Zastosowanie metod matematycznych w fizyce i technice - zagadnienia 1 Metoda ι Grama Schmidta zortogonalizować uk lad funkcji {x n } n= a) na odcinku 1; 1 z waga ι ρx) = 1, b) na prostej ; ) z waga ι ρx) = exp x 2 W obu przypadkach znaleźć trzy pierwsze wielomiany ortonormalne a) jednowymiarowy oscylator harmoniczny h2 2m + 1 2 mω2 x 2 Ψx) = EΨx) 1) : relacja ortogonalności + e x2 H m x)h n x) = π 2 n n! δ mn 2) b) jednowymiarowy oscylator harmoniczny, poddany dzia laniu sta lej si ly o wartości F c) jednowymiarowy oscylator harmoniczny + studnia h2 2m + V r) Ψx) = EΨx), V r) = { 1 2 mω2 x 2, x >, x < orto- do zagadnień 2b i 2c: wykorzystać rozwia ι zania zagadnienia 2a i relacje ι gonalności 2) 3) 2 Wielomiany Hermite a Znaleźć wartości w lasne i unormowane funkcje w lasne poniższych zagadnień 3 Wielomiany Legendre a, stowarzyszone funkcje Legendre a Znaleźć potencja l elektryczny w punkcie P w przypadku uk ladów przedstawionych na rysunku, przyja ι ć, że a << r zadanie i rysunek zaczerpnie ι te z ksia ι żki Andrzeja Lendy Wybrane rozdzia ly matematycznych metod fizyki, Wydawnictwa AGH, Kraków 24)
Stowarzyszone funkcje Legendre a zdefiniowane sa ι wzorem Pl m x) = 1 x 2) m/2 d m m P lx) 4) Pokazać, że funkcje Pl m x) spe lniaja ι równanie różniczkowe 1 x 2 ) d2 2 2x d + ll + 1) m2 1 x 2 Pl m x) = 5) : wielomiany Legendre a P n x) spe lniaja ι równanie różniczkowe Pokazać, że harmoniki sferyczne 1 x 2 ) d2 2 2x d + nn + 1) P n x) = 6) Y lm θ, ϕ) = A lm e imϕ P m l cos θ) 7) sa ι funkcjami w lasnymi kwadratu orbitalnego momentu pe ι du ˆL 2 = h 2 1 sin θ sin θ ) + 1 θ θ sin 2 θ 2 ϕ 2 8) Za lóżmy, że potencja l w równaniu Schrödingera w 3 wymiarach) jest funkcja ι radialna ι Wykorzystać wynik poprzedniego zadania i znaleźć radialne równanie Schrödingera 4 Funkcje Bessela Stosuja ι c metode ι Bessela Fröbeniusa met uogólnionego szeregu pote ι gowego), rozwia ι zać równanie x 2 y + xy + x 2 n 2) y = 9) Znaleźć rozk lad temperatury w nieskończenie d lugim walcu, którego powierzchnia boczna utrzymywana jest w temperaturze Znaleźć rozwia ι zanie ogólne równania opisuja ι cego drgania membrany ko lowej, której brzeg jest zamocowany Przyja ι ć, że zagadnienie ma symetrie ι radialna ι Pokazać, że jeżeli funkcja Z ν t) jest dowolnym rozwia ι zaniem równania Bessela, to rozwia ι zanie ogólne równania x 2 y x) + 1 2A)xy x) + D 2 E 2 x 2E + A 2 E 2 p 2) yx) =, 1) gdzie A, D, E i p - sta le, można zapisać w postaci Znaleźć rozwia ι zanie ogólne radialnego równania Schrödingera y = x A Z p Dx E ) 11) h2 1 d d 2m r dr r2 h2 1 Rr) + ll + 1)Rr) = ERr) 12) dr 2m r2 Znaleźć rozwia ι zanie ogólne równania opisuja ι cego ma le drgania wahad la, którego d lugość r jest liniowa ι funkcja ι czasu rt) = a + bt, b > Znaleźć cze ι stości w lasne poprzecznych drgań struny, której końce x = i x = L sa ι zamocowane natomiast ge ι stość liniowa jest liniowa ι funkcja ι po lożenia ρx) = ρ 1 + kx)
Zagadnienie falowodu cylindrycznego typu TE Wewna ι trz falowodu znajduje sie ι dielektryk, ścianka falowodu jest idealnym przewodnikiem Zagadnienie sprowadza sie ι do rozwia ι zania równania 2 r 2 + 1 r r + 1 2 r 2 ϕ 2 + 2 z 2 + ɛ µ ɛµω 2 B zr, ϕ, z) =, 13) z warunkiem brzegowym gdzie a to promień falowodu B zr, ϕ, z) r =, 14) r=a Rozważamy uk lad przewodników utworzony przez powierzchnie ι boczna ι walca i jego podstawy Podstawy sa ι izolowane od powierzchni bocznej i uziemione Znaleźć potencja l pola elektrostatycznego wewna ι trz uk ladu, przyja ι ć, że potencja l powierzchni bocznej wynosi V 5 Metoda funkcji Greena Sprowadzić równanie różniczkowe Ax)y x) + Bx)y x) + Cx)yx) = F x) do postaci