Prawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE
Zadanie 1. Skoczek spadochronowy skacze nad kwadratową wyspą o boku 20km. Na środku wyspy znajduje się prostokątne lądowisko o wymiarach 2x3 km. Jakie jest prawdopodobieństwo, że skoczek wyląduje na lądowisku? 2. Skoczek spadochronowy skacze nad okrągłą wyspą o promieniu 20km. Na środku wyspy znajduje się okrągłe lądowisko o średnicy 2 km. Jakie jest prawdopodobieństwo, że skoczek wyląduje na lądowisku?
Zadanie 1. Skoczek spadochronowy skacze nad okrągłą wyspą o promieniu 20km. Na środku wyspy znajduje się kwadratowe lądowisko o boku 2 km. Jakie jest prawdopodobieństwo, że skoczek wyląduje na lądowisku? 2. Skoczek spadochronowy skacze nad prostokątną wyspą o wymiarach 20x10km. Na środku wyspy znajduje się kwadratowe lądowisko o boku 5 km. Jakie jest prawdopodobieństwo, że skoczek wyląduje na lądowisku?
Zadanie 1. Skoczek spadochronowy skacze nad prostokątną wyspą o wymiarach 20x20km. Na środku wyspy znajduje się okrągłe lądowisko o średnicy 5 km. Jakie jest prawdopodobieństwo, że skoczek wyląduje na lądowisku? 2. Skoczek spadochronowy skacze nad kwadratową wyspą o wymiarach 25x25km. Na środku wyspy znajduje się kwadratowe lądowisko o boku 5 km. Jakie jest prawdopodobieństwo, że skoczek wyląduje na lądowisku?
Spotkanie Dwie przyjaciółki K i M umówiły się na spotkanie między godziną 14 a 15. Osoba, która przyjdzie pierwsza czeka 20 minut. Jaka jest szansa, że się spotkają?
Paradoks Bertranda 1889 Z okręgu o promieniu 1 wylosowano cięciwę AB. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie ona dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg?
Jakie warunki muszą spełniać cięciwy? wylosowanie miary k kąta wpisanego Wersja kanoniczna kąta środkowego wylosowanie położenia jej środka wylosowanie odległości jej środka od środka okręgu
Paradoks Bertranda - Rozwiązanie 1 Okrąg jest niezmienny ze względu na obroty Wylosowanie cięciwy to wylosowanie miary k kąta wpisanego α = AOB 0, 2π Ω = 0,2π Cięciwa spełnia warunki gdy α 2π 3, 4π 3 P 2π 3, 4π 4 = 2π 3,4π 4 0,2π = 4π 3 2π 3 2π = 2π 3 2π = 1 3
Paradoks Bertranda - Rozwiązanie 1 wersja 2 Okrąg jest niezmienny ze względu na obroty Wylosowanie cięciwy to wylosowanie miary k kąta środkowego α = AOB 0, π Ω = 0, π Cięciwa spełnia warunki gdy α 2π 3, π P 2π 3, 4π 4 = 2π 3,π 0,π = 1π 3 π = 1 3
Paradoks Bertranda - Rozwiązanie 2 Wylosowanie cięciwy to wylosowanie położenia jej środka Ω = S 0,1 Cięciwa spełnia warunki gdy jej środek leży wewnątrz koła o promieniu 1 współśrodkowego z danym okręgiem 2 P 0,1 2 1 2 = S 0,1 2 = π = 1 S(0,1) π1 2 4 2
Paradoks Bertranda - Rozwiązanie 3 Wylosowanie cięciwy to wylosowanie odległości jej środka od środka okręgu. Ω = 0,1 Cięciwa spełnia warunki gdy jej środek leży nie dalej niż 1 2 od środka okręgu. P 0,1 2 = 0,1 1 2 = 2 = 1 0,1 1 2
Które rozwiązanie jest dobre? 1 3 random endpoints Ω = 0,2π 1 4 random midpoint Ω = S 0,1 1 2 random radius Ω = 0,1
Zadania KOLOKWIUM?
Zadanie Z przedziału <-2; 4> wybieramy losowo dwie liczby (x,y). Jakie jest prawdopodobieństwo, że 2y 1 > x
Zadanie Z przedziału <-2; 4> wybieramy losowo dwie liczby (x,y). Jakie jest prawdopodobieństwo, że y x 2 1
Zadanie Z przedziału <-2, 4> wybieramy losowo dwie liczby (x,y). Jakie jest prawdopodobieństwo, że x 2 2 + y 2 2 1
Zadanie Z przedziału <-2, 4> wybieramy losowo dwie liczby (x,y). Jakie jest prawdopodobieństwo, że x 2 + 4 y
Zadanie Z przedziału <0, 1> wybieramy losowo dwie liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 3x 1 2 y2
Zadanie Ze zbioru <-2, 5> wybieramy losowo dwie liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że y 2 > x + 1
Zadanie Podaj wartości zmiennych losowych i przypisane prawdopodobieństwa: W woreczku mamy 3 czerwone i 5 zielonych kule. Wyciągamy losowo dwie kulki (bez zwracania). X jest liczbą zielonych kul, wyciągniętych z worka. 0 1 2 3/28 15/28 10/28
Rozkład dwumianowy P X = k = n k pk q n k n liczba doświadczeń k liczba sukcesów w n doświadczeniach (k = 0, 1, 2,, n) p prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie q prawdopodobieństwo porażki (p+q=1) Doświadczenia niezależne od siebie.
Zadanie (domowe) Rzucamy 6 razy kością. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej 2 szóstek? Zbuduj rozkład i podaj wartość oczekiwaną. Wykreśl rozkład.
Rozkład Poissona P(X = k) = λk k! e λ λ średnia k = 0, 1, 2, Rozkład zdarzeń rzadkich Rozkład Poissona jest przybliżeniem rozkładu dwumianowego (Bernoulliego) dla dużych prób i przy małym prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia sprzyjającego. (n>50 p<0.01, λ = np)
Zadanie Pogotowie wodociągowe wyjeżdża do awarii zgodnie z rozkładem Poissona ze średnią równą 2,5 interwencji na zmianę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu zmiany zostaną zgłoszone co najmniej 4 interwencje?
Zadanie Na infolinię dzwoni średnio 7 osób w ciągu godziny. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny zmiany zadzwoni mniej niż 8 osób? b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 8-godzinnej zmiany zadzwoni dokładnie 60 osób? c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 5 dniowego dnia pracy będzie 150,5 zgłoszeń?
Zadanie Dla zmiennej losowej o rozkładzie Poissona proszę wyznaczyć prawdopodobieństwa: P(X 3) P(2<X 5) Jeżeli P(7)=0,090079226, a P(11)=0,113736396
Rozkład hipergeometryczny k liczba sukcesów P k = N liczebność populacji n liczebność próby R k N R n k N n R liczba elementów wyróżnionych w populacji
Zadanie W urnie znajdują się 20 kul (w tym 5 białych). Losujemy bez zwracania losowo 3 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej 2 są białe?
Zadanie Ładunek zawiera 24 elementy spośród których 5 zostało uszkodzonych w czasie transportu. Odbiorca sprawdza losowo 3 sztuki w losowaniu bez zwracania. Jeśli choć jeden element będzie wadliwy to cała dostawa jest zwracana producentowi. Liczba sztuk wadliwych w próbie jest zmienną losową. Jakie jest prawdopodobieństwo przyjęcia dostawy?
Zadanie Losujemy bez zwracania 4 kule z urny zawierającej łącznie 10 kul zielonych i niebieskich. Podaj parametry rozkładów zmiennej losowej X - liczba wylosowanych kul zielonych jeżeli: 1. W urnie są 2 kule zielone. 2. W urnie jest 5 kul zielonych. 3. W urnie jest 7 kul zielonych.
Wartość oczekiwana E X = n R N
Zadanie Losujemy bez zwracania 4 kule z urny zawierającej 2 kule białe, 3 zielone, 3 czerwone i 2 żółte. Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej X liczba wylosowanych kul białych.
Zadanie Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania 6 w totolotka (6 z 49)?
Zadanie W urnie znajdują się 3 kule białe i 6 czarnych. Podaj rozkład zmiennej losowej X liczba wylosowanych kul białych jeżeli: 1. Losuję 5 kul ze zwracaniem. 2. Losuję 5 kul bez zwracaniem.
Zadanie W urnie znajdują się 3 kule białe i 6 czarnych. Podaj rozkład zmiennej losowej X -... jeżeli: 1. Losuję kule bez zwracania aż do wylosowania kuli białej. 2. Losuję kule ze zwracaniem aż do wylosowania kuli białej.
Rozkład geometryczny P X = k = pq k 1 k- liczba naturalna Aż do uzyskania pierwszego sukcesu!
Wartość oczekiwana E X = 1 p
Rozkład Pascala P n, k = n 1 k 1 pk q n k Aby uzyskać k sukcesów należy wykonać n prób (Czyli w n-1 próbie mamy k-1 sukcesów!)
E X = n p
Zadanie Koszykarz Bob trafia rzuty wolne ze skutecznością 70%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w piątym rzucie trafi trzeci raz?
Zadanie - rozwiązanie Koszykarz Bob trafia rzuty wolne ze skutecznością 70%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w piątym rzucie trafi trzeci raz? n = 5, k = 3, p = 0.7, q = 0.3 P 5, 3 = 5 1 3 1 0,73 0,3 5 3 = 4 2 0,73 0,3 2 = 0,18522
Zadanie (inna wersja 1) Koszykarz Bob trafia rzuty wolne ze skutecznością 70%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pięciu rzutach trafi trzy razy?
Zadanie - rozwiązanie Koszykarz Bob trafia rzuty wolne ze skutecznością 70%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pięciu rzutach trafi trzy razy? n = 5, k = 3, p = 0.7, q = 0.3 P 3 = 5 3 0,73 0,3 5 3 = 5 3 0,73 0,3 2 = 0.3087 Rozkład dwumianowy
Zadanie (inna wersja 2) Koszykarz Bob trafia rzuty wolne ze skutecznością 70%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w piątym rzucie trafi pierwszy raz?
Zadanie (inna wersja) Koszykarz Bob trafia rzuty wolne ze skutecznością 70%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w piątym rzucie trafi pierwszy raz? Uwaga to jest rozkład geometryczny. n = 5, k = 1, p = 0.7, q = 0.3 P 5, 1 = 5 1 1 1 0,71 0,3 5 1 = 4 0 0,71 0,3 4 = 0,00567
Rozkład wielomianowy P k1 k 2 k j n, p 1, p 2,, p j = n liczba niezależnych prób j liczba rozłącznych zdarzeń k 1 + k 2 + k j = n n! k 1! k 2! k j! p k 1 k 1 p 2 k 2 p j j
Zadanie Urna zawiera 10 kul: 4 czerwone 3 zielone 3 niebieskie Losujemy 5 kul ze zwracaniem Jaka jest szansa wylosowania 2 kul czerwonych, 2 zielonych i 1 jednej niebieskiej?
Zadanie - odpowiedź P = 5! 2! 2! 1! 0.4 2 0.3 2 0.3 1 = 0.1296
Zadanie (Policz z rozkładu dwumianowego i Poissona) Jeżeli wiadomo, że wadliwość żarówek (tzn. przeciętny procent braków) wynosi 4%, w partii liczącej 200 sztuk znajdzie się od 3 najwyżej 6 sztuk złych (włącznie)?
Rozwiązanie r.d r.p 3 0,02704 4 0,055489 5 0,090632 6 0,12273 3 0,028626 4 0,057252 5 0,091604 6 0,122138
Zadanie Dla zmiennej losowej o rozkładzie Poissona proszę wyznaczyć prawdopodobieństwo P(X 2) jeżeli P(6)=P(7).
