METROLOGIA Dr ż. Elgusz PAWŁOWSKI Poltechka Lubelska Wydzał Elektrotechk Iformatyk Prezetacja do wykładu dla EINS Zjazd 4, wykład r 7, 8
Prawo autorske Nejsze materały podlegają ochroe zgode z Ustawą o prawe autorskm prawach pokrewych (Dz.U. 994 r 24 poz. 83 z późejszym zmaam). Materał te udostępam do celów dydaktyczych jako materały pomoccze do wykładu z przedmotu Metrologa prowadzoego dla studetów Wydzału Elektrotechk Iformatyk Poltechk Lubelskej. Mogą z ch róweż korzystać e osoby zateresowae metrologą. Do tego celu materały te moża bez oaczeń przeglądać, drukować kopować wyłącze w całośc. Wykorzystywae tych materałów bez zgody autora w y sposób do ych celów ż te, do których zostały udostępoe, jest zabrooe. W szczególośc edopuszczale jest: usuwae azwska autora, edytowae treśc, kopowae fragmetów wykorzystywae w całośc lub w częśc do własych publkacj. Zjazd 4, wykład 7, 8 2
Uwag dydaktycze Nejsza prezetacja staow tylko wyłącze materały pomoccze do wykładu z przedmotu Metrologa prowadzoego dla studetów Wydzału Elektrotechk Iformatyk Poltechk Lubelskej. Udostępee studetom tej prezetacj e zwala ch z koeczośc sporządzaa własych otatek z wykładów a też e zastępuje samodzelego studowaa obowązujących podręczków. Tym samym zawartość ejszej prezetacj w szczególośc e może być traktowaa jako zakres materału obowązujący a egzame. Na egzame obowązujący jest zakres materału faktycze wyłożoy podczas wykładu oraz zawarty w odpowadających mu fragmetach podręczków podaych w wykaze lteratury do wykładu. Zjazd 4, wykład 7, 8 3
Tematyka wykładu Elmacja błędów ubych Opracowywae wyków metodą ajmejszych kwadratów Błędy w pomarach pośredch Nepewość pomaru w pomarach pośredch Zjazd 4, wykład 7, 8 4
Elmacja błędów ubych Błąd uby (błąd admery, pomyłka) epoprawego wykoaa pomaru. Możlwe przyczyy błędów ubych (przykładowe): - użyce uszkodzoego, esprawego przyrządu, błąd wykający z - błęde odczytae wskazaa (p. pomyloy zakres przyrządu), -źle połączoy układ pomarowy, - sle zakłócee tp. Wyk pomarów obarczoe błędem ubym e powy być brae pod uwagę, ależy je usuwać ze zboru daych. Możlwość taką daje statystycza obróbka wyków pomarów. Zjazd 4, wykład 7, 8 5
Elmacja błędów ubych aaloga strzelecka Błąd systematyczy decyduje o dokładośc Błąd przypadkowy decyduje o precyzj Pomary obarczoe błędem ubym ależy usuwać ze zboru daych Zjazd 4, wykład 7, 8 6
Elmacja błędów ubych rozkład ormaly Cetrale Twerdzee Gracze uzasada stosowae do aalzy daych eksperymetalych właścwośc rozkładu ormalego. Fukcja gęstośc prawdopodobeństwa rozkładu ormalego: f ( ) ep σ 2π ( µ ) 2 2σ 2 Dla rozkładu ormalego, prawdopodobeństwo tego, że wartość zmeej losowej zajdze sę w przedzale: Z tego przedzału korzystamy w praktyce ajczęścej od µ - σ do µ + σ jest rówe 68,26 %, od µ - 2σ do µ + 2σ jest rówe 95,46 %, od µ - 3σ do µ + 3σ jest rówe 99,74 %. Zjazd 4, wykład 7, 8 7
