Metody nueryzne w geolog nżynerskej IV rok GG Geologa Inżynerska Przedot odelowań ateatyznyh. Jak na baze praw fzyk sforułować odel ateatyzny pozwalająy na syulaję zahowana sę obektów systeów fzyznyh?. Jak ożna wykorzystać etody nueryzne do przeprowadzena syulaj zahowana sę obektu/systeu z wykorzystane koputera 3. Jake prawa zahowana (energ? pędu? oentu pędu?) leżą u podstaw poszzególnyh typów odel jak wpływają na wewnętrzne różne poędzy odelowana statyzny (nezależny od zasu) dynazny? 4. Jake etody nueryzne ożna stosować do budowana odel dynaznyh różnyh zjawsk proesów?
Model ateatyzny to równane (lub proedura zy też algoryt) opsująa zasadnze ehy systeu/obektu fzyznego w języku ateatyk. Model oże reprezentować funkjonalny zwązek poędzy zenny zależny (welkośa, któryh zahowane hey wyodelować) a zenny nezależny (np. zase) paraetra odelu sła(funkja) wyuszająy. Zenne zależne = f Zenne nezależne, paraetry, Sły sterująe wyuszająe Zenne zależne zenne opsująe zahowane sę systeu dynaznego Zenne nezależne zenne dla któryh określane jest zahowane układu np. zas lub położene przestrzen Paraetry stałe (np. wartość przyspeszena grawtayjnego, gęstość porowatość określonego aterału) Sły sterująe/wyuszająe opsująe zewnętrzne zynnk wpływająe na syste dynazny (np. sły tara, opory powetrza tp.) Prosty odel ateatyzny a = g d dt ( t) d d = g ( t) ( t) = f ( t,, g) d, Zenna zależna : Zenna nezależna: Paraetry: Funkje wyuszająe: prędkość t zas asa d współzynnk oporu powetrza g przyspeszene grawtayjne Rekordowy skok Felxa Baugartnera
Rozwązane równana różnzkowego dla warunku pozątkowego ( t) = g d ( ) = jest: g tanh d t Prędkość końowa (aksyalna) Neh asa wynos =68kg, współzynnk opory powetrza.5 kg/ oraz g=9.8 /s Jeśl przyjey, że prędkość pozątkowa wynos /s zależność prędkoś od zasu oże być przedstawona w posta jak na rysunku. Co jednak zrobć gdy równana ne ożna rozwązać (lub ne potrafy tego zrobć)? Aby rozwązać równane w sposób nueryzny usy dostosować równane do oblzeń nueryznyh wykonywanyh na koputerze. d dt t = ( t +) t t + t ( ) rzezywsta styzna d dt d = g ( t ) ( t ) + t + t d = g [ ( t )] aproksyowana styzna d ( t ) ( t ) + g [ ( t )] ( t t ) + = + Nowy = stary + styzna x krok
Algoryt nazyway algoryte Eulera przyblżonego rozwązywana zwyzajnego równana różnzkowego ( a śślej zagadnena pozątkowego tego równana). Krok zasowy równy s. Przyblżone rozwązane nueryzne Końowa prędkość Dokładne rozwązane analtyzne Jak zwększyć dokładność rozwązana? Najlepej zagęść krok zasowy. Zasady zahowana są wygodny narzędze do forułowana równań opsująyh zahowane danego systeu dynaznego. W różnyh dzedznah wykorzystywane są różne prawa zahowana: W naukah nżyneryjnyh (np. w geolog nżynerskej hydrogeolog) ożna spotkać sę z następująy prawa zahowana: Prawo zahowana energ Prawo zahowana pędu Prawo zahowana oentu pędu Prawo zahowana asy Prawo zahowana ładunku elektryznego
Plan wykładu.błędy w oblzenah nueryznyh.. Rozwązywane układów równań lnowyh etoda elnaj Gaussa Jordana Gaussa 3.Interpolaja Lagrange a, Newtona funkja sklejany 4.Aproksyaja aproksyaja lnowa ( zennyh; etoda najnejszyh kwadratów) 5.Różnzkowane ałkowane nueryzne podstawy. 6.Nueryzne rozwązywane równań nelnowyh układów równań nelnowyh (etoda bsekj, seznyh styznyh) 7.Rozwązywane nueryzne równań różnzkowyh zwyzajnyh etoda Runge Kutty etoda predyktor korektor zagadnene brzegowe w równanah zwyzajnyh. 8. Metoda różn skońzonyh równana pól geofzyznyh (równana parabolzne, hperbolzne elptyzne) 9. Równana odelowań nueryznyh ośrodków ągłyh (równana ągłoś, Naera-Stokesa). Nueryzne odelowane reologznyh Sugerowana lteratura pozo atrakyjnoś.zbgnew Kosa Metody nueryzne dla zastosowań nżynerskh.jerzy Krupka, Roan Morawsk, Leszek Opalsk Wstęp do etod nueryznyh dla studentów elektronk tehnk nforayjnyh 3.Ewa Majhrzak, Bohdan Mohnak, Metody nueryzne Podstawy teoretyzne, aspekty praktyzne algoryty 4.Bogusław Bożek Metody oblzenowe h koputerowa realzaja 5.Segund Brandt Analza danyh
