Insyu Informayk, Auomayk Roboyk Sera: PREPRINTY nr 34/006 Hybrydowe alorymy ewolucyjnoradenowe dla roblemów oymalneo serowana okresoweo z oranczenam zasobowo-echnolocznym (rozrawa dokorska) Marek Skowron Promoor: Dr hab. nŝ. rysyn Syczeń, rof. PWr Słowa kluczowe: - oymalne serowane okresowe - alorym ewolucyjny - meoda rzuowaneo radenu - funkcja kary - oranczene zasobowe - oranczene echnoloczne - oranczene sablnoścowe Wrocław,3.06.006 r.
INSTYTUT INFORMATYI, AUTOMATYI I ROBOTYI POLITECHNII WROCŁAWSIEJ Hybrydowe alorymy ewolucyjno-radenowe dla roblemów oymalneo serowana okresoweo z oranczenam zasobowo-echnolocznym (rozrawa dokorska) Marek Skowron Promoor: dr hab. nŝ. rysyn Syczeń, rof. nadzw. PWr. WROCŁAW czerwec 006
Ss reśc. Wsę..... Dlaczeo naleŝy zajmować sę oymalnym serowanem okresowym?..... Problem oymalneo serowana okresoweo... 4.3. Cel racy dokorskej....4. Zesawene najwaŝnejszych rezulaów racy... 5.5. Zawarość racy... 6. Alorymy ewolucyjne serowane... 0.. Wsę do alorymów ewolucyjnych... 0.. Podsawowe ojęca sosowane w alorymach ewolucyjnych....3. odowane oulacj... 3.3.. odowane bnarne... 4.3.. odowane rzeczywse... 6.4. Zarządzane oulacją... 7.4.. Ruleka... 3.4.. Rerodukcja urnejowa... 3.4.3. Rerodukcja ranowa... 33.5. Oeraory krzyŝowana... 35.5.. rzyŝowane wymenające... 36.5.. rzyŝowane równomerne... 38.5.3. rzyŝowane arymeyczne... 39.6. Oeraory muacj... 39.6.. Muacja równomerna... 4.6.. Muacja nerównomerna... 43.6.3. Muacja brzeowa... 44.7. ryerum sou alorymu... 45 3. Alorymy ewolucyjne dla roblemów GOSO... 49 3.. odowane roblemu okresoweo... 49 3.. Alorym oymalzacj dla roblemu GOSO z chwlowym oranczenam zasobowym... 5 3... Problem GOSO z chwlowym oranczenam zasobowym... 5 3... Ewolucyjny alorym oymalzacj (Alorym )... 5 3..3. Przykłady oblczenowe... 57 3.3. Alorym oymalzacj dla roblemu GOSO z oranczenam zasobowym... 66 3.3.. Problem GOSO z chwlowym uśrednonym oranczenam zasobowym... 66 3.3.. Ewolucyjny alorym oymalzacj (Alorym )... 67 3.3.3. Przykłady oblczenowe... 7 3.4. Alorym oymalzacj dla roblemów GOSO z oranczenam zasobowym, echnolocznym oraz sablnoścowym... 83 3.4.. Problem GOSO z oranczenam zasobowym, echnolocznym oraz sablnoścowym... 83 3.4.. Ewolucyjny alorym oymalzacj (Alorym 3)... 84 3.4.3. Przykłady oblczenowe... 9 4. Alorymy wsomaające... 0 4.. Meoda λ-rzuowaneo radenu... 03 4.. Meoda rzesuwanej funkcj kary λ-rzuowaneo radenu... 07 4.3. Przykłady oblczenowe... 3 5. Podsumowane... 0 6. Leraura... 4
. WSTĘP.. Dlaczeo naleŝy zajmować sę oymalnym serowanem okresowym? Tradycyjne odejśce do roblemów oymalneo serowana auonomcznym, cąłym rocesam echnolocznym olea na wyborze ch oymalneo sayczneo rzebeu. W rakyce wyląda o ak, Ŝe najerw numeryczne wyznaczane jes oymalne, sayczne rozwązane daneo roblemu, a nasęne rojekowane są rose, sablzujące układy auomayk, kórych zadanem jes aka reulacja rocesu, aby nezaleŝne od flukuacj aramerów obeku czynnków zewnęrznych rzebeał on w warunkach zblŝonych do wyznaczoneo wcześnej oymalneo rozwązana sayczneo. Inaczej mówąc, dąŝy sę do eo, by wszyske zmenne rocesowe daneo rocesu zarówno serujące (naęŝene doływu lub sęŝene subsraów orzebnych do rowadzena rocesu,.) jak osujące san rocesu (emeraura cśnene w aaraurze rocesowej,.) były sałe w czase równe wyznaczonym waroścom oymalnym. Fak, Ŝe osana wyŝej rocedura serowana cąłym rocesam echnolocznym jes bardzo częso sosowana, ne oznacza, Ŝe jes ona oymalna w klase wszyskch rocesów rowadzonych w dłum horyzonce czasowym horyzonce znaczne rzewyŝszającym sałe czasowe rocesu. Od roku 935, kedy o odkryo eksrakcję ulsacyjną, wadomo bowem, Ŝ wymuszene cyklcznej racy rocesu moŝe znaczne zwększyć jeo wydajność w orównanu z wydajnoścą eo rocesu w sane usalonym [40]. Serowane okresowe, w odróŝnenu od serowana sayczneo, wykorzysuje dynamkę rocesu, dzęk czemu moŝna kszałować rzebe sanu rocesu jeo średne charakerysyk w szerokm zakrese, a co za ym dze, moŝna orawać warośc wskaźnków jakośc szereu rocesów rodukcyjnych rzy zachowanu średnch warośc oranczeń charakerysycznych dla serowana okresoweo [40], [60], [65], [7]. Wsomnana orawa odnos sę m.n. do wskaźnków jakośc osujących średną wydajność rocesu, średne zuŝyce surowców orzebnych do rowadzena rocesu, średn kosz onesony na rowadzene rocesu, czy średną selekywność rocesu. Perwsza eksrakcja ulsacyjna zaewnała co rawda wększą wydajność rocesu, jednak serowane ulsacyjne ne zaczęło być owszechne sosowane w ówczesnych czasach bowem, kosz realzacj akeo serowana welokrone rzewyŝszał zysk uzyskane ze zwększena wydajnośc rocesu. Dzęk onerskemu zasosowanu eks-
rakcj ulsacyjnej zrozumano jednak, Ŝe oymalne serowane sayczne ne zawsze jes najlesze, dlaeo eŝ naleŝy oszukwać nnych sosobów serowana m.n. nale- Ŝy sarać sę, o le jes o moŝlwe, sosować serowane okresowe. Okresowy sosób rowadzena rocesu wykorzysuje bowem moŝlwośc kwące w dynamce rocesu, a jednocześne ozwala on oranczyć analzę roblemu serowana do jedneo ylko cyklu rocesu duŝo krószeo od całeo horyzonu czasoweo rocesu cąłeo. Dzsejszy san echnk ozwala rzezwycęŝyć rudnośc naukowców z la rzydzesych. Nowe echnoloe, suer-szybke komuery oraz wedza zdobya rzez szere la ozwalają sone oszerzyć zakres sosowana serowana okresoweo. Dzś nkoo ne dzw juŝ fak, Ŝe w sysemach ekolocznych czy aroechncznych moŝna jednocześne zmnejszać neaywny wływ osodark na środowsko zwększać wydajność rocesów rodukcyjnych (n. dzęk cyklcznemu serowanu rozwojem oulacj bolocznych) [34], [4], [7], [74], [8], [86], [87]; w analoczny sosób moŝna równeŝ zwększać wydajność sysemów boechnolocznych [], [], [63], [69], [76], [9], [94], [0], [], [8]. Sosując serowane okresowe moŝna akŝe osąać znaczną orawę wydajnośc rocesu w rzyadku welu reakcj chemcznych [7], [9], [3], [40], [44], [45], [73], [78], [79], [80], [89], [93], [04], [06], [38], [39]. Zasosowane serowana okresoweo ne orancza sę oczywśce jedyne do wsomnanych wyŝej sysemów ekolocznych, boechnolocznych, czy chemcznych. RówneŜ w akch obszarach rzemysłu jak elekroenereyka, ermodynamka, mechanka, czy huncwo orzez cyklczne rowadzene rocesu moŝna zwększyć jeo wydajność orawć jeo efekywność [5], [39], [60], [6], [77] [99], [0], [7], [5]. Serowane cyklczne sosowane jes akŝe w sysemach ekonomczno-osodarczych [], [64], [8], [33], [45], dze jes ono wykorzysywane do dynamczneo worzena cen w celu zwększena średneo zysku, do leszeo zarządzana rodukcją owerzchnam maazynowym, czy eŝ do szybszeo dososowywana rodukcj do zmenająceo sę w czase zaorzebowana rynku. Obecne, dy z kaŝdym dnem ceny na sacjach benzynowych są coraz wyŝsze, neresujące moą być eŝ badana nad zasosowanem cyklczneo serowana do zwększana ekonomcznośc ojazdów, a ym samym do zmnejszana zuŝyca alwa (zaadnene o w odnesenu łówne do rzemysłu lonczeo zosało szeroko osane m.n. w [5], [54], [3], [4], [38], [95], [5], [4], [7], [43], [44]). 3
