Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. 6E, 1 14. Geometria odwzorowań inżynierskich perspektywa boczna wnȩtrza 06E Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Perspektywa boczna wnȩtrza Rys. 6E-01: Za lożenia: a) wymiary biurka; b) usytuowanie biurka w pokoju i rzut prostok atny źród la świat la; c) wymiary ściany bocznej pokoju, otworu drzwiowego oraz usytuowanie i wymiary szafy; d) wymiary ściany czo lowej pokoju i otworu okiennego Wykreślimy perspektywȩ boczn a (dwuzbieżn a) oraz cień wnȩtrza pomieszczenia (rzucony przez znajduj ace siȩ tam przedmioty i wnȩkȩ drzwiow a) z otworami drzwiowym (80cm 240cm) (rys. 6E-01c) i okiennym (320cm 220cm)(rys. 6E-01d), w którym znajduj a siȩ szafa (120cm 40cm 220cm)(rys. 6E-01c) i biurko (120cm 80cm 80cm)(rys. 6E-01a) oraz zainstalowane jest punktowe źród lo świat la. Szerokość ściany wynosi 40cm (dla u latwienia wykonania rysunku szerokość ściany jest równa d lugości boku kwadratu posadzki). Rysunek 6E-01d wskazuje rozmieszczenie biurka w pomieszczeniu i rzut prostok atny źród la świat la na pod logȩ. Źród lo świat la zawieszone jest w odleg lości 60cm od sufitu. Przyjmujemy ponadto, Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok
2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa... 06E Rys. 6E-02: Przyjmujemy podzia lkȩ zgodnie ze skal a 1:40, oraz liniȩ horyzontu i prost a podstawy odleg le o 4cm. Zaznaczamy zredukowany k lad oka w odleg lości 3,75cm(= 7,5cm 2 ). Na prostej podstawy p zaznaczamy podzia lkȩ. Ustawienie t la przyjmujemy tak, że linia krawȩdzi ściany bocznej tworzy k at o mierze 56 o z t lem, zaś krawȩdź pionowa ściany bocznej znajduje siȩ na tle w odleg lości 2,4m od prostej strza lkowej (st ad punkt 0 na prostej p jest w odleg lości 6cm od prostej prostopad lej do horyzontu, przechodz acej przez punkt g lówny O τ ). Znajdujemy zredukowany Z 1/2 2 oraz rzeczywisty ślad zbiegu Z 2 tej krawȩdzi że posadzkȩ stanowi sieć kwadratów o d lugości boku równej 40cm. Przyjȩte wymiary, nie zawsze do końca realne, maj a na celu u latwienie wykonania rysunku, by zwrócić uwagȩ na istotne etapy konstrukcji. Zak ladamy, że horyzont ma wysokość 1, 6m, a g lȩbokość t lowa δ = 3m. Przyjmujemy skalȩ 1:40. Przy przyjȩtej skali odleg lość 2, 5cm na rysunku - to 1m w rzeczywistości. Wówczas mamy nastȩpuj ace przeliczenia wymiarów w skali: wysokość horyzontu: 1, 6m - 4cm, g lȩbokość t lowa (δ): 3m - 7, 5cm, d lugość boku kwadratu posadzki: 40cm - 1cm. Przyjȩte wymiary i skala powoduj a, że konstrukcjȩ realizować bȩdziemy poprzez wyznaczanie wcześniej zredukowanych śladów zbiegu (rys. 6E-02i). Znajdujemy najpierw zredukowany ślad zbiegu Z 1/2 1 krawȩdzi prostopad lej w ten sposób, że najpierw przy prostej horyzontu odk ladamy k at o mierze 56 o (rys. 6E-02i1), nastȩpnie przez zredukowany k lad oka prowadzimy prost a równoleg l a do ramienia tego k ata (rys. 6E-02i2). Znajdujemy zredukowany punkt mierzenia dla tej krawȩdzi M 1/2 1 (rys. 6E-02i3) i zredukowany Z 1/2 3 ślad zbiegu prostej przek atnej sieci kwadratów posadzki (rys. 6E-02i4). Zwiȩkszaj ac dwukrotnie odleg lści punktów M 1/2 1, Z 1/2 3 od punktu g lównego O τ otrzymujemy odpowiednio rzeczywisty punkt mierzenia M 1 i rzeczywisty Z 3 ślad zbiegu prostej przek atnej sieci kwadratów posadzki (rys. 6E-02i5, 6E-02i6). Konstruujemy podzia lki zbiegu: przez punkt g lówny O τ i zredukowany ślad zbiegu Z 1/2 1 prowadzimy proste prostopad le do linii horyzontu h
