czasu T1, aby zderzyć się. d ct T 1 zd ; 1 Możemy wyeliminować d ct T ct T 0 z; d 0 1 z; d 1

54 Wyrażenie ct T ct T 0 z; d 0 1 z; d 1 Można przekształcić do postaci T c 1 T c zd ; 0 zd ;

55 Należy przy tym pamiętać, że pociąg cały czas jechał

56 T c 1 T c zd ; 0 zd ; Musimy pozbyć się czasów T0 i T1. W tym celu przeanalizujemy sytuację uwzględniając ruch pociągu

57 Dalej w układzie ziemi W czasie T0 foton wyprzedza tył pociągu o jego długość L L ct T T c 0 z; p 0 0 z; p W czasie T1 foton leci do punktu zderzenia z detektorem, który przybliża się do niego z prędkością z;p ql ct T T c 1 z; p 1 1 z; p

58 Stąd mamy drugą zależności na T1/T0 T c T c q q T c T c 1 zp ; 1 zp ; 0 zp ; 0 zp ; Łączymy to z pierwszą zależnością na T1/T0 T c 1 T c zd ; 0 zd ; c c c c q q c c c c z; p z; d z; p z; d z; p z; d z; p z; d

59 Możemy teraz odwołać się do pierwszej zależności na q q c c zd ; zd ; q = c + z;p c z;p c z;d c + z;d c c c c c c c c c c c c z; p z; d p; d z; d p; d z; p z; p z; d p; d z; d p; d z; p

60 Równanie c z;d c + z;d = c p;d c + p;d c z;p c + z;p Możemy rozwiązać ze względu na zd ; 1 z; p p; d z; p p; d c c

61 Napiszę te same wzory w bardziej ogólny sposób: Układ związany z ziemią oznaczę przez A Układ związany z pociągiem oznaczę przez B Układ związany z detektorem oznaczę przez C Przykładowo: Prędkość układu B (pociągu) względem układu A (ziemi) oznaczę przez AB ;

62 Teraz relacja c z;d c + z;d = c p;d c + p;d c z;p c + z;p Przejdzie w: c c c c c c A; C A; B B; C A; C A; B B; C

63 a relacja Przejdzie w: zd ; 1 c z; p p; d z; p p; d c AC ; 1 A; B B; C A; B B; C c c

64 Mając w ten sposób zapisaną relację c c c c c c A; C B; C A; B A; C B; C A; B Możemy łatwo ją uogólnić na bardziej złożony przypadek

65 Na przykład: Niech A będzie układem związanym z Ziemią, B będzie układem związanym z lotniskowcem, C niech będzie układem związanym z startującym transportowcem, a D będzie układem związanym z detektorem poruszającym się w luku transportowca. Wtedy prędkość D względem A ustalamy przez złożenie prędkości D względem C i C względem A c c c c c c A; D A; C C; D A; D A; C C; D

66 c c c c c c A; D A; C C; D A; D A; C C; D Ale korzystając z Mamy c c c c c c A; C A; B B; C A; C A; B B; C c c c c c c c c A; D A; B B; C C; D A; D A; B B; C C; D

67 Znowu Fizeau Doświadczenie potwierdzające relatywistyczną regułę składania prędkości przeprowadził w 1851 roku Fizeau, oczywiście bez zamiaru testowania nieistniejącej wówczas teorii względności. W swoim doświadczeniu Fizeau zmierzył prędkość światła w płynącej wodzie.

68 Przy współczynniku załamania ok. n=1/3 prędkość światła w wodzie wynosi 2/3c. Jeżeli woda płynie z prędkością, to spodziewamy się, że prędkość światła, klasycznie rzecz biorąc wynosi w=2/3c+. Tymczasem Fizeau otrzymał wzór w c 1 n 1 n 2

69 Wynik Fizeau dawały się intepretować w dość złożony sposób w ramach teorii eteru. Płynąca woda miała ciągnąć za sobą eter. Tak samo jak płynący strumień wody ciągnie z sobą stykające się z jego powierzchnią powietrze. Była to dość złożona teoria. Podejście relatywistyczne zasadniczo interpretację wyników Fizeau uprościło. Wykorzystam wzór na składanie prędkości AC ; 1 c A; B B; C A; B B; C c

70 AC ; 1 A; B B; C A; B B; C c c Niech w c n AC ; BC ; AB ; Wtedy w c c u u n n c 1 1 c cn nc

71 c w 1 n 1 n 2 Jeszcze trochę pracy w c n 1 nc w c c c n n nc n 1 n 1 1 nc nc 1 n 2 Dla Einsteina był to ważny wynik

72 Doświadczenia Michelsona-Morleya

73 Eksperyment zaliczany obecnie do najważniejszych doświadczeń w historii fizyki. Miał na celu wykazanie ruchu Ziemi względem hipotetycznego eteru poprzez porównanie prędkości światła w różnych kierunkach względem kierunku ruchu Ziemi. Doświadczenie zostało przeprowadzone po raz pierwszy w 1881 roku przez Alberta Abrahama Michelsona i powtórzone przez niego wraz z Edwardem Morleyem w roku 1887.

