Opracowane: Dorota Mszczyńska METODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównane obektów przy ocene welokryteralnej. Rankng obektów. Porównane wybranych obektów (warantów decyzyjnych) ze względu na różne cechy (krytera) wymaga zebrana odpowednch nformacj dotyczących ocen tych obektów (warantów) ze względu na wszystke wybrane cechy (krytera). Ze względu na różny charakter tych cech (kryterów) wyrażone są one poprzez różne oceny co do welkośc man. Wymaga to uporządkowana, ujednolcena co z reguły wąże sę z odpowednm unormowanem tych ocen. Pozwala to w konsekwencj na ocenę welokryterową, uwzględnającą wszystke cechy (krytera) w dalszej kolejnośc na rankng obektów (warantów decyzyjnych).
Opracowane: Dorota Mszczyńska Dane 1 RYS. 1 Uproszczony schemat powstawana zmennej syntetycznej W Wyjścowy zbór zmennych opsujących zjawsko złożone X Zbór zmennych dagnostycznych normalzacja Proces wyboru Przyjęce odrzucene Y Zbór zmennych opsujących, zredukowanych Z Zbór zmennych unormowanych agregacja Q Zbór zmennych syntetycznych Źródło: K. Kukuła (red.) Badana operacyjne w przykładach zadanach, PWN, Warszawa, 2004 1 Por. K Kukuła, Metoda untaryzacj zerowanej, PWN, Warszawa, 2000
Opracowane: Dorota Mszczyńska Zakładamy, że znane są nam nformacje o wyróżnonych obektach tworzą one macerz dwuwymarową 2 [x j ], gdze oznacz obekt, a j określoną zmenną dagnostyczną (cechę, kryterum): = 1, 2,, r j = 1, 2,, s x 11 x 12 x 1s [ ] x r1 x r2 x rs Zakładamy węc, że mamy r obektów oraz s zmennych dagnostycznych: {O 1, O 2,, O r } {X 1, X 2,, X s } Zbór zmennych dagnostycznych możemy podzelć na trzy rozłączne zbory 3 4 : 2 K.Kukuła (red.), Badana Operacyjne w przykładach zadanach, PWN, Warszawa, 2004 3 T. Borys, Metody normowana cech w statystycznych badanach porównawczych, Przegląd Statystyczny, 1978, z.2 4 Z. Hellwg, Zastosowane metody taksonomcznej do typologcznego podzału krajów ze względu na pozom ch rozwoju oraz zasoby strukturę wykwalfkowanych kadr, Przegląd statystyczny, 1968, z.4
Opracowane: Dorota Mszczyńska S stymulanty zmenne dagnostyczne, które rosną wraz ze wzrostem ocenanej cechy (ocenanego kryterum) D destymulanty zmenne dagnostyczne, które maleją wraz ze wzrostem ocenanej cechy zjawska N nomnanty zmenne, które mają z góry określoną, pożądaną wartość zwaną wartoścą nomnalną. Wartość wększa lub mnejsza od wartośc nomnalnej oznacza spadek wartośc ocenanej cechy (ocenanego kryterum). Wartośc nomnalne mogą być dane w postac pożądanego przedzału wartośc cechy. Punktem wyjśca do oceny welokryterowej, która często wąże sę z procesem agregacj jest ujednolcene charakteru zmennych to oznacza najczęścej sprowadzene ch do charakteru stymulant.
