mgr nna ernaciak adania operacyjne II Zadanie 1 Pan Jan Tomkowski znany poznański mechanik ma naprawić uszkodzony sprzęt należący do osób zamieszkujących różne podpoznańskie miejscowości (,, i ), a następnie wrócić do domu (sam także mieszka pod Poznaniem, w pobliżu miejscowości ). Pan Jan powinien przez wszystkie miejscowości przejechać dokładnie jeden raz. ana jest macierz odległości (w km) między tymi miejscowościami, w której trasy niedopuszczalne <i, i> (czyli elementy na głównej przekątnej) zostały zablokowane (c ii = ). Stosując algorytm Little a wyznacz najkrótszą drogę, jaka ma pokonać Pan Jan i podaj jej długość. 1 14 21 9 13 9 10 10 3 7 6 5 16 Rozwiązanie zadania 1. Krok W pierwszej kolejności należy dokonać standaryzacji macierzy odległości w taki sposób, aby w każdym wierszu i każdej kolumnie otrzymać przynajmniej jedno zero, przy czym wszystkie elementy macierzy powinny pozostać nieujemne. 1.1. Krok Współczynniki a i (dla każdego wiersza) i b j (dla każdej kolumny) wyznaczamy według wzoru: a i a i to minimalny element danego wiersza 14 13 10 3 6 5 b j 1 0 21 9 9 9 10 9 7 3 16 5 0 0 27 b i to minimalna różnica między kolejnymi a i i poszczególnymi elementami kolumny a 1 = min {14, 21, 9} = 9 a 2 = min {13, 9, 10} = 9 a 3 = min {10, 3, 7} = 3 a 4 = min {6, 5, 16} = 5 b 1 = min {13-9, 10-3, 6-5} = min {4, 7, 1} = 1 b 2 = min {14-9, 3-3, 5-5} = min {5, 0, 0} = 0 b 3 = min {21-9, 9-9, 16-5} = min {12, 0, 11} = 0 b 4 = min {9-9, 10-9, 7-3} = min {0, 1, 4} = 0 Opracowano na podstawie: Ekonometria i badania operacyjne. Zagadnienia podstawowe, red. naukowy. Guzik, wyd. E W Poznaniu, Poznań 2002 oraz M. nholcer, H. Gaspars,. Owczarkowski Przykłady i zadania z badań operacyjnych i ekonometrii, red. naukowy W. Sikora, wyd. E w Poznaniu, Poznań 2005.
mgr nna ernaciak adania operacyjne II 1.2. Krok Sumujemy wszystkie wyliczone współczynniki a i i b j : 9+9+3+5+1+0+0+0=27 Otrzymany wynik jest dolnym kresem zbioru i oznacza, że nie istnieje droga pozwalająca odwiedzić mechanikowi poszczególne miejscowości dokładnie raz i wrócić do miejscowości, w które rozpoczął trasę, która byłaby krótsza niż 27 km. 1.3. Krok okonujemy ostatecznej standaryzacji macierzy odległości obliczając jej elementy według wzoru: 2 14-9-0=5 21-9-0=12 9-9-0= =0 13-9-1=3 9-9-0=0 10-9-0=1 10-3-1=6 3-3-0=0 7-3-0= =4 6-5-1=0 5-5-0=0 16-5-0=11 Zestandaryzowana macierz 3 0 1 6 0 4 0 0 11 2. Krok Wskazanie w zestandaryzowanej macierzy tras zerowych (tras, na których wartości elementów na nich umieszczonych =0) 3 0 1 6 0 4 0 0 11 Opracowano na podstawie: Ekonometria i badania operacyjne. Zagadnienia podstawowe, red. naukowy. Guzik, wyd. E W Poznaniu, Poznań 2002 oraz M. nholcer, H. Gaspars,. Owczarkowski Przykłady i zadania z badań operacyjnych i ekonometrii, red. naukowy W. Sikora, wyd. E w Poznaniu, Poznań 2005.
