PODSTAWY FOTONIKI Studia Dzienne InŜynierskie Semestr V, wykład 45 godz. Prof. dr hab. inŝ. Krzysztof Patorski
WPROWADZENIE Fotonika, optyka a elektronika Przyczyny powstania i rozwoju fotoniki W elektronice elektron nośnikiem informacji Prąd sterowany róŝnicą potencjałów Fala elektromagnetyczna generowana przez oscylator Rozwój: od niŝszych do wyŝszych częstotliwości telegraf telefon radio (fale długie średnie krótkie UKF) telewizja radar elektroniczna maszyna cyfrowa Przyczyna - większe upakowanie informacji w jednostce czasu
Bariera elektroniki 300 GHz Brak generatora promieniowania i odbiornika dla wyŝszych częstotliwości niŝ 300 GHz Elektron ma zbyt duŝą masę dla tak wysokich częstotliwości Naturalny kierunek zmian : przejście w pasmo optyczne fal elektromagnetycznych Foton nie ma masy spoczynkowej Problemy: detektor rejestruje średnią moc fali brak elastyczności w sterowaniu fotonu samoistna propagacja fotonu
Widmo fal elektromagnetycznych Nadfiolet Częstotliwość ν a długość fali λ 0 [ Hz] Prędkość światła w próŝni c = 299 792.4562 ± 0.0011 300 000 km/s 1 c ν = = = T ct Pasmo optyczne λ 0 1nm, 1 mm ν 3 10 17, 3 10 11 Hz c λ 0
Przesyłanie (przetwarzanie) informacji Generator nośnika Modulator Przetwornik nadajnik Odbiornik Informacja Elektronika - do niedawna tylko modulator czasowy radio telewizja Optyka - wyłącznie modulator przestrzenny mikroskop Fotonika modulator czasowy i przestrzenny telekomunikacja światłowodowa magnetooptyczny dysk z laserem półprzewodnikowym
Nazewnictwo związane z fotoniką Elektronika jest dziedziną techniki zajmującą się sterowaniem elektronów w celu przesyłania informacji Fotonika jest dziedziną techniki zajmującą się sterowaniem fotonów w tym samym celu Optoelektronika zajmuje się budową źródeł i detektorów światła Generacja światła i jego detekcja
Historyczny rozwój Optyka geometryczna optyka fotonika - promień świetlny Punktowe źródło diafragma ekran Obszar całkowitej ciemności Obszar pełnej jasności Doświadczenie Jest światło Fala?? Analogia do wpływu przeszkody na fale na wodzie
Historyczny rozwój optyka fotonika przeszkoda Fala ugięta na przeszkodzie Fale na wodzie Analogia do wpływu przeszkody na fale na wodzie Fala??
Historyczny rozwój optyka fotonika Punktowe źródło Diafragma kołowa RóŜna odległość wyŝsza intensywność niŝ jej wartość bez diafragmy Dowód moŝliwy przy załoŝeniu: światło jest falą!!! Fala, Fresnel pocz. XIX wieku, tylko jakiej natury? Poszukiwanie eteru
Historyczny rozwój optyka fotonika Pierwsza połowa XIX w. Biot i Savart indukcja magnetyczna wywołana prądem Faraday indukcja magnetyczna wywołująca prąd Koniec XIX w. Maxwell zestawił dwa zjawiska - równania Maxwella Światło jest falą elektromagnetyczną!!! Przełom XIX i XX w. Planck odkrył prawo opisujące promieniowania ciała doskonale czarnego Światło jest zbiorem fotonów!!! i zarazem falą Dwoistość natury promieniowania
Historyczny rozwój optyka fotonika Optyka geometryczna - promień świetlny??? Optyka falowa - fala nieznanej natury Elektrodynamika fala ELM Optyka kwantowa - kwant???? -? R.Jóźwicki: Fotonika - przyszłość techniki informacyjne. II Konferencja Naukowo-Techniczna Mechatronika 94, 23-28