74

75 A źródło światła monochromatycznego B zwierciadło półprzepuszczalne C Zwierciadła D -Luneta

76 Interferometr Michelsona

77 A źródło światła monochromatycznego B zwierciadło półprzepuszczalne C Zwierciadła D -Luneta

78

79 Wynik doświadczenia był negatywny Wynik doświadczenia M-R sam w sobie nie jest kluczowy dla teorii względności. Jego przebieg można tłumaczyć na inne sposoby. Jednak wraz z innymi doświadczeniami stanowi ważki fundament dla teorii względności.

80 Równoczesność

81

82 Na ziemi

83 W czasie TL foton dociera do tyłu pociągu, przebywa w tym czasie drogę (L to długość pociągu p to prędkość pociągu) 1 ct L T 2 L p L W czasie TP foton dociera do przodu pociągu, przebywa w tym czasie drogę 1 ct L T 2 P p P

84 Czas pomiędzy tymi zdarzeniami wynosi T T T T T c p p L p L d c T T P L d c c p T c p 2 d

85 d c c p T c p 2 d Jeżeli dwa zdarzenie Z1 i Z2 są jednoczesne w pewnym układzie odniesienia, to w innym układzie odniesienia, który porusza się z prędkością w kierunku od Z1 do Z2, to zdarzenie Z1 zajdzie w czasie o d 2 c od zdarzenia Z2. d oznacza odległość pomiędzy tymi zdarzeniami w drugim układzie odniesienia

86 Jak duży jest ten efekt? Niech odległość d między zdarzeniami wynosi d=300m, a prędkość =100m/s, wtedy D 10 2 c 12 s

87 To samo mamy w przestrzeni W układzie K błysk następuje w tym samym miejscu. W układzie K błysk następuje kolejno w punkcie o współrzędnej x1 i x2,

88 Efekt Dopplera klasycznie

89

90 T s s s s s s

91 ob ob T T ob ob T ob 1 2 0

92 Efekt Dopplera relatywistycznie

93 Efekt dylatacji czasu mówi, że kiedy porównujemy zegar, który się porusza z serią zegarów w naszym układzie współrzędnych, to wskazania poruszającego się zegara są opóźnione w stosunku do naszych zegarów. Czy to oznacza, że poruszający się zegar widzimy jako chodzący wolniej od naszego?

94 Niekoniecznie: Efekt dylatacji czasu jest efektem geodezyjnym, to jest związanym z porównaniem współrzędnych. rysunek

95 Patrzenie na oddalający lub zbliżający się zegar to inna kwestia. Jeżeli zegar zbliża się do nas to widzimy jego chód jako szybszy, a jeżeli się oddala to jego chód widzimy jako wolniejszy. Jest to związane z tym, że aby zobaczyć godzinę na poruszającym się zegarze to musimy poczekać na sygnał świetlny.

96 Rozpatrzmy dwa układy K i K. Układ K porusza się względem K z prędkością. Niech w układzie K znajduje się emiter sygnałów świetlnych o okresie T. Jaki okres tych sygnałów odbierze obserwator w układzie K? Niech w chwili t=0 oba układy pokrywają się x =x. W chwili t=0 emitowany jest impuls, a w układzie primowanym jego czas emisji jest również t =0; zakładamy, że detektor jest w punkcie x =0.

97 Następny impuls wysłany po czasie T będzie gonił układ K. Jak to wygląda z punktu widzenia układu K? W układzie K prędkość sygnału względem układu K jest równa c-. Sygnał świetlny będzie potrzebował dodatkowego czasu na dojście do detektora w układzie K. Zatem detektor odbierze drugi sygnał po czasie T 1 TK T T c 1 c Oczywiście jest to przedział czasu na zegarach w układzie K.

98 W układzie K sygnał jest odbierany w tym samym punkcie, podobnie jak zajączek w zegarze świetlnym. Związek między przedziałem czasu zmierzonym w K i w K ma zatem ten sam charakter co dla zegara świetlnego, zatem TK 1 K K 1 c c B T T T T T 2 c B c c

99 W dziedzinie częstości mamy K 1 1 B B Jeżeli źródło i obserwator zbliżają się do siebie, to K 1 1 B B

100 W relatywistycznym efekcie Dopplera nie ma różnicy czy uważamy, że źródło zbliża się do detektora, czy detektor do źródła. Związane jest to z tym, że fal elektromagnetyczne w przeciwieństwie do fal mechanicznych nie rozchodzą się w ośrodku względem, którego można odróżnić ruch obserwatora od ruchu źródła

101 Dla małych prędkości mamy 1 B 1 B 1 K B B B c ob 0 1

102 Wymagania Metody pomiarów prędkości światła Związek prędkości światła i stałych elektromagnetycznych Dylatacja czasu i skrócenie długości Czynnik gamma Synchronizacja zegarów Zasada względności Einsteina Względność równoczesności

103 Przykładowe zadanie Wskaż prawidłowe zdanie dotyczące czynnika gamma. Prędkość jednego układu względem drugiego przyjmujemy za równą : a) dla prędkości nadświetlnych ( większe od c) gamma staje się wartością urojoną; b) gamma jest równa zeru dla prędkości =0; c) gamma jest większe od 1.2 dla =500km/s ; d) ma wymiar prędkości

104 P.S. Czas na czas N. Daid Mermin Wydawnictwo: Prószyński i S-ka Data wydania: Kategoria: Popularnonaukowe ISBN: Liczba stron: 236