Opracowane: Dorota Mszczyńska Wybrane metody normowana zmennych Najczęścej spotykane metody 5 normowana wartośc cechy mają charakter przekształcena lorazowego 6. Wszystke podane tutaj zasady normowana dotyczą stymulant. Mogą one odnosć sę do: 1.Mar zróżncowana (np. odchylena standardowego) 2. Rozstępu wartośc zmennej 3. Innych wartośc parametrów cechy (jak np. średna arytmetyczna, max lub mn wartość, długość wektora realzacj zmennej, sumy realzacj wartośc zmennych). 5 Opracowano na podstawe : K.Kukuła (red.), Badana Operacyjne w przykładach zadanach, PWN, Warszawa, 2004 6 Możemy równeż wyróżnć metody normowana tzw rangowe
Opracowane: Dorota Mszczyńska Metody standaryzacyjne (punktem odnesena jest odchylene standardowe). Pokazane są przy pomocy formuły (1) (2) (1) z j = x j X j S(X j ) S(X j ) > 0 (2) z j = x j S(X j ) S(X j ) > 0 Metody untaryzacyjne (punktem odnesena jest rozstęp) (3) z j = x j max x j mn x j max x j > mn x j
(4) z j = (5) z j = max max Inne metody: x j X j max x j mn x j x j mn x j max x j mn x j Opracowane: Dorota Mszczyńska x j > mn x j > mn Punktem odnesena jest maksymalna lub mnmalna wartość zmennej (6) x j x j z j = x j max x j, max x j 0 (7) z j = x j, mn x mn x j 0 j
Punktem odnesena jest średna arytmetyczna (8) Opracowane: Dorota Mszczyńska z j = x j X j X j 0 Punktem odnesena jest suma realzacj zmennej (9) z j = x j r =1 x j Punktem odnesena jest długość wektora realzacj zmennej (10) z j = x j r 2 [ =1 x j ] 0,5 x j 2 > 0 =1 W dalszej częśc rozważań wykorzystamy metodę untaryzacj zerowanej (MUZ) do r
Opracowane: Dorota Mszczyńska skonstruowana rankngu obektów ( wzory 3, 4, 5). Metoda ta wykorzystuje rozstęp jako punkt odnesena: (11) R(X j ) = max x j mn x j Poszczególne wzory (3, 4, 5) różną sę lcznkem. Wzór 5 wykorzystujemy dla stymulant. Zmenne unormowane wzorem 5 zawerają sę w przedzale 0, 1. Dla destymulant transformacja określona jest wzorem: (12) z j = max x j x j = 1, 2,, r ( max x j mn x j j = 1, 2,, s ) X j D Dla nomnant rozpatrujemy dwa przypadk:
Opracowane: Dorota Mszczyńska -Istnene jednej wartośc nomnalnej c oj. Wtedy normowane ma postać: (13) z j = { x j mn x j c oj mn x j gdy x j < c oj 1, gdy x j = c oj X j N x j max c oj max x j x j, gdy x j > c oj - stnene przedzału wartośc nomnalnych. Sposób normowana przebega według wzoru (14) z j = { x j mn x j gdy x c 1j mn x j < c 1j j 1, gdy c 1j x j c 2j X j N x j max c 2j max x j x j, gdy x j > c 2j
Opracowane: Dorota Mszczyńska Stosując normowane metodą untaryzacj zerowanej (MUZ) otrzymujemy wartośc unormowane z przedzału < 0,1 >. Metoda pozwala transformować cechy o wartoścach ujemnych, dodatnch oraz wartość zero. Po unormowanu wszystkch cech dagnostycznych tworzy sę łączną ocenę welokryteralną. Do najczęścej stosowanych należy formuła 7 : (15) s Q = z j ω j ( = 1,2,, r), ω j j=1 Przy ω j = 1 oraz s j=1 ω j = s wzór przybera najprostszą wersję: R + 7 K Kukuła, Metoda untaryzacj zerowanej, PWN, Warszawa, 2000, s.71
Opracowane: Dorota Mszczyńska (16) s Q = z j j=1 Często używa sę także średnej arytmetycznej lub ważonej: (17) Q = s j=1 z jω j s j=1 ω j ( = 1,2,, r), ω j R + Można równeż po uzyskanu rankngu obektów (porządkując je od najwększej wartośc Q do najmnejszej) wyróżnć obekty najlepsze, przecętne oraz najgorsze wykorzystując stałą U 8 : (18) Gdze dla : U = max Q mn 3 Q 8 K.Kukuła (red.), Badana Operacyjne w przykładach zadanach, PWN, Warszawa, 2004, s.289
Opracowane: Dorota Mszczyńska Q (max Q U, max Q obekty najlepsze Q (max Q 2U, max Q U obekty przecętne Q (mn Q, max Q 2U obekty najgorsze Przykład: Należy wskazać najlepszy samochód spośród 4 aut (r=4): auto A, auto B, auto C oraz auto D. Samochody te ocenane są z punktu wdzena 6 cech (kryterów) (s=6): cena w tys. złotych (Cena), zużyce palwa na 100 km (Palwo), moc slnka w KM (Moc), pojemność bagażnka w dm 3 (Pojem), przyspeszene do 100 km/godz. w sekundach (Przyśp) oraz długość karoser w m (klent przyjmuje optymalną długość w przedzale <4m; 4,6m> Nezbędne nformacje podaje tabela 1.
obekty ch oceny Opracowane: Dorota Mszczyńska Tabela 1. Wybór najlepszego samochodu (dane do przykładu 1). krytera Cena Palwo Moc Pojem Przyśp Karosera Rodzaj zmennej dagnostycznej D D S S D N auto A 80 6,1 75 290 12,4 3,9 auto B 103 6,9 120 470 8,3 4,4 auto C 95 6,2 90 350 9,8 5,0 auto D 119 7,2 130 500 9,2 5,4 Przed przejścem do oblczeń rozpoznano zmenne dagnostyczne. Wyróżnono stymulanty, destymulanty nomnanty. Kolejne krok normujące poszczególne zmenne przedstawono w kolejnych tabelach:
Opracowane: Dorota Mszczyńska Tabela2: wartośc rozstępu dla zmennych Cena Palwo Moc Pojem Przyśp Karosera D D S S D N max 119 7,2 130 500 12,4 5,4 mn 80 6,1 75 290 8,3 3,9 Rozstęp 39 1,1 55 210 4,1 1,5 Źródło: Oblczena własne Przy normowanu cech cena, palwo przyspeszene (są to destymulanty) korzystamy z wzoru 12 z j = max x j x j = 1, 2,, r ( max x j mn x j j = 1, 2,, s ) X j D Dla ceny (X 1 ) wartość max=119, mn=80 czyl: z 11 = 119 80 119 80 = 1
Opracowane: Dorota Mszczyńska z 21 = z 31 = z 41 = 119 103 119 80 = 0,41 119 95 119 80 = 0,62 119 119 119 80 = 0 Dla zmennej zużyce palwa (destymulanta) wartość max=7,2, mn=6,1 czyl: z 12 = 7,2 6,1 7,2 6,1 = 1 z 22 = z 32 = 7,2 6,9 7,2 6,1 = 0,27 7,2 6,2 7,2 6,1 = 0,91 z 42 = 7,2 7,2 7,2 6,1 = 0 Dla zmennej moc (stymulanta) wartość max=130, mn=75 korzystamy z wzoru (5)
z j = Opracowane: Dorota Mszczyńska x j mn x j = 1,2,, r ( max x j mn x j j = 1,2,, s ), X j S z 13 = z 23 = z 33 = z 43 = 75 75 130 75 = 0 120 75 130 75 = 0,82 90 75 130 75 = 0,27 130 75 130 75 = 1 Dla zmennej pojemność bagażnka (stymulanta) wartość max=500, mn=290 czyl: z 14 = z 24 = z 34 = 290 290 500 290 = 0 470 290 500 290 = 0,86 350 290 500 290 = 0,29
z 44 = 500 290 500 290 = 1 Opracowane: Dorota Mszczyńska Dla zmennej przyspeszene (destymulanta) wartość max=12,4, wartość mn=8,3 czyl korzystając z wzoru (12) mamy: z 15 = z 25 = z 35 = z 45 = 12,4 12,4 12,4 8,3 = 0 12,4 8,3 12,4 8,3 = 1 12,4 9,8 12,4 8,3 = 0,63 12,4 9,2 12,4 8,3 = 0,78 Dla zmennej karosera (nomnanta) korzystamy z wzoru (14):
z j = { Opracowane: Dorota Mszczyńska x j mn x j gdy x c 1j mn x j < c 1j j 1, gdy c 1j x j c 2j X j N x j max x j, gdy x c 2j max x j > c 2j j Gdze: c 16 =4, a c 26 =4,6, max=5,4, mn=3,9 3,9 4,4 5 5,4 X 16 =3,9 < 4 czyl: z 16 = 3,9 3,9 4,0 3,9 = 0 X 26 =4,4 co meśc sę w przedzale pożądanych wartośc przez decydenta czyl z 16 =1, X 36 =5 >4,6 czyl: X 46 =5,4 >4,6 czyl: z 36 = 5 5,4 4,6 5,4 = 0,5
Opracowane: Dorota Mszczyńska z 46 = 5,4 5,4 4,6 5,4 = 0 W tabel 3 zostały zebrane wszystke oblczena: Tabela3: unormowane wartośc zmennych x1 x2 x3 x4 x5 x6 Q 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2,00 0,41 0,27 0,82 0,86 1,00 1,00 4,36 0,62 0,91 0,27 0,29 0,63 0,50 3,22 0,00 0,00 1,00 1,00 0,78 0,00 2,78 W ostatnej kolumne według wzoru (16): s Q = z j j=1 Oblczono zmenną zagregowaną (syntetyczną) Q, która pozwala ustalć rankng samochodów podzelć je na najlepsze, przecętne oraz najgorsze:
Opracowane: Dorota Mszczyńska A B C D Q 2,00 najgorszy 4,36 najlepszy 3,22 przecętny 2,78 najgorszy Ostateczny rankng według kolejnośc: Q B 4,36 najlepszy C 3,22 przecętny D 2,78 najgorszy A 2,00 najgorszy