Z owyŝszych rozwaŝań wynka, Ŝe serowane okresowe orzez zasosowane jake znajduje w róŝnych ałęzach rzemysłu osodark jes obecne w welu obszarach ludzkeo Ŝyca, częso orawając jeo jakość. Dzęk emu, Ŝe en właśne rodzaj serowana zaewna (w orównanu ze saycznym rowadzenem rocesu) wększą wydajność szereu rocesów rodukcyjnych, zaneresowane serowanem okresowym oraz moŝlwoścą jeo wykorzysana jes coraz wększe, co jes chyba wysarczającym arumenem na o, Ŝe zajmowane sę ą emayką ne jes sraą czasu ym bardzej, Ŝe w dobe lobalzacj osodark coraz wększej konkurencj mędzy frmam nawe newelke zwększene wydajnośc rocesu (rzenoszące sę ym samym na zmnejszene koszów rodukcj) jes częso na waę złoa. Dlaeo eŝ zasadne wydają sę róby wdraŝana serowana okresoweo do rocesów, w kórych ne zosało ono jeszcze zasosowane; uzasadnone są akŝe badana nad doskonalenem snejących juŝ meod oymalzacj okresowej, czy eŝ worzenem nowych jeszcze leszych meod zwększających wydajność rocesów rodukcyjnych... Problem oymalneo serowana okresoweo Z roblemam oymalneo serowana okresoweo moŝna zeknąć sę wszędze am, dze eo rodzaju serowane jes sosowane, czyl jak juŝ wcześnej wsomnano w chem, bolo, ekolo, róŝnych sysemach echncznych, czy ekonomcznych. Rozlełość dzedzn oraz secyfczne własnośc oszczeólnych roblemów owodują, Ŝe rocesy okresowe mają róŝnorodny charaker. Na rzykład, z uwa na osać rajekor sanu (wzlędem czasu) moŝna odzelć je na cąłe, necąłe lub ółcąłe. Ze wzlędu na sosób wymuszena cyklcznej racy na: auonomczne (w kórych cyklczność uzyskuje sę dzęk odowedno dobranemu serowanu) oraz neauonomczne (w kórych cyklczność wymuszona jes rzez zakłócena odzaływujące na rowadzony roces). Podzału moŝna równeŝ dokonać borąc od uwaę okres rocesu; w akm rzyadku wyróŝnone zosaną: roblemy wysokoczęsolwoścowe (w kórych okres dąŝy do zera), średnoczęsolwoścowe (w kórych warość okresu mnej węcej odowada sałym czasowym rocesu), czy nskoczęsolwoścowe (w kórych okres zmerza do neskończonośc). Isonym jes, Ŝe kaŝdy wsomnany owyŝej rodzaj roblemu naleŝy rakować ndywdualne, nne są bowem modele osujące oszczeólne yy roblemów; w kaŝdym z yów wysęują nne, czasam charakerysyczne wyłączne dla neo oranczena; dla kaŝdeo rodzaju roblemu okresoweo nny jes akŝe sosób odejśca do 4
jeo oymalzacj. Z uwa na owyŝsze oraz borąc od uwaę oranczone ramy eo oracowana w dalszej częśc racy rozwaŝany będze wyłączne cąły, auonomczny, średnoczęsolwoścowy roblem oymalneo serowana, z kórym najczęścej moŝna sokać sę w rakyce. Ne oznacza o jednak, Ŝe meody oymalzacyjne rzedsawone w ej racy ne moą być zasosowane do nnych yów roblemów okresowych. Wręcz rzecwne, ewolucyjne odejśce oymalzacyjne, będące łównym rzedmoem nnejszeo oracowana, moŝe być z owodzenem zasosowane (oczywśce o neznacznych modyfkacjach) do rawe kaŝdeo roblemu okresoweo. Cąły, auonomczny, średnoczęsolwoścowy roblem lobalne oymalneo serowana okresoweo (roblem GOSO) olea na mnmalzacj funkcj celu: Q( x, u, τ ) = ν ( q), () będącej skalarną funkcją wekora wskaźnków charakerysycznych rocesu osywaneo okresowym równanem sanu τ q = τ h( x( ), u( )) d () 0 x &( ) = f ( x( ), u( )), [ 0, τ ], x ( 0) = x( τ ), (3) na kóry o roces narzucone są oranczena chwlowe uśrednone oranczena zasobowe uśrednone oranczena echnoloczne oraz oranczena sablnoścowe τ, x( ) X, u( ) U, [ 0, τ ], (4) ϕ ( q) = 0, ~ ϕ ( q) 0, (5) ~ φ ( q) = 0, φ ( q) 0, (6) s ( Φ( x, u, τ )) α. (7) W owyŝszych równanach τ R+ oznacza okres rocesu serowana, n ([0, ]; x 0 x H τ R ) rajekorę sanu, [ ] R n u u H 0, τ ; serowane, a ( ) R n q q jes wekorem wskaźnków charakerysycznych rocesu. Z kole funkcje ν, h, f, ϕ, ~ϕ, φ ~ φ określone są w nasęujący sosób: 5
n ν : R q R, h n nx nu q nx nu nx : R R R, f R R R :, n nϕ ~ n n ϕ R q ~ ϕ : R, ϕ : R q φ R, φ R q ~ φ : R, φ : R q R. n n ~ n n + + + ± Wyukłe zbory [ τ, τ ], X [ x, x ], U [ u, u ] (dze τ R, x ± R n x, u ± R n u ) określają douszczalny zakres zman zmennych rocesowych. Warośc worzące e zbory wynkają z oranczeń echnolocznych aaraury uŝywanej do rowadzena rocesu. Moą one n. określać douszczalny zakres wahań emeraury reakora (kóry ne sowoduje jeo znszczena), czy eŝ maksymalne cśnene (kóreo rzekroczene moŝe rzyczynć sę do wybuchu reakora). Oranczena e moą osywać równeŝ maksymalne lub mnmalne osąalne naęŝene doływu surowca orzebneo do rowadzena rocesu lub jeo ranczne osąalne sęŝene. Uśrednone oranczena zasobowe (5) określają średną dosęność surowca orzebneo do rowadzena rocesu. Moą one osywać n. douszczalne średne zuŝyce ener elekrycznej lub azu (kóreo rzekroczene moŝe być obarczone n. duŝym karam fnansowym). W roblemach oymalneo serowana okresoweo uśrednone oranczena zasobowe ojawają sę równeŝ w rzyadku, dy do rowadzena daneo rocesu ne moŝna dosarczać w sosób cąły nezbędnych surowców oranczena e osują wedy maksymalne średne zuŝyce surowców w czase, kóre ne rzyczyn sę do oróŝnena zaasów maazynowych, a ym samym do zarzymana rocesu. Dla duŝej ruy roblemów okresowych funkcje ϕ, ϕ ~ osujące uśrednone oranczena zasobowe moą rzyberać osać: dze τ ( u( ) us ) d, ( ( ) ), τ u us d (8) τ 0 τ 0 s nu u R jes zadanym wekorem osującym średną dosęność surowca orzebneo do rowadzena rocesu. Uśrednone oranczena echnoloczne (6) osywane są rzez nelnowe funkcje zaleŝne od serowana sanu. Przy ch omocy najczęścej określana jes n. douszczalna, średna koncenracja czynnka neoŝądaneo (bądź nawe szkodlweo) w końcowym rodukce daneo rocesu. Omawane oranczena moą równeŝ osywać douszczalną, średną lość odadów rodukowanych w rakce rwana rocesu, lub eŝ jeo selekywność. 6