Elmacja błędów ubych przedzał 3 sgmowy ( µ 3σ < < µ + 3σ ) 99.74% Pr Wosek: ależy wyzaczyć (estymować) parametry rozkładu a podstawe daych z eksperymetu pomarowego wyzaczyć przedzał trzy sgmowy. Zjazd 4, wykład 7, 8 8
Elmacja błędów ubych estymatory µ σ Najlepszym estymatorem wartośc oczekwaej µ dla populacj, wyzaczaym a podstawe - elemetowej próby, 2,..., jest wartośćśreda : Najlepszym estymatorem odchylea stadardowego σ populacj jest odchylee stadardowe z próby s: dla s ( ) ( ) 2 Zjazd 4, wykład 7, 8 9
Elmacja błędów ubych przedzał 3 s ( 3s < < + 3s) 99.74% Pr Wosek: mej ż 3 pomary a 000 wykoaych może leżeć poza przedzałem o szerokośc ± 3s wokół wartośc średej! W praktyce możemy węc take wyk odrzucć jako obarczoe błędem ubym. Zjazd 4, wykład 7, 8 0
Kolejość postępowaa: lub (wygodej): Elmacja błędów ubych postępowae -wykoujemy serę pomarów, otrzymujemy wyk, 2,..., -oblczamy wartość średą (estymujemy wartość oczekwaą µ), -oblczamy odchylee stadardowe z próby s (estymujemy σ), -oblczamy ace przedzału ± 3s (trzy sgma), -sprawdzamy, czy wszystke wyk meszczą sę w przedzale: 3 s < < + 3s < 3 s, czyl : 3s > 0 -odrzucamy wyk które e meszczą sę w przedzale ± 3s, -powtarzamy procedurę od początku, aż wszystke wyk będą sę meścły w przedzale ± 3s. Zjazd 4, wykład 7, 8
Elmacja błędów ubych przykład Ecel wykoujemy serę p. 3 pomarów, zapsujemy wyk, 2,... 3 do tabel Oblczamy wartość średą Zjazd 4, wykład 7, 8 2
Elmacja błędów ubych przykład c.d. oblczamy odchylee stadardowe z próby s oblczamy 3s Zjazd 4, wykład 7, 8 3
Elmacja błędów ubych przykład c.d. Oblczamy Oblczamy 3s odrzucamy wyk który e meśc sę w przedzale ± 3s, Zjazd 4, wykład 7, 8 4
Elmacja błędów ubych przykład c.d. Poowe oblczamy Poowe oblczamy 3 s Poowe sprawdzamy, wszystke wyk meszczą sę w przedzale ± 3s, Zjazd 4, wykład 7, 8 5
Opracowywae wyków metodą ajmejszych kwadratów Metoda ajmejszych kwadratów (ag. LMS Least Mea Squares) umożlwa aaltycze wyzaczee współczyków fukcj aproksymującej dae dośwadczale, zapewając uzyskae mmum sumy kwadratów błędów tej aproksymacj. Zastosowae: wyzaczamy dośwadczale zależość fukcyją pomędzy dwoma welkoścam yf() wykoując serę pomarów współrzędych puktów (, y )... (, y )... (, y ) reprezetujących poszukwaą zależość. W praktyce ajczęstszym przypadkem jest wyzaczae współczyków l prostej ya+b. Zjazd 4, wykład 7, 8 6
Aproksymacja lą prostą w warukach dealych W warukach dealych (brak błędów) wszystke wyk leżą a l prostej ya+b. Do wyzaczea współczyków a b tej l prostej wystarczą wybrae dowole dwa pukty pomarowe! Zjazd 4, wykład 7, 8 7
Aproksymacja lą prostą w warukach dealych W warukach dealych dwa pukty pomarowe (, y ), ( 2, y 2 ), umożlwają ułożee układu dwóch rówań: y y 2 a a 2 + b + b Odejmujemy rówaa od sebe wyzaczamy a astępe b. Rozwązaem układu dwóch rówań są współczyk a b l prostej aproksymującej pukty pomarowe: a b y y 2 2 y a Zjazd 4, wykład 7, 8 8
przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa Metoda acągętej c (metoda a oko ) W rzeczywstych pomarach występują błędy, co uemożlwa przeprowadzee l prostej przez wszystke pukty pomarowe. Moża przeprowadzć lę leżącą ajblżej wszystkch puktów metodą a oko z jej dwóch puktów wyzaczyć a b. Zjazd 4, wykład 7, 8 9 przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa
Problemy w Metodze acągętej c W metodze acągętej c problemem jest jedozacze wykreślee ajlepszej prostej aproksymującej, gdyż brak jest jedozaczego kryterum. Każdy eksperymetator wykreśl z tych samych daych ą prostą! Zjazd 4, wykład 7, 8 20
Zasada metody ajmejszych kwadratów Metoda ajmejszych kwadratów jest jedozacza. Na podstawe puktów pomarowych (, y )... (, y )... (, y ) umożlwa wyzaczee współczyków a b fukcj ya+b aproksymującej dae dośwadczale, zapewając uzyskae mmum sumy kwadratów błędów tej aproksymacj. Zjazd 4, wykład 7, 8 2
Oblczea metodą ajmejszych kwadratów Błąd aproksymacj -tym pukce (, y ) wyos: y ( a b) y' y + Oblczamy sumę kwadratów błędów dla wszystkch puktów: 2 [ ( )] 2 y a + b Otrzymalśmy fukcję dwóch zmeych a, b ze współczykam (, y ) będącym wykam pomarów. Szukamy a b dla których występuje mmum tej fukcj: 2 m Zjazd 4, wykład 7, 8 22
Zjazd 4, wykład 7, 8 23 Oblczea metodą ajmejszych kwadratów Otrzymay układ dwóch rówań ależy rozwązać względem a b. Wyzaczae mmum fukcj polega a przyrówau do zera pochodych cząstkowych względem a b: 0 b 0 a 2 2
Zjazd 4, wykład 7, 8 24 Końcowe wzory dla metody ajmejszych kwadratów Po przekształceach otrzymujemy wzory a oblczee a b : a y b 2 2 a y y Wosek: współczyk a b są jedozacze określoe przez współrzęde puktów pomarowych (, y )... (, y )... (, y ).
Przykładowe zastosowae metody ajmejszych kwadratów Skalowae trasformatora powetrzego do pomaru wartośc maksymalej prądu magesującego I ma w aparace Epstea. E2 Tr śr 4 f M D I ma Trasformator powetrzy jest przetworkem maksymalej wartośc prądu I ma a wartość średą apęca dukowaego E 2śr. Zjazd 4, wykład 7, 8 25
Wyzaczae charakterystyk trasformatora powetrzego Zadae polega a wykoau ser pomarów I ma E 2śr, wyzaczeu lowej charakterystyk przetwarzaa trasformatora powetrzego oblczeu jego dukcyjośc wzajemej M D. U 2śr R + 2Tr R a + Ima 4f RV 4f RV 2Tr M D Zjazd 4, wykład 7, 8 26
Ecel -wyzaczae charakterystyk Wyk ser pomarów I ma U 2śr wprowadzamy do arkusza Ecel geerujemy wykres. Zjazd 4, wykład 7, 8 27
Ecel la tredu Do wykresu dodajemy lę tredu, wyberamy typ tredu lowy. Zjazd 4, wykład 7, 8 28
Ecel la tredu Formatujemy lę tredu, zazaczamy wyśwetlae rówaa. Zjazd 4, wykład 7, 8 29
Koec wykładu!!! Koec wykładu!!! Koec wykładu!!! Koec wykładu!!! Koec wykładu!!! Koec wykładu!!! Ecel la tredu Z rówaa l tredu odczytujemy współczyk prostej aproksymującej. Zjazd 4, wykład 7, 8 30 Koec wykładu!!! Koec wykładu!!! Koec wykładu!!! Koec wykładu!!! Koec wykładu!!! Koec wykładu!!!
Ecel Pomoc do hasła la tredu Z rówaa l tredu odczytujemy współczyk prostej aproksymującej. Zjazd 4, wykład 7, 8 3
Metoda ajmejszych kwadratów dla ych fukcj Problem: jak zastosować metodę ajmejszych kwadratów do charakterystyk yf() o kształce ym ż la prosta? Możlwe rozwązae: przekształcć zależość yf() tak, aby sprowadzć ją do rówaa l prostej. Przykład: rozdzał strat w żelaze metodą częstotlwoścową za pomocą aparatu Epstea. Zjazd 4, wykład 7, 8 32
Przykład - rozdzał strat metodą częstotlwoścową Straty w żelaze P Fe są sumą strat hsterezowych P h strat wroprądowych P w. Metoda częstotlwoścowa rozdzału strat wykorzystuje fakt, że straty hsterezowe P h są wprost proporcjoale do częstotlwośc f, a straty wroprądowe P w zależą od kwadratu częstotlwośc f 2 : P Fe Ph + Pw k f + k2 f 2 Rówe powyższe dzelmy obustroe przez częstotlwość f, otrzymujemy lową fukcję częstotlwośc: P Fe k k f + 2 f Zjazd 4, wykład 7, 8 33
Przykład - rozdzał strat metodą częstotlwoścową c.d. Sporządzamy wykres P Fe / f w fukcj częstotlwośc f astępe aproksymujemy go lą prostą metodą ajmejszych kwadratów. Odczytujemy współczyk k b, k 2 a. Oblczamy straty: P h k f P w k 2 f f Zjazd 4, wykład 7, 8 34
Ecel - rozdzał strat metodą częstotlwoścową Zjazd 4, wykład 7, 8 35
Pomary pośrede rówae pomaru Pomar pośred polega a oblczeu wartośc welkośc merzoej y a podstawe wyzaczoych w pomarach bezpośredch wartośc welkośc, 2...... : (... ) y f, 2,... Rówae powyższe azywamy rówaem pomaru, a fukcję f azywamy fukcją pomarową. Rówae pomaru jest matematyczym modelem pomaru. Zjazd 4, wykład 7, 8 36
Pomary pośrede model pomaru Problem: jak błędy welkośc merzoych bezpośredo przeoszą sę a welkość y merzoą pośredo? Zjazd 4, wykład 7, 8 37
Pomary pośrede błędy Wosek: ależy błędy welkośc merzoych bezpośredo przelczyć a błąd y welkośc merzoej pośredo. Zjazd 4, wykład 7, 8 38
Błędy w pomarach pośredch Przykład dla fukcj jedej zmeej y f ( + ) f ( ) W praktyce błędy w pomarach pośredch wyzaczamy metodą wykorzystującą pojęce różczk zupełej fukcj. Zjazd 4, wykład 7, 8 39
Błędy w pomarach pośredch podstawy matematycze Różczką zupełą fukcj welu zmeych yf (, 2...... ) azywamy sumę postac: f f f y + 2 +... + +... + 2 Iterpretacja geometrycza dla fukcj jedej zmeej yf (): y df d df tgα d f, przy czym: gdze kąt α jest achyleem styczej do fukcj yf () Zjazd 4, wykład 7, 8 40
Podstawy matematycze różczka zupeła y df d df d tgα Zjazd 4, wykład 7, 8 4
przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa Błędy w pomarach pośredch dwa przypadk Wyzaczae błędów systematyczych w pomarach pośredch ma mejsce w sytuacj, gdy zamy błędy systematycze welkośc, 2...... zmerzoych bezpośredo chcemy wyzaczyć błąd systematyczy welkośc merzoej pośredo, p. w celu wyzaczea poprawk. Wyzaczae błędów aczych w pomarach pośredch ma mejsce w sytuacj, gdy zamy błędy acze welkośc, 2...... zmerzoych bezpośredo (p. z klasy merków) chcemy wyzaczyć błąd aczy welkośc merzoej pośredo. Zjazd 4, wykład 7, 8 42 przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa - przerwa
Błędy systematycze w pomarach pośredch Błąd systematyczy w pomarach pośredch lczymy metodą różczk zupełej a podstawe błędów systematyczych welkośc zmerzoych bezpośredo, z uwzględeem zaków pochodej zaków błędów: f S y S gdze: S y jest błędem systematyczym w pomarze pośredm, f są pochodym cząstkowym fukcj pomarowej, S są błędam systematyczym w pomarach bezpośredch. Zjazd 4, wykład 7, 8 43
