Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 1 Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 Z1/7.1 Zadanie 3 Narysować wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej przedstawionej na rysunku Z1/7.1. Następnie sprawdzić równowagę sił przekrojowych we wszystkich węzłach oraz w utwierdzeniu. Wymiary ramy podane są w metrach. F 5,2 kn/m 2,2 Rys. Z1/7.1. Rama wspornikowa. Z1/7.2 Wyznaczenie reakcji podporowych Wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej jesteśmy w stanie narysować bez wyznaczania wartości i zwrotów reakcji w utwierdzeniu. Jednak w niniejszym przykładzie dla sprawdzenia obliczeń wyznaczymy reakcje w utwierdzeniu. Rysunek Z1/7.2 przedstawia założone zwroty reakcji w utwierdzeniu. Reakcję V F wyznaczymy z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na ramę wspornikową na oś pionową Y. Y =0 V F 7,6 3,8 5,2 2,2=0 V F =4,9 kn. (Z1/7.1) Reakcja posiada zwrot zgodny z założonym. Reakcję H F wyznaczymy z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na ramę wspornikową na oś poziomą X. X =0 H F 6,2 4,3 1,7=0 H F =13,51 kn. (Z1/7.2) r inż. Janusz ębiński
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 2 H F M F F 5,2 kn/m V F 2,2 Rys. Z1/7.2. Założone zwroty reakcji w utwierdzeniu. 13,51 kn 55,84 knm F 5,2 kn/m 4,9 kn 2,2 Rys. Z1/7.3. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji w utwierdzeniu. Reakcja posiada zwrot zgodny z założonym. Moment w utwierdzeniu M F wyznaczymy z warunku sumy momentów wszystkich sił działających na ramę wspornikową względem punktu F. r inż. Janusz ębiński
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 3 M F =0 M F 7,6 2,2 6,2 1,8 3,8 2,2 1 2 4,3 1,7 1 2 1,7 5,2 2,2 1 2 2,2=0 M F = 55,84 knm. (Z1/7.3) Moment w utwierdzeniu posiada więc zwrot przeciwny do założonego. Rysunek Z1/7.3 przedstawia prawidłowe zwroty i wartości reakcji w utwierdzeniu. Z1/7.3 Siły przekrojowe w przedziale W przedziale nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna i normalna będą stałe w całym przedziale natomiast moment zginający będzie liniowy. Rysunek Z1/7.4 przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w przedziale. N () T () Rys. Z1/7.4. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale. Siła normalna w przedziale wynosi N =0,0 kn. (Z1/7.4) Siła poprzeczna w przedziale wynosi T =. (Z1/7.5) Rysunek Z1/7.5 przedstawia równowagę momentów w punktach i. Zgodnie z rysunkiem Z1/7.5 a) moment zginający w punkcie wynosi M =0,0 knm. (Z1/7.6) Zgodnie z rysunkiem Z1/7.5 b) moment zginający w punkcie przedziału wynosi r inż. Janusz ębiński
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 4 M = 6,2 1,8= 11,16 knm. (Z1/7.7) Znak minus we wzorze (Z1/7.7) oznacza, że moment zginający w punkcie rozciąga część przekroju pręta znajdującą się po prawej stronie. Wykresy sił przekrojowych w przedziale przedstawiają rysunki Z1/7.16, Z1/7.17 i Z1/7.18. a) b) M () M 1,8 Rys. Z1/7.5. Równowaga momentów w przedziale. Z1/7.4 Siły przekrojowe w przedziale W przedziale działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe do osi pręta więc siła normalna będzie stała w tym przedziale, siła poprzeczna będzie liniowa natomiast moment zginający będzie parabolą. a) b) () T () N () N T () 1,8 1,8 Rys. Z1/7.6. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale. Rysunek Z1/7.6 przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w przedziale. Zgodnie z rysunkiem Z1/7.6 a) i b) siła normalna w przedziale wynosi N =N =N =. (Z1/7.8) r inż. Janusz ębiński
