Za: Stansław Latoś, Nwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwczena z geodezj II [red.] J. eluch 6.1. Ogólne zasady nwelacj trygonometrycznej. Wprowadzene Nwelacja trygonometryczna, zwana równeż trygonometrycznym pomarem wysokośc, jest jedną z podstawowych metod geodezyjnych pomarów wysokoścowych stosowaną główne do: - wyznaczana różnc wysokośc lub wysokośc punktów stosunkowo znaczne od sebe odległych lub blskch, ale trudno dostępnych, - określana długośc ponowych (wysokośc) różnych budowl lub poszczególnych ch elementów, trudnych do pomaru bezpośrednego. Zasada nwelacj trygonometrycznej opera sę na rozwązywanu trójkąta prostokątnego (rys. 6.1), w którym jest znana (zmerzona lub wyznaczona w sposób pośredn por. rozdz. [3]) odległość pozoma d czy przestrzenna d pomędzy nstrumentem punktem celu, oraz kąt ponowy φ lub zentalny z, zmerzony na stanowsku nstrumentu do punktu celowana w sposób omówony w rozdzale 4 podręcznka [3]. Rys.6.1. Ogólna zasada wyznaczana przewyższena w nwelacj trygonometrycznej W wynku rozwązana wspomnanego trójkąta otrzymuje sę długość odcnka ponowego h leżącego w tym trójkące naprzecw kąta φ, zwaną wysokoścą punktu celowana względem horyzontu nstrumentu lub krótko przewyższenem. Welkość tego przewyższena wyznacza sę z zależnośc (6.1) h = d tgϕ lub h = d ctgz (6.1)
h = sn ϕ ' d lub h = d cos z ' W praktyce nwelację trygonometryczną stosuje sę najczęścej do wyznaczana różnc wysokośc ΔH punktów lub ch wysokośc H. Ze względów czysto praktycznych (potrzeba uzyskana poprawnego przebegu ln celowana) pomar kąta ponowego lub zentalnego wykonuje sę nstrumentem ustawonym nad jednym z punktów na wysokośc celuje sę na sygnał ustawony na wysokośc s nad drugm punktem (rys. 6.). Rys. 6.. Wyznaczene różncy wysokośc nwelacją trygonometryczną W takm przypadku różncę wysokośc ΔH tych punktów oblczamy z zależnośc (6.) = + h s (6.) H zaś wysokość H punktu wyznaczanego przy znanej wysokośc H punktu wylczamy według wzoru (6.3) H = H + H = H + + h s (6.3) Długośc odcnków ponowych oraz s merzy sę ruletką, łatą nwelacyjną czy nnym przymarem, lub wyznacza pośredno, wykorzystując w zależnośc od sytuacj konstrukcje geodezyjne przedstawone na rysunkach 6.3, 6.4 lub 6.5 oraz służące do ch rozwązana wzory (6.4), (6.5), (6.6) oraz (6.7) = O + (6.4) H gdze: s = d ( tgϕ tg ) (6.5) 1 ϕ s = O + d tgϕ (6.6) = s r (6.7)
3 O odczyt średn na łace oblczony z odczytów O 1 O, wykonanych kreską pozomą satk celownczej lunety teodoltu w obu jej położenach, przy odczytach zerowych kręgu ponowego spozomowanej lbel kolmacyjnej, ΔH wyznaczona wcześnej różnca wysokośc punktów, d odległość pozoma nstrumentu od sygnału, r różnca wysokośc ustawena tarczy celownczej T oraz nstrumentu I ponad powerzchnę stolka obserwacyjnego, φ, φ 1, φ odpowedne kąty ponowe. 6.3. Wyznaczane różnc wysokośc punktów dostępnych przy wększych długoścach celowych d. Wprowadzene W punkce poprzednm rozpatrzono przypadk wyznaczana H H punktów przeważne nedostępnych do bezpośrednego pomaru długośc celowych, stosowane przy rozwązywanu zadań specjalnych (główne nżynerskch). Dzś nwelację trygonometryczną, poza wyjątkam omówonym powyżej oraz do nch zblżonym, realzuje sę powszechne w sposób klasyczny, wykorzystując do tego celu tachmetry elektronczne. Różnce wysokośc poszczególnych odcnków łączące wyznaczane punkty w cąg lub sec wysokoścowe wyznacza sę najczęścej metodą: - w przód, tak jak zobrazowano to na rysunkach 6. czy 6.1 [3] lub - ze środka wyberając stanowsko pomarowe w przyblżenu pośrodku mędzy punktam ogranczającym odcnek (rys. 6.13).
4 Rys. 6.1. Schemat wyznaczana różncy wysokośc metodą w przód s H ϕ ϕ s I I H a b H d Rys. 6.13. Schemat wyznaczana różncy wysokośc metodą ze środka Wartośc różnc wysokośc H w obu wymenonych przypadkach wyznacza sę powszechne dwukrotne: w przypadku perwszym w kerunku głównym powrotnym, zaś w przypadku drugm - przy dwóch różnych ustawenach nstrumentu. Do oblczeń wartośc różnc wysokośc w przypadku perwszym wykorzystuje sę zależnośc (6.10) lub (6.11) czy nawet (6.1) lub (6.) w zależnośc od warunków terenowych atmosferycznych, zaś w przypadku drugm jako sumę różnc wysokośc częśc składowych odcnka (rys. 6.13) z zależnośc (6.40) gdze: s H = s s ( d ϕ d tg ϕ ) tg 7) (6.40) s, - wysokośc sygnałów ustawonych na punktach lub, ϕ,ϕ d - wartośc kątów ponowych merzonych na stanowsku I do sygnałów ustawonych w punktach lub, d, - odległośc stanowska I do punktów lub. Za ostateczne wartośc wyznaczanych dwukrotne różnc wysokośc przyjmuje sę wartość średną z obu wyznaczeń o le ch różnce ne przekraczają welkośc podanych w tabel 6.1. Tabela 6.1 Dopuszczalne różnce bezwzględnych wartośc dwukrotnego wyznaczena różncy wysokośc H metodą nwelacj trygonometrycznej 7) W oblczenach tych przy długoścach celowych wększych nż 350 m uwzględna sę wpływ krzywzny powerzchn odnesena refrakcj.
5 Długość celowej d [km] Dopuszczalne różnce d H [m] 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 0,00 0,035 0,050 0,070 0,090 0,105 6.4. Oblczane wysokośc punktów tworzących cąg lub sec wysokoścowe, wyznaczane metodą nwelacj trygonometrycznej. Wprowadzene.1. Informacje ogólne Przedstawone dotychczas metody wykorzystywana nwelacj trygonometrycznej dotyczyły wyznaczana różnc wysokośc lub wysokośc pojedynczych punktów. W praktyce bardzo często stosuje sę nwelację trygonometryczną do wyznaczana jednocześne różnc wysokośc tworzących najczęścej cąg wysokoścowe, dwustronne nawązane (rys. 6.0) lub nawązane welopunktowo sec wysokoścowe, o mnej lub bardzej skomplkowanej konstrukcj (rys. 6.1). Wysokośc punktów występujących w tych cągach lub secach oblcza sę łączne z wyrównanem lczonych z zależnośc (6.), (6.10) czy najczęścej (6.11) różnc wysokośc, metodą przyblżoną lub jedną z metod ścsłych: warunkową lub powszechne pośrednczącą. H 3, 1 H, H 1, 3 H,1 H,3 1 3 6.0. Szkc cągu wysokoścowego pomerzonego metodą nwelacj trygonometrycznej
6 10 H 1 1151 H 11 H 7 H 8 H 3 1104 H 10 H 6 115 H 9 1531 1105 H 4 H 5 1 6.1. Szkc sec wysokośc pomerzonej metodą nwelacj trygonometrycznej.. Oblczane wysokośc punktów w cągach nwelacj trygonometrycznej W praktyce cąg nwelacj trygonometrycznej wyrównuje sę najczęścej metodą przyblżoną, rozdzelając występującą odchyłkę f H w cągu na różnce wysokośc na poszczególnych odcnkach tworzący dany cąg, proporcjonalne do kwadratów długośc tych odcnków. Wynka to z potrzeby dokładnoścowego zróżncowana tych wartośc za pomocą błędów, których welkośc określa sę z wystarczającą praktyczne dokładnoścą z przyblżonego wzoru w postac (6.41): m H = d m ϕ (6.41) Realzacja przedstawonej powyżej zasady oblczana cągu nwelacj trygonometrycznej sprowadza sę do wykonana oblczeń następujących wartośc: - p H, jako sumy wartośc średnch różnc wysokośc poszczególnych odcnków, lczonych na podstawe rezultatów uzyskanych z pomarów: ϕ, d oraz, s, - t H, jako różncy wartośc wysokośc punktów nawązana cągu (końcowego - K początkowego - P), - odchyłk f H - z zależnośc (6.4) w postac
- sumy kwadratów f H p t = H H, (6.4) d długośc odcnków tworzących cąg, - poprawk jednostkowej v j dla sumy H w całym cągu, określonej ze wzoru (6.43) v j f H =, (6.43) d - wartośc poprawek v dla różnc wysokośc poszczególnych odcnków, lczonych z zależnośc (6.44) v = v d (6.44) - wartośc poprawonych różnc wysokośc w j j p - wysokośc ostatecznych ( H zależnośc (6.46) w H, z zależnośc (6.45) H = H + v, (6.45) w 7 ) kolejno wszystkch punktów tworzących cąg, lczonych z w w w H + 1 = H + H (6.46).3. Wyznaczane wysokośc punktów sec nwelacj trygonometrycznej Wysokośc punktów rozpatrywanych sec wyznacza sę łączne z wyrównanem tworzących je elementów, najczęścej metodą pośrednczącą, przy czym w przeważającej lośc przypadków, wyrównanu poddaje sę ne welkośc obserwowane, lecz oblczone na ch podstawe, według wzorów (6.) lub (6.10) czy (6.11) różnce wysokośc ΔH, wyznaczone z odpowedną dokładnoścą (błędem). W przypadku zastosowana przy wyrównanu sec nwelacj trygonometrycznej metody pośrednczącej dla każdej z wyznaczanych różnc wysokośc układa sę równane błędów w postac (6.47) : gdze: H 0 0 ( H H H ) v = dh + 1 dh + + 1 (6.47) v H - poprawka -tej różncy wysokośc pomędzy punktam o numerach oraz +1, dh, dh + 1 - newelke przyrosty, jake otrzymują w procese wyrównana sec, wysokośc przyblżone o poprawkę v H. 0 H oraz H na skutek zmany różncy wysokośc H 0 + 1
8 Poneważ każda z różnc wysokośc ΔH jest wyznaczona z nną dokładnoścą, przy wyrównanu nezbędne jest uwzględnene ch wag (6.48) gdze: 0 H p H. Wag te oblczamy z zależnośc m p H = (6.48) m m 0 - błąd średn typowego spostrzeżena, za które można przyjąć błąd określena ΔH dla typowej długośc boku w sec (np. 1 km) m H - błąd średn wyznaczena -tej różncy wysokośc oblczony ze wzoru (6.13) lub (6.14) czy (6.15) w zależnośc od długośc celowych tworzących seć 11). Zestawony układ równań błędów w postac (6.47), zostaje równoważony rozwązany zgodne z zasadam rachunku wyrównawczego. Z rozwązana układu równań normalnych uzyskujemy poszukwane wartośc dh dh + 1, które dodane do wartośc przyblżonych wysokośc punktów wyznaczanych 0 H H pozwalają oblczyć ostateczne ch wysokośc 0 + 1 zgodne z zależnoścą H o = H dh. Możemy równeż wyznaczyć poprawk H, a na ch P P + podstawe określć charakterystykę dokładnoścową sec po wyrównanu, wykorzystując zależnośc na wartośc: gdze: - błędu średnego jednostkowego m 0 wyznaczena różncy wysokośc ΔH, wylczonego ze wzoru (6.49) [ p H v v H H ] m = ±, (6.49) 0 n u - błędu średnego m H wyznaczena wysokośc H -tego punktu sec, wylczonego z zależnośc (6.50) mh m Q = 0 (6.50) v 11) Dla warunków geometrycznych topografcznych jake występują na terene prawe całego kraju przepsy pomarowe w Polsce dopuszczają możlwość stosowana przy oblczanu wag dla obserwacj występujących w 1 1 sec zależnośc p = - dla wartośc H wyznaczanych w obu kerunkach oraz p = - dla wartośc d d H, wyznaczanych w jednym kerunku (znajduje to uzasadnene przy stosowanu do oblczeń błędu m H uproszczonej zależnośc w postac m H = d m ϕ.
9 n - lczba wszystkch wyznaczonych w sec różnc wysokośc ΔH, u - lczba wyznaczanych punktów w sec, Q - współczynnk, właścwy dla -tego punktu element macerzy warancyjno - kowarancyjnej. 6.5. Problemy zwązane z zapewnenem wymaganej dokładnośc wyznaczena różnc wysokośc punktów wyznaczanych metodą nwelacj trygonometrycznej.wprowadzene.1. Informacje ogólne Dokładność wyznaczena różncy wysokośc metodą nwelacj trygonometrycznej zależy od: b) ścsłośc przyjętych do jej oblczeń wzorów, c) błędów średnch wyznaczena (pomaru) elementów występujących w tych wzorach, d) wymarów geometrycznych elementów tworzących konstrukcję pomarową, w tym główne długośc celowych d, e) zastosowanej technk pomarowej, f) warunków atmosferycznych terenowych panujących na obekce podczas pomaru, które mają zasadnczy wpływ na kształtowane sę zmenność współczynnka refrakcj k. d. a) Jak wspomnano w punkce 6., wartość określanej różncy wysokośc można wyznaczyć wzorem (6.10) lub (6.11) czy nawet (6.). Główna różnca mędzy nm to opuszczane jako zanedbywalne wyrażeń występujących w tych wzorach składnków: H S, R d kd czy. Przy ustalonym parametrze R perwszy z nch zwązany jest ze średną R R wysokoścą przebegu ln celowana, drug z długoścą tej ln, trzec zaś z długoścą ln celowana współczynnkem refrakcj k. Wartość każdego z tych czynnków, z mnejszą lub wększą dokładnoścą, może być wyznaczona uwzględnona we wspomnanych powyżej
10 wzorach, lub opuszczona jako zanedbywalna. Wybór przyjęce do oblczeń jednej z tych opcj decyduje o dokładnośc wyznaczana wartośc różncy wysokośc H. O le wartość wyrażena H S warunkach polskch może być najczęścej zanedbywalna, o R d tyle wartość wyrażena osągać może nawet duże wartośc, w zależnośc od długośc R celowej d (przy d = 0,36 km osąga ona 1 cm, przy d = 1 km - jest równa prawe 8 cm, przy d = 5 km około 0 cm a przy d = 10 km - aż 785 cm). Mus węc być ona oblczona uwzględnona jako poprawka przy lczenu właścwej wartośc określanej różncy H, szczególne przy dużych długoścach celowych d. O le jednak wartość tego parametru jest stała, zależna od mejsca obserwacj może być oblczona oraz uwzględnona w oblczenach, o tyle poprawka refrakcyjna, zależna od nestablnośc współczynnka k, nawet w tym samym mejscu, w różnych porach roku dna, może podlegać zmanom, ne tylko co do wartośc, ale nawet co do znaku ne może być uwzględnana poprawne nejako mechanczne. Dlatego wartość tego współczynnka najlepej byłoby wyznaczyć w czase pomaru lub ogranczyć jego wpływ przez zastosowane odpowednej procedury postępowana podczas pomaru kerunków ponowych. d. b) Stosując prawo narastana błędów do zapsów (6.10) czy (6.11) można określć, w jak sposób w jakm stopnu błąd wyznaczena H zależy od błędów pomarów występujących w nch elementów pomarowych. Zagadnene to ujmują zależnośc 6.1, 6.13, 6.14 6.15. Dzęk nm można węc określć z jaką dokładnoścą, przy ustalonej z góry żądanej dokładnośc wyznaczena różncy