Rozwiązwanie układu równań metodą przeciwnch współcznników Sposob postępowania krok po kroku: I. przgotowanie równań. pozbwam się ułamków mnoŝąc kaŝd jednomian równania równań przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników (tzn. liczbę, która jest wspólnm mianownikiem ułamków w równaniu). Równocześnie w drugim z równań moŝem wkonwać zupełnie inne działania, np. mnoŝenie, opuszczanie nawiasów, itp.. wkonujem skracanie tam gdzie to moŝliwe. zapisujem wraŝenia po skróceniu nie zapominając o nawiasach i sprowadzam je do najprostszej postaci np. opuszczając nawias, przenosząc na przeciwne stron równania ze zmianą znaku i redukując wraz podobne. tworzm odpowiedni układ wraŝeń wewnątrz równań: po lewej stronie niewiadome (najpierw jedna a potem druga), a po prawej wiadome (wraz wolne, czli liczb). w obu równaniach wbieram niewiadomą, dla której najłatwiej będzie moŝna dobrać przeciwne współcznniki liczbowe (najmniejszą wspólna wielokrotność współcznników początkowch). mnoŝm dzielim jedno oba równania przez takie liczb, dzięki którm otrzmam wbrane wcześniej współcznniki. podkreślam tak przgotowan układ, wpisujem znak nad kreską, po lewej stronie klamr a następnie dodajem równania układu stronami: wraŝenia z lewej stron równań do siebie i z prawej stron do siebie.. międz otrzmane sum wprowadzam znak i tak uzskujem równanie z jedną niewiadomą,. rozwiązujem otrzmane równanie poza układem (upraszczam wraŝenia po obu stronach i wliczam wartość niewiadomej) 6. wracam do układu równań w taki sposób, ze wprowadzam do niego jako jedno z równań wliczoną niewiadomą a jako drugie któreś spośród równań początkowch (zwkle to, które będzie moŝna łatwiej rozwiązać) 7. podstawiam otrzman wnik do drugiego równania i rozwiązujem go wkonując potrzebne operacje matematczne (opuszczam nawias, wkonujem działania, redukujem wraz podobne, itp.) 8. otrzmujem rozwiązanie układu Uwaga: Równania zamiast dodawać moŝna odejmować stronami, ale ten sposób mogą stosować tlko najbardziej wprawni.
A. Układ o podstawowm stopniu trudności I. przgotowanie równań tego tpu równania zazwczaj wmagają bardzo krótkiego przgotowania, albo w ogóle nie jest ono konieczne. moŝem zauwaŝć, Ŝe prz współcznniki wnoszą i, czli są przeciwne. MoŜem zatem podkreślić układ i dodać równania stronami. powstałe wraŝenie upraszczam redukując wraz podobne ( i się skracają) 0 / : a. dzielim obie stron równania przez w celu wliczenia 0 b. skracam otrzmane ułamki c. otrzmujem wnik 6a. wracam do układu wprowadzając jako pierwsze równanie wliczone (z tm wraŝeniem juŝ nic nie robim, jednie przepisujem je), natomiast jako drugie równanie wprowadzam początkowe: (jest łatwiejsze do rozwiązania) Przpadek I Przpadek II moŝem teraz postąpić na dwa sposob: / : ( ) 8 8 6b. w przpadku I: wszstkie wraŝenia w drugim równaniu dzielim przez ab go maksmalnie uprościć w przpadku :: od razu podstawiam w miejsce do drugiego równania 6c. przpadek I: skracam otrzmane ułamki przpadek II: wkonujem mnoŝenie w celu uproszczenia równania 6d. w przpadku I: otrzmujem najprostszą postać drugiego równania w przpadku II: 7a. podstawiam do niego w miejsce 7b. przenosim na przeciwną stronę równania z przeciwnm znakiem 8. otrzmujem rozwiązanie układu