Oranczena sablnoścowe w osanym robleme okresowym zdefnowane są za omocą najwększeo (co do warośc) mullkaora Floque a oraz arameru α R+ określająceo douszczalny, lokalny ozom sablnośc rocesu (zw. ozom Floque a). Najwększa warość mullkaora Floque a wyznaczana jes w nasęujący sosób: s = max n s, dze nx s = ( s ) = oznacza wekor warośc własnych mace- x rzy monodrom Φ ( x, u, τ ). Z kole macerz monodrom jes o macerz fundamenalna Φ () w chwl = τ zlnearyzowaneo równana sanu δ x& ( ) = A( ) δx( ), [ 0, τ ], (9) w kórym A( ) = f ( x( ), u( )) jes macerzą Jacobeo okresoweo rocesu ( x, u). x Oranczene sablnoścowe (7) wynka wros z werdzena Floque a doycząceo sablnośc okresoweo układu osywaneo równanem róŝnczkowym zwyczajnym [35], [46], [78]. Zodne z ym werdzenem rozwązane okresowe jes lokalne sablne, dy warośc modułów wszyskch charakerysycznych mullkaorów (warośc własnych macerzy monodrom Φ ( x, u, τ ) ) sysemu (9) są mnejsze od jednośc, naomas jes nesablne, dy warość rzynajmnej jedneo modułu charakerysyczneo mullkaora sysemu (9) jes wększa od jednośc. Z rzyoczoneo werdzena wynka, Ŝe rzyjęce α oznacza oszukwane oymalneo rozwązana, kóre leŝy na rancy sablnośc lub jes nesablne; naomas rzyjęce α < jes równoznaczne z oszukwanem oymalneo, lokalne sablneo rozwązana roblemu ()-(7) z zaasem sablnośc równym α. Przyjęce F-ozomu α < owoduje równeŝ, Ŝe roces okresowy będze rzy małych zaburzenach aramerów równań sanu lokalne, asymoyczne sablny ze wzlędu na cąłą zaleŝność od ych aramerów macerzy fundamenalnej rocesu zlnearyzowaneo oraz warośc własnych macerzy monodrom [46]. Oznacza o węc arameryczną sablność zboru mullkaorów rocesu okresoweo (rysunek ). Im s Im s - Re - Re - a - a+δa Rysunek Mała zmana δa arameru a rocesu sablneo ne zaburza jeo sablnośc 7
Co węcej, oranczenu sablnoścowemu z F-ozomem α < moŝna nadać szczeólną nerreację (arz Twerdzene l onŝej), mającą waŝne konsekwencje dla rojekowana układów reulacj rocesu okresoweo. ( 0 Nech x, u( ), x( )) oznacza rozwązane równana sanu z warunkem ocząkowym x ) nech warunek x ) zaewna okresowy rzebe rajekor sanu rzy ( 0 ( 0 okresowym serowanu u (). Ponado, nech rawa srona równana sanu sełna oszacowane r( δ x( ), ) κ δ x( ) dze r( δ x( ), ) = f ( x( ) + δ x( ), u( )) f ( x( ), u( )) f x ( x( ), u( )) δ x( ), zaś κ µ są sałym dodanm (oszacowane ake jes charakerysyczne dla badanych w racy rocesów z modelam welomanowym wzlędem zmennych sanu). Twerdzene l Jeśl F-ozom α zlnearyzowaneo okresoweo rocesu serowana µ, δ x& ( ) = f x( x( ), u( )) δ x( ) jes mnejszy od jednośc, o sneje ake η > 0, Ŝe dla zaburzeń sanu ocząkoweo δ x ( 0) < η, zachodz: 0 x(, u( ), x( 0 ) + δ x( 0 )) x(, u( ), x( 0 )) Cα δ x( 0 ), [ 0, + ), dze C jes sałą dodaną. Oznacza o, Ŝe okresowa rajekora sanu jes sablna wykładnczo z odsawą równą F-ozomow α. Dowód. Nech P n x nx ( ) R będze macerzą okresową rerezenacj Floque a macerzy fundamenalnej Φ () zlnearyzowaneo rocesu okresoweo (j. Φ ) Λ s ( ) = P( e ), dze s Λ jes macerzą sałą. Nech onado ( 0 0 0 δ x ) = x(, u( ), x( ) + δ x( )) x(, u( ), x( )) będze odchylenem rajekor zaburzonej od badanej rajekor okresowej. Podsawene δ x( ) = P( ) δ y( ) ozwala uzyskać na odsawe rzekszałcena Launowa [35] zaleŝność kóra mlkuje oszacowane Λ s ( 0 ) δ y( ) = e ( δ y( ) + P ( θ ) r( P( θ ) δ y( θ ), θ ) dθ ), 0 0 8
λ( 0 ) ~~ λµ ) ( ~ 0 ) ~ ( ) ( ( ) ( o λ µ δ y Ce δ y 0 + C e ( e δ y( ) ) d), dze λ jes dowolną lczbą rzeczywsą sełnającą warunek 0 max Re n x λ < λ < 0, zaś λ są waroścam własnym macerzy e Λs ( 0 ) warunk Λ s, sała C wynka z oszacowana macerzy, sała C jes określona jako C = κ max P ( ), a sałe ~ λ ~ µ sełnają ~ λ < λ ~ µ < µ. Z lemau Bhareo wynka węc, Ŝe [ 0, 0 + τ ] e λ( 0 ) δ y( ) C δ y( 0 ) µ C ( ( µ ) C ~~ ) λµ /( µ ). Borąc od uwaę nerównośc δ x( ) P( ) δ y( ) max P( ) δ y( ) [ 0, 0 +τ ] oraz δ y( 0) P ( 0) δ x( 0) odsawając ezę werdzena. α λ = e uzyskuje sę osaeczne Powórzene owyŝszeo rozumowana dla równana sanu zaleŝneo od arameru a (j. x &( ) = f ( x( ), u( ), a) ) z aramerem odleającym flukuacjom B a ) (w ooczenu jeo warośc nomnalnej a 0 ) ozwala swerdzć jednosajną arameryczną sablność wykładnczą rocesu okresoweo. Własnośc sablnoścowe okresoweo rocesu serowana mają sony wływ na efekywność jeo realzacj. Wybór w rakce oymalzacj α < oznacza bowem oszukwane rozwązań okresowych, kóre ławo moŝna zamlemenować w rakyce sosując rose zarazem ane układy auomaycznej reulacj ze srzęŝenem zwronym. Naomas rzyjęce warośc α owyŝej jednośc (lub całkowe omnęce oranczeń (7)) rowadzć moŝe do eo, Ŝe w rakce oymalzacj moą być uzyskwane lesze rozwązana okresowe, jednak będą one nesablne bądź na rancy sablnośc, w zwązku z czym ch rakyczna realzacja będze nemoŝlwa, lub eŝ zwązana będze z konecznoścą onesena duŝych nakładów na zarojekowane realzację skomlkowanych, sablzujących układów reulacj auomaycznej. ( 0 9
Głównym celem oymalzacj rocesów okresowych ()-(7) jes uzyskane lobalne oymalneo rozwązana okresoweo ( x ˆ, uˆ, ˆ τ ), sełnająceo oranczena (4)-(7), kóre jednocześne zaewnałoby leszą warość wskaźnka jakośc w orównanu z lobalne oymalnym rozwązanem saycznym eo sameo roblemu ()-(7). W rzyadku roblemu okresoweo ()-(7) zwązany z nm roblem lobalne oymalneo serowana sayczneo olea na mnmalzacj wskaźnka jakośc: Q ( x, u ) = ν ( q), (0) rzy uwzlędnenu oranczeń q = h( x, u), () 0 = f ( x, u ), () x X, u U, (3) ϕ ( q) = 0, ~ ϕ ( q) 0, φ ( q) = 0, ~ φ ( q) 0, (4) dze n x nu x R jes sayczną rajekorą sanu, a R ( x, u ) s ( e f x ) α, (5) u jes saycznym serowanem. W owyŝszym robleme lobalneo serowana sayczneo wyjaśnena wymaa oranczene (5). O ym, czy dane rozwązane jes sablne, moŝna dowedzeć sę analzując rzeczywsą część warośc własnych macerzy Jacobeo (dy wszyske warośc własne leŝą w lewej ółłaszczyźne zmennych zesolonych rozwązane roblemu (0)-(5) jes sablne). PowyŜsze ne oznacza, Ŝe nerówność (5) jes błędna. (, u ) Zas s ( e f x x ) jes o rosu rzekszałcenem, kóre rzerowadza wszyske warośc własne macerzy Jacobeo o nedodanch waroścach częśc rzeczywsej do koła jednoskoweo na łaszczyźne zmennej zesolonej. Tak węc, rozwązane ro- ( x, u ) blemu (0)-(5) jes sablne, dy rawdzwa jes nerówność s ( e f x ), nao- ( x, u ) mas dy s ( e f x ) rozwązane jes na rancy sablnośc, bądź jes ono ne- sablne. Podsumowując, sosób badana sablnośc roblemu sayczneo z wykorzysanem nerównośc (5) zosał wrowadzony w celu zunfkowana zasu, dzęk czemu ławej będze orównywać oymalne rozwązane zadana sayczneo (0)- (5) z rozwązanem roblemu okresoweo ()-(7). < 0
.3. Cel racy dokorskej Problem oymalneo serowana okresoweo ne jes nowy w cąu osanch klkudzesęcu la był on rzedmoem rozwaŝań welu badaczy emaem welu rac: oracowano dla neo warunk koneczne wysarczające oymalnośc [6], [7], [9], [3], [53], [68], [75], dokonano synezy oymalneo serowana w układze ze srzę- Ŝenem zwronym [7], [9], oracowano meody badana domnacj serowana okresoweo nad serowanem saycznym [9], [3], [4], [5], [8], [3], [06], [36], [37], [38], oracowano meody badana sablnośc rocesów okresowych [8], [46], [78], analzowano rocesy okresowe z oóźnenam [], [9], [30], [3], [3], [33], [88], [93], [], czy w końcu analzowano roblemy serowana okresoweo rocesów o aramerach rozłoŝonych [], []. JednakŜe, choć ukazało sę wele ublkacj na ema roblemu oymalneo serowana okresoweo, o wyznaczene jeo oymalnych rozwązań sanow nadal rudne zadane z uwa na nelnowy charaker równań sanu osujących dynamkę układu, duŝą wraŝlwość oymalzowaneo rocesu na zmany warośc jeo zmennych rocesowych, neznany oymalny okres rocesu, czy neznany oymalny san ocząkowy rocesu [3]. Dodakowe rudnośc z wyznaczenem oymalneo (a zwłaszcza lobalne oymalneo) serowana okresoweo owodowane są częso weloeksremalnym charakerem roblemu oraz konecznoścą uwzlędnana szereu oranczeń. Ne oznacza o jednak, Ŝe ne ma meod, rzy omocy kórych ne moŝna by było znaleźć oymalneo rozwązana roblemu okresoweo. Wśród najbardzej znanych meod eo yu naleŝy wymenć: radenowe meody orawy [68], meodę druej waracj [3], [7], [3], [6], meody bazujące na zasadze maksmum [44], [8], meody funkcj bazowych [0], [9], [9], [30] oraz meody wyładzana róŝnczkoweo [34]. Wsólną cechą wymenonych meod jes jednak fak, Ŝ rzy ch omocy moŝna jedyne wyznaczyć lokalne oymalne rozwązane roblemu okresoweo, co borąc od uwaę dzsejszą endencję w osodarce do zmnejszana koszów rodukcyjnych rzy jednoczesnym zwększanu wydajnośc rzedsęborsw jes newąlwe wadą ych meod. PoŜądane byłyby bowem meody, dzęk kórym moŝlwe byłoby wyznaczene lobalne oymalneo rozwązana roblemu. Nesey, z uwa na wcześnej wymenone urudnena zwązane z roblemam serowana okresoweo, wyznaczene lobalne oymalneo rozwązana okresoweo jes wyjąkowo rudne. Z eo eŝ ew-
ne owodu roblemayka lobalnej oymalzacj rocesów okresowych jes słabo zbadana. olejną wadą wsomnanych wcześnej meod jes fak, Ŝe ch wykorzysane jes urudnone (lub wręcz nemoŝlwe) jeśl zachodz orzeba uwzlędnena róŝnorodnych oranczeń charakerysycznych dla klasy rozwaŝanych roblemów. Prawdzwość eo werdzena moŝna doweść borąc chocaŝby od uwaę uśrednone oranczena zasobowe (5). Jednym ze sosobów ch uwzlędnana w oymalzowanym robleme jes zasosowane dodakowych zmennych sanu, rzy omocy kórych oranczena e moą zosać dodane do równań sanu osujących dany roces. Nesey, dla szerokej klasy roblemów ak sosób uwzlędnena oranczeń rowadz do osoblwej macerzy Jacobeo, rzez co nemoŝlwym saje sę zasosowane meody Newona-Rahsona łówneo narzędza sosowaneo do rozwązywana okresowych równań sanu. Z kole oranczena chwlowe sanu częso owodują, Ŝ redukcja roblemu okresoweo do rzesrzen serowana z jednoczesną aroksymacją ych oranczeń za omocą dyskrenej sak czasowej [97] rowadz do duŝej lczby uwkłanych, nelnowych oranczeń znaczne zmnejszających skueczność meod roramowana nelnoweo. Wykorzysane warunków konecznych oymalnośc okresoweo rocesu serowana wynkających z zasady maksmum komlkuje fak srukuralnej nesablnośc okresoweo układu hamlonowskeo. Układ en, zodne z werdzenem Launowa-Poncareo [35], ne moŝe być asymoyczne sablny. Dlaeo jeo rozwązane za omocą meody srzałów naoyka na rudnośc zwązane rzede wszyskm z nesablnoścą zmennych srzęŝonych [8]. Oczywśce, analzując rzedsawone roblemy z uwzlędnanem oranczeń moŝna swerdzć, Ŝe co rawda ne ma dealnej meody oymalzacyjnej, kórą moŝna by było zasosować do kaŝdeo yu zadana jednak ze znanych meod oymalzacyjnych zawsze moŝna wybrać ę, kóra ozwol na uzyskane zadawalająceo rozwązana daneo roblemu. Swerdzene o jes jednak słuszne jedyne w rzyadku roblemów okresowych, w kórych wysęują nezby skomlkowane oranczena zasobowe lub echnoloczne zarówno chwlowe jak uśrednone. Naomas, w rzyadku, dy w robleme wysęują oranczena sablnoścowe, doychczas znane meody oymalzacyjne dla roblemów okresowych sają sę bezuŝyeczne, onewaŝ ne orafą one w rakce oszukwana rozwązana oymalneo uwzlędnć oranczeń o neanalycznym neróŝnczkowalnym charakerze.
Tak węc uławene rakycznej realzacj rozszerzene zakresu zasosowań serowana okresoweo zwązane jes ze zbadanem nowych aseków roblemayk oymalneo serowana cyklczneo, kórym są: wyznaczane lobalne oymalneo okresoweo rocesu serowana zaewnająceo znaczny efek oymalzacyjny w osac duŝej orawy wskaźnka jakośc rocesu w orównanu z jeo waroścą dla oymalneo sayczneo rozwązana, dokładne uwzlędnane oranczeń zasobowo-echnolocznych obejmujących chwlowe uśrednone oranczena sanu serowana oraz oranczena sablnoścowe warunkujące rakyczną mlemenowalność rocesu okresoweo. Prezenowane w leraurze wynk badań szereu roblemów oymalneo serowana okresoweo [40], [68], [9], [93] wskazują na snene, dla daneo roblemu, welu cyklcznych rozwązań domnujących co do warośc wskaźnka jakośc nad oymalnym rocesem saycznym. Najlesze sośród ych rozwązań sanową lokalne eksrema roblemu (rysunek a). Narzucene jednak klasycznych oranczeń zasobowoechnolocznych orancza lczbę cykl domnujących (rysunek b). Jeszcze wększe zawęŝene klasy cykl domnujących nad oymalnym serowanem saycznym owoduje wrowadzene dodakoweo oranczena sablnoścoweo (rysunek 3a). Zasosowane rzedsawoneo w ej rozrawe alorymu hybrydoweo (alorymu ewolucyjneo ołączoneo z alorymem kerunków orawy) ozwala wydzelć cykl lobalne oymalny sośród cykl uwzlędnających dodakowe oranczena zasobowo-echnoloczne oraz oranczene sablnoścowe (rysunek 3b). a) b) x x x x Rysunek Cykle lokalne oymalne oymalne rozwązane sayczne (rys. a); cykle lokalne oymalne oymalne rozwązane sayczne o uwzlędnenu oranczeń zasobowo-echnolocznych (rys. b) 3
a) b) x x x x Rysunek 3 Cykle lokalne oymalne oymalne rozwązane sayczne o uwzlędnenu oranczena sablnoścoweo (rys. a); cykl lobalne oymalny sełnający róŝnorodne oranczena zasobowo-echnoloczne oraz oranczene sablnoścowe (rys. b) Z uwa na owyŝsze, celem nnejszej racy jes rzedsawene wynków rowadzonych rzez auora eo oracowana badań nad moŝlwoścą wykorzysana alorymów hybrydowych (łączących ewolucyjne odejśce do oymalzacj [07], [08], [], [3], [4] z szybkm alorymam kerunków orawy [09], [], [5], [6], [7], [8], [0]) do wyznaczana lobalne oymalnych rozwązań roblemów okresowych. Isonym rzy ym jes, Ŝe roblemy oymalneo serowana okresoweo ujmowane są u w nowy, uoólnony sosób ()-(7), uwzlędnający oranczena zasobowe (chwlowe całkowe oranczena narzucone na serowane), oranczena echnoloczne (chwlowe całkowe oranczena narzucone na san) oraz oranczena sablnoścowe (w osac zw. ozomu Floque a). Wybór alorymów ewolucyjnych, dla celów oymalzacj rocesów cyklcznych, jes szczeólne uzasadnony akm ch właścwoścam, kóre z jednej srony nawązują do cyklcznych rozwązań sosowanych rzez nauralną ewolucję oranzmów Ŝywych, a z druej srony ozwalają włączać do rocesu oymalzacj róŝnorodne oranczena w ym oranczena neanalyczne, ne dające sę wkomonować do znanych meod oymalzacj lokalnej rzy jednoczesnym oszukwanu rozwązana lobalne oymalneo. Z kole zasosowane alorymów kerunków orawy odykowane jes chęcą zwększena szybkośc wyznaczana rozwązana lobalne oymalneo. W rzyadku bowem roblemów okresowych w celu wyznaczena jedneo rozwązana okresoweo oymalzowaneo rocesu (rozwązana sełnająceo oranczene x ( 0) = x( τ ) ) naleŝy welokrone rozwązać równana sanu (3) kóre są z reuły nelnowe oraz dla kaŝdeo rozwązana równań sanu naleŝy znaleźć odwroność macerzy I Φ( x, u, τ ) (szczeóły w unkce 3..). Choć wyznaczene rozwązana okresoweo równań sanu (dzęk wszechobecnym komuerom) ne naleŝy juŝ do zadań nemoŝlwych do wykonana, jes ono jednak bardzo czasochłonne. Tak węc, alo- 4
rymy ewolucyjne, kóre muszą w jednym kroku swojeo dzałana wyznaczyć wele rozwązań okresowych muszą ośwęcć bardzo duŝo czasu na wyznaczene lobalne oymalneo serowana okresoweo. Dlaeo eŝ uzasadnonym jes sosowane alorymu ewolucyjneo ylko do wyznaczana rzyblŝoneo rozwązana lobalne oymalneo (lub obszaru, w kórym o rozwązane sę znajduje) oraz szybkeo alorymu kerunków orawy (alorymu lokalnej oymalzacj), kóry sarując z rozwązana dosarczoneo rzez alorym ewolucyjny, w krókm czase znajdze rozwązane lobalne oymalne..4. Zesawene najwaŝnejszych rezulaów racy Wśród najwaŝnejszych rezulaów racy dokorskej moŝna wymenć: ) zdefnowane noweo, uoólnoneo sosobu uwzlędnana oranczeń zasobowych, echnolocznych oraz sablnoścowych w roblemach oymalneo serowana okresoweo, ) sformułowane udowodnene werdzena na ema jednosajnej aramerycznej sablnośc wykładnczej rocesu okresoweo, 3) oracowane alorymu ewolucyjneo, rzy omocy kóreo moŝna znaleźć lobalne oymalne rozwązane roblemu okresoweo z oranczenam chwlowym narzuconym na serowane okres, 4) oracowane sosobu uwzlędnana oranczeń całkowych w alorymach ewolucyjnych oracowane alorymu rekonsrukcj oranczeń, 5) oracowane alorymu ewolucyjneo, rzy omocy kóreo moŝna wyznaczyć lobalne oymalne rozwązane roblemu okresoweo z oranczenam chwlowym uśrednonym narzuconym na serowane oraz z oranczenam chwlowym narzuconym na okres, 6) oracowane meody uwzlędnana róŝnorodnych oranczeń echnolocznych oranczeń sablnoścowych w alorymach ewolucyjnych, 7) oracowane alorymu ewolucyjneo, rzy omocy kóreo moŝna wyznaczyć lobalne oymalne serowane okresowe rocesu z oranczenam zasobowym echnolocznym (zarówno chwlowym jak uśrednonym) oraz z bardzo rudnym do uwzlędnena oranczenam sablnoścowym, 8) oracowane nowej meody uwzlędnana oranczeń zasobowych w meodze rzuowaneo radenu, 5
9) oracowane meody λ-rzuowaneo radenu, rzy omocy kórej moŝna znaleźć lokalne oymalne rozwązane roblemu okresoweo z oranczenam chwlowym uśrednonym narzuconym na serowane, 0) oracowane alorymu łącząceo meodę rzesuwanej funkcj kary meodę λ- rzuowaneo radenu do rozwązywana (oszukwana lokalneo omum) roblemów okresowych z róŝnym oranczenam zasobowym echnolocznym, ) sformułowane udowodnene werdzena doycząceo zbeŝnośc alorymu łącząceo meodę rzesuwanej funkcj kary meodę λ-rzuowaneo radenu, ) zaroonowane hybrydoweo alorymu lobalnej oymalzacj łącząceo ewolucyjne odejśce do oymalzacj z alorymam kerunków orawy, 3) zesawene wynków badań owerdzających skueczność wyŝej wsomnanych alorymów oymalzacj..5. Zawarość racy W rozdzale, zn. we wsęe nnejszej racy, rzedsawone zosały korzyśc, jake nese ze sobą sosowane serowana okresoweo odano u dzedzny osodark, w kórych zasosowane serowana okresoweo wydane zwększyło wydajność róŝnorodnych rocesów rodukcyjnych w orównanu z wydajnoścą ych rocesów osąaną rzy oymalnym serowanu saycznym (unk.). We wsęe zameszczono równeŝ nowe, uoólnone sformułowane lobalne oymalneo roblemu okresoweo z oranczenam zasobowym, echnolocznym sablnoścowym (unk.) oraz szczeółowo osano e oranczena. W rozdzale moŝna równeŝ znaleźć werdzene doyczące aramerycznej sablnośc rocesów okresowych, a ak- Ŝe sformułowane lobalne oymalneo roblemu sayczneo zanurzoneo w robleme okresowym. Ponado, wsę zawera rzeląd leraury z dzedzny oymalneo serowana okresoweo rezenujący okróce doychczasowe osąnęca w ym obszarze nauk (unk.3). W końcu w unkach.3.4 rzedsawono cel racy dokorskej oraz uwyuklono najwaŝnejsze rezulay badań rowadzonych nad lobalną oymalzacją rocesów okresowych. Rozdzał zawera odsawowe nformacje nezbędne do konsruowana alorymów ewolucyjnych dla roblemów oymalneo serowana okresoweo. Rozdzał en rozoczyna sę od wsęu, w kórym oólne zarysowana zosała budowa alorymów ewolucyjnych oraz ch zwązek z Darwnowską eorą ewolucj. Nasęne, wyjaśnane 6
są odsawowe ojęca sosowane w eor alorymów ewolucyjnych (unk.). olejne unky rozdzału osują oszczeólne częśc alorymów ewolucyjnych. W unkce.3 zaem osane zosały sosoby kodowana oulacj, kóre moą być uŝye w rzyadku oymalzacj rocesów okresowych. olejny unk Zarządzane oulacją zawera szczeółowe nformacje o dzałanu alorymów ewolucyjnych (rzedsawa on dokładny schema dzałana alorymu wraz z osem jeo oszczeólnych eaów racy; z unku eo moŝna dowedzeć sę: jak owsaje oulacja ocząkowa; w jak sosób decyduje sę o ym, kóre osobnk rzeŝywają, a kóre umerają; kedy na jakch osobnkach naleŝy sosować oeraory krzyŝowana muacj oraz jak worzone są nowe okolena; w unkce ym osane są równeŝ najczęścej sosowane meody rerodukcj). Punk.5 koncenruje sę na ose odsawowych oeraorów krzyŝowana, kóre moą być zasosowane w alorymach ewolucyjnych dla roblemów okresowych; moŝna w nm znaleźć os róŝnych wersj oeraorów wymenających, oeraora równomerneo czy oeraora arymeyczneo. Z kole unk.6 ośwęcony jes róŝnorodnym oeraorom muacj są w nm rzedsawone oeraory muacj równomernej, muacj nerównomernej oraz muacj brzeowej. aŝdy alorym oymalzacyjny mus sę kedyś zarzymać. O ym, kedy naleŝy zarzymać alorym ewolucyjny moŝna sę dowedzeć czyając unk.7 rozdzału ; unk en zawera os sześcu odsawowych kryerów sou, kóre moą być uŝye w rakce oymalzacj rocesów okresowych. W rozdzale 3 rzedsawone zosały alorymy ewolucyjne, rzy omocy kórych moŝna rozwązać róŝnorodne roblemy okresowe. Rozdzał en rozoczyna unk zayułowany odowane roblemu okresoweo, w kórym osany jes sosób zasu rozwązana roblemu okresoweo w osac osobnka, na kórym moŝna sosować mechanzmy ewolucyjne zameszczone w rozdzale. Punk 3. rozdzału 3 ośwęcony jes roblemow lobalne oymalneo serowana rocesem okresowym z oranczenam chwlowym narzuconym na serowane. W omawanej częśc racy najerw sformułowany zosał sam roblem okresowy (unk 3..), a nasęne o osanu sosobu uwzlędnana oranczeń chwlowych narzuconych na serowane oraz sosobu uwzlędnana okresowośc rocesu dla roblemu eo skonsruowany zosał alorym ewolucyjny (unk 3..). Punk 3. kończy szere rzykładów z dzedzny chemcznych rocesów rodukcyjnych, na kórych rzeesowany zosał alorym ewolucyjny (unk 3..3). olejnym odunk rozdzału 3 ośwęcony zosał roblemow lobalne oymalneo serowana rocesam okresowym z 7