Rozkład dwumianowy czy Poissona? Oblicz! 1. Stenotypistka robi 2 błędy na stronę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dana strona nie zawiera żadnego błędu? 2. Komputer zawiesza się raz na dwa dni. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się zawiesi 3 razy w ciągu tygodnia? 3. Elementy pakowane są po 30 w pudło. Prawdopodobieństwo wyprodukowania wadliwego elementu wynosi 0.1 Jakie jest prawdopodobieństwo, że pudło zawiera 3 zepsute elementy? 4. Średnia liczba niedoróbek w nowym mieszkaniu wynosi 11. Jakie jest prawdopodobieństwo kupienia mieszkania z jedną niedoróbka? 5. Pudełko zawiera bardzo dużo podkładek. 2 razy więcej jest w nim podkładek stalowych niż miedzianych. 4 podkładki wybieram losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) 0, b) 1, c) 2, d) 3 są miedziane?
Zadanie [best of 7] Finał między dwiema drużynami trwa do czasu, aż jedna z nich wygra 4 spotkania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że finałowych spotkań będzie 4, 5, 6?
Zadanie (rozwiązanie) Finał między dwiema drużynami trwa do czasu, aż jedna z nic wygra 4 spotkania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że finałowych spotkań będzie 4, 5, 6? 4 mecze =
Zadanie (rozwiązanie) Finał między dwiema drużynami trwa do czasu, aż jedna z nic wygra 4 spotkania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że finałowych spotkań będzie 4, 5, 6? 4 mecze = 4 zwycięstwa jednej drużyny Rozkład dwumianowy (albo geometryczny) P = 4 4 0.54 0.5 0 = 0,0625
Zadanie (rozwiązanie) Finał między dwiema drużynami trwa do czasu, aż jedna z nic wygra 4 spotkania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że finałowych spotkań będzie 4, 5, 6? 5 meczy =
Zadanie (rozwiązanie) Finał między dwiema drużynami trwa do czasu, aż jedna z nic wygra 4 spotkania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że finałowych spotkań będzie 4, 5, 6? 5 meczy = w 4 meczach drużyna musiała wygrać 3 razy i do tego wygrać piąty mecz. P = 4 3 0.53 0.5 1 0.5 = 0,25 0.5 = 0.125 Lub r. Pascala P 5, 4 = 5 1 4 1 0.54 0.5 5 4 = 4 3 0.54 0.5 1 Uwaga: ale to dotyczy jednej drużyny! Odpowiedź: P = 0. 125 + 0. 125 = 0. 25
Zadanie (z kolokwium SM) Strzelec ma 5 nabojów i strzela do pierwszego trafienia. Prawdopodobieństwo pudła przy jednym strzale wynosi 0,4. Zmienną losową jest liczba oddanych strzałów. Proszę wyznaczyć rozkład i wartość oczekiwaną,
Zadanie (kolokwium SM 2016L)
Rozwiązanie kule wygrane wygrane x i p i 0 0,119 1 0,476 2 0,357 3 0,048 y i p i 150 0,119-30 0,476-20 0,357 80 0,048 y i p i -30 0,476-20 0,357 80 0,048 150 0,119
Zadanie (kolokiwum SM)
Rozwiązanie xi 0 1 2 3 pi 0,638525 0,138889 0,119599 0,102988
Zadanie (kolokwium SM) O pracę w pewnej firmie niezależnie od siebie ubiega się 5 osób. Szanse każdej z nich są jednakowe. Prawdopodobieństwo tego, że zatrudniona zostanie co najmniej jedna z nich wynosi 0.83193. Proszę podać rozkład prawdopodobieństwa.
Paradoks Monty'ego Halla Są 3 bramki Gracz wybiera jedną losowo Prowadzący oznajmia, że jedna z niewybranych bramek jest pusta i ją odkrywa Gracz może zmienić zdanie Powinien czy nie?