Zarówno w poarah jak w oblzenah nueryznyh nteresuje nas zgodność poerzonej/oblzonej wartoś danej welkoś fzyznej z wartośą rzezywstą. Wynk estyaj oże być rozpatrywany zarówno pod kąte jego trafnoś jak preyzj. Netrafna estyaja oznaza stnene stałego obążena w oblzenah poarze. Nepreyzyjna estyaja oznaza, że poszzególne poary/wynk oblzeń posadają duży względny rozrzut. Preyzja estyaj (odwrotność rozrzutu) Trafność (elność) estyaj W odelowanah nueryznyh za tak stan rzezy odpowada skońzona reprezentaja lzbowa rzezywstyh wartoś fzyznyh oraz przyblżony sposób reprezentaj odel fzyznyh. Reprezentaja lzb dla potrzeb oblzeń nueryznyh 34.5678. = [ 3 4 = + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 Układ dzesętny + + + + + + + 3 3 4 ] Układ bnarny Lzby ałkowte (np.3 () ) reprezentowane są w posta stałopozyyjnej N n = z α = ( ) = N ( ) = B + = α N n α B = Obążene B jest ustalane hardwarowo. koputer, który przeznaza bajty (6 btów) na przehowywane lzb ałkowtyh dysponuje zakrese 6 = -3768, 3767 6 B = = 3768 α 644 7 KK α α α 448 3 = ( ) { K 4 34 8 8 α KKα αα - perwsza reprezentaja 6444 74448 3( ) = 443 443 - druga reprezentaja 8 8
Lzby rzezywste wyerne są przedstawane przy pooy reprezentaj zennoprzenkowej (ANG. floatng pont representaton). x( ) = z α + β z znak α, β {, }. = j= x( ) = z ( Kαα Kαα. ββ Kβ j β jk) Alternatywna postać reprezentaj: M x( ) = z γ = z antysa eha = M = γ = N = B + δ j j= Najzęśej antysa jest lzbą unorowaną z przedzału γ = tj γ γ Kγ, x = ±. M ( ), Reprezentaja lzb błędy oblzeń nueryznyh Maksyalna lzba jaka us być reprezentowana ty zapse a postać 678 N 678 B+ K. { K zaś nalna. K M + B Najnejsza lzba zennoprzenkowa, która dodana do. da w wynku lzbę zennoprzenkową różną od nazywana jest dokładnośą reprezentaj zennoprzenkowej. Inny słowy lzba ta (e) określa o le zenają sę lzby przy zane najnej znaząego (zerowego) btu antysy. Jest uzależnona od długoś antysy. Ceha ta z kole wpływa na wartość najnejszej dodatnej lzby zennoprzenkowej (jej odległoś od zera). ε M = dokładność aszynowa Można to udowodnć przyjują lzbę x d =. x obl 678 M + =. K błąd bezwzględny tak sa.
Błędy oblzeń nueryznyh Inne rodzaje błędów w oblzenah nueryznyh a) błędy wejśowe (błędy danyh wejśowyh) b) błędy obęa (trunatonerrors) używay przyblżeń zaast dokładnej foruły ateatyznej n N n x x x d e = n= n! n= n! dt t = ( t +) ( t ) t + t ) błędy zaokrągleń (round-off errors) ne każda lzba wyerna (np. ) da sę przedstawć w sposób dokładny w bnarnej posta o skońzonej loś yfr. ( M ) x fd( x) ~ sup ~ + M = = = = ε x nf średno pesystyzne N ε Nε Złożoność oblzeń nueryznyh Złożoność oblzeń zależy od rozaru rozwązywanego zagadnena (loś równań lnowyh, długoś ągu danyh jake będą nterpolowane). Do harakterystyk złożonoś służy pojęe rzędu funkj: Funkja f(n):n R jest rzędu funkj g(n):n R (zapsujey to jako f O(g)) jeśl: f ( n) l < + C R, N N, n > N : f n g( n) ( n) C g( n) f ( n) ln( n) n Np. n ln( n) O( n ) gdyż l = l = l n g( n) n n n Funkją złożonoś oblzenowej algorytu A nazyway funkję f A (n) zależną od wyaru zadana n równą lzbe kroków eleentarnyh nezbędnyh do rozwązana zadana za pooą algorytu A dla danyh o rozarze n. < Ze względu na złożoność oblzenową algoryty nueryzne dzely na: Algoryty weloanowe (efektywne): K k f A( n) O α kn k = Algoryty wykładnze (neefektywne): f A K k ( n) O α kn k =
Porównane złożonoś oblzenowej dla algorytów weloanowyh wykładnzyh f A (n) CZAS WYKONANIA ALGORYTMU N= N=6 O(n). sek.6 sek O(n 3 ). sek.6 sek O(n 5 ). sek 3 n O( n ). sek 3366 stule O(3 n ).59 sek.3 x 3 stule Wpływ wzrostu szybkoś oblzeń na zas wykonywana algorytów weloanowyh wykładnzyh f A (n) Rozar najwększego zadana rozwązywanego w ągu godzny przez Koputer wzorowy Koputer razy szybszy Koputer razy szybszy O(n) W x W x W O(n 3 ) W3 4.64 x W3 x W3 O(n 5 ) W5.5 x W5 3.98 x W5 O( n ) P P + 6.64 P + 9.97 O(3 n ) P3 P3 + 4.9 P3 + 6.9