oranczenam chwlowym uśrednonym narzuconym na serowane. Analoczne jak w unkce 3., unk 3.3 rozoczyna sę od sformułowana roblemu okresoweo, dla kóreo będze konsruowany alorym ewolucyjny (unk 3.3.). Nasęne rzedsawany jes alorym rekonsrukcj, kóreo zadanem jes uwzlędnane oranczeń uśrednonych narzuconych na serowane w rakce dzałana alorymu ewolucyjneo (unk 3.3.). Podunk 3.3. kończy os alorymu ewolucyjneo, rzy omocy kóreo moŝna wyznaczyć lobalne oymalne serowane roblemu okresoweo z oranczenam zasobowym zarówno chwlowym jak uśrednonym. Skueczność osywaneo w ej częśc racy alorymu ewolucyjneo owerdzają lczne rzykłady, kóre zosały zameszczone w odunkce 3.3.3. W osanej częśc rozdzału 3 (zn. w unkce 3.4) zarezenowany zosał alorym ewolucyjny, rzy omocy kóreo moŝna wyznaczyć rozwązane lobalne oymalne roblemu okresoweo zawerająceo oranczena zasobowe echnoloczne zarówno (chwlowe uśrednone) oraz (bardzo rudne do uwzlędnena) oranczena sablnoścowe. Punk 3.4 rozoczyna odunk 3.4., w kórym formułowany jes roblem lobalne oymalneo serowana okresoweo zawerający wsomnane oranczena. olejny odunk ośwęcony jes sosobow uwzlędnana oranczeń echnolocznych sablnoścowych rzy uŝycu funkcj kary (unk 3.4.3). W ym mejscu rzedsawony zosał równeŝ alorym ewolucyjny dla roblemu okresoweo sformułowaneo w 3.4.. Rozdzał 3 kończą rzykłady, na kórych zosał rzeesowany alorym ewolucyjny, rzy omocy kóreo moŝna wyznaczyć lobalne oymalne serowane okresowe roblemów z oranczenam zasobowym, echnolocznym sablnoścowym. Alorymy ewolucyjne osane w rozdzale 3.4. są skuecznym narzędzem oymalzacj. Są one jednak bardzo czasochłonne, dlaeo eŝ w rakce lobalnej oymalzacj rocesów okresowych dobrze jes sosować alorymy hybrydowe, będące ołączenem (osanych w rozdzale 3) alorymów ewolucyjnych z szybkm alorymam oymalzacj lokalnej. Rozdzał 4 ośwęcony jes węc nowym alorymom kerunków orawy, rzy omocy kórych moŝna rzyseszyć roces oszukwana lobalne oymalneo rozwązana okresoweo. Perwszy unk rozdzału 4 zawera os meody λ-rzuowaneo radenu, kóra o meoda moŝe być zasosowana dla roblemów okresowych zawerających oranczena zasobowe zarówno chwlowe jak uśrednone. Dru unk omawaneo rozdzału osuje naomas hybrydowy alorym będący ołączenem meody λ-rzuowaneo radenu oraz meody rzesuwanej funkcj kary (alorym en umoŝlwa znalezene lokalne oymalneo rozwązana roblemu 8
okresoweo zawerająceo oranczena chwlowe uśrednone zarówno narzucone na zmenne serujące jak na san). W ej częśc racy moŝna równeŝ znaleźć werdzene o zbeŝnośc meody rzesuwanej kary do oymalneo rozwązana okresoweo. Rozdzał 4 kończą rzykłady z dzedzny chemcznych rocesów rodukcyjnych, na kórych wyróbowane zosały wsomnane alorymy kerunków orawy (alorymy oymalzacj lokalnej). Nnejszą racę kończy rozdzał 5, w kórym rzedsawone zosały wnosk z rzerowadzonych badań. W rozdzale ym wskazane są równeŝ dalsze kerunk badań nad usrawnanem alorymów rzedsawonych w nnejszej racy. 9
. ALGORYTMY EWOLUCYJNE I STEROWANIE Adaacja alorymów ewolucyjnych do rozwązywana roblemów oymalneo serowana okresoweo wąŝe sę z konecznoścą wyjaśnena odsawowych ermnów sosowanych w eor ewolucj alorymów ewolucyjnych, a obcych eor roblemów okresowych... Wsę do alorymów ewolucyjnych Być moŝe rudno w o uwerzyć, jednak swoje snene alorymy ewolucyjne zawdzęczają arolow Darwnow. Co rawda Darwn był boloem ndy ne zajmował sę oymalzacją, a co za ym dze akŝe alorymam ewolucyjnym, jednak formułując w 895 roku eorę ewolucj oraz obweszczając ją śwau w swom dzele O owsanu aunków na drodze doboru nauralneo zaocząkował on rozwój ak- Ŝe ej dzedzny nauk. Darwn w swojej racy swerdzł, Ŝe wszyske oranzmy Ŝywe mają wsólneo rzodka, zaś róŝnorodność, złoŝoność oranzacja śwaa Ŝyweo, jaką obserwujemy obecne, jes wynkem ewolucj, kórej łównym mechanzmem jes dobór nauralny. Choć ocząkowo welu naukowców odnosło sę sceyczne do Darwnowskej eor ewolucj, z beem la zyskwała ona coraz węcej zwolennków, a dzś (o newelkch zmanach) wększość uczonych rzyjmuje ją za ewnk. Z czasem eora ewolucj zaczęła neresować ne ylko boloów lecz akŝe naukowców z nnych dzedzn nauk. ZauwaŜyl on bowem, Ŝe nauralne rocesy zachodzące w rzyrodze rzez mlony la moŝna, dzęk symulacjom komuerowym, wykorzysać do rozwązywana róŝnorodnych roblemów. Powszechne uznawanym oneram, kórzy rzyczynl sę do rozwoju alorymów ewolucyjnych, są Lawrence Foel [50] ze Sanów Zjednoczonych oraz Ino Rechenber Hans-Paul Schwefel z Nemec [98]. Foel sarał sę wykorzysać oulację auomaów skończonych do rozoznawana języków. Poddawał on ę oulację cąłym, losowym erurbacjom rocesow selekcj, dzęk czemu z czasem uzyskał auomay, kóre neznane m wcześnej wyraŝena języka rozoznawały rakyczne bezbłędne. Naomas nemeccy uczen w swoch badanach nad oymalzacją urządzeń mechancznych wykorzysywal ermuacje rozwązań ocząkowych, dzęk czemu rzyczynl sę on do sformułowana srae ewolucyjnej. JednakŜe erwszą osobą, kóra sworzyła rawdzwy alorym eneyczny, 0
był John Holland [66], [67], kóry zajmował sę na Unwersyece Mchan badanem rocesów adaacyjnych w odbornkach synałów bnarnych. Holland jako erwszy zasosował rzekszałcena na wzór dzsejszych oeraorów krzyŝowana, muacj oraz selekcj, symulujące rzeczywse rocesy ewolucj. Alorymy ewolucyjne są o alorymy, kóre rzeszukują welokerunkowo, w sosób losowy, rzesrzeń douszczalnych rozwązań daneo roblemu w celu znalezena jeo najleszeo rozwązana, wykorzysując rzy ym mechanzmy znane z Darwnowskej eor ewolucj. Dzałane alorymu ewolucyjneo rozoczyna sę od losoweo wyenerowana zboru rozwązań douszczalnych daneo roblemu, zn. od wyenerowana zboru osobnków worzących oulację. Nasęne oulacja a, na wzór rocesów zachodzących w rzyrodze, oddawana jes neusannemu dzałanu selekcj oraz oeraorów eneycznych: krzyŝowana muacj, dzęk czemu uzyskuje sę (w kolejnych krokach) coraz o lesze rozwązana daneo roblemu. Zadanem selekcj oeraorów eneycznych, kóre modelują roces rozmnaŝana sę Ŝywych oranzmów, jes realzacja odsawowych załoŝeń eor ewolucj, j.: ) oranczonośc zasobów osobnk w oulacj muszą mędzy sobą konkurować o e same zasoby środowska, w kórym Ŝyją; ) dososowana osobnk ej samej oulacj róŝną sę mędzy sobą; nekóre z nch osadają cechy, kóre w danych warunkach środowska uławają m walkę z nnym osobnkam ej samej oulacj o zasoby; 3) zróŝncowana rzeŝywalnośc rzeŝywalność osobnków zaleŝy od ch dososowana do warunków środowska, w kórym Ŝyją osobnk leej dososowane mają wększe szanse rzeŝyca wydana oomswa nŝ osobnk dososowane orzej; 4) dzedzcznośc nowe osobnk dzedzczą cechy swoch rodzców; 5) losowej zmennośc dzedzczene cech rodzców ne jes dealne; u oomswa moą w sosób losowy ojawać sę cechy, kóre ne wysęowały u rodzców. Selekcja w alorymach ewolucyjnych realzuje erwsze rzy sośród wymenonych wyŝej załoŝeń eor ewolucj. Odowada ona rocesow doboru nauralneo, kóry srawa, Ŝe osobnk najleej dososowane do snejących warunków środowska mają najwększe szanse na rzerwane. Zadanem selekcj jes ocena osobnków w danej oulacj wskazane ych osobnków, kóre rzeŝywają (rzechodzą do noweo