Błędy acze w pomarach pośredch Błąd aczy w pomarach pośredch lczymy metodą różczk zupełej a podstawe błędów aczych welkośc zmerzoych bezpośredo, bez uwzględaa zaków (sumując moduły przewdujemy ajbardzej ekorzysty przypadek): f y y f gdze: jest błędem aczym w pomarze pośredm, są pochodym cząstkowym fukcj pomarowej, są błędam aczym w pomarach bezpośredch. Zjazd 4, wykład 7, 8 44
Błędy acze w pomarach pośredch - przykład Oblczmy błąd aczy w pomarze pośredm eerg elektryczej A wydzeloej a rezystacj R w czase t. Rówae pomaru ma postać: Pochode cząstkowe: A I 2I Rt R A 2 I Błąd aczy pomaru eerg A : A I 2 Rt t t Zak możea zbęde, tylko dla zwększea czytelośc lczea pochodej A 2 I R A 2IRt I + I 2 t R + I 2 R t Zjazd 4, wykład 7, 8 45
Błędy acze względe w pomarach pośredch przykład Zazwyczaj ostatecze lczymy błąd aczy względy. Przy pomarze pośredm eerg elektryczej A wydzeloej a rezystacj R będze mał o ma postać: Po przekształceach otrzymamy: δ A A A 2 I A Rt δ A 2 I I + R R + t t Czyl: δ A 2δ I + δ R + δ t Zjazd 4, wykład 7, 8 46
Błędy acze względe w pomarach pośredch ogóle Uogólając, moża wykazać, że jeśl rówae pomaru jest w postac loczyu potęg welkośc merzoych (bardzo częsty przypadek) : y k a a 2 a 3 2 3... a 4 to błąd aczy pomaru pośredego moża polczyć jako: δ y a δ + a δ + a δ +... + 2 2 3 3 a δ Zjazd 4, wykład 7, 8 47
Przykład c.d. pomar eerg A aczej Przy pomarze pośredm eerg elektryczej A wydzeloej a rezystacj R w czase t rówae pomaru ma postać: A 2 I R t A węc możemy od razu zapsać wzór końcowy a względy błąd pomaru pośredego: δ A 2 δ I + δ R + δ t czyl: δ A 2δ I + δ R + δ t Zjazd 4, wykład 7, 8 48
Błędy acze w pomarach pośredch - aczej Sumując moduły błędów, bez uwzględaa zaków, przewdujemy ajbardzej ekorzysty przypadek otrzymujemy zawyżoe wartośc. Bardzej reale wyk otrzymujemy stosując sumowae geometrycze (perwastek z sumy kwadratów): y f 2 Zjazd 4, wykład 7, 8 49
Wyzaczae epewośc w pomarach pośredch Przy pomarze pośredm welkośc y wyzaczaej a podstawe wartośc welkośc, 2...... otrzymaych w pomarach bezpośredch, według rówaa pomaru: (... ) y f, 2,... oblczamy epewość pomaru modyfkując wyzaczae epewośc łączej (całkowtej) u c w kroku trzecm. Zjazd 4, wykład 7, 8 50
Wyzaczae epewośc w 5 krokach - przypomee Procedura wyzaczaa epewośc zawera sę w 5 krokach:. wyzaczae epewośc u metodą typu A, 2. wyzaczae epewośc u j metodą typu B, 3. wyzaczae epewośc łączej u c, 4. wyzaczae epewośc rozszerzoej U, 5. zaokrąglae wyków oblczeń podawae wyku końcowego. Zjazd 4, wykład 7, 8 5
Krok 3 - wyzaczae epewośc łączej u c W kroku trzecm wyzaczaa jest epewośc łącza (całkowta) u c według metody perwastek z sumy kwadratów : u c f 2 u 2 ( ) jeśl welkośc e są ze sobą skorelowae (są od sebe ezależe). Jeśl welkośc są ze sobą skorelowae to ależy w sumowau uwzględć odpowede kowaracje. Zjazd 4, wykład 7, 8 52
Zjazd 4, wykład 7, 8 53 Krok 3 uwzględee kowaracj Kowarację u( j ) lczymy według wzoru: ( ) ( ) + + j j j c u f f u f u 2 2 2 Jeśl welkośc są ze sobą skorelowae to ależy w sumowau uwzględć odpowede kowaracje u( j ): ( ) ( ) ( ) ( ) k j jk k j u
Podsumowae.Statystycza obróbka ser wyków umożlwa elmację błędów ubych 2.Aproksymacja daych eksperymetalych metodą acągętej c e jest jedozacza 3.Jedozaczą aproksymację zapewa metoda ajmejszych kwadratów 4.Najczęścej stosujemy metodę ajmejszych kwadratów do aproksymacj lą prostą 5.Metodę ajmejszych kwadratów wykorzystuje proam Ecel do wyzaczaa l tredu 6.Błędy epewośc w pomarach pośredch wyzacza sę metodą różczk zupełej a podstawe rówaa pomaru Zjazd 4, wykład 7, 8 54
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ Zjazd 4, wykład 7, 8 55