WPROWADZENIE OPTYKA FALOWA Światło propaguje się w postaci fal. W próŝni prędkośćświatła wynosi około 3.0 x 10 8 m/s (co odpowiada 30 cm/ns lub 0.3 mm/ps). WyróŜnia się trzy główne zakresy promieniowania: Ultrafiolet: 10 nm 390 nm 3 x 10 16 Hz Prom. widzialne: 390 nm 760 nm Podczerwień: 760 nm 1 mm 3 x 10 11 Hz W niniejszym wykładzie światło będzie opisane funkcją skalarną, nazywaną funkcją falową, spełniającą równanie falowe (funkcja falowa moŝe, przykładowo, opisywać kaŝdą składową pola elektrycznego lub elektromagnetycznego). Funkcja falowa i związek między gęstością mocy i funkcją falową to postulaty skalarnego modelu falowego światła. Optyka falowa umoŝliwia zrozumienie i opis wielu zjawisk optycznych wykraczających poza optykę geometryczną, w tym zjawiska interferencji i dyfrakcji. Optyka falowa ma swoje ograniczenia. Nie daje ona moŝliwości pełnego opisu zjawiska odbicia i załamania światła na granicy między dwoma ośrodkami dielektrycznymi, ani teŝ wytłumaczenia efektów polaryzacyjnych wymagających zastosowania opisu wektorowego (tu wymagana jest elektromagnetyczna teoria promieniowania świetlnego patrz wykład z Fotoniki).
POSTULATY OPTYKI FALOWEJ Równanie falowe Prędkość propagacji światła w ośrodku o współczynniku załamania n (n 1) wynosi c = c 0 / n, gdzie c 0 oznacza prędkość propagacji w próŝni. Falę optyczną opisuje rzeczywista funkcja połoŝenia r = (x,y.z) i czasu t, którą zapisuje się jako u(r,t) jest to tzw. funkcja falowa. Spełnia ona równanie falowe 2 u (1/c 2 ) ( 2 u/ t 2 ) = 0 gdzie 2 to operator Laplace a, 2 = 2 / x 2 + 2 / y 2 + 2 / z 2. KaŜda funkcja spełniająca równanie falowe reprezentuje moŝliwą falę optyczną. PoniewaŜ funkcja falowa jest liniowa, moŝna stosować zasadę superpozycji, tzn. jeśli u 1 (r,t) i u 2 (r,t) reprezentują fale optyczne, wtedy u(r,t) = u 1 (r,t) + u 2 (r,t) takŝe reprezentuje moŝliwą falę. Równanie falowe moŝna w przybliŝeniu stosować do ośrodków, których współczynnik załamania zaleŝy od połoŝenia, ale przy załoŝeniu wolnych zmian w odniesieniu do długości fali. Ośrodek nazywa się wtedy ośrodkiem lokalnie jednorodnym: n i c reprezentują wtedy funkcje n(r) i c(r).
Intensywność, moc i energia Intensywność I(r,t) jest definiowana jako moc optyczna na jednostkową powierzchnię (jednostka: W/cm 2 ) i jest proporcjonalna do uśrednionej wartości kwadratu funkcji falowej I(r,t) = 2 < u 2 (r,t) > Operator < > oznacza uśrednianie w przedziale czasu znacznie dłuŝszym od okresu drgań fali, ale znacznie krótszym od przedziału czasowego z którym jesteśmy związani, np. czasu trwania impulsu świetlnego. Okres drgania fali optycznej jest niezwykle krótki: Przykładowo wynosi on 2 x 10-15 s = 2 fs dla promieniowania o długości fali 600 nm. Spotyka się pewną dowolność w definiowaniu funkcji falowej i jej związku z intensywnością. W ostatnim wzorze moŝna było pominąć 2 i przeskalować funkcję falową przez 2, w ten sposób intensywność pozostałaby bez zmiany. JednakŜe wybór 2 okaŝe się bardzo wygodny w dalszej części wykładu. Moc optyczną P (t) (mierzoną w Watach) definiuje się jako całkę z intensywności po powierzchni A prostopadłej do kierunku propagacji światła P(t) = A I(r,t) da. Energia promieniowania optycznego (jednostka dŝul) odebrana w określonym przedziale czasu wyraŝona jest przez całkę z mocy promieniowania w tymŝe przedziale czasowym.