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa... 06E 3 Rys. 6E-02: Znajdujemy: i1) i2) zredukowany ślad zbiegu Z 1/2 1 krawȩdzi prostopad lej; i3) i4) zredukowany punkt mierzenia dla tej krawȩdzi M 1/2 1 i zredukowany Z 1/2 3 ślad zbiegu prostej przek atnej sieci kwadratów posadzki; i5) i6) rzeczywisty punkt mierzenia M 1 i rzeczywisty Z 3 ślad zbiegu prostej przek atnej sieci kwadratów posadzki Rys. 6E-02: i7) Konstruujemy podzia lki zbiegu: przez punkt g lówny O τ i zredukowany ślad zbiegu Z 1/2 1 prowadzimy proste prostopad le do linii horyzontu h na których odmierzamy jednostki. Jednostki na prostej przechodz acej przez punkt Z 1/2 1 s a o po lowȩ mniejsze (cdn) na których odmierzamy jednostki. Na prostej przechodz acej przez punkt g lówny obieramy dowolnie jednostkȩ (na rys. 6E-02i7 przyjȩto 1cm). Zgodnie z przyjȩtym stosunkiem redukcji 1:2 jednostki na prostej przechodz acej przez punkt Z 1/2 1 s a o po lowȩ mniejsze (6E-
4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa... 06E 02i7). Konstruujemy krawȩdź ściany bocznej przechodz ac a przez ślad zbiegu Z 2 i skrajny Rys. 6E-02: i8) Konstruujemy krawȩdź ściany bocznej przechodz ac a przez ślad zbiegu Z 2 i skrajny punkt krawȩdzi pokoju leż acej na tle (punkt 0 na prostej p), znajdujemy dla tej prostej punkt mierzenia M 2 (wcześniej zredukowany M 1/2 2 ) i odmierzaj ac na tej prostej poczynaj ac od punktu 0 kilka odcinków (7 odcinków) o d lugości 40cm (poprzez rzutowanie z punktu M 2 odcinków jednostkowych na prostej p) wybieramy koniec jednego z odmierzonych odcinków (np. wskazany strza lk a) przez który poprowadzimy prost a - wybran a liniȩ posadzki, równoleg l a do krawȩdzi ściany prostopad lej (czyli przechodz ac a przez nie leż acy na rysunku ślad zbiegu Z 1 - korzystamy z podzia lek zbiegu) (cdn) punkt krawȩdzi pokoju leż acej na tle (punkt 0 na prostej p). Dla tej prostej znajdujemy punkt mierzenia M 2 (wcześniej zredukowany M 1/2 2 ). Nastȩpnie odmierzamy na tej prostej poczynaj ac od punktu 0 kilka odcinków (na rys. 6E-02i8-7) o d lugości 40cm korzystaj ac z punktu mierzenia M 2 (poprzez rzutowanie z punktu M 2 odcinków jednostkowych na prostej p). Przez koniec każego ze skonstruowanych odcinków (np. przez wskazany strza lk a - rys. 6E-02i8) możemy poprowadzić prost a - liniȩ posadzki równoleg l a do krawȩdzi ściany prostopad lej. W celu poprowadzenia tej linii korztystamy z podzia lek zbiegu. Na otrzymanej prostej - linii posadzki, której punktem mierzenia jest M 1 odmierzamy odcinki - boki kwadratów posadzki w celu wyznaczenia punktów wȩz lowych (rys. 6E-02i9), przez które poprowadzimy rodzinȩ prostych równoleg lych - linii posadzki (rys. 6E-02i10). St ad na prostej podstawy p pojawia siȩ druga podzia lka (rys. 6E-02i9). Konstruowana rodzina prostych - linii posadzki jest pȩkiem prostych o wierzcho lku Z 2 (rys. 6E-02i10). Wykonuj ac bardziej z lożone, wymagaj ace prowadzenia dużej liczby linii prostych, konstrukcje bȩdziemy dla wiȩkszej przejrzystości usuwać linie