mgr nna ernaciak adania operacyjne II 3. Krok Wskazanie kosztów rezygnacji z tras zerowych. Polega ono na zsumowaniu najmniejszych elementów wiersza i kolumny, w których znajduje się dana trasa zerowa UWG! la obliczania kosztu rezygnacji z danej trasy wartości ejj samej nie bierzemy po uwagę. la przykładu przedstawione obliczenie kosztu rezygnacji z trasy -> 3 Minimalny min {5,12} = 5 Minimalny element kolumny min{1,4}=1 Suma elementów: 5+1=6. Tyle wynosi koszt rezygnacji z trasy -> 1 4 element wiersza (5+1=6 3 0 (11+1=12) 1 6 0 (0+4=4) 4 0 (3+0=3) 0 (0+0=0) 11 6) 4. Krok Wskazanie najwyższego kosztu rezygnacji z trasy zerowej jest to koszt rezygnacji z trasy ->. i ta trasa staje się trasą centralną, która stanowi podstawę podziału zbioru na dwa podzbiory: 1 składającego się z dróg przechodzących przez odcinek <, > 2 składającego się z dróg nieprzechodzących przez odcinek <, > 5. Krok Rysujemy drzewko 0 Min. dł. Trasy wynosi W( 0 )=27 <,> <, > 1 2 W( 1 )= =? W( 2 )=27+12=39 Opracowano na podstawie: Ekonometria i badania operacyjne. Zagadnienia podstawowe, red. naukowy. Guzik, wyd. E W Poznaniu, Poznań 2002 oraz M. nholcer, H. Gaspars,. Owczarkowski Przykłady i zadania z badań operacyjnych i ekonometrii, red. naukowy W. Sikora, wyd. E w Poznaniu, Poznań 2005.
mgr nna ernaciak adania operacyjne II Jeżeli zrezygnujemy w podróży z odcinka <, > kres dolny wyniesie: 27+12 (koszt rezygnacji z tego odcinka)=31 Sprawdźmy zatem, czy jechanie odcinkiem <, > podczas podróży spowoduje, że trasa wydłuży się bardziej niż do 31 km, czy mniej??? może się nie zmieni??? 6. Krok okonanie modyfikacji macierzy odległości poprzez: - usunięcie wiersza i kolumny trasy centralnej (w tym wypadku wiersza i kolumny ) - zablokowanie trasy przeciwnej do trasy centralnej poprze umieszczenie na niej znaku (w tym wypadku jest to rasa ->) 4 5 0 6 4 0 ( 0 7. Krok Powrót do kroku pierwszego Ponowna standaryzacja macierzy. a i b j 5 0 0 6 4 4 0 ( 0 0 0 0 0 4 Tym razem wartość kresu dolnego informuje nas o ile wydłuży się minimalna długość trasy, jeśli podczas swojej podróży komiwojażer przejedzie odcinkiem <, >. Zatem 4 dodajemy do 27 w naszym drzewku. 0 Min. dł. Trasy wynosi W( 0 )=27 <,> <, > 1 2 W( 1 )= =27+4=31 W( 2 )=27+12=39 Zdecydowanie bardziej podoba nam się wariant, aby komiwojażer pojechał w trakcie swojej podróży trasą <, > (wtedy minimalna droga wydłuży się tylko o 4 km), niż aby nią nie pojechał (wtedy nadłoży co najmniej 12 km) Opracowano na podstawie: Ekonometria i badania operacyjne. Zagadnienia podstawowe, red. naukowy. Guzik, wyd. E W Poznaniu, Poznań 2002 oraz M. nholcer, H. Gaspars,. Owczarkowski Przykłady i zadania z badań operacyjnych i ekonometrii, red. naukowy W. Sikora, wyd. E w Poznaniu, Poznań 2005.
mgr nna ernaciak adania operacyjne II 5 0 (5+0=5) 2 0 (0+2=2) 0 (0+2=2) 0 (0+5=5) 5 0 W( 0 )=27 <,,> <, > 1 2 <, > W( 1 )= =27+4=31 W( 2 )=27+12=39 <, > 3 4 W( 3 )=31+2=33 W( 4 )=31+5=36 a i b j 2 2 0 0 0 0 2 0 0 Macierz o wymiarach 2x2 z zerami na jednej przekątnej i znakami nieskończoności na drugiej nie ulega dalszemu podziałowi. Zawarte jest w niej rozwiązanie optymalne. Zestaw odcinków tworzących rozwiązanie optymalne: <, >, <, >, <, >, <, > Trasa, jaką pokonać powinien mechanik ma następujący przebieg: -> ->-> -> a jej długość wynosi 33 km. Opracowano na podstawie: Ekonometria i badania operacyjne. Zagadnienia podstawowe, red. naukowy. Guzik, wyd. E W Poznaniu, Poznań 2002 oraz M. nholcer, H. Gaspars,. Owczarkowski Przykłady i zadania z badań operacyjnych i ekonometrii, red. naukowy W. Sikora, wyd. E w Poznaniu, Poznań 2005.