FALE MONOCHROMATYCZNE Falę monochromatyczną moŝna zapisać w postaci u(r,t) = a(r) cos [2πνt + ϕ(r)], gdzie a(r) amplituda, ϕ(r) faza, ν - częstotliwość (jednostka: cykle/s lub Hz), ω = 2πν - częstotliwość kołowa (rad/s). Zarówno amplituda jak i faza zaleŝą, w przypadku ogólnym, od połoŝenia w przestrzeni. JednakŜe funkcja falowa jest harmoniczną funkcją czasu o częstotliwości ν we wszystkich punktach patrz rysunek poniŝej. a) b) c) Reprezentacja fali monochromatycznej dla zdefiniowanego połoŝenia r: (a) funkcja falowa u(t) jest harmoniczną funkcją czasu; (b) zespolona amplituda U = a exp(iϕ) jest stałym fazorem; (c) zespolona funkcja falowa U(t) = U exp(i2πνt) jest fazorem obracającym się z częstotliwością kołową ω = 2πν.
Zespolona funkcja falowa Rzeczywistą funkcję u(r,t) moŝna wygodnie zapisać jako funkcję zespoloną w postaci a więc U(r,t) = a(r) exp[iϕ(r)] exp(i2πνt), u(r,t) = Re{U(r,t)} = (1/2) [U(r,t) + U * (r,t)]. Funkcja U(r,t) nosi nazwę zespolonej funkcji falowej i w pełni opisuje falę; funkcja falowa u(r,t) stanowi po prostu jej część rzeczywistą. Podobnie jak funkcja falowa u(r,t), funkcja zespolona U(r,t) musi równieŝ spełniać równanie falowe. Obydwie funkcje spełniają te same warunki brzegowe.
Amplituda zespolona Funkcję falową zespoloną U(r,t) moŝna zapisać w postaci U(r,t) = U(r) exp (i2πνt), gdzie składnik niezaleŝny od czasu U(r) = a(r) exp [iϕ(r)] nazywany jest amplitudą zespoloną. Tak więc związek między funkcją falową u(r,t) a amplitudą zespoloną moŝna zapisać w postaci u(r,t) = Re{U(r) exp(i2πνt)} = (1/2) [U(r) exp(i2πνt) + U * (r)exp(-i2πνt)]. Dla danego połoŝenia r zespolona amplituda U(r) jest zmienną zespoloną (patrz rysunek (b) powyŝej), której wielkość U(r) = a(r) odpowiada amplitudzie fali i której argument arg{u(r)} = ϕ(r) odpowiada fazie. Jak pokazano na rys. (c) powyŝej, zespoloną funkcję falową U(r,t) reprezentuje graficznie fazor obracający się z częstotliwością kołową ω = 2πν rad/s. Jego początkowa wartość dla t = 0 jest równa amplitudzie zespolonej U(r).
Równanie Helmholtza Podstawiając U(r,t) = U(r) exp(i2πνt) do równania falowego 2 u (1/c 2 ) ( 2 u/ t 2 ) = 0 otrzymuje się równanie róŝniczkowe ( 2 + k 2 ) U(r) = 0, nazywane równaniem Helmholtza, gdzie k = 2πν/c = ω/c jest tzw. liczbą falową. Intensywność Posługując się poprzednio podanym wzorem I(r,t) = 2<u 2 (r,t)> i wyznaczając 2u 2 (r,t) = 2 a 2 (r) cos 2 [2πνt + ϕ(r)] = U(r) 2 {1 + cos(2[2πνt + ϕ(r)])}, a następnie uśredniając w przedziale czasowym dłuŝszym od okresu, tzn. 1/ν, otrzymuje się (znika drugi wyraz ostatniego wzoru) I(r) = U(r) 2. Tak więc intensywność fali monochromatycznej jest równa kwadratowi absolutnej wartości amplitudy zespolonej. Intensywność fali monochromatycznej nie zmienia się w czasie.
