FOTON 33, Lato 06 7 Zjawisko Comtona ois ół relatywistyczny Jerzy Ginter Wydział Fizyki UW Zderzenie fotonu ze soczywającym elektronem Przy omawianiu dualizmu koruskularno-falowego jako jeden z ięknych rzykładów rezentowane jest zjawisko Comtona. Jest ono interretowane jako srężyste zderzenie fotonu z oczątkowo nieruchomym elektronem (rys. ). W zderzeniu tym zachowane są ęd i energia. Rys.. Wektory ędu elektronu ( ) oraz fotonu adającego ( ) i rozroszonego ( ) w zjawisku Comtona Przyjmijmy oznaczenia: i energia i ęd fotonu adającego, i energia i ęd fotonu rozroszonego, i energia i ęd elektronu. W ramach mechaniki relatywistycznej wykazuje się, że w takim zderzeniu energia fotonu rozroszonego jest mniejsza od energii fotonu adającego i wyraża się wzorem, () ( cosθ) gdzie m oznacza masę soczynkową elektronu, c rędkość światła, a kąt omiędzy kierunkiem biegu fotonu adającego i fotonu rozroszonego. Zob. n. Wikiedia, Zjawisko Comtona.
8 FOTON 33, Lato 06 Obecna odstawa rogramowa Niestety relatywistyczny ois zjawiska Comtona znalazł się oza zasięgiem obecnej odstawy rogramowej. W IV etaie edukacyjnym zakresie rozszerzonym:. nie ma w ogóle elementów szczególnej teorii względności;. nie wsomina się o ędzie fotonów; 3. jest natomiast enigmatyczne hasło: (uczeń) określa długość fali de Broglie a oruszających się cząstek. Aby je zrealizować trzeba odać związek omiędzy wartością ędu a długością fali cząstek z niezerową masą soczynkową, czyli Proozycja oisu ół relatywistycznego h. () Dla tyowych romieni Roentgena energia fotonów jest rzędu kilkudziesięciu kiloelektronowoltów. Jest więc w rzybliżeniu o rząd mniejsza od energii soczynkowej elektronu = 5 kev. Dla tego rzyadku zuełnie dobre wyniki oisu zjawiska Comtona można uzyskać, stosując do elektronu nierelatywistyczny związek omiędzy wartością ędu a energią kinetyczną k, czyli wzór k m, (3) m gdzie jest rędkością elektronu. nergia kinetyczna elektronu jest oczywiście roorcjonalna do kwadratu wartości ędu. Jedyne istotne założenie soza odstawy rogramowej które trzeba zrobić, olega na rzyjęciu, że wzór () obowiązuje także dla fotonów. nergia fotonu f jest równa: f h, (4) gdzie oznacza częstotliwość fali elektromagnetycznej, a h jest stałą Plancka. Ze wzorów () i (4) wynika, że dla fotonu wartość ędu f jest równa: h h c f, (5) f gdzie c = jest rędkością światła. nergia fotonu f jest roorcjonalna do wartości ędu fotonu f w otędze ierwszej.
FOTON 33, Lato 06 9 Podsumujmy. W roonowanych obliczeniach: elektron traktowany jest jak cząstka nierelatywistyczna; fotony traktowane są jak cząstki relatywistyczne z zerową masą soczynkową. Obliczenia Obliczmy w ramach odanego owyżej rzybliżenia ół relatywistycznego energię rozroszonego fotonu. W zderzeniu srężystym zachowana jest energia, czyli m Zachowany jest także ęd (rys. ): Przekształćmy wzór (7):. (6) m. (7) m ; (8) ( ) ( ) m ; (9) m ; (0) cosθ m. () Skorzystajmy teraz z wzoru (5). Możemy naisać: cosθ m () c c c cosθ c m c m m ( ). (3) W ostatnim kroku skorzystaliśmy z wzoru (6), czyli zasady zachowania energii. Uzyskaliśmy w ten sosób równanie kwadratowe na : ( cosθ) 0. (4) Obliczmy wyróżnik tego równania: 4( cos ) 4( ) 4 [ m c cos cos ] 4 4 4 ( cos ) ( cos ) 4 m c 4 4 ( cos ) sin. 4 m c (5)
30 FOTON 33, Lato 06 Na energię dostajemy wyrażenie (odrzucamy rozwiązanie ujemne): ( cos ) ( cos ) sin 4 m c Możemy je też naisać w formie: ( cos ) sin cos 4 m c i jako stosunek energii fotonów : (6) (7) ( cos ) sin cos. (8) 4 m c Zauważmy: nawias we wzorze (7) zależy od kąta i stosunku. We wzorze tym ojawiła się energia soczynkowa elektronu, mimo, że elektron traktowaliśmy jak cząstkę nierelatywistyczną. Dyskusja wyników Przedyskutujmy uzyskany wynik. Maksymalne odchylenie ( = 80 ) oraz = 0, Na oczątku rzyjmijmy, że nastąiło maksymalne odchylenie, czyli kąt = 80. Wtedy cos =, a sin = 0. Wzór (7) trochę się uraszcza i rzyjmuje ostać: 4 (9) Podstawmy do tego wzoru rzykładowe dane liczbowe: Dla elektronu = 5 kev. Przyjmijmy, że = 5, kev, co odowiada tyowej wartości fotonów romieniowania rentgenowskiego. Wtedy = 0,. 5, kev 0,4 0 5, kev 0,83 4,5 kev. (0)
FOTON 33, Lato 06 3 Ścisły wzór () dla = 80, cos = i = 0, daje wartość: 5, kev 5, kev 0,8333 4,58 kev. (), Dokładność naszych ół relatywistycznych obliczeń dla rzyjętych wartości liczbowych jest zuełnie dobra. Względny błąd jest rzędu 0,06 0,5% 43 () Zaytajmy jeszcze, jaka w omawianym rzyadku jest energia elektronu o zderzeniu,? Z rawa zachowania energii mamy: = = ( 0,83) = 0,07 = 8,69 kev. (3) nergia kinetyczna elektronu jest rzeczywiście znacznie mniejsza od jego energii soczynkowej. Zależność od Zobaczmy teraz, jaka jest dokładność naszych obliczeń dla = 80, ale w szerszym zakresie energii fotonów adających. Sorządźmy w tym celu wykresy zależności od, dla wzoru ścisłego () i rzybliżonego (8). Przedstawia je rys.. Widać, że w zakresie energii fotonów, odowiadających tyowemu romieniowaniu Roentgena, krzywe niemal się okrywają. Rys.. Względny stosunek energii fotonów w zjawisku Comtona: linia rzerywana rachunek ścisły, linia ciągła rachunek rzybliżony
3 FOTON 33, Lato 06 Zależność od kąta Przedyskutujmy jeszcze zależność od kąta. Zróbmy to dla 0,. Podstawiając wartości liczbowe do wzoru (7) dostajemy 0 0, ( cos ) 0,0sin 0 cos (4) Wykres tej zależności rzedstawia rysunek 3. Rys. 3. Zależność energii fotonu rozroszonego od kąta Wzór ścisły () rowadzi do wyrażenia 0,( cos ) (5) Różnica omiędzy wykresami funkcji o równaniach (4) i (5) jest w skali rysunku niewidoczna. Wnioski Dla tyowego romieniowania Roentgena uzyskuje się zuełnie dobre wyniki oisu zjawiska Comtona, stosując do elektronu nierelatywistyczny związek omiędzy wartością ędu a energią kinetyczną. Przedstawione wyżej obliczenia można by chyba otraktować jako ouczające zadanie w klasach o rofilu matematyczno-fizycznym. Można też wybrać wariant rostszy, ograniczając się jedynie do zderzenia centralnego, czyli = 80. Wtedy wektory ędów są do siebie równoległe i obliczenia ograniczają się do jednego wymiaru. Od Redakcji: htts://www.youtube.com/watch?v=kzrcs5cjtnw