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 5 Zgodnie z rysunkiem Z1/7.6 a) siła poprzeczna w punkcie przedziału wynosi T =0,0 kn. (Z1/7.9) Zgodnie z rysunkiem Z1/7.6 b) siła poprzeczna w punkcie przedziału wynosi T =3,8 =8,74 kn. (Z1/7.10) a) b) M () M () 1,8 1,8 Rys. Z1/7.7. Równowaga momentów w przedziale. Zgodnie z rysunkiem Z1/7.7 a) moment zginający w punkcie przedziału wynosi M = 6,2 1,8 = 11,16 knm. (Z1/7.11) Zgodnie z rysunkiem Z1/7.7 b) moment zginający w punkcie przedziału wynosi M = 6,2 1,8 3,8 1 = 21,21 knm. (Z1/7.12) 2 Znak minus we wzorach (Z1/7.11) i (Z1/7.12) oznacza, że moment zginający rozciąga górną część przekroju ramy w tych punktach. kstremum paraboli będzie się znajdowało w punkcie natomiast brzuszek paraboli będzie zwrócony w stronę obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego czyli w dół. Wykresy sił przekrojowych w przedziale przedstawiają rysunki Z1/7.16, Z1/7.17 i Z1/7.18. Z1/7.5 Siły przekrojowe w przedziale W przedziale nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna i normalna będą stałe w całym przedziale natomiast moment zginający będzie liniowy. Rysunek Z1/7.8 przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w przedziale. r inż. Janusz ębiński
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 6 N () T () Rys. Z1/7.8. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale. Siła normalna w przedziale wynosi N =0,0 kn. (Z1/7.13) Siła poprzeczna w przedziale wynosi T =. (Z1/7.14) a) b) M M () Rys. Z1/7.9. Równowaga momentów w przedziale. Rysunek Z1/7.9 przedstawia równowagę momentów w punktach i. Zgodnie z rysunkiem Z1/7.9 a) moment zginający w punkcie wynosi M =0,0 knm. (Z1/7.15) Zgodnie z rysunkiem Z1/7.9 b) moment zginający w punkcie przedziału wynosi M = 7,6 = 17,48 knm. (Z1/7.16) Znak minus we wzorze (Z1/7.16) oznacza, że moment zginający w punkcie rozciąga górną część przekroju pręta. Wykresy sił przekrojowych w przedziale przedstawiają rysunki Z1/7.16, Z1/7.17 i Z1/7.18. Z1/7.6 Siły przekrojowe w przedziale W przedziale działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe do osi pręta więc siła normalna będzie stała w tym przedziale, siła poprzeczna będzie liniowa natomiast moment zginający będzie parabolą. r inż. Janusz ębiński
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 7 a) b) T () N () 1,7 T () N () Rys. Z1/7.10. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale. Rysunek Z1/7.10 przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w przedziale. Zgodnie z rysunkiem Z1/7.10 a) i b) siła normalna w przedziale wynosi N =N =N =. (Z1/7.17) Zgodnie z rysunkiem Z1/7.10 a) siła poprzeczna w punkcie przedziału wynosi T =0,0 kn. (Z1/7.18) Zgodnie z rysunkiem Z1/7.10 b) siła poprzeczna w punkcie przedziału wynosi T = 4,3 1,7 = 7,31kN. (Z1/7.19) Zgodnie z rysunkiem Z1/7.11 a) moment zginający w punkcie przedziału wynosi M = 7,6 = 17,48 knm. (Z1/7.20) Zgodnie z rysunkiem Z1/7.11 b) moment zginający w punkcie przedziału wynosi M = 7,6 4,3 1,7 1 1,7= 11,27 knm. (Z1/7.21) 2 r inż. Janusz ębiński
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 8 a) b) M () 1,7 M () Rys. Z1/7.11. Równowaga momentów w przedziale. Znak minus we wzorach (Z1/7.20) i (Z1/7.21) oznacza, że moment zginający rozciąga lewą część przekroju ramy w tych punktach. kstremum paraboli będzie się znajdowało w punkcie natomiast brzuszek paraboli będzie zwrócony w stronę obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego czyli w lewo. Wykresy sił przekrojowych w przedziale przedstawiają rysunki Z1/7.16, Z1/7.17 i Z1/7.18. Z1/7.7 Siły przekrojowe w przedziale F W przedziale F działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe do osi pręta więc siła normalna będzie stała w tym przedziale, siła poprzeczna będzie liniowa natomiast moment zginający będzie parabolą. N (F) T (F) Rys. Z1/7.12. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w punkcie. r inż. Janusz ębiński