Czoła falowe Czoła falowe to powierzchnie stałej (równej) fazy, ϕ(r) = const. Stałe są często wielokrotnościami 2π, ϕ(r) = 2πq, gdzie q jest liczbą całkowitą. Normalna do czoła falowego w połoŝeniu r jest równoległa do wektora gradientu ϕ(r) (wektora o składowych ϕ/ x, ϕ/ y i ϕ/ z we współrzędnych kartezjańskich). Odpowiada ona kierunkowi najszybszej zmiany fazy. Podsumowanie Falę monochromatyczną o częstotliwości ν opisuje zespolona funkcja falowa U(r,t) = U(r) exp(i2πνt), która spełnia równanie falowe. Moduł U(r) i argument arg{u(r)} amplitudy zespolonej U(r) opisują, odpowiednio, amplitudę i fazę fali. Intensywność jest równa I(r) = U(r) 2. Czoła falowe są powierzchniami stałej fazy, ϕ(r) = arg{u(r)} = 2πq (q = liczba całkowita). Funkcja falowa u(r,t) stanowi część rzeczywistą zespolonej funkcji falowej, tzn. u(r,t) = Re{U(r,t)}. Funkcja falowa spełnia równieŝ równanie falowe.
Fale elementarne Najprostsze rozwiązania równania Helmholtza w ośrodku jednorodnym to fale o płaskim i sferycznym czole falowym. Fala o płaskim czole falowym (fala płaska) Fala płaska ma amplitudę zespoloną o postaci U(r) = A exp(-ikr) = A exp[-i(k x x + k y y + k z z)], gdzie A jest stałą zespoloną nazywaną zespoloną obwiednią a k = (k x, k y, k z ) nosi nazwę wektora falowego. Aby ostatnie równanie spełniało równanie Helmholtza musi być spełniony warunek k x2 + k y2 + k z2 = k 2, a więc wielkość wektora k odpowiada liczbie falowej k. PoniewaŜ faza jest równa arg{u(r)} = arg{a} kr dla czół falowych mamy kr = k x x + k y y + k z z = 2πq + arg{a} ( q = liczba całkowita). Jest to równanie opisujące równoległe płaszczyzny prostopadłe do wektora falowego k (stąd nazwa fali płaskiej). Odległość między tymi płaszczyznami wynosi λ = 2π/k, a więc λ = c/ν, gdzie λ nosi nazwę długości fali. Fala płaska ma stałą intensywność I(r) = A 2 w całej przestrzeni, a więc niesie nieskończenie duŝą moc. Jest to oczywiście wyidealizowany przypadek, gdyŝ istnieje ona wszędzie i w kaŝdej chwili.
Jeśli oś z wybierze się w kierunku wektora falowego k, wtedy U(r) = A exp(-ikz) i funkcja falowa przybiera postać u(r,t) = A cos[2πνt kz +arg{a}] = A cos[2πν(t z/c) + arg{a}]. Funkcja falowa jest więc okresową funkcją czasu o okresie 1/ν, oraz funkcją okresową w przestrzeni z okresem 2π/k. Wartość ta jest równa λ (długości fali) patrz rysunek. Fala płaska propagująca się w kierunku z jest okresową funkcją z o okresie λ i okresową funkcją czasu t o okresie 1/ν.