B. Układ o średnim stopniu trudności I. przgotowanie równań w tm przpadku rozpocząć moŝem od trzeciego punktu przgotowania, gdŝ nie mam tutaj do cznienia z ułamkami ani nawiasami ( 7) ( ) 7 7 6 8 7 7 6 8 a. w pierwszm równaniu opuszczam nawias wkonując mnoŝenie, natomiast w drugim niewiadome przenosim na lewą stronę a wiadome na prawą b. w równaniu pierwszm niewiadome przenosim na lewą stronę a wiadome na prawą natomiast w drugim redukujem wraz podobne c. redukujem wraz podobne w równaniu pierwszm / : b a. moŝem zauwaŝć, Ŝe najłatwiej przeciwne współcznniki dobrać moŝna dla niewiadomej. wstarcz drugie równanie podzielić przez b. skracam ułamki w równaniu i zamieniam równania miejscami (pierwsze z drugim). otrzmujem identczn układ jak w przkładzie A, zatem rozwiązanie prowadzim tak samo jak we wspomnianm przkładzie. I. przgotowanie równań ( ) ( ) C. Układ o wŝszm stopniu trudności / ( ) ( 6 9) 0 0 8 ( ) ( ). w pierwszm równaniu dąŝm do pozbcia się nawiasów a w drugim ułamków (mnoŝąc wszstkie wraŝenia równania przez ). w równaniu I podnosim wraŝenia w nawiasach do kwadratu (patrz: komentarz na końcu), natomiast w równaniu II skracam z mianownikami ułamków a. w równaniu I opuszczam nawias wkonując mnoŝenie przez a w II zapisujem wraŝenia powstałe po skróceniu, wstawiając nawias i nie zapominając o znakach
6 9 8 8 6 b. w równaniu pierwszm redukujem wraz podobne natomiast w drugim opuszczam nawias wkonując odpowiednie mnoŝenia 8 8 6 0 0 0 c. w równaniu II przenosim niewiadome na jedną a wiadome na druga stronę, pamiętając o zmianie znaków. otrzmujem najprostszą postać obu równań w której niewiadome znalazł się po lewej, a wiadome po prawej stronie 0 0. najbardziej korzstnie błob znaleźć przeciwne współcznniki dla niewiadomej, poniewaŝ prz tej niewiadomej współcznniki początkowe są najmniejsze Przpadek I Przpadek II MoŜem postąpić na dwa sposob: ( ) / 0 0 0 0 70 0 0 0 70 0 0 0 0 70 0 70 70 / : 70 0 / : ( ) 0 0 0 0 / : ( ) 70 70 70 70 a. w przpadku I: mnoŝąc równanie I przez w przpadku II: dzieląc równanie II przez b. w przpadku I otrzmaliśm przeciwne współcznniki prz niewiadomej natomiast w II musim jeszcze skrócić powstałe ułamki i otrzmam równieŝ przeciwne współcznniki prz. dodajem równania stronami od razu skracając niewiadome. otrzmujem sum algebraiczne, powstałe po dodaniu stron równania, międz które wstawiam znak równości a. oba równania dzielim: pierwsze przez 70 a drugie przez w celu wliczenia b. skracam powstałe ułamki c. otrzmujem wraŝenie 6. wracam do układu wprowadzając do niego oraz np. pierwsze równanie układu początkowego 7a. w miejsce do drugiego z równań podstawim 7b. upraszczam równanie drugie 7c. przenosim na przeciwną stronę równania II z przeciwnm znakiem
( ) : / 7d. równanie II dzielim przez w celu wliczenia 7e. skracam ułamki powstałe w drugim równaniu 8. otrzmujem parę liczb, która jest rozwiązaniem układu równań III. komentarz Nawias w pierwszm z równań moŝna opuścić na dwa sposob: a) korzstając z odpowiedniego wzoru skróconego mnoŝenia ( ) b) zapisując w postaci ilocznu dwóch sum algebraicznch i mnoŝąc kaŝd jednomian pierwszego nawiasu przez kaŝd jednomian drugiego ( ) ( )( ) 9 6