okolena); rzy czym ocena osobnków dokonywana jes za omocą secjalnej funkcj określającej ch soeń doasowana do środowska. W rzyadku zadań oymalzacyjnych, funkcją określającą soeń doasowana jes najczęścej funkcja wskaźnka jakośc, kórej warość odlea oymalzacj. Od sona doasowana daneo osobnka (od warośc wskaźnka jakośc) zaleŝy rawdoodobeńswo jeo rzeŝyca. Im osobnk (na le nnych osobnków ej samej oulacj) jes leej doasowany, zn. jeo warość funkcj celu jes wększa w rzyadku maksymalzacj (lub mnejsza w rzyadku mnmalzacj), ym wększe ma on szanse na rzeŝyce znalezene sę w nowym okolenu. NaleŜy uaj zaznaczyć, Ŝe osobnk najorzej rzysosowane ne są ozbawone szans na rzerwane całkowce. Tak jak o bywa w Ŝycu, o ym czy dany osobnk rzeŝyje, decyduje los, kóry jes jednak łaskawszy dla ych osobnków, kóre mają leszą warość funkcj doasowana. Najczęścej sosowane meody selekcj zosały osane w rozdzale.4 nnejszej racy. ZałoŜene dzedzcznośc Darwnowskej eor ewolucj realzowane jes rzez zw. oeraor krzyŝowana, kóry sosowany jes o selekcj na osobnkach wyyowanych do nowej oulacj. Swom dzałanem oeraor krzyŝowana rzyomna rozmnaŝane Ŝywych oranzmów. Przy jeo omocy z losowo wybranych osobnków (rodzców), enerowane są nowe osobnk (rodzą sę dzec), kóre charakeryzują sę ym, Ŝe osadają cechy, kóre osadal ch rodzce. Szczeóły doyczące dzałana oeraora krzy- Ŝowana moŝna znaleźć w rozdzale.5. Osane załoŝene eor ewolucj losowa zmenność realzowane jes za omocą oeraora muacj. Pommo eo, Ŝe w znkomym sonu oddzaływuje on na osobnk w oulacj (szczeóły w rozdzale.6), moŝna swerdzć, Ŝe jes on bodajŝe najwaŝnejszym oeraorem. Nadaje on bowem losowo wybranym z oulacj osobnkom całkowce nowe cechy, cechy kóre ne wysęowały u ch rzodków. Dzęk oeraorow muacj moŝna zaem uzyskać osobnk, kóre będą charakeryzowały sę o wele leszym sonem rzysosowana nŝ ozosałe osobnk... Podsawowe ojęca sosowane w alorymach ewolucyjnych Wśród odsawowych określeń sosowanych w eor alorymów ewolucyjnych (nekóre z ych ojęć zosały juŝ wcześnej uŝye) naleŝy wymenć [4], [83]: osobnk jes o roozycja osac rozwązana daneo roblemu (unk rzesrzen oszukwań), kóra odlea rocesow ewolucj; osobnk moŝe wysęować w osac fenoyu lub enoyu;
oulacja zbór osobnków (o określonej lczebnośc) konkurujących mędzy sobą o zasoby środowska, w kórym wysęują (środowsko dla roblemów oymalzacyjnych defnowane jes rzez wskaźnk jakośc oraz narzucone oranczena); enoy jes o zbór chromosomów daneo osobnka; w rzyadku alorymów ewolucyjnych najczęścej enoy sanow jeden chromosom; chromosom łańcuch enów; en ojedynczy elemen chromosomu; allel warość enu (zaleŝy od sosobu kodowana roblemu); locus ozycja enu w chromosome; fenoy zesaw cech odleających ocene środowska zaleŝny od enoyu; jes o osobnk w forme nezakodowanej; funkcja rzysosowana jes o funkcja, kóra na odsawe fenoyu daneo osobnka określa jeo rzysosowane do środowska, w kórym on dzała; najczęścej jes o funkcja celu rozwązywaneo roblemu (ewenualne neznaczne zmodyfkowana z uwa na sosób kodowana osobnka); nacsk selekywny endencja alorymu ewolucyjneo do orawana średnej warośc rzysosowana osobnków w oulacj; rzy omocy nacsku selekywneo seruje sę rzeŝywalnoścą osobnków wększy nacsk selekywny oznacza, Ŝe osobnk leej rzysosowane mają wększe szanse rzeŝyca nŝ osobnk orsze. Jak wdać z zameszczonej owyŝej lsy, ermny uŝywane w eor alorymów ewolucyjnych są analoczne do określeń sosowanych w bolo..3. odowane oulacj Alorymy ewolucyjne są skuecznym narzędzem rozwązywana róŝnorodnych roblemów od warunkem, Ŝe rozwązywany roblem zosane rawdłowo zakodowany, czeo elemenem m.n. jes właścwa osać chromosomów, na kórych moŝna sosować oeraory eneyczne. Zasosowany sosób kodowana jes jednym z łównych czynnków wływających na jakość dzałana daneo alorymu ewolucyjneo. Od neo mędzy nnym zaleŝy czas oszukwana rozwązana daneo roblemu oraz o, czy znalezone rozwązane jes rozwązanem lobalne oymalnym czy sełna ono narzucone na ne oranczena. Jak juŝ wcześnej swerdzono, soą dzałana alo- 3
rymów ewolucyjnych jes losowe rzeszukwane rzesrzen douszczalnych rozwązań. W rzyadku, dy roblem zosane źle zakodowany, moŝe zdarzyć sę syuacja, w kórej jakś framen rzesrzen rozwązań ne zosane rzeszukany (rzez co ne zosane znalezone najlesze rozwązane) lub eŝ rzeszukwany zaczne być obszar, w kórym znajdują sę rozwązana nedouszczalne. Wybór sosobu kodowana jes zadanem rudnym zaleŝy on rzede wszyskm od rozwązywaneo roblemu. Nesey, ne ma oowej meody wskazującej jednoznaczne sosób kodowana, kóry naleŝy uŝyć w rzyadku rozwązywana konkreneo roblemu. Wyberając sosób kodowana moŝna sę jednak kerować nasęującym zasadam [4], [58], [83]: mus sneć funkcja jednoznaczne dekodująca, kóra zdekoduje dowolny enoy do osac fenoyu; kaŝde douszczalne rozwązane zadana moŝna rzedsawć jako enoy; kodowane ne ownno wrowadzać nowych maksmów (lub mnmów w rzyadku mnmalzacj) oza ym, kóre wynkają z naury roblemu (z jeo funkcj celu); naleŝy uŝywać mnmalneo alfabeu (zn. naleŝy uŝywać moŝlwe najrosszeo kodowana, kóre zaewna moŝlwe najwększe odobeńswo zakodowanych osobnków do rzeczywsych rozwązań). W rzyadku rozwązywana zadań numerycznych najczęścej sosowane jes kodowane bnarne lub rzeczywse..3.. odowane bnarne odowane bnarne, oleające na zase lczb dzesęnych w syseme dwójkowym, jes kodowanem, kóre jako erwsze było sosowane w alorymach ewolucyjnych. Główną cechą eo rodzaju kodowana jes o, Ŝe dosyć ławo moŝna je zamlemenować rzy uŝycu komuera oraz fak, Ŝe sneją juŝ dobrze zdefnowane oeraory krzyŝowana muacj dla eo kodowana. Ponado kodowane bnarne jes jedynym kodowanem, dla kóreo udało sę osąnąć wynk eoreyczne doyczące zbeŝnośc alorymów ewolucyjnych (eora schemaów [4], [58], [83]). odowane bnarne rzebea w sosób osany onŝej [03]. ZałóŜmy, Ŝe mamy zadane oymalzacyjne, kóreo rozwązanem jes wekor lczb rzeczywsych 4