Faza zespolonej funkcji falowej, arg{u(r,t)} = 2πν(t z/c) + arg{a} zmienia się w czasie i w przestrzeni w funkcji zmiennej t z/c, c nosi nazwę prędkości fazowej fali. Gdy fala monochromatyczna propaguje się w ośrodkach o róŝnych współczynnikach załamania, jej częstotliwość pozostaje bez zmiany, ale zmianie ulegają: prędkość fazowa, długość fali i liczba falowa. c = c 0 /n; λ = λ 0 /n; k = n k 0
Fala o sferycznym czole falowym (fala sferyczna) Innym prostym rozwiązaniem równania Helmholtza jest fala sferyczna U(r) = (A/r) exp(-ikr), gdzie r oznacza odległość od początku układu współrzędnych, k = 2πν/c = ω/c jest liczbą falową. Intensywność I(r) = A 2 /r 2 jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości r. Przyjmując, dla uproszczenia, arg{a} = 0, czoła falowe są powierzchniami kr = 2πq lub r = qλ, gdzie q oznacza liczbę całkowitą. Są to współśrodkowe sfery, odległość między nimi wzdłuŝ promienia wynosi λ = 2π/k. Powierzchnie sferyczne propagują się wzdłuŝ promienia z prędkością fazową c, patrz rysunek. Przekrój poprzeczny przez czoła falowe fali sferycznej. Fala sferyczna wychodząca z punktu o współrzędnych r 0 ma amplitudę zespoloną opisaną wzorem U(r) = (A/ r r 0 ) exp(-ik r r 0 ). Fala o amplitudzie zespolonej zapisanej w postaci U(r) = (A/r) exp (+ikr) jest falą sferyczną propagującą się do wewnątrz, w kierunku środka, zamiast na zewnątrz.
PrzybliŜenie Fresnela dla fali sferycznej fala paraboloidalna RozwaŜmy falę sferyczną wychodzącą z r = 0 i propagująca się w pobliŝu osi z, ale daleko od źródła tej fali. Zakładamy więc Ŝe (x 2 + y 2 ) 1/2 << z. Oznaczając lewą stronę tej nierówności przez θ moŝna zastosować przybliŝenie bazujące na rozwinięciu w szereg Taylora R = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 = z (1 + θ 2 ) 1/2 = z (1 + θ 2 /2 + θ 4 /8 +...) z (1 + θ 2 /2) = z + (x 2 + y 2 )/2z. Podstawiając r = z + (x 2 + y 2 )/2z do wyraŝenia opisującego fazę oraz r = z do wyraŝenia opisującego amplitudę funkcji U(r) otrzymuje się U(r) (A/z) exp(-ikz) exp [-ik(x 2 + y 2 )/2z]. Otrzymany wynik nosi nazwę przybliŝenia Fresnela. Odgrywa ono waŝną rolę przy opisie zjawisk dyfrakcyjnych patrz późniejsza część wykładu. Ostatnie równanie moŝna rozpatrywać jako równanie reprezentujące falę płaską A exp(-ikz) modulowaną przez czynnik (1/z) exp[-ik(x 2 + y 2 )/2z]. Czynnik fazowy k(x 2 + y 2 )/z = const. opisuje zaginanie płaskiego czoła falowego do czoła paraboloidalnego, poniewaŝ równanie paraboloidy obrotowej ma postać (x 2 + y 2 )/z. Tak więc fala sferyczna jest przybliŝana falą paraboloidalną. Ze wzrostem odległości propagacji z czynnik fazowy przyjmuje postać kz przy małych zmianach amplitudy z odległością z. Ostatecznie mamy więc falę płaską exp(-ikz), patrz rysunek poniŝej.
Sferyczne czoło falowe moŝna aproksymować falą paraboloidalną w pobliŝu osi z i na wystarczająco dalekiej odległości od źródła fali sferycznej. Dla bardzo duŝych odległości otrzymuje się falę płaską. Dla spełnienia przybliŝenia Fresnela nie wystarcza spełnienie warunku θ 2 << 1. Mimo Ŝe trzeci wyraz rozwinięcia w szereg Taylora, θ 4 /8 moŝe być bardzo mały w porównaniu do pierwszego i drugiego wyrazu, po przemnoŝeniu przez kz jego wartość moŝe stać się porównywalna do π. Tak więc przybliŝenie jest waŝne gdy kzθ 4 /8 << π, lub (x 2 + y 2 ) 2 << 4z 3 λ. Dla punktów (x,y) leŝących wewnątrz okręgu o promieniu a o środku na osi z, warunek spełnienia przybliŝenia Fresnela to a 2 << 4z 3 λ lub N F θ m2 << 1, gdzie θ m = a/z oznacza maksymalny kąt oraz N F = a 2 /λz. Parametr N F nosi nazwę liczby Fresnela.
Fale przyosiowe Falę nazywa się falą przyosiową, jeśli normalne do czoła falowego są promieniami przyosiowymi. Jednym ze sposobów konstrukcji fali przyosiowej jest wystartowanie z fali płaskiej A exp(-ikz), przyjęcie tej fali płaskiej za falę nośną, i dalej modyfikowanie (modulowanie) zespolonej obwiedni A tej fali. Modulacja prowadzi do wolnozmiennej funkcji A(r), tak Ŝe zespolona amplituda zmodulowanej fali jest równa U(r) = A(r) exp(-ikz). Zmiany A(r) z połoŝeniem w przestrzeni muszą być wolne w zakresie odległości równej λ = 2π/k, tak aby zachować podstawowy charakter modulowanej fali płaskiej. Funkcję u(r,t) = A(r) cos[2πνt kz + arg{a(r)}] dla fali przyosiowej naszkicowano na rys. (a) poniŝej jako funkcję z dla t = 0 i x = y = 0. Jest to funkcja sinusoidalna o amplitudzie A(0,0,z) i fazie arg{a(0,0,z)} zmieniających się wolno z z. PoniewaŜ zmiana fazy na odległości długości fali jest mała, płaskie czoła falowe fali nośnej zaginają się tylko nieznacznie, tak Ŝe normalne do tych czół falowych pozostają promieniami przyosiowymi, patrz rys. (b) poniŝej.
a) b) (a) Amplituda A fali przyosiowej w funkcji odległości propagacji z. (b) Czoła falowe i normalne do czół - przypadek wiązki przyosiowej.
PROSTE ELEMENTY OPTYCZNE Odbicie i załamanie Odbicie od zwierciadła płaskiego Fala płaska o wektorze falowym k 1 pada na zwierciadło płaskie umieszczone w próŝni w płaszczyźnie z = 0. Fala odbita ma wektor falowy k 2. Kąty padania i odbicia wynoszą, odpowiednio, θ 1 i θ 2, patrz rysunek poniŝej. Suma dwóch fal spełnia równanie Helmholtza jeśli k 1 = k 2 = k 0. Warunek ten wymusza dopasowanie fazowe obydwu fal, tzn. równość faz k 1 r = k 2 r dla wszystkich r = (x,y,0) lub ich róŝnicę równą pewnej stałej. Podstawiając do ostatniego wzoru r = (x,y,0), k 1 = (k 0 sinθ 1, 0, k 0 cosθ 1 ) i k 2 = (k 0 sinθ, 0, -k 0 cosθ 2 ) otrzymuje się k 0 sin(θ 1 )x = k 0 sin(θ 2 )x, skąd mamy θ 1 = θ 2, a więc kąty padania i odbicia muszą być sobie równe. Odbicie fali płaskiej od płaskiego zwierciadła. Dopasowanie fazowe w płaszczyźnie zwierciadła wymaga równości kątów padania i odbicia.
Odbicie i załamanie na płaszczyźnie rozgraniczającej dwa ośrodki dielektryczne RozwaŜamy teraz falę płaską o wektorze falowym k 1 padającą na płaską powierzchnię graniczną między dwoma jednorodnymi ośrodkami o współczynnikach załamania n 1 i n 2. Powierzchnia graniczna leŝy w płaszczyźnie z = 0. Tworzone są fala załamana i odbita o wektorach falowych k 2 i k 3. Kombinacja tych trzech fal spełnia równanie Helmholtza jeśli kaŝda z fal ma odpowiedni wektor falowy w ośrodku, w którym się propaguje. Dochodzimy do warunku dopasowania faz (ich równości) mającego postać k 1 r = k 2 r = k 3 r dla wszystkich r = (x,y,0). (a) Odbicie i załamanie fali płaskiej na płaszczyźnie rozgraniczającej dwa ośrodki dielektryczne. (b) Dopasowanie fazowe czół falowych w płaszczyźnie; odległość P 1 P 2 dla fali padającej wynosząca λ 1 /sin θ 1 = λ 0 /n 1 sin θ 1 jest równa odległości dla fali załamanej, tzn. λ 2 /sinθ 2 = λ 0 /n 2 sin θ 2, skąd otrzymujemy prawo Snella. a) b)
PoniewaŜ k 1 = (n 1 k 0 sinθ 1, 0, n 1 k 0 cosθ 1 ), k 3 = (n 1 k 0 sinθ 3, 0, -n 1 k 0 cos 3 ), oraz k 2 = (n 2 k 0 sinθ 2, 0, n 2 k 0 cosθ 2 ), gdzie kąty padania, załamania i odbicia są oznaczone na rysunku, z ostatniego wzoru otrzymuje się θ 1 = θ 3 oraz n 1 sinθ 1 = n 2 sinθ 2. Są to zaleŝności odpowiadające prawom odbicia i załamania w optyce geometrycznej, teraz stosowalne do optyki falowej. Teoria skalarna nie daje moŝliwości wyznaczenia amplitud wiązek odbitej i załamanej, gdyŝ w tej teorii nie są zdefiniowane warunki brzegowe. UmoŜliwia to elektromagnetyczna teoria światła.
Przejście promieniowania przez elementy optyczne Omówimy teraz przejście fali świetlnej przez elementy transmisyjne, tzn. płytki szklane, pryzmaty i soczewki. Zjawiska odbicia i absorpcji nie będą brane pod uwagę główny nacisk połoŝony zostanie na przesunięcia fazowe wprowadzane przez te elementy. Przejście promieniowania przez płytkę szklaną RozwaŜmy płytkę o współczynniku załamania n i grubości d umieszczoną w próŝni. Pierwsza powierzchnia płytki leŝy w płaszczyźnie z = 0, fala propaguje się wzdłuŝ osi z. Przejście fali płaskiej przez przeźroczystą płytkę.
Zakłada się ciągłość amplitudy zespolonej U(x,y,z) na granicach rozdziału ośrodków. Stosunek t(x,y) = U(x,y,d)/U(x,y,0) opisuje amplitudową transmitancję zespoloną płytki. Mamy t(x,y) = exp(-ink 0 d), tzn. płytka wprowadza przesunięcie fazowe nk 0 d = 2π(d/λ). Jeśli padająca fala płaska tworzy kąt θ z osią z i jej kierunek propagacji opisuje wektor falowy k, patrz rysunek poniŝej, to fale załamana i przepuszczona są równieŝ falami płaskimi o wektorach falowych k 1 i k i kątach θ 1 i θ, odpowiednio, gdzie θ 1 i θ są powiązane prawem Snella sinθ = n sinθ 1. Amplituda zespolona U(x,y,z) w płytce jest teraz proporcjonalna do exp(-ik 1 r) = exp[-ink 0 (zcosθ 1 + xsinθ 1 )], tak Ŝe zespolona transmitancja amplitudowa płytki U(x,y,d)/U(x,y,0) wynosi t(x,y) = exp[-ink 0 (dcosθ 1 + xsinθ 1 )]. Przejście ukośnie padającej fali płaskiej przez płytkę przepuszczającą (np. szklaną).
Cienka płytka o zmiennej grubości Niech grubość d(x,y) cienkiej przepuszczalnej płytki zmienia się ze współrzędnymi (x,y). Cienka przepuszczalna płytka o zmiennej grubości. W pobliŝu (x,y,0) padająca fala przyosiowa moŝe być rozwaŝana jako fala płaska propagująca się wzdłuŝ kierunku tworzącego mały kąt z osią z. Przechodzi ona teraz przez cienką płytkę o grubości d(x,y) otoczoną powietrzem o całkowitej grubości d 0 d(x,y). Lokalna transmitancja będzie iloczynem transmitancji cienkiej warstwy powietrza o grubości d 0 d(x,y) i cienkiej warstwy materiału optycznego o grubości d(x,y), tak Ŝe t(x,y) = exp[-ink 0 d(x,y)]exp{-ik 0 [d 0 d(x,y)]}, skąd otrzymuje się t(x,y) h 0 exp[-i(n-1) k 0 d(x,y)], gdzie h 0 = exp(-ik 0 d 0 ) opisuje stały czynnik fazowy. PowyŜsze równanie jest waŝne przy spełnieniu przybliŝenia przyosiowego (wszystkie kąty θ są małe) i dla małej grubości d 0 dla wszystkich punktów (x,y).
