INTERPOLACJA ANOMALII RUDZKIEGO ANOMALIAMI FAYE A

Transkrypt

1 INTERPOLACJA ANOMALII RUDZKIEGO ANOMALIAMI FAYE A Mgr nż. Anna Woś-Sosńska Katedra Geodezj Wydzał Budownctwa Wodnego Inżyner Środowska Poltechnka Gdańska Opekun naukowy: Prof. dr hab. Marcn Barlk Poltechnka Warszawska 1. STRESZCZENIE Anomalę przyspeszena sły cężkośc wyraża sę jako różncę zredukowanej wartośc przyspeszena na geodze normalnej wartośc przyspeszena odnesonego do sferody normalnej. W pracy porównano dwe anomale grawmetryczne zbadano możlwość ch nterpolacj. W procese pozyskwana danych, a także w procese tworzena poszukwana welomanu nterpolacyjnego, wykorzystano numeryczny model terenu. Badana przeprowadzono w terene górzystym ze względu na duże zmany w wartoścach wyznaczonych anomal.. WSTĘP Grawmetra zajmuje sę pomaram przyspeszena zemskego. Pomary przyśpeszena sły cężkośc wykonuje sę główne na powerzchn Zem, także ponad lub pod powerzchną Zem, lecz są to pomary o specjalnym charakterze. Wynk pomarów grawmetrycznych nazemnych, zanm zostaną wykorzystane do rozwązywana różnych zadań geodezj fzycznej, muszą zostać zredukowane na odpowedną powerzchnę odnesena. Dopero po tym zabegu mogą być ze sobą bezpośredno porównywalne. Wprowadzene redukcj grawmetrycznej zmena pomerzoną wartość przyspeszena na fzycznej powerzchn Zem w tak sposób, aby otrzymana wartość odpowadała nnemu punktow, położonemu na ln ponu stanowska pomarowego. Nową powerzchnę pozomą utworzoną w ten sposób nazywa sę co-geodą, naczej geodą zregularyzowaną. Posada ona potencjał W 0 równy potencjałow geody.

2 Anomalą grawmetryczną, naczej anomalą sły cężkośc, nazywamy różncę mędzy wartoścą sły cężkośc wyznaczoną dośwadczalne w danym mejscu powerzchn Zem g, a odpowadającą jej wartoścą teoretyczną, normalną słą cężkośc, oblczoną dla przyjętej elpsody zemskej. Znajomość rozkładu anomal grawmetrycznych na powerzchn Zem ma stotne znaczene dla prac zwązanych z badanem fgury Zem. A g (1) g 0 0 g Rg 0 Ponżej przedstawono badana nad możlwoścą nterpolowana anomal Rudzkego anomalam Faye a w terene górzystym, w okolcach Grybowa. Ze względu na duże rożnce wysokośc stanowsk można zaobserwować wyraźne zmany w wartoścach anomal. Dośwadczena nad praktycznym wykorzystanem redukcj Rudzkego wskazują, że anomale Rudzkego na ogół ne różną sę dużo od anomal Faye'a. Stąd też można wnoskować, że przesunęce mas redukcją Faye'a ne powoduje dużej deformacj geody. Proces oblczana anomal Rudzkego jest skomplkowany pracochłonny, ale daje bardzo dokładne wynk, natomast anomale Faye a dają możlwość szybkego określena fgury Zem. 3. REDUKCJE GRAWIMETRYCZNE UŻYTE W ROZWIĄZANIU PROBLEMU 3.1 Poprawka terenowa Z reguły perwszą w kolejnośc redukcją, jaką wprowadza sę do pomerzonego przyśpeszena sły cężkośc, jest tzw. poprawka terenowa. Zadanem poprawk terenowej jest wyelmnowane z pomerzonej wartośc przyspeszena sły cężkośc wpływu mas topografcznych w tak sposób, aby poprawona wartość przyśpeszena odnosła sę do terenu płaskego. P Rys. 1. Poprawka terenowa ( wg [3]). Rysunek pokazuje, że zarówno nadmar masy (powyżej stanowska pomarowego), jak nedobór (ponżej) oznacza zmnejszene wartośc pomerzonego przyśpeszena sły

3 cężkośc, węc znak poprawk terenowej będze w obu przypadkach dodatn. Aby wyrazć analtyczne wartość poprawk terenowej, dzelmy otoczene stanowska P szeregem współśrodkowych walców z osą w punkce P oraz pękem płaszczyzn normalnych, zaś przez punkt P prowadzmy płaszczyznę pozomą. Jej wartość oblczamy poprzez sumowane (całkowane numeryczne) przycągana segmentów wycętych z zespołu koncentrycznych walców. Każdy z segmentów charakteryzuje sę kątem sektorowym promenam zewnętrznym r +1 wewnętrznym r, wysokoścą średną H. Rys.. Grafczny sposób oblczana poprawk terenowej (wg. []). Odpowedn wzór na poprawkę terenową otrzymamy przekształcając wzór na przycągane cylndra o wysokośc h promenach wewnętrznym r w zewnętrznym r z : g t 0,0419 n n j k r 1 r Wyznaczene poprawk terenowej jest z reguły zależne od hpotezy dotyczącej gęstośc mas wchodzących do tej poprawk. Znamy bowem tę gęstość zawsze tylko z pewnym przyblżenem. Poprawkę terenową oblcza sę z reguły dla terenu w promenu do 30 km od stanowska. Wpływ stref dalszych można bowem pomnąć. r 1 H r H () 3. Redukcja Rudzkego Redukcja ta polega na tzw. nwersj, czyl takm przemeszczenu mas zewnętrznych w stosunku do geody, aby potencjał sły cężkośc samej geody ne uległ zmane. Zmen sę jednakże potencjał we wszystkch nnych punktach przestrzen, a zatem zmen sę równeż przyspeszene sły cężkośc to nawet na geodze. Efekt pośredn redukcj Rudzkego jest zerowy, to znaczy, że geoda ne ulega deformacjom.

4 Rys. 3. Schemat deowy redukcj Rudzkego (wg. [3]). Chodz o to, aby wpływ punktu A 1 o mase dm zastąpć wpływem zwększonej masy dm wewnątrz geody w punkce A. Redukcja Rudzkego w postac ogólnej wyraża sę wzorem R gr V z Vw g h (3) n n n gdze: V z / n - pełna redukcja topografczna, którą należy odjąć od przyspeszena pomerzonego w danym punkce; V w / n - składowa ponowa przycągana mas przemeszczonych nwersyjne do wnętrza Zem; oblczene tej wartośc jest możlwe dzęk podzałow Zem na strefy Hayforda; ( g/ n)h 0,3086 h [mgal] - redukcja wolnopowetrzna dodawana do przyspeszena. Dla oblczena wyrazu V w / n należy podzelć teren otaczający dany punkt, podobne jak przy oblczanu poprawk terenowej na segmenty. Redukcja Rudzkego daje ujemne wartośc, gdy stanowsko jest położone powyżej otaczającego go terenu oraz dodatne, gdy stanowsko leży ponżej. Z tego względu wartośc przyśpeszena g zredukowanego metodą Rudzkego są bardzej reprezentatywne dla otaczającego terenu od nnych znanych redukcj. 3.3 Redukcja wolnopowetrzna Faye a

5 Jest to redukcja, polegająca na uwzględnenu wpływu wysokośc stanowska pomarowego ponad geodą, na wartość pomerzonego przyśpeszena sły cężkośc. fzyczna powerzchna Zem Rys. 4. Grafczna nterpretacja redukcj wolnopowetrznej (wg. []). Redukcję wolnopowetrzną wyrażamy wzorem ogólnym o postac: g 1 g Rg WP H H... (4) h! n Po podstawenu odpowednch współczynnków dla GRS 83 otrzymamy wzór roboczy na redukcję wolnopowetrzną: Rg WP 0, , sn , , sn B H B 1, sn 4 B H Przy oblczanu anomal wolnopowetrznej należy uwzględnć wpływ masy atmosfery zemskej dodając do wartośc przyspeszena zemskego poprawkę atmosferyczną. Zatem anomale wolnopowetrzne wyrażają sę wzorem: A atm WP g g 0 WP (5) R (6) Redukcja wolnopowetrzna wyraża węc zmanę przyspeszena sły cężkośc w kerunku ponowym ne uwzględnając faktu, że wzdłuż drog redukcj mędzy stanowskem a powerzchną odnesena (np. geodą) znajdują sę masy. Fzyczna nterpretacja redukcj wolnopowetrznej jest prosta do określena. Jest to przesunęce mas ponżej pozomu odnesena, np. geody. Redukcja wolnopowetrzna spełna węc w znacznej merze postulaty teor Stokesa. Ne zmena ona masy Zem, przesuwając tylko wystającą płytę ponżej geody. To przesunęce mas regularyzuje jednocześne geodę tylko w małym stopnu ją deformuje. Wspomnany wyżej efekt pośredn redukcj wolnopowetrznej, czyl znekształcene geody na skutek redukcj rzadko przekracza

6 wartośc 1 m. Redukcje anomale Faye'a różną sę od redukcj anomal wolnopowetrznych uwzględnenem wpływu grawtacyjnego nerównośc terenu wokół punktów, czyl wprowadzenem dodatkowo poprawk terenowej. 4. OKREŚLENIE ANOMALII RUDZKIEGO ZA POMOCĄ REDUKCJI FAYE A 4.1 Zbór danych Teren, na którym przeprowadzono badana, obejmuje ok. 60 km. Znajduje sę na nm 106 punktów testowych. Dane dla punktów o numerach od 1 do 50 (współrzędne geodezyjne, wysokośc ortometryczne pomerzone przyśpeszena) pochodzą z Instytutu Geodezj Wyższej. Jest to seć nawązana do punktu krajowej sec grawmetrycznej "Grybów" punktu wyznaczeń bezwzględnych w Grybowe, wykonanych przez ekpę z Ukrańskego Instytutu "Metrologa" w Charkowe. W celu powększena zboru danych opracowano równeż opsy topografczne pozostałych punktów o znanej wartośc przyśpeszena wykonane przez studentów odbywających ćwczena polowe w Grybowe. Punkty trangulacyjne mały podaną ponadto wysokość ortometryczną. Podane punkty odszukano na mape topografcznej w skal 1:5000 odczytano brakujące wysokośc oraz współrzędne w układze Następne za pomocą programu Trans-pol przelczono współrzędne płaske x,y na współrzędne geodezyjne B,L. 4. Wykorzystane numerycznego modelu terenu Oblczene składowych redukcj Rudzkego oraz poprawk topografcznej jest procesem nezwykle żmudnym ze względu na ręczne pozyskwane średnch wysokośc w sektorach. Aby jak najbardzej zautomatyzować ten proces, wykorzystano możlwośc programu C-GEO v6 do tworzena numerycznego modelu terenu (NMT). Aby stworzyć model terenu przydatny do dalszego procesu redukcj, pozyskano jak najwększą lczbę punktów o znanej wysokośc. Posłużyły do tego rastry z map topografcznych w skal 1:5000 dla centralnego obszaru w skal 1:50000 dla stref dalszych. Pozyskano z nch około 7000 punktów wysokoścowych oddających jak najlepej rzeczywste ukształtowane terenu. Kolejnym etapem było zagęszczene tych punktów równomerne co 100 m na drodze nterpolacj wysokośc. W ten sposób powstał zbór blsko punktów. Jedynym popularnym programem, który może pracować z tak dużym zborem danych, jest MS Access, w którym utworzono kwerendę oblczającą długośc azymuty ln łączącej

7 wybrany punkt ze zboru danych z punktam NMT. Obszar wokół stanowska został podzelony na 1 koncentrycznych okręgów o promenach 500, 1000, 1500, 000, 3000, 4000, 6000, 8000, 11000, 15000, metrów, a każdy z nch na 8 równych częśc. Następne wysokośc wybranych punktów z konkretnego segmentu należało przeneść do MS Excel, w którym oblczano średną wysokość dla tego segmentu. W ten sposób postępowano dla pozostałych 95 sektorów. Końcowym efektem było zebrane wszystkch uśrednonych wysokośc wokół danego stanowska w tabel. Taka tabela jest punktem wyjścowym do oblczena poprawk terenowej oraz poprawk nwersyjnej będącej składową w procese oblczana redukcj Rudzkego. Dla przykładu zameszczam dane dla punktu nr1. Tabela 1. PUNKT 1_GK1 h st =530,637 m PROMIEŃ SEKTORY 1 508,5 454,0 410,4 40,1 413,1 349,1 387,0 40,5 381, 336,3 338,8 336,9 5,6 487,7 457,0 465,1 496,4 45,0 456,8 563,6 439,0 358,1 339,9 344,6 3 50,5 484,7 504,1 541,1 568,7 497,9 391,1 438,0 47, 509,9 535,5 66, ,3 443,9 443,6 459,8 481,6 483, 460,1 457,8 54,3 586, 667, 744, ,0 4,4 375,6 355,8 41,9 57,1 536,6 595,9 686,8 60,1 818,5 646, ,6 410,6 348,8 379,1 454,7 439,8 533,1 608,4 573,8 5,8 51,5 443,4 7 50, 449,0 363,9 367,8 39,5 441,0 455,5 454,1 490,4 446,3 395,8 365, ,5 460,6 41,9 356,4 346, 398,1 360,3 39,5 335,7 38,9 383,1 330, 4.3 Oblczene anomal Rudzkego Spośród wszystkch badanych punktów do oblczena anomal Rudzkego wybrano te, które najlepej pod względem anomalnośc pola sły cężkośc odzwercedlają równeż ukształtowane terenu na obszarze testowym. Są to punkty rozmeszczone w sposób równomerny w mejscach o maksymalnych mnmalnych wysokoścach dla określonego fragmentu obszaru. Teren wokół stanowska podzelłam na strefy według tablc Hayforda. Oblczone wartośc poprawk nwersyjnej mają wartośc wększe nż oblczone przez samego Rudzkego, np.: dla punktu Dehra Dun w Hmalajach otrzymał -.mgala, a dla najwyższego punktu dla badanego obszaru - Maślana Góra (h=75,9m) aż mGala. Jest to spowodowane tym, że obszar oblczeń ogranczył sę do 30 km, podczas gdy Rudzk

8 uwzględnł wpływ wszystkch mas znajdujących sę ponad geodą w wększym promenu wokół stanowska. 4.4 Interpolacja anomal Rudzkego przy użycu anomal Faye a Po oblczenu anomal Faye a dla wszystkch punktów oraz anomal Rudzkego dla wybranych punktów, kolejnym etapem jest nterpolacja wartośc anomal Rudzkego dla pozostałych punktów. Poprzez przekształcane równań na anomale Rudzkego Faye a otrzymano wyrażene wążące je ze sobą: A R atm A g,108h f ( H ) (7) F H Wyraz f(h 0 +H) jest funkcją położena wysokośc. Aby ustalć stopeń tej funkcj zbadano jak zmenają sę w przestrzen odstępy anomal Faye a od anomal Rudzkego dla punktów o znanych obu wartoścach. W ponższej tabel znajduje sę zestawene wartośc obu anomal oraz rozbeżnośc mędzy nm dla wybranych punktów. Tabela. Anomala L.p. Rudzkego Anomala Faye a A F-A R 1-10,639 0,170 10, ,97-3,101 9, ,57-11,30-4, ,31-0,091 10,1 4-13,339-13,89 0, ,013 1,07 8, ,46-11,694-3,3 5-3,547-4,953-1, ,868 16,901 9, ,064 -,198-3,6 68 1,357 5,609 13, ,774 17,46 5, ,503 40,31 7, ,699 35,13 0, ,455 7,067 1, ,143 19,74 5, ,505 10,10 4, ,575 5,741 1, ,611-1,141-4, ,647-8,479-5, ,376-8,165-6,789 95,14 6,776 4,65 W ponższym modelu terenu wysokośc zastąpono wartoścam różnc mędzy

9 anomalam Rudzkego Faye a. Rys. 5. Model różnc anomal Faye a Rudzkego dla obszaru testowego. (wg. [1]). Powstały model zoln różnc mędzy badanym anomalam zawera trzy szczyty dwe dolny, dlatego podzelono obszar testowy na dwe częśc lną przechodzącą przez środkowy werzchołek (jest to punkt nr 75). W ten sposób otrzymano dwe powerzchne stopna trzecego. Dla obu obszarów ułożono równana poprawek oblczono je oddzelne wykorzystując metodę najmnejszych kwadratów. atm H H A A g 0, H v f 0 F R (8) Wyraz f (H 0 +H) po poszukwanach najlepszego przyblżena przedstawono w postac welomanu trzecego stopna dla strony lewej, natomast dla strony prawej należało powązać funkcję położena wysokośc z anomalą Faye a: f H H ax by ch dx ey fh gx Y hx H o I Y H jx 3 ky 3 mh 3 (9) f H H ax by ch dx ey fh gx Y hx H o a błędy nterpolacj wynosły odpowedno: m LEWA = 0,811 [mgal] m PRAWA = 0,408 [mgal] A 3 Y H jx ky mh n (10) F I

10 Mając wyznaczone współczynnk welomanu, można oblczyć wartośc anomal Rudzkego ze wzoru (7) dla wszystkch oblczanych punktów. 4.5 Analza dokładnośc Błąd średn nterpolacj oblczono przy pomocy punktów, dla których są wyznaczone wartośc anomal Rudzkego. Te wartośc przyjęto jako prawdzwe. Różnce mędzy nm a anomalam nterpolowanym utworzyły błędy rzeczywste. Błąd średn pojedynczego spostrzeżena wyraża sę wzorem: m (11) n wynos m=1,170 mgala. Analzując wynk nterpolacj można zauważyć, że anomale Faye a są dużo wększe od anomal Rudzkego w punktach leżących w terene o dużych wysokoścach, natomast dużo mnejsze na obszarach o małych wysokoścach. Zbór danych, na którym pracowano charakteryzuje sę różną dokładnoścą. Punkty o numerach od 1 do 50 były merzone przez grupę specjalstów z Poltechnk Warszawskej, osoby mające duże dośwadczene w pomarach grawmetrycznych, stąd można przyjąć te punkty za wyznaczone z małym błędam. Natomast pozostałe obserwacje były wykonane w trakce ćwczeń polowych z grawmetr w Grybowe. Wykorzystano zapewne nstrumenty o różnych dokładnoścach. Ponad to obserwatoram były osoby (często różne w każdym rejse) bez dośwadczena w zakrese wykonywana pomarów grawmetrycznych. Dlatego należy sę lczyć z możlwoścą wystąpena błędów pomaru przekraczających błędy średne przyjmowane dla danego typu grawmetru, a także błędów grubych. Kolejnym czynnkem obnżającym dokładność oblczeń jest pozyskwane współrzędnych punktów z drugej grupy. Błąd odczytu z mapy w skal 1:5000 wynos 1,5 metra, co daje dokładność określena współrzędnych geodezyjnych 0,5. Tak błąd daje zmanę 0,01 mgala w wartośc anomal Rudzkego Faye a. Proces tworzena numerycznego modelu terenu także wprowadzał pewne błędy w dalszych oblczenach. 5. WNIOSKI KOŃCOWE Badana naukowe przeprowadzone na terene Polsk potwerdzają, że anomale Rudzkego neznaczne odbegają od anomal Faye a dowodzą, że wyraz V n V n (używany w równanu na anomalę Rudzkego, wyraża efekt nwersj) zmena sę lnowo, zatem z w

11 różnce mędzy anomalam Rudzkego Faye a będą zmenać sę równeż lnowo. W powyższej pracy wykorzystano jednak weloman trzecego stopna. Było to podyktowane tym, że badana przeprowadzono w terene górzystym, a weloman nterpolacyjny jest wyrazem bardzo zależnym od wysokośc. Interpolacja anomal Rudzkego przy użycu anomal Faye a jest możlwa, trzeba jednak znaleźć odpowedn weloman dla danego terenu. Ne udało sę zaprezentować unwersalnego sposobu rozwązana tego zadana. Nawet newelk obszar testowy, na którym prowadzono oblczena, trzeba było podzelć na dwe częśc dla każdej z nch odszukać odpowedne wyrażene na różnce anomal Faye a Rudzkego. Wykorzystane w praktyce tej metody jest mmo wszystko prostsze mnej pracochłonne nż oblczane anomal Rudzkego dla każdego z punktów osobno. Wększość punktów grawmetrycznych posada znane wartośc anomal Faye a lub można je w szybk prosty sposób polczyć. Zatem znalezene wartośc anomal Rudzkego w wybranych punktach, a następne nterpolacja w zaproponowany tutaj sposób może znaczne zaoszczędzć czas. Spośród wszystkch 106 punktów, na których przeprowadzono badana, tylko na 16 z nch występowała różnca wartośc anomal Faye a Rudzkego wększa od 10 mgal, a na 6 z nch wększa od 15 mgal. Były to główne punkty leżące w najwyższych mejscach terenu testowego. Na podstawe zameszczonych wynków można stwerdzć, że anomale Faye a z dużym przyblżenem określają fgurę Zem tylko neznaczne deformują geodę. Dzęk temu można nm zastąpć anomale Rudzkego w szybk oraz łatwy sposób uzyskać szukane wartośc znekształceń. LITERATURA [1] Anna Woś-Sosńska: Badane możlwośc określena anomal Rudzkego anomalam Faye a, Praca magsterska, Warszawa 00 [] M. Barlk, A.Pachuta, M. Pruszyńska-Wojcechowska: Ćwczena z geodezj fzycznej grawmetr geodezyjnej, Wydawnctwo PW, Warszawa 199 [3] K.Czarneck: Geodezja współczesna w zaryse, Wydawnctwo Wedza Życe

12