Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
1. Sprawy organizacyjne 2. Czego będziemy się uczyć? 3. Kogo spotkamy podczas wykładów? 4. Co to są i do czego służą funkcje zespolone? 5. O co w tym chodzi? 6. Co trzeba wiedzieć, żeby uczyć się funkcji analitycznych?
Sprawy organizacyjne
Skąd czerpać wiedzę? Co oznacza słowo studiować? uczyć się na uczelni wyższej; być na studiach uważnie czytać, zgłębiać temat wpatrywać się uważnie Wykład nie będzie udostępniony w formie elektronicznej. Na stronie http://students.wmi.amu.edu.pl/ mleczko/ znajdzie się spis omówionego materiału. T. H. Moore, E. H. Handlock Complex analysis Londyn 1991. J. Bak, D. J. Newman Complex analysis New York 1997. J. Chądzyński Wstęp do analizy zespolonej Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1999. 4
Zasady zaliczenia Punkty przydzielane według zasady: test końcowy 50% zaliczenie 50% Oceny (do zdobycia 100 pkt.): 50 60 pkt. dostateczny 61 70 pkt. dostateczny plus 71 80 pkt. dobry 81 90 pkt. dobry plus 91 100 pkt. bardzo dobry 5
Czego będziemy się uczyć?
Zakres materiału 1. Wiadomości wstępne 2. Płaszczyzna zespolona 3. Funkcje zespolone 4. Wizualizacja funkcji zespolonych 5. Pochodna funkcji zespolonej. Warunki Cauchy ego Riemanna 6. Szeregi potęgowe 7. Funkcje specjalne i ich szeregi potęgowe 8. Wzór całkowy Cauchy ego 9. Twierdzenie Cauchy ego 10. Twierdzenie Liouville a. Zasada maksimum. Twierdzenie o jednoznaczności 11. Szeregi Laurenta 12. Residua. Metody znajdowania residuów 13. Zastosowanie w analizie rzeczywistej do znajdowania całek Riemanna, całek niewłaściwych oraz sum szeregów 7
Kogo spotkamy podczas wykładów?
Postacie Augustin Louis Cauchy (1789 1857) Leonhard Euler (1707 1783) Jacques Salomon Hadamard (1865 1963) Zdjęcia za wikipedią. 9
Postacie Joseph Liouville (1809 1882) Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 1866) Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 1897) Zdjęcia za wikipedią. 10
Co to są i do czego służą funkcje zespolone?
Płaszczyzna zespolona. Liczby zespolone Liczby zespolone jako zbiór C = {x + iy : x, y R, i 2 = 1} = {(x, y) : x, y R} = R 2 Liczby zespolone jako struktura algebraiczna (C, +, ) (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 1 ) + i(y 1 + y 2 ) (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + y 1 x 2 ). Liczby zespolone jako przestrzeń metryczna Funkcja : C [0, ) dana wzorem x + iy = x 2 + y 2 nazywana jest modułem liczby zespolonej. Funkcja d : C C [0, ) dana wzorem d(x 1 + iy 1, x 2 + iy 2 ) = (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) jest odległością w C C. 12
Liczby zespolone. Postać trygonometryczna Im z = r(cos t + i sin t) r z 1 = r 1 (cos t 1 + i sin t 1 ) z 2 = r 2 (cos t 2 + i sin t 2 ) Dodawanie liczb t Re z 1 + z 2 = r 1 cos t 1 + r 2 cos t 2 + i(r 1 sin t 1 + r 2 sin t 2 ) Mnożenie liczb z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos(t1 + t 2 ) + i sin(t 1 + t 2 ) ) 13
Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej Zajmować się będziemy funkcjami zespolonymi zmiennej rzeczywistej, czyli funkcjami f = u + iv : A C, gdzie A R. Przykład Funkcja f : [0, 2π) C f (t) = cos t + i sin t. Obrazem odcinka [0, 2π) za pomocą funkcji f jest okrąg jednostkowy. 14
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Zajmowac będziemy się funkcjami zespolonymi zmiennej zespolonej, czyli funkcjami f = u + iv : A C, gdzie A C. Funkcję u : R 2 R nazywana jest częścią rzeczywistą funkcji f, Funkcję v : R 2 R nazywana jest częścią urojoną funkcji f. Przykład Funkcja f : C C f (z) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + + a n z n, gdzie a i C, i = 0, 1,..., n jest zespolonym wielomianem. 15
Tematyka # szereg Taylora # ciągłość # różniczkowalność # miejsca zerowe # szereg potęgowy # całka krzywoliniowa 16
Obszary Obszar zbiór otwarty i spójny Dysk jednostkowy Pierścień 1 r 1 r 2 r 0, r 1 (0, ) 17
Motywacja: zastosowania w matematyce elementarnej Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych Zadanie Uzasadnić wzór na sumę kosinusów kątów, czyli cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α β 2 α, β R. 18
Motywacja: zastosowania w matematyce (trochę) wyższej Znajdowanie granic całek niewłaściwych, sum szeregów liczbowych, skomplikowanych całek Riemanna Zadanie Znaleźć granicę do której zbieżna jest całka niewłaściwa 1 1 + x 4 dx. Zadanie Znaleźć sumę szeregu n=0 1 1 + n 2. 19
Motywacja: lepsze zrozumienie fenomenów matematyki rzeczywistej Rozważmy funkcję Im f (x) = 1 x 2 + 1, x R. Jej szereg Taylora to 1 1 f (x) = 1 x 2 +1 Re f (x) = ( 1) n x 2n, x < 1. n=0 Jest on zbieżny tylko dla x < 1! W jaki sposób liczby ±1 związane są z wykresem i wzorem funkcji f? Analiza zespolona daje odpowiedź! 20
Motywacja: analiza zespolona żródło: http://itunes.apple.com 21
Motywacja: ważne zastosowania nie tylko matematyczne Funkcje zespolone mają ważne zastosowania np. w: matematyce (m.in. teorii liczb, geometrii algebraicznej) fizyce (m.in. hydrodynamice, termodynamice) naukach inżynierskich (m.in. mechanice, elektronice, lotnictwie) 22
O co w tym chodzi?
Pochodna funkcji f : R R y f Niech f : A R, A R, A będzie zbiorem otwartym, x 0, x 0 + h A. Jeśli istnieje granica f (x 0 + h) f (x 0 ) lim h 0 h istnieje i jest skończona to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy f (x 0 ). x 0 f (x0 + h) f (x0) x 0 + hx 24
Pochodna funkcji f : R 2 R 2 Niech f = (f 1, f 2 ): A R 2, A R 2, A będzie zbiorem otwartym, x 0, x 0 + h A. Macierz D nazywa się pochodną liniową funkcji f, jeśli f (x 0 + h) f (x 0 ) Dh lim = 0. h 0 h Jeśli f ma pochodną, to D = f 1 x 1 (x 0 ) f 2 x 1 (x 0 ) f 1 (x 0 ) x 2 f 2 (x 0 ) x 2 Przypomnijmy: h = h 2 1 + h2 2, h = (h 1, h 2 ) R 2. Ponadto h oznacza transpozycję wektora h. 25
Pochodna zespolona Niech f : A C, A C, z, z 0 A. Jeśli istnieje granica f (z) f (z 0 ) lim z z 0 z z 0 istnieje i jest skończona to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie z 0. Jeśli funkcja ma pochodną w każdym punkcie zbioru A, to mówimy, że jest holomorficzna w A. Pochodną funkcji zespolonej można zdefiniować tak, jak pochodną funkcji rzeczywistej, gdyż w dziedzinie zespolonej można mnożyć (dzielić) elementy. 26
Zasadnicze twierdzenie Twierdzenie Funkcja f : A C, gdzie A C jest obszarem, ma pochodną w punkcie z 0 A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba r > 0, że f (z) = a n (z z 0 ) n, z z 0 < r. n=0 Przykład Zdefiniujmy funkcję f : R R wzorem {e 1 t f (x) = 2, t 0 0, t = 0. Wówczas f ma pochodną dowolnego rzędu na prostej R, natomiast szereg Taylora funkcji f w zerze jest równy zero. 27
Warunki Cauchy ego Riemanna Twierdzenie Jeśli funkcja zespolona u + iv ma w punkcie x 0 + iy 0 spełnione są równania: pochodną, to u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) v x (x 0, y 0 ) = u y (x 0, y 0 ). Uwaga! Powyższe twierdzenie wskazuje na to, że jeśli istnieje pochodna funkcji zespolonej, to część rzeczywista oraz urojona funkcji są ściśle ze sobą związane. 28
Twierdzenie Liouville a Twierdzenie Jeśli funkcja holomorficzna na C ma oganiczony moduł, to jest funkcją stała. Wniosek (Zasadnicze twierdzenie algebry) Każdy wielomian zespolony ma pierwiastek. Przykład Funkcje sin: C C oraz cos: C C mają nieograniczone moduły. 29
Zasada maksimum Twierdzenie Niech f będzie funkcją holomorficzną w obszarze A C. Jeśli istnieje lokalne maksimum funkcji f w obszarze A, to f jest stała w A. Twierdzenie (Weierstrass) Jeśli funkcja f : A C, A C jest ciągłą natomiast A jest zbiorem zwartym, to f osiąga na A swoje kresy. Wniosek Jeśli funkcja f : A C jest holomorficzna w A oraz ciągłą na A, to f osiąga na A \ A wartość największą. 30
Twierdzenie o jednoznaczności Twierdzenie Niech f, g : A C będą funkcjami holomorficznymi w obszarez A. Wówczas jeśli f (z) = g(z), dla z D, oraz zbiór D ma punkt skupienia w A, to f (z) = g(z) dla każdego z A. Uwaga! Zbiór D w powyższym twierdzeniu może być mały, np. może być ciągiem liczbowym mającym granicę należącą do zbioru A. 31
Co trzeba wiedzieć, żeby uczyć się funkcji analitycznych?
Oczekiwania Podstawowa wiedza z analizy rzeczywistej (w szczególności znajomość pojęć całki Riemanna, pochodnej rzeczywistej oraz umiejętność liczenia całek i pochodnych rzeczywistych) Podstawowa wiedza z topologii 33