H, należy określać elementy pomaru występujących przy oblczanu tej welkośc, aby ne przekroczyć wartośc ustalonego błędu wyznaczena H (por. podane powyżej wzory). d. c) Z przyblżonej analzy dokładnośc dokonanej dla zależnośc (6.13) lub (6.14) wynka, że w przecętnych warunkach pomarowych, towarzyszących rozpatrywanym pomarom, występujących na obszarze Polsk wartość obu wyrażeń wymenonych w tych wzorach w kolejnośc jako drugej trzecej zależą główne od: - długośc celowych d oraz - błędu pomaru kerunku kąta ponowego. Spostrzeżene to można wykorzystać przy projektowanu dostosowana odpowednej procedury postępowana prowadzena tych pomarów pozwalających na ogranczene czy
11 wyelmnowane ujemnego skutku rozpatrywanych zjawsk, głowne poprzez skrócenu długośc celowej d. d. d) nalzując sytuację przedstawoną na rysunkach 6.4 6.5 oraz uzyskane przy tym spostrzeżena uwag dobrze byłoby oblczaną różncę wysokośc wyznaczać stosując: - możlwe krótke długośc celowych (rzędu do 1 km), - podzał dłuższych celowych na dwe częśc, o możlwe zblżonej racjonalnej długośc (ze środka rys. 6.13), - pomar kerunków ponowych prowadzć równocześne z obu końców merzonego odcnka (rys. 6.5), - wyznaczać na okres pomaru średną wartość współczynnka refrakcj k występującego na obszarze objętym pomarem. C kd C R δ ϕ pozom geometryczny h h właścwe d d C R pozom geodezyjny 6.4. Interpretacja geometryczna zasady pomaru wysokośc metodą nwelacj trygonometrycznej
1 ϕ s s ϕ H H d o 0 Pozom odnesena 0 6.5. Interpretacja geometryczna pomaru różncy wysokośc metodą równoczesnego pomaru kątów ponowych na obu końcach merzonego odcnka Z praktyk wadomo, że z wymenonych powyżej zabegów najczęścej stosowana jest procedura wymenona jako perwsza, rzadzej jako druga czy trzeca a najrzadzej jako czwarta. d. e) Skuteczność poprawność oblczana rozpatrywanej poprawk ze względu na refrakcję ponową towarzyszącą pomarow kerunków ponowych, zależy od precyzj wyznaczena wartośc współczynnka refrakcj k na obszarze wykonywana tych pomarów oraz jego stablnośc podczas ch prowadzena w różnych częścach tego obszaru oraz w różnych okresach (porach roku dna). Na podstawe dośwadczeń zebranych podczas weloletnej obserwacj prowadzonych nad tym zagadnenem na stosunkowo dużych wysokoścach ponad powerzchną terenu (ponad 5 m) ustalono, że wartość tego współczynnka kształtuje sę przecętne na pozome od około 0,13 do 0,16 w zależnośc od rodzaju zagospodarowana (pokryca) terenu (uprawy, rodzaju gruntu, pokryca akwenam wodnym czy drzewam lub domam), a jej wartość wyznacza sę z błędem rzędu od 5 do 5% jej wartośc. Należy jednak pamętać, że wartość wymenonego powyżej współczynnka k ustalono dla górnych warstw atmosfery, zalegających w marę regularne na tych wysokoścach, przyjmując ch rozkład w sposób wydealzowany (modelowy). W praktyce trzeba jednak lczyć sę nawet z dużym zakłócenem tego przebegu modelowego, szczególne w przypadkach pomarów prowadzonych obecne powszechne w przyzemnych warstwach atmosfery. Jego welkość zależy bowem od:
13 - stanu atmosfery zmenającej sę w cągu pory roku, mesąca czy nawet dna, w zależnośc od rozkładu zmennośc warunków atmosferycznych (cśnena, temperatury, wlgotnośc, nasłonecznena, zaneczyszczena), - rodzaju sposobu pokryca terenu oraz jego ukształtowana ponowego pokryca roślnnoścą (teren pustynny, zadrzewony, bagnsty, pokryty akwenam wodnym, równnny lub o mocno zróżncowanym ukształtowanu ponowym), - blskośc przebegu celowych nad powerzchną terenu lub nnym obektam na nm stnejącym. W zwązku z powyższym wyznaczonej w określonym terene wartośc współczynnka k ne należy przypsywać zbyt dużej pewnośc uogólnać ją na rozległy obszar. Posada on bowem cechę parametru lokalnego, charakteryzującego dany obszar w nezbyt odległym od nego otoczenu odnos sę do sytuacj jaka na tym terene stneje... Wyznaczene wartośc współczynnka refrakcj k Z przedstawonego powyżej stopna złożonośc omawanego problemu wynka, że ne da sę go rozwązać przy pomocy jednego współczynnka k, przyjętego globalne dla całego kraju, czy nawet jego wększych fragmentów. Czasem wystąpć może potrzeba określana jego wartośc dla konkretnego obszaru, o specyfcznych warunkach terenowych występujących na nm uwarunkowanach atmosferycznych. Nekedy rozbeżnośc w określenu wartośc tego współczynnka na poszczególnych obszarach mogą być tak znaczne zróżncowane, że powstaje problem czy jak poprawne uwzględnć go przy opracowywanu wynków pomarów nwelacj prowadzonej metodą trygonometryczną. W praktyce stosuje sę różne metody wyznaczena wartośc tego współczynnka. Dla celów praktycznych stosowane są najczęścej dwe z nch, a manowce: - perwsza, bazująca na wynkach równoczesnego wyznaczena wartośc różncy wysokośc określanego odcnka metodą nwelacj geometrycznej ( H g ) trygonometrycznej ( H t ), wykorzystująca zależność (6.51) w postac ( d ϕ + s ) R k = 1 + tg H g (6.51) d lub (6.5) w postac ( H d ϕ s) R k = 1 g tg + ; (6.5) d - druga, bazująca na wynkach jednoczesnego pomaru:
14 kąta ponowego (ϕ) na obu końcach danego odcnka, wykorzystująca zależność (6.53) w postac k R d R tg (6.53) d ( ϕ + ϕ ) + [( ) ( s s ) ] = 1 + tg lub zentalnego (z), wykorzystujące zależność w postac (6.54) k R 1 + [( ) ( s s )] + d ( ctg z + ctg z ) (6.54) d = czy w postac (6.55) R z + = + Π z k 1 (6.55) d ρ gdze: k wartość wyznaczanego współczynnka refrakcj, R promeń krzywzny odnesena określony z odpowednch zależnośc na kul z dokładnoścą rzędu 10 km, utożsamany z powerzchną Zem, d długość odcnka na którym pomar wykonywano, wysokość ustawena nstrumentu nad punktem lub, s wysokość ustawena sygnału nad punktem lub, H g różnca wysokośc wybranego odcnka wyznaczona metodą nwelacj geometrycznej, H t różnca wysokośc wybranego odcnka wyznaczona metodą nwelacj trygonometrycznej, ϕ kąt ponowy na -tym punkce ( lub ) odcnka, z kąt zentalny na -tym punkce ( lub ) odcnka.