pomocnicze poprzedniego etapu tworzenia rysunku. Tak post apiliśmy w przypadku usuniȩcia prostych pȩku o wierzcho lku M 2, za pomoc a których wyznaczono jedn a z prostych - wybranej linii posadzki o kierunku śladu zbiegu Z 1 (punkt oznaczony strza lk a - rys. 6E-02i8, 6E-02i9) oraz w przypadku usuniȩcia prostych pȩku o wierzcho lku M 1, za pomoc a których wyznaczono za pomoc a których wyznaczono wyjściow a rodzinȩ punktów wȩz lowych sieci kwadratów posadzki w celu poprowadzenia rodziny prostych pȩku
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa... 06E 5 Rys. 6E-02: i9) Na otrzymanej prostej - linii posadzki, której punktem mierzenia jest M 1 odmierzamy odcinki - boki kwadratów posadzki (st ad na prostej podstawy p pojawia siȩ druga podzia lka) (cdn) Rys. 6E-02: i10) Przez wyznaczone punkty wȩz lowe posadzki konstruujemy proste - linie posadzki równoleg le do ściany bocznej (przechodz ace przez ślad zbiegu Z 2 ) (cdn) o wierzcho lku Z 2 - linii posadzki. Wcześniej usuwano z rysunku również pewne elementy, np. konstrukcjȩ wyznaczenia punktu Z 1/2 2 na podstawie odmierzonego k ata 56 o (rys. 6E-02i, 6E- 02i1). L acz ac otrzymane za pomoc a prostych przek atnych punkty wȩz lowe rysujemy proste drugiej rodziny prostych - linii posadzki. Zuważmy, że dziȩki możliwości otrzymania dowolnie dużej liczbie punktów wȩz lowych nie musimy przy tej konstrukcji korzystać z podzia lek zbiegu (rys. 6E-02i13). Licz ac, poczynaj ac od punktu 0, p lytki posadzki wyznaczamy
6 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa... 06E Rys. 6E-02: i11) Usuniȩto proste, za pomoc a których wyznaczono wyjściow a rodzinȩ punktów wȩz lowych sieci kwadratów posadzki (cdn) Rys. 6E-02: i12) Rysujemy proste przek atne w celu wyznaczenia drugiej rodziny prostych - linii posadzki (cdn) krawȩdzie pod logi pokoju, prowadzimy pionowe krawȩdzie wnȩk drzwi i okna oraz pionowe krawȩdzie szafy (rys. 6E-02i14). W tym przypadku również usuwamy niepotrzebne czȩści linii posadzki (6E-02i14). Dużym u latwieniem jest przyjȩcie szerokości ściany pokoju równej d lugości boku kwadratu p lytki posadzki. Na prostej pionowej przechodz acej przez punkt 0 wyznaczamy podzia lkȩ, wed lug której odmierzamy wysokości ścian, otworu drzwiowego, szafy (rys. 6E-02i15). Wysokości dla otworu okiennego na ścianie czo lowej s a odmierzane za pośrednictwen ściany bocznej (linie równoleg le na ścianie bocznej przechodz a, w przeciȩciu
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa... 06E 7 Rys. 6E-02: i13) L acz ac otrzymane za pomoc a prostych przek atnych punkty wȩz lowe rysujemy proste drugiej rodziny prostych - linii posadzki (cdn) Rys. 6E-02: i14) Licz ac, poczynaj ac od punktu 0, p lytki posadzki wyznaczamy krawȩdzie pod logi pokoju, prowadzimy pionowe krawȩdzie wnȩk drzwi i okna oraz pionowe krawȩdzie szafy (cdn) z krawȩdzi a pionow a na linie równoleg le kreślone s a za pomoc a podzia lek zbiegu) (rys. 6E- 02i16). Wnȩki: drzwiow a, okienn a i szafȩ odwzorowujemy za pośrednictwem sieci kwadratów (szerokość ściany przyjȩto jako równ a d lugości boku kwadratu posadzki) (rys. 6E-02i17). Uzupe lnienia wnȩk i modelu geometrycznego szafy dokonujemy korzystaj ac z równoleg lości odpowiednich krawȩdzi. Dla wiȩkszej przejrzystości dalszej konstrukcji usuwamy wszystkie dotychczasowe linie pomocnicze. Na bazie podzia lki na prostej pionowej, za pośrednictwem prostych równoleg lych, posi lkuj ac