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 9 N F T F 5,2 kn/m 2,2 Rys. Z1/7.13. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w punkcie F. Zgodnie z rysunkiem Z1/7.12 i Z1/7.13 siła normalna w przedziale F wynosi N F =N F F =N F = 6,2 4,3 1,7 = 13,51 kn. (Z1/7.22) Zgodnie z rysunkiem Z1/7.12 siła poprzeczna w punkcie przedziału F wynosi T F =7,6 3,8 =16,34 kn. (Z1/7.23) Zgodnie z rysunkiem Z1/7.13 siła poprzeczna w punkcie F wynosi T F =7,6 3,8 5,2 2,2=4,9 kn. (Z1/7.24) Zgodnie z rysunkiem Z1/7.14 moment zginający w punkcie przedziału F wynosi F M = 7,6 6,2 1,8 3,8 1 2 4,3 1,7 1 1,7= 32,48 knm. (Z1/7.25) 2 Zgodnie z rysunkiem Z1/7.15 moment zginający w punkcie F wynosi M F = 7,6 2,2 6,2 1,8 3,8 2,2 1 2 4,3 1,7 1 2 1,7 5,2 2,2 1 2 2,2= 55,84 knm. (Z1/7.26) r inż. Janusz ębiński
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 10 M (F) Rys. Z1/7.14. Równowaga momentów w punkcie. M F 5,2 kn/m 2,2 Rys. Z1/7.15. Równowaga momentów w punkcie F. Znak minus we wzorach (Z1/7.25) i (Z1/7.26) oznacza, że moment zginający rozciąga górną część przekroju ramy w tych punktach. kstremum paraboli będzie się znajdowało poza przedziałem F, ponieważ siła poprzeczna na obu końcach przedziału jest dodatnia. Natomiast brzuszek paraboli będzie zwrócony w stronę obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego czyli do góry. Wykresy sił przekrojowych w przedziale F przedstawiają rysunki Z1/7.16, Z1/7.17 i Z1/7.18. Z1/7.8 Równowaga węzłów i utwierdzenia W celu sprawdzenia wykresów sił przekrojowych przedstawionych na rysunkach Z1/7.16, Z1/7.17 i Z1/7.18 wykonamy sprawdzenie równowagi sił przekrojowych w węzłach,, oraz w utwierdzeniu F. r inż. Janusz ębiński
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 11 0,0-7,6 N [kn] -13,51-6,2 Rys. Z1/7.16. Wykres siły normalnej w ramie wspornikowej. 0,0 +7,6 T [kn] -7,31 +4,9 +8,74 +16,34 +6,2 0,0 Rys. Z1/7.17. Wykres siły poprzecznej w ramie wspornikowej. Rysunki Z1/7.19 i Z1/7.20 przedstawiają równowagę węzłów i. Jak widać wszystkie siły przekrojowe w tych węzłach znajdują się w równowadze. Rysunek Z1/7.21 przedstawia równowagę węzła. Suma rzutów wszystkich sił przekrojowych na oś poziomą X wynosi 13,51 7,31 6,2=0. (Z1/7.27) Wszystkie siły poziome w węźle znajdują się w równowadze. Suma rzutów wszystkich sił przekrojowych na oś pionową Y wynosi 16,34 7,6 8,74=0. (Z1/7.28) r inż. Janusz ębiński
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 12 55,84 17,48 17,48 32,48 21,21 11,27 M [knm] 11,16 0,0 11,16 0,0 Rys. Z1/7.18. Wykres momentu zginającego w ramie wspornikowej. 11,16 knm 11,16 knm Rys. Z1/7.19. Równowaga węzła. 17,48 knm 17,48 knm Rys. Z1/7.20. Równowaga węzła. Wszystkie siły pionowe w węźle znajdują się w równowadze. Suma wszystkich momentów zginających w węźle wynosi 11,27 21,21 32,48 =0. (Z1/7.29) r inż. Janusz ębiński
Z1/7. NLIZ RM PŁSKIH ZNI 3 13 7,31 kn 11,27 knm 8,74 kn 32,48 knm 21,21 knm 13,51 kn 16,34 kn Rys. Z1/7.21. Równowaga węzła. Wszystkie momenty zginające w węźle znajdują się w równowadze. Ponieważ w tym węźle zostały spełnione wszystkie warunki równowagi możemy stwierdzić, że znajduje się on w równowadze. 4,9 kn 13,51 kn 55,84 knm F 13,51 kn 55,84 knm 4,9 kn Rys. Z1/7.22. Równowaga sił przekrojowych i reakcji w utwierdzeniu. Rysunek Z1/7.22 przedstawia równowagę sił przekrojowych i reakcji w utwierdzeniu. Jak łatwo stwierdzić utwierdzenie znajduje się w równowadze. r inż. Janusz ębiński