x = x, x, x,..., x ], (6) [ 3 n odleający oranczenu + x [ x, x ] ( =,..., n), (7) dze x ± R, a n jes rozmarem zadana. Osobnk w forme zakodowanej (enoy) dla eo rzykładu rerezenowany jes rzez ruę n chromosomów n cąów bowych (zerojedynkowych) o dłuoścach m (=,...n): z z z n = = M = [ z [ z [ z,, n,, z, z, z,, n,,..., z,..., z,..., z, m ],, m n, m n ], ]. (8 ) Dłuośc m (=,...,n) oszczeólnych chromosomów z (=,...,n) zaleŝą od rzyjęej dokładnośc zasu zmennych x oraz od warośc oranczeń (7) wyznacza sę je z zaleŝnośc: d 0 ( + m x x ) ( =,..., n), (9) dze: d jes załoŝoną dokładnoścą rerezenacj zmennej x (jes o dokładność do d znacząceo mejsca o rzecnku), naomas m jes szukaną dłuoścą najmnejszą lczbą nauralną, dla kórej sełnona jes nerówność (9). Przy kodowanu bnarnym fenoy (warość zmennej x ) wyznaczany jes z enoyu wedłu zaleŝnośc: + m x x j x = x + zj, m (0) dze zj jes o j-y b -o cąu boweo (-o chromosomu). W rakyce, rzy kodowanu bnarnym zamas n chromosomów sosowany jes częso jeden chromosom: j= 0 z = z,..., z, z,..., z,..., z,..., z ], () [,, m,, m n, mn n, mn będący ołączenem n cąów bowych kodujących wekor x. 5
.3.. odowane rzeczywse Osane w orzednm unkce kodowane bnarne ma dwe odsawowe wady. Po erwsze zby dłue chromosomy (cą bowe są ym dłuŝsze m dokładnejsze ma być rozwązane). Nesey wydłuŝene cąów bowych zdecydowane wydłuŝa czas oblczeń, co jes szczeólne wdoczne ucąŝlwe w rzyadku roblemów welowymarowych. Druą wadą kodowana bnarneo, wynkającą onekąd z dłuośc cąów bowych uŝyych do kodowana, jes o, Ŝe w rzyadku eo rodzaju kodowana moŝe wysęować roblem zw. krawędz Hammna [4]. Problem en zwązany jes z nną srukurą sąsedzw unków w rzesrzen enoyów fenoyów, kóra moŝe rowadzć do owsawana dodakowych mnmów/maksmów lokalnych, urudnających wyznaczene lobalneo omum daneo roblemu. Z uwa na owyŝsze, w rzyadku rozwązywana róŝnorodnych roblemów numerycznych, częso zamas kodowana bnarneo sosowane jes kodowane rzeczywse [3], [56], [83], w kórym enoy osobnka rerezenowany jes najczęścej rzez jeden chromosom będący wekorem lczb rzeczywsych o ej samej dłuość co wekor, kóry jes rozwązanem daneo zadana. JeŜel na rozwązywany roblem ne ma nało- Ŝonych secyfcznych oranczeń, wówczas w rzyadku kodowana rzeczywseo fenoy enoy są ym samym wekoram lczb rzeczywsych (ne ma węc konecznośc sosowana funkcj dekodującej w rakce dzałana alorymu ewolucyjneo). odowane rzeczywse wydaje sę być lesze od kodowana bnarneo rzynajmnej od klkoma wzlędam [83]: kodowane rzeczywse jes bardzej nauralne w rzyadku wększośc rozwązywanych roblemów; rzy kodowanu rzeczywsym moŝna osąnąć bardzej dokładne wynk nŝ rzy kodowanu bnarnym; zasosowane kodowana rzeczywseo ozwala objąć duŝe /lub neznane dzedzny oszukwań; rzy kodowanu rzeczywsym ławej jes uwzlędnć nerywalne oranczena nŝ rzy kodowanu bnarnym. 6
.4. Zarządzane oulacją Skueczność alorymu ewolucyjneo zaleŝy w łównej merze od sosobu zarządzana oulacją zn. od sosobu odejmowana m.n. nasęujących decyzj: kóre osobnk w beŝącej oulacj rzeŝyją; kóre osobnk umrą; le okoleń moą Ŝyć oszczeólne osobnk; czy dany osobnk moŝe wydawać oomswo. W rozdzale. wsomnano juŝ, Ŝ za odejmowane eo rodzaju decyzj w alorymach ewolucyjnych odowada roces nazywany selekcją. Proces en moŝna odzelć na rerodukcję sukcesję [3]. Aby leej zrozumeć soę zarówno całeo rocesu selekcj jak jeo częśc naleŝy neco dokładnej zaoznać sę ze schemaem dzałana alorymów ewolucyjnych. Schema rzedsawony w rozdzale. jako Ŝe jeo zadanem było jedyne wsęne rzedsawene koncecj dzałana omawanych alorymów jes bowem dla dalszych rozwaŝań zby oólny. W rzeczywsośc dzałane alorymu ewolucyjneo moŝna odzelć na sześć faz: ncjacja oulacj bazowej P =0, ocena osobnków w oulacj, rerodukcja, dzałane oeraorów eneycznych (krzyŝowana muacj), ocena oulacj uzyskanej w wynku dzałana oeraorów eneycznych oraz sukcesja. Osane czery fazy owarzane są cyklczne, do momenu kedy sełnone zosane rzyjęe kryerum sou alorymu (arz.7). PowyŜszy schema bardzej obrazowo zosał rzedsawony w osac seudo kodu na rysunku 4. Alorym ewolucyjny rozoczyna sę ncjacją oulacj bazowej P =0. Osobnk ej oulacj enerowane są zazwyczaj w sosób losowy, ale moą być one równeŝ welokroną koą rozwązana dosarczoneo rzez nny alorym oymalzacyjny (w rzyadku roblemów okresowych moŝe o być n. rozwązane sayczne lub rozwązane sayczne neznaczne zakłócone). Po wyenerowanu oulacj bazowej dokonuje sę oceny oulacj P (zn. wyznacza sę warośc funkcj rzysosowana dla kaŝdeo jej osobnka). To właśne od ej oceny zaleŝy, czy alorym będze zarzymany czy ne. Jeśl ne jes sełnone kryerum sou, wówczas z wykorzysanem jednej z meod rerodukcj osanych w rozdzałach.4.-.4.3 worzona jes oulacja ymczasowa 7 P m. Poulacja a oddawana jes nasęne dzałanu oeraorów eneycznych, w wynku czeo uzyskuje sę oulację P o. W kolejnym kroku oulacja P o odlea ocene, o dokonanu kórej worzona jes (wykorzysując rzy ym rzyjęą meodę sukcesj)
oulacja osobnków będąca nowym okolenem + P (nowa oulacja bazowa). Osany owyŝej cykl (z wyłączenem kroku ncjacj oceny oulacj P 0 ) owarzany jes, doók kryerum sou ne zosane sełnone. } Rysunek 4 AlorymEwolucyjny{ = 0; P 0 = Incjacja(); O = Ocena(P ); do{ f( WarunekSou(O 0...O ) ) break; P = Rerodukcja (O,P ); m P = OeraoryGeneyczne( P ); o O = Ocena( P ); o o + P = Sukcesja(O, O O = +; }whle (rue); reurn P ; O + o ; O o,p,, m P o ); Polądowy schema dzałana alorymu ewolucyjneo Wykorzysywane w alorymach ewolucyjnych rocesy rerodukcj sukcesj symulują osany rzez Darwna roces doboru nauralneo. Porzez rerodukcję, z oulacj P worzona jes oulacja ymczasowa P m, oddawana nasęne dzałanu oeraorów eneycznych. Sukcesja naomas worzy z oulacj beŝącej P z oulacj P o nową oulację bazową + P, dla kórej owarzany jes cały cykl dzałana alorymu ewolucyjneo. Wybór osobnków do ymczasowej oulacj w kroku rerodukcj dokonywany jes w sosób losowy, rzy czym rawdoodobeńswo, znalezena sę w oulacj ymczasowej, jes wększe w rzyadku osobnków o leszej warośc funkcj rzysosowana. Owe referowane rzez alorymy ewolucyjne osobnków leej rzysosowanych srawa, Ŝe oszukwana rozwązana oymalneo rzemeszczają sę w rzesrzen rozwązań douszczalnych w kerunku mejsca, w kórym moą znajdować sę bardzej waroścowe rozwązana. Jednocześne losowość wyboru oulacj ymczasowej owoduje, Ŝe mmo wszysko moą sę w nej znaleźć osobnk słabe, co rzyczyna sę do eo, Ŝe alorym ewolucyjny ne jes zbeŝny do rozwązana oymalneo zby szybko, dzęk czemu zmnejsza sę rawdoodobeńswo znalezena rozwązań jedyne 8