8 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa... 06E Rys. 6E-02: i15) Na prostej pionowej przechodz acej przez punkt 0 wyznaczamy podzia lkȩ, wed lug której odmierzamy wysokości ścian, otworu drzwiowego, szafy (cdn) Rys. 6E-02: i16) Wysokości dla otworu okiennego na ścianie czo lowej s a odmierzane za pośrednictwen ściany bocznej (linie równoleg le na ścianie bocznej przechodz a, w przeciȩciu z krawȩdzi a pionow a na linie równoleg le kreślone s a za pomoc a podzia lek zbiegu) (cdn) siȩ uk ladem sieci kwadratów posadzki, konstruujemy geometryczny model biurka. Na podzia lce pionowej wybieramy punkty charakteryzuj ace wymiary biurka: 80cm i 60cm. W p laszczyzźnie ściany bocznej prowadzimy proste równoleg le przez te punkty i przez ślad zbiegu Z 2. Przez punkty przeciȩcia siȩ tych prostych z pionow a krawȩdzi a ścian pokoju w ścianie p laszczyzny czo lowej prowadzimy proste równoleg le posi lkuj ac siȩ podzia lkami zbiegu. Ostatnie proste w przeciȩciu z odpowiednimi prostymi pionowymi wystawionymi w ścianie czo lowej w przeciȩciu krawȩdzi ściany z liniami posadzki daj a punkty, które po po l aczeniu ze śladem zbiegu Z 2 wyz-
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa... 06E 9 Rys. 6E-02: i17) Wnȩki: drzwiow a, okienn a i szafȩ odwzorowujemy za pośrednictwem sieci kwadratów (szerokość ściany przyjȩto jako równ a d lugości boku kwadratu posadzki) (cdn) Rys. 6E-02: i18) Uzupe lnienia wnȩk i modelu geometrycznego szafy dokonujemy korzystaj ac z równoleg lości odpowiednich krawȩdzi naczaj a krawȩdzie biurka. Teraz przejdziemy do konstrukcji umieszczenia źród la świat la (punktu S s ). Po zaznaczeniu perspektywy rzutu prostok atnego za pośrednictwem linii posadzki konstruujemy liniȩ pionow a i przez punkt przeciȩcia tej linii z górn a krawȩdzi a ściany czo lowej prowadzimy prost a przez ślad zbiegu Z 2. Na prostej pionowej przechodz acej przez punkt S s, po odmierzeniu odleg lości 60cm od góry na podzia lce pionowej (czyli po odmierzeniu wysokości 280cm), za pośrednictwem prostych równoleg lych poprowadzonych w trzech pionowych p laszczyznach
10 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa... 06E Rys. 6E-02: i19) Dla wiȩkszej przejrzystości dalszej konstrukcji usuwamy wszystkie dotychczasowe linie pomocnicze Rys. 6E-02: i20) Na bazie podzia lki na prostej pionowej, za pośrednictwem prostych równoleg lych, posi lkuj ac siȩ uk ladem sieci kwadratów posadzki, konstruujemy geometryczny model biurka (dwóch ścianach i jednej biegn acej przez punkt S s i równoleg lej do ściany bocznej), znajdujemy punkt S s (rys. 6E-02i22). W celu znalezienia cienia rzuconego (i w lasnego) obiektów znajduj acych siȩ we wnȩtrzu pokoju konstruujemy promienie świetlne i ich rzuty prostok atne (podobnie jak w aksonometrii). Przez wierzcho lki modelu biurka, przez wierzcho lki wnȩk i szafy (domniemane daj ace cień) i przez punkt S s prowadzimy proste - promienie świetlne oraz przez punkt S s i rzuty prostok atne wierzcho lków biurka (na pod lodze) prowadzimy rzuty prostok atne tych promieni (rys.
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa... 06E 11 Rys. 6E-02: i21) Na bazie podzia lki na prostej pionowej, za pośrednictwem prostych równoleg lych, posi lkuj ac siȩ uk ladem sieci kwadratów posadzki, konstruujemy geometryczny model biurka Rys. 6E-02: i22) Konstrukcja umieszczenia źród la świat la (punktu S s ): po zaznaczeniu perspektywy rzutu prostok atnego za pośrednictwem linii posadzki konstruujemy liniȩ pionow a i przez punkt przeciȩcia tej linii z górn a krawȩdzi a ściany czo lowej prowadzimy prost a przez ślad zbiegu Z 2. Na prostej pionowej przechodz acej przez punkt S s, po odmierzeniu odleg lości 60cm od góry na podzia lce pionowej (czyli po odmierzeniu wysokości 280cm), za pośrednictwem prostych równoleg lych poprowadzonych w trzech pionowych p laszczyznach (dwóch ścianach i jednej biegn acej przez punkt S s i równoleg lej do ściany bocznej), znajdujemy punkt S s 6E-02i23). Punkty przeciȩcia promieni i ich rzutów prostok atnych daj a elementy cienia biurka na pod logȩ, szafy na ścianȩ i cienia wnȩki drzwiowej na skrzyd lo drzwi. Wyznaczamy otoczki poszczególnych cieni rzuconych (rys. 6E-02i24). Otoczki cieni kreskujemy: cień w lasny lini-
12 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa... 06E Rys. 6E-02: i23) Przez wierzcho lki modelu biurka, przez wierzcho lki wnȩk i szafy (domniemane daj ace cień) i przez punkt S s prowadzimy proste - promienie świetlne oraz przez punkt S s i rzuty prostok atne wierzcho lków biurka (na pod lodze) prowadzimy rzuty prostok atne tych promieni Rys. 6E-02: i24) Punkty przeciȩcia promieni i ich rzutów prostok atnych daj a elementy cienia biurka na pod logȩ, szafy na ścianȩ i cienia wnȩki drzwiowej na skrzyd lo drzwi. Wyznaczamy otoczki poszczególnych cieni rzuconych ami (kreskami) pionowymi, cień rzucony szafy i wnȩki drzwiowej - liniami poziomymi, cień rzucony biurka - liniami ukośmymi (rys. 6E-02i25). Na zakończenie przedstawimy rozwi azanie zadania po usuniȩciu wszystkich linii pomocniczych (rys. 6E-02i26). W przedstawionym rozwi azaniu skorzystaliśmy dwukrotnie z zasady punktu mierzenia
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa... 06E 13 Rys. 6E-02: i25) Kreskujemy: cień w lasny liniami (kreskami) pionowymi, cień rzucony szafy i wnȩki drzwiowej - liniami poziomymi, cień rzucony biurka - liniami ukośmymi Rys. 6E-02: i26) Ilustracja rozwi azania zadania po usuniȩciu wszystkich linii pomocniczych prostej, i zastosowania prostej przek atnej do tworzenia sieci kwadratów posadzki. Przyjȩcie modu lu 40cm znacznie u latwi lo nam rozwi azanie zadania. Literatura [Gro95] B. Grochowski: Geometria wykreślna z perspektyw a stosowan a. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa 1995.
14 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, perspektywa... 06E [Ott94] F. Otto, E. Otto: Podrȩcznik geometrii wykreślnej. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa 1994. [Pal85] Z. Pa lasiński: Zasady perspektywy. Skrypt. Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Kraków 1985.