Cienka soczewka Schemat cienkiej soczewki płasko-wypukłej pokazano niŝej na rysunku wraz z oznaczeniami. Grubość soczewki w punkcie (x,y) wynosi d(x,y) = d 0 PQ = d 0 (R QC), lub Soczewka płasko-wypukła. d(x,y) = d 0 {R [R 2 (x 2 + y 2 )] 1/2 }. Dla punktów (x,y) spełniających warunek x 2 + y 2 << R 2 mamy [R 2 (x 2 + y 2 )] 1/2 = R[1 (x 2 + y 2 )/R 2 ] 1/2 R[1 (x 2 + y 2 )/2R 2 ], a więc d(x,y ) d 0 (x 2 + y 2 )/2R. Po podstawieniu otrzymujemy t(x,y) h 0 exp{ik 0 (x 2 + y 2 )/2f}, gdzie f = R / (n-1) oznacza lokalną wartość ogniskowej soczewki, a h 0 = exp (-ink 0 d 0 ) jest stałym czynnikiem fazowym nie odgrywającym zazwyczaj istotnej roli. Zmiana fazy wprowadzana przez soczewkę jest do x 2 + y 2, a więc soczewka transformuje padającą falę płaską na falę paraboloidalną o środku połoŝonym w odległości f od soczewki.
Transformacja fali paraboloidalnej na inną falę paraboloidalną przez soczewkę cienką. Środki obydwu al leŝą w punktach spełniających warunek (równanie) obrazowania. Transformacja fali płaskiej na falę paraboloidalną przez soczewkę cienką
Siatka dyfrakcyjna Siatka dyfrakcyjna jest elementem optycznym stosowanym do okresowej modulacji fazy lub amplitudy fali padającej. MoŜe być ona wykonana w postaci przeźroczystej płytki o okresowo zmieniającej się grubości lub współczynniku załamania (siatki fazowe). MoŜna uŝyć równieŝ matryce wypełnione, okresowo, małymi otworkami czy elementami absorbującymi światło (siatki amplitudowe). RozwaŜmy tutaj siatkę fazową w postaci cienkiej płytki o okresowo zmieniającej się grubości, umieszczoną w płaszczyźnie z = 0, patrz rysunek poniŝej. Ugięcie fali płaskiej na cienkiej siatce fazowej o okresie Λ. Siatka transformuje falę płaską o długości fali λ << Λ, padającą pod małym kątem θ i względem normalnej do siatki, na szereg fal płaskich propagujących się pod kątami θ q względem osi z θ q = θ i + qλ/λ, gdzie q = 0, +/-1, +/-2,..., nosi nazwę numeru rzędu ugięcia. Odległość kątowa między sąsiednimi rzędami ugięcia wynosi θ = λ/λ. Ostatni wzór jest słuszny tylko w przybliŝeniu przyosiowym (małe kąty), które wymaga aby okres siatki Λ był znacznie większy od długości fali promieniowania λ. Bardziej ogólna analiza dyfrakcyjna prowadzi do wzoru sinθ q = sinθ i + qλ/λ. Zastosowania siatek dyfrakcyjnych.
Optyczny element gradientowy RozwaŜmy teraz element optyczny w postaci cienkiej płytki o stałej grubości, ale przestrzennie zmiennym rozkładzie współczynnika załamania. Zespoloną transmitancję amplitudową takiego elementu moŝna przedstawić w postaci t(x,y) = exp [-i n(x,y) k 0 d 0 ]. Wybierając odpowiednią funkcję rozkładu n(x,y) moŝna uzyskać efekt soczewki cienkiej, tzn. n(x,y) = n 0 [1 (1/2)α 2 (x 2 +y 2 )], gdzie αd 0 <<1. Ogniskowa takiej soczewki wynosi f = 1/n 0 α 2 d 0. Płytka z odpowiednim przestrzennym rozkładem współczynnika załamania działa jak soczewka skupiająca.