samosprze ι żonej d px) dyx) + qx)yx) = fx) : rozwia ι zaniem równania na funkcje ι µx): p x)µ x) = p 1 x) p x) µx) jest Skonstruować funkcje ι µx) = 1 p x) exp p1 x) p x) ) Greena dla zagadnienia ˆαyx) = fx), x a, b, ˆα operator samosprze ι żony, { a1 ya) + a 2 y a) = b 1 yb) + b 2 y b) = Dany jest nieskończony walec o promieniu R, na powierzchni którego utrzymywane jest zerowe ste ι żenie dyfunduja ι cej substancji Ge ι stość źróde l materii dyfunduja ι cej jest sta la i wynosi F, a wspó lczynnik dyfuzji wynosi D Wyznaczyć ste ι żenie w funkcji odleg lości od osi walca Równanie dyfuzji ma w omawianym przypadku postać D u + F = Znaleźć,,wychodza ι funkcje ι Greena dla cza ι stki swobodnej opisywanej równanniem Helmholtza): + k 2) G r, r ) = δ r r ), r, r R 3 Wykorzystać wzór: δ r r ) = 1 2π) 3 R 3 d 3 k e i k r r )
6 Przekszta lcenie Laplace a W pokazanym na rysunku uk ladzie elektrycznym w chwili t = od la ι czono ga la ι ź z opornikiem 1Ω Wyznacz nate ι żenie pra ι du w funkcji czasu dla t > ) Rysunek 1: Schemat uk ladu elektrycznego do pierwszego zadania z przekszta lcenia Laplace a Funkcja xt) opisuja ι ca drgania t lumione punktu materialnego spe lnia równanie M d2 xt) dt 2 + µ t) dt + kxt) = ft), gdzie M - masa, µ - wspó lczynnik t lumienia, k - sta la spre ι żystości, ft) - si la wymuszaja ι ca drgania Wyznaczyć funkcje ι xt), jeśli x) = oraz x ) =, przyjmuja ι c w odpowiednich jednostkach) ft) = 5 sin 2t, M = 1, µ = 2, k = 1 Rozwia ι zać naste ι puja ι ce zagadnienie przewodzenia ciep la w ciele pó lnieskończonym 2 T x, t) x 2 = 1 a T x, t), t T x, ) = T, < x <, T, t) =, t Kula o promieniu R wykonana z materia lu porowatego do chwili t = nie zawiera la wilgoci materia l kuli wysuszony) Dla t > powierzchnia kuli r = R jest utrzymywana w sta lej wilgotności W > Wyznaczyć funkcje ι wx, t), opisuja ι proces nawilżania kuli dla r <, R >, t > Zagadnienie ma postać w t = a 1 r 2 r 2 w ), r r gdzie a oznacza sta la ι charakteryzuja ι materia l kuli, 7 Przekszta lcenie Fouriera wr, ) = dla r <, R >, wr, t) = W dla t > Stosuja ι c przekszta lcenie Fouriera, wyznaczyć potencja l vx, y) p laskiego pola elektrostatycznego, wytworzonego w pó lprzestrzeni x, ), y, gdy dany jest rozk lad potencja lu vx, ) = fx) na prostej y = Potencja l spe lnia równanie Laplace a: 2 v x 2 + 2 v y 2 = e at cos bt dt = a a 2 + b 2, a >
Dany jest rozk lad napie ι cia w chwili pocza ι tkowej t = wzd luż nieskończonej jednorodnej linii elektrycznej: ux, ) = fx), dla x, ) Zak ladamy, że linia jest bezindukcyjna i bez up lywności linia o takich w lasnościach nazywana jest kablem Thomsona), zatem funkcja ux, t) opisuja ι ca dla t > i x, ) przebieg zmian napie ι cia wzd luż linii spe lnia równanie 2 u u RC x2 t = Wyznaczyć napie ι cie ux, t) dla naste ι puja ι cych przypadków a) fx) = { U > dla x a dla x > a b) gdzie x 1 e ax2 sin ωx = π ) ω 2 erf 2, a >, a erfz) = 2 π z e u2 du ) fx) = U exp x2 a 2 e at2 cos ωt dt = 1 2 π a e ω2 /4a, a > Jednorodna prostoliniowa belka o nieskończonej d lugości w chwili pocza ι tkowej jest odchylona i znajduje sie ι w spoczynku Wyznaczyć funkcje ι yx,t), opisuja ι drgania spre ι żyste belki, jeśli dana jest funkcja fx) opisuja ι ca pocza ι tkowe odchylenie belki, przy czym lim fx) = x ± O funkcji yx, t) zak ladamy, że wraz ze swymi pochodnymi do czwartego rze ι du w la ι cznie da ι ży do zera, gdy x ± Funkcja yx, t) dla x, ), t > spe lnia równanie 4 y x 4 + 1 a 4 2 y t 2 =, gdzie a jest wspó lczynnikiem zależnym od rozmiaru belki i materia lu, z którego jest wykonana Ponadto funkcja yx, t) spe lnia warunki pocza ι tkowe } yx, ) ) = fx) y t = t= dla x, )