B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 3 4 2005 Zbgnew ŚWITALSKI* OPTYMALNY SYSTEM REKRUTACJI KANDYDATÓW DO SZKÓŁ Przedstawono uogólnene algorytmu Gale a Shapleya, wyznaczaącego optymalny sposób rekrutac do szkół [4] na przypadek, gdy preference szkół są określone za pomocą tzw. funkc odrzuceń. Sformułowano warunk (addytywnośc, nezależnośc asymetr), przy których uogólnony algorytm G S prowadz do rozwązań stablnych optymalnych. Słowa kluczowe: system rekrutac, dwustronne zagadnene skoarzena, algorytm Gale a Shapleya 1. Wstęp Problemy zwązane z organzacą funkconowanem systemu rekrutac kandydatów do szkół średnch, które uawnły sę w Polsce w latach 2000 2002 1 skłanaą do zastanowena sę nad problemem optymalnego funkconowana tego rodzau systemów. Dobry system rekrutac pownen, z edne strony, w ak nawększym stopnu uwzględnać preference kandydatów (każdy kandydat chcałby sę dostać do * Katedra Badań Operacynych, Akadema Ekonomczna, al. Nepodległośc 10, 60-967 Poznań. zbgnew.swtalsk@ae.poznan.pl 1 W roku 2000 wprowadzono w Polsce system rekrutac do szkół średnch, oparty na zewnętrznych testach kompetenc. Każdy kandydat mógł składać podane tylko do edne szkoły. W wynku tego welu kandydatów, którzy ne dostal sę do dobrych szkół zostało na lodze, gdyż pozostały dla nch tylko nagorsze szkoły, zupełne neodpowadaące ch aspracom (zob. [5]). W roku 2002 kandydac mogl składać podana do dowolne lczby szkół. Oczywśce w perwsze turze rekrutac wększość mesc we wszystkch szkołach zaęl naleps kandydac (którzy znaleźl sę na welu lstach), a pozostal (była ch zdecydowana wększość) musel sę zadowolć mescam na lstach rezerwowych. Nastąpł nerwowy okres oczekwana na zwolnene sę mesc, zablokowanych przez nalepszych kandydatów możlwość prześca z lsty rezerwowe na lstę właścwą. Dopero od 2003 roku rozpoczęto wprowadzane na szerszą skalę systemów komputerowych, które lkwdowały tego rodzau patologe.
86 Z. ŚWITALSKI ak nalepsze, ze swoego punktu wdzena, szkoły), a z druge preference szkół (każda szkoła chcałaby meć ak nalepszych kandydatów). Problem est węc ze swoe natury welokryteralny ako tak trudny do ednoznacznego rozwązana. Okazue sę ednak, że przy uwzględnenu pewnego warunku sprawedlwośc (wymagaącego, aby dobrzy kandydac mel wększe szanse na dostane sę do dobrych szkół nż kandydac gors ) stnee ednoznaczne rozwązane tego problemu. Zostało to po raz perwszy udowodnone przez Gale a Shapleya w pracy z 1962 roku [4]. Gale Shapley sformalzowal warunek sprawedlwośc, który nazwal warunkem stablnośc udowodnl, że wśród rozwązań stablnych (rozwązanem nazywamy przydzał kandydatów do szkół) stnee dokładne edno rozwązane optymalne przy czym przez optymalność rozumemy tuta Pareto-optymalność, ale uwzględnaącą tylko preference kandydatów (preference szkół są pośredno uwzględnone w warunku stablnośc). Gale Shapley zakładal, że preference szkół są ostrym lnowym porządkam (tzn. że każda szkoła est w stane ednoznaczne określć, który z dwóch kandydatów est lepszy, a który gorszy) oraz że szkoły maą sztywne lmty przyęć (lczba przyętych kandydatów ne może przekraczać ustalonego z góry lmtu q). W praktyce ednak (np. podczas rekrutac do szkół średnch w Polsce) stosue sę naczęśce punktacę osągnęć kandydatów. Welu kandydatów otrzymue w te sytuac tę samą lczbę punktów, a węc są on przez daną szkołę nerozróżnaln. Równeż lmty przyęć mogą meć charakter mękk. Jeśl na przykład na końcu lsty przyętych małoby sę znaleźć welu kandydatów z tą samą lczbą punktów, to często szkoła est gotowa neco zwększyć lmt q, tak aby wszyscy kandydac z granczną lczbą punktów mogl zostać przyęc. Mmo ogromne lczby prac pośwęconych różnym zastosowanom uogólnenom metody Gale a Shapleya (w skróce: metody G S), na ogół ne uwzględna sę w tych pracach nerozróżnalnośc kandydatów mękkch lmtów (ednym z newelu wyątków est praca [3], daleko dące uogólnene metody G S zostało podane w pracy [1]). W artykule przedstawamy uogólnene metody Gale a Shapleya na przypadek, gdy preference lmty szkół są określone w bardzo ogólny sposób. Zakładamy manowce, że dla każde szkoły est określona tzw. funkca odrzuceń, która każdemu zborow kandydatów L przyporządkowue zbór kandydatów odrzuconych ze zboru L oznaczany symbolem O(L). Jeśl węc L est zborem kandydatów, którzy zgłosl sę do te szkoły, to szkoła gotowa est przyąć kandydatów ze zboru L\O(L), ne przymue natomast kandydatów ze zboru O(L). Take podeśce umożlwa uwzględnene zarówno tradycynych kryterów porządkowych (wówczas np. O(L) składa sę ze wszystkch kandydatów oprócz q nalepszych), ak wszelkch nnych metod, za pomocą których szkoły mogą tworzyć lsty przyętych szczególne metod uwzględnaących nerozróżnalność kandydatów mękke lmty. Wprowadzene ogólnych funkc odrzuceń wymaga odpowednego sformułowana warunku stablnośc, a także warunków, które muszą być nałożone na funkce
Optymalny system rekrutac... 87 O(L) które będą gwarantowały stnene rozwązań stablnych optymalnych. Warunk te (nezależność, addytywność asymetra) formułuemy w punkce 2. pracy. W punkce 3. defnuemy rozwązana stablne optymalne dla uogólnonych model G S, a w punkce 4. udowadnamy twerdzene o stnenu takch rozwązań dla uogólnonego algorytmu G S. 2. Formalny model systemu rekrutac Model, który przedstawamy może obemować zagadnena rekrutac kandydatów do szkół, pracownków do frm, koarzene małżeństw, koarzene frm tp. Od strony formalne mamy tuta do czynena z tzw. dwustronnym zagadnenem skoarzena (two sded matchng problem). W pracy ogranczamy sę ednak (bez zmneszana ogólnośc) do ęzyka problematyk rekrutac kandydatów do szkół (podobne ak w pracach [2], [4]). Zakładamy, że dany est skończony nepusty zbór kandydatów K = k, k,..., k } { 1 2 n oraz skończony nepusty zbór szkół S = { s 0, s 1, s 2,..., s m}. Każdy kandydat chcałby zostać przyęty do dokładne edne szkoły. Każda szkoła gotowa est przyąć pewną lczbę kandydatów (ne mus być ona z góry ustalona). Szkoły nterpretuemy w sposób możlwe ogólny mogą to być też np. klasy o określonym proflu w poszczególnych szkołach, do których prowadzona est osobna rekrutaca. Szkoła s 0 nterpretowana est ako szkoła fkcyna przymuąca wszystkch kandydatów, którzy ne dostal sę do nnych szkół (z powodu braku mesc). Dla każdego kandydata k K określamy nepusty zbór szkół przez nego akceptowanych S( k ) S. Kandydat k gotowy est podąć naukę w edne ze szkół ze zboru S ( k ) ne chcałby sę uczyć w żadne szkole spoza zboru S ( k ). Zakładamy, że s0 S( k ) że S ( k ) zawera przynamne edną szkołę oprócz s 0. Symbolem P ( k ) oznaczamy preference kandydata k w zborze S ( k ). Zakładamy, że P ( k ) est ostrym lnowym porządkem, tzn. że dla dowolnych dwóch szkół s, sk kandydat k est w stane określć, która z nch est (dla nego) lepsza, a która gorsza. Zaps k : s 1 s 2... s p s 0 będze oznaczał, że kandydatow k nabardze odpowada szkoła s 1, następne s 2 td. Cąg s s... s s 1 2 p 0 będzemy nazywać lstą preferenc kandydata k (zakładamy, że szkoła s 0 znadue sę na końcu każde lsty preferenc).
88 Z. ŚWITALSKI Preference szkoły -te ( = 0,1,..., m) przedstawmy za pomocą tzw. funkc odrzuceń, tzn. funkc O ( K ) Π ( K ) : Π, ( Π (K) est zborem wszystkch podzborów zboru K), spełnaące warunek O ( L) L dla dowolnego L K. Zbór O (L) nterpretuemy ako zbór kandydatów, których szkoła s odrzuc, eśl zbór kandydatów, którzy sę do ne zgłosl est równy L. Na funkcę O będzemy nakładal różne warunk, które będą wykorzystywane w dalsze częśc pracy. Zakładamy po perwsze, że dla dowolnego L K, O 0( L ) =. Oznacza to, że szkoła s 0 zawsze przymue wszystkch kandydatów, którzy sę do ne zgłoszą. Następne warunk przedstawmy za pomocą kolenych defnc. Defnca 1. Mówmy, że funkca O spełna warunek monotoncznośc, eśl dla dowolnych zborów L, M K zachodz L M O ( L) O ( M ). (1) Monotonczność oznacza, że każdy kandydat odrzucony z mneszego zboru kandydatów mus być równeż odrzucony z wększego zboru. Defnca 2. Funkca O spełna warunek addytywnośc, eśl dla dowolnych L, M K zachodz L \ O ( L) M O ( L M ) = O ( L) O ( M ). (2) Funkca O est węc addytywna, eśl spełnony est warunek z prawe strony mplkac (2), ale tylko dla takch zborów L, M, że zbór M zawera zbór wszystkch kandydatów przyętych ze zboru L. Zauważmy, że warunek addytywnośc est slneszy od warunku monotoncznośc, tzn. z (2) wynka (1). Jeśl bowem L M, to L \ O ( L) M oraz L M = M, a węc z warunku (2) otrzymuemy O ( L M ) = O ( M ) = O ( L) O ( M ), skąd O ( L) O ( M ). Defnca 3. Funkca O spełna warunek nezależnośc, eśl dla dowolnych L, M K zachodz M O ( L) O ( L) \ M O ( L \ M ). (3) Warunek nezależnośc oznacza, że kandydac odrzucan ze zboru L, którzy ne należą do zboru M, są równeż odrzucan ze zboru L \ M. Innym słowy to, czy kan-
Optymalny system rekrutac... 89 dydat (spoza zboru M) będze odrzucony ze zboru L czy ne, ne zależy od tego, czy uwzględnamy zbór M, czy ne. Zauważmy, że z warunku monotoncznośc wynka slnesza postać warunku nezależnośc, a manowce: M O ( L) O ( L) \ M O ( L \ M ). (4) = Z monotoncznośc wynka bowem O ( L \ M ) O ( L). Poneważ ednak O ( L \ M ) L \ M (z defnc funkc O ), ostateczne węc otrzymuemy O ( L \ M ) O ( L) \ M, czyl zawerane przecwne do zawerana z prawe strony mplkac (3). W celu określena następnego warunku zdefnuemy teraz pewną relacę w zborze kandydatów (zwązaną z funkcą O ). Defnca 4. Nech k, kl K. Relacą preferenc > zwązaną z funkcą O nazywamy relacę w zborze K, określoną następuąco: Relaca k > k : k L k O ( L) k O ( L). l l L K k > k oznacza, że stnee zbór kandydatów L tak, że szkoła s gotowa est przyąć kandydata k ze zboru L ednocześne odrzuca kandydata k l z tego samego zboru. Można węc powedzeć, że w pewnym sense kandydat k okazał sę lepszy od kandydata k l (przynamne ze względu na zbór L). Defnca 5. Funkca O spełna warunek asymetr, eśl relaca > est asymetryczna w zborze K. Warunek asymetr oznacza, że dla dowolnych k, k K k > k ( k > k ). l ~ l l l Innym słowy, eśl z akegoś zboru L szkoła s wybera kandydata k odrzuca kandydata k l, to ne może być tak, że z akegoś nnego zboru ta sama szkoła wybera kandydata k l odrzuca kandydata k. Przedstawmy teraz dwa nabardze typowe przykłady funkc odrzuceń. 1. Sztywne lmty przyęć (podobne ak w modelu Gale a Shapleya [4]) Szkoła s posada lmt przyęć równy q. Wszyscy kandydac są uporządkowan zgodne z punktacą wyznaczoną na podstawe testów ocen na śwadectwe. Jeśl dwa kandydac otrzymal tę samą lczbę punktów, to szkoła stosue dodatkowe krytera w tak sposób, aby rozróżnć tych kandydatów (tzn. aby móc stwerdzć, który z nch est lepszy, a który gorszy). W zborze K w każdym ego podzborze est węc określony ostry lnowy porządek. Jeśl L K, to określamy O (L) ako podzbór zboru L złożony z tych wszystkch kandydatów, którzy są gors od q nalepszych kan-
90 Z. ŚWITALSKI dydatów (a eśl L zawera kandydatów, to (L) = ). Łatwo udowodnć, że tak q określona funkca odrzuceń spełna warunk addytywnośc, nezależnośc asymetr. 2. Mękke lmty przyęć Szkoła s określa lmt q, ale w tym przypadku est on traktowany mękko. Brane są pod uwagę tylko punkty z testów ocen na śwadectwe. Nektórzy kandydac mogą węc meć tę samą lczbę punktów. Nech J 1, J 2,..., J p będą klasam równoważnośc w zborze kandydatów L (tzn. dwa kandydac są w te same klase, eśl maą tę samą lczbę punktów; zakładamy, że eśl <, to kandydac z klasy J maą węce punktów nż kandydac z klasy J ). Nech t będze namneszą lczbą (w zborze { 1, 2,..., p }) taką, że O J J... J t q 1 ( A oznacza lczbę elementów zboru A, zakładamy tuta, że L q ). Defnuemy wówczas: 2 O (L) = Ø, eśl L < q oraz O ( L) = Jt+ 1 Jt+ 2... J p, eśl L < q. Szkoła s przymue węc taką lczbę kandydatów, która w możlwe namneszym stopnu przekracza lmt q, przy czym mus być spełnony warunek, że eśl akś kandydat zostae przyęty, to równeż zostae przyęty każdy nny kandydat z tą samą (lub wększą) lczbą punktów. W tym przypadku można równeż udowodnć, że funkca O spełna warunk addytywnośc, nezależnośc asymetr. 3. Optymalny przydzał kandydatów Załóżmy, że dany est zbór kandydatów K, zbór szkół S, preference kandydatów P k ) oraz funkce odrzuceń O. Nech P = P( k )} ( = 1, 2,..., n) będze zborem ( { wszystkch relac preferenc, O = O } ( = 1, 2,..., m) zborem wszystkch funkc { odrzuceń. Czwórkę ( K, S, P, O) będzemy nazywal sytuacą rekrutacyną. Defnca 6. Przydzałem kandydatów do szkół w sytuac ( K, S, P, O) nazywamy funkcę f : K S taką, że dla dowolnego kandydata k dowolne szkoły s spełnone są warunk:
Optymalny system rekrutac... 91 f k ) S( k ), O ( f ( )) =. ( s Zdefnowane przydzału oznacza węc, że każdy kandydat k znalazł sę w akceptowane przez sebe szkole (warunek perwszy). Warunek drug oznacza, że wszyscy kandydac, którzy znaleźl sę w szkole s są akceptowan przez tę szkołę (żaden z nch ne est odrzucony przez szkołę s ). Wśród wszystkch przydzałów będzemy poszukwać przydzałów sprawedlwych optymalnych. Neformalne sprawedlwość oznacza, że kandydat, który z punktu wdzena dane szkoły est lepszy (np. otrzymał węce punktów) od drugego, pownen meć wększą szansę na dostane sę do te szkoły. Gale Shapley zdefnowal ako warunek sprawedlwośc tzw. warunek stablnośc. W termnach funkc odrzuceń warunek ten można zdefnować następuąco: Defnca 7. Przydzał f : K S est stablny, eśl ne stneą kandydac L K tak, że k L est przymo- k, kl K oraz szkoły s, sp S take, że: 1) k znalazł sę w s, tzn. f ( k ) = s, 2) k l znalazł sę w s p, tzn. f ( k l ) = sp, 3) k l wol s od s p, tzn. s P( kl ) s p, 4) ~ ( k > kl ). Warunek 4) oznacza, że ne znadze sę zbór wany przez szkołę s, a zborze L, eśl k est przymowany przez szkołę s, to równeż k l est przymowany przez tę szkołę. Spełnene warunków 1 4 oznacza nestablność systemu rekrutac. Jest to bowem sytuaca, w które kandydat k l wolałby znaleźć sę w szkole s nż w szkole s p, w które sę znalazł, a z kole szkoła s, która przyęła k gotowa byłaby równeż przyąć k l (co wynka z warunku 4)). Można powedzeć, że szkoła s kandydat k l są gotow do skoarzena, ale funkca f blokue to skoarzene. Sytuacę taką można nterpretować ako nesprawedlwość systemu rekrutac (przy punktowanu kandydatów kandydat k l małby w szkole s co namne tyle samo punktów co k ). Zauważmy, że w podanym modelu przydzały stablne zawsze stneą. Przydzałem takm est na przykład umeszczene wszystkch kandydatów w szkole fkcyne s 0. Wśród przydzałów stablnych (których może być bardzo dużo) będzemy teraz poszukwać przydzałów optymalnych. Naperw musmy umeć odróżnać przydzały lepsze od gorszych. Przydzały będzemy porównywać borąc pod uwagę tylko preference kandydatów. Podobne ak Gale Shapley uznaemy bowem, że preference kandydatów są ważnesze nż preference szkół (preference szkół są pośredno uwzględnone w warunku stablnośc). Defnca 8. Mówmy, że przydzał k l L est odrzucany przez tę szkołę. Innym słowy, w każdym f : K S est ne gorszy od przydzału g : K S, eśl dla dowolnego kandydata k K spełnony est warunek
92 Z. ŚWITALSKI f k ) P( k ) g( k ) lub f k ) = g( k ). ( ( Podany warunek oznacza, że szkoła, w które znalazł sę kandydat k w wynku przydzału f est ne gorsza od szkoły, w które znalazł sę on w wynku przydzału g. Defnca 9. Mówmy, że przydzał stablny f : K S est optymalny, eśl est ne gorszy od każdego nnego przydzału stablnego. Zauważmy, że wprowadzone poęce optymalnośc (analogczne do poęca wprowadzonego w pracy [4]) dotyczy tylko przydzałów stablnych. Zauważmy też, że est ono slnesze od standardowego poęca Pareto-optymalnośc. Defnca 9 gwarantue stnene co nawyże ednego przydzału optymalnego. Gdyby bowem stnały dwa przydzały optymalne f g, wtedy f byłby ne gorszy od g ednocześne g byłby ne gorszy od f. Poneważ relace preferenc kandydatów są ostrym porządkam, wynkałoby stąd, że f = g. 4. Istnene przydzału optymalnego Gale Shapley udowodnl, że w przypadku sztywnych lmtów q zawsze stnee dokładne eden przydzał optymalny. Przydzał ten można otrzymać w wynku dzałana algorytmu opsanego w pracy [4]. Uogólnmy teraz wynk Gale a Shapleya udowadnaąc, że dla dowolnych funkc odrzuceń spełnaących warunk addytywnośc, nezależnośc asymetr, uogólnony algorytm Gale a Shapleya (przedstawony ponże) prowadz zawsze do rozwązana optymalnego (będze to oczywśce, na mocy defnc 9, edyne rozwązane optymalne). Zakładamy, że dana est sytuaca ( K, S, P, O). Uogólnony algorytm Gale a Shapleya (będzemy go nazywać algorytmem UGS) dzała następuąco: Krok 0. Podstawamy k : = 1, P1 : = P. Krok k. Tworzymy funkcę f k : K S, przydzelaąc każdego kandydata do szkoły, która znadue sę na perwszym mescu ego lsty preferenc (przy danych preferencach P k ). Funkcę f k nazywamy k-tym próbnym przydzałem ( f k ne mus być przydzałem w sense defnc 6). 1. Jeśl dla każde szkoły s spełnony est warunek O ( f ( s )) =, to stop. Funkca f k est uż przydzałem w sense defnc 6 traktuemy ten przydzał ako końcowy przydzał kandydatów do szkół. 2. Jeśl stnee take, że O ( fk ( s )), to zmenamy preference wszystkch kandydatów w zborze k
Optymalny system rekrutac... 93 ( O ( f k ( s )) k U O ( f ( s )). est zborem wszystkch kandydatów odrzuconych przez szkołę s w kroku k). Zmana następue przez usunęce z lst preferenc tych kandydatów szkoły, która znadue sę na perwszym mescu każde lsty (czyl kandydatom ze zboru O ( fk ( s )) usuwamy szkołę s z ch lst preferenc). Nowe preference (z uwzględnenem nezmenonych preferenc kandydatów przyętych przez szkoły przy przydzale f k ) oznaczamy przez P k + 1. 3. Przechodzmy do kroku k + 1 z preferencam P k + 1. Twerdzene 1. W dowolne sytuac ( K, S, P, O) algorytm UGS wyznacza przydzał kandydatów po skończone lczbe kroków. Dowód. W każdym kroku algorytmu odrzucana est pewna lczba kandydatów. Poneważ każdy z kandydatów może być przez daną szkołę odrzucony tylko raz, węc lczba wszystkch możlwych odrzuceń (poszczególnych kandydatów przez poszczególne szkoły) est skończona. Wynka stąd, że w którymś z kroków algorytmu nkt ne est odrzucony, a węc algorytm sę kończy. Inacze: nech r oznacza lczbę szkół znaduących sę na lśce preferenc kandydata k (oprócz s 0 ). Kandydat k może węc być odrzucony co nawyże r razy (każda szkoła odrzuca go co nawyże raz). Jeśl w k-tym kroku odrzuconych est t k kandydatów, to k k = 1 t r + r +... + r. 1 Stąd wynka, że dla pewnego k, t k = 0, a węc algorytm kończy sę po s krokach, gdze s = mn{ k : tk = 0}. Do udowodnena następnych dwóch twerdzeń potrzebne będą dwa technczne lematy (lemat 1 będze wykorzystany w dowodze twerdzena 2, a lemat 2 w dowodze twerdzena 3). Lemat 1. Nech L t oznacza zbór kandydatów, którzy w kroku t algorytmu UGS maą szkołę s na perwszym mescu swoe lsty preferenc. Załóżmy, że funkca O spełna warunek addytywnośc. Wówczas dla dowolnych lczb k s, dla których zbory L k, Lk + 1,..., Lk + s są określone, zachodz O ( Lk k + 1 k + s k k + 1 k + s 2 L... L ) = O ( L ) O ( L )... O ( L ). (5) Dowód. Przeprowadzmy dowód ndukcyny względem s. Dla s = 0 (5) est oczywśce prawdzwe. Załóżmy, że est to prawda dla akegoś s 0 że określony est zbór L k +s+ 1 (tzn. że algorytm UGS est realzowany w co namne k + s + 1 krokach). Zauważmy, że n
94 Z. ŚWITALSKI L k + 1... + s \ [ O ( Lk )... O ( Lk + s )] Lk + s+ 1. (6) Jeśl bowem akś kandydat ma szkołę s na perwszym mescu swoe lsty preferenc w kroku k + u ne zostae przez tę szkołę odrzucony an w kroku k + u, an w następnych krokach (aż do k + s ), to w kroku k + s + 1 w dalszym cągu ma ą na perwszym mescu swoe lsty preferenc. Ze wzoru (6) oraz z założena ndukcynego (5) wynka, że L k + 1... + s \[ O ( Lk + 1... + s )] Lk + s+ 1. Z kole z warunku addytywnośc (2) z założena ndukcynego (5) wynka, że O ( Lk 1... + s + s + 1) = O ( Lk + 1... + s ) O ( Lk + s + 1 + ) O L ) O ( L )... O ( L ) O ( L ). = ( k k+ 1 k+ s k+ s+ 1 Otrzymalśmy węc warunek (5) dla s + 1, co kończy dowód lematu 1. Lemat 2. Załóżmy, że wszystke funkce odrzuceń spełnaą warunk monotoncznośc, nezależnośc asymetr. Załóżmy też, że kandydat k K został odrzucony przez szkołę s S w kroku t algorytmu UGS. Wówczas ne stnee przydzał stablny, przy którym k zostane przyęty przez szkołę s (tzn. ne stnee przydzał stablny f : K S tak, że f ( k ) = s ). Dowód. Zastosuemy ndukcę. Dowód prowadzmy ednocześne dla przypadków, gdy t = 1 oraz t > 1 (w drugm przypadku zakładamy, że lemat est prawdzwy dla kroków 1, 2,..., t ). Nech L będze zborem kandydatów, którzy zgłosl sę do szkoły s w kroku t algorytmu UGS (tzn. maą szkołę s na perwszym mescu swoe lsty preferenc). Mamy L = P O, gdze P est zborem kandydatów przyętych do szkoły s w kroku t, a O zborem kandydatów odrzuconych (tzn. O = O ( ft ( s )) ). Z założena k O. Przymmy M = O \{ k}. Poneważ M O, węc korzystaąc z warunku nezależnośc (3) otrzymuemy: stąd O \ M = { k } O ( L \ M ) = O ( P { k }), k O P { k }). (7) ( Szkoła s odrzuca węc kandydata k ne tylko ze zboru L, ale równeż ze zboru P { k }. Udowodnmy, że przy dowolnym przydzale f, do szkoły s ne mogą być ednocześne przyęc wszyscy kandydac ze zboru P kandydat k. Gdyby bowem tak było, melbyśmy wówczas =
Optymalny system rekrutac... 95 s P { k } f ( ), (8) a z monotoncznośc funkc O z warunku (7) otrzymalbyśmy k O ( P { k }) O ( f ( s )), co est sprzeczne z warunkem drugm w defnc 6. Załóżmy, że f est przydzałem stablnym, przy którym kandydat k zostae przyęty przez szkołę s. Poneważ (8) ne może być prawdą, stnee węc kandydat, oznaczmy go przez k l, który należy do zboru P ne zostae przyęty, przy przydzale f, przez szkołę s (tzn. kl f ( s ) ). Udowodnmy, że k l, przy przydzale f, ne może zostać przyęty równeż przez żadną szkołę lepszą (z punktu wdzena ego preferenc) od szkoły s. Jeśl t = 1, to est to oczywste, bo k l P, czyl szkoła s est na perwszym mescu początkowe lsty preferenc kandydata k l. Załóżmy, że t >1 kandydat k l zostane przyęty, przy przydzale f, przez szkołę lepszą od s nech to będze szkoła s p. Poneważ k l P, węc k l został przyęty, w kroku t algorytmu UGS, do szkoły s. Musał węc być odrzucony przez szkołę s p w którymś z kroków 1, 2,..., t. Na mocy ndukc ne stnee przydzał stablny, przy którym k l zostane przyęty przez s p. W szczególnośc ne zostane on przyęty do s p przy przydzale f. Wynka stąd, że k l zostane przyęty, przy przydzale f, do szkoły s p gorsze od s. Przydzał f ne może węc być stablny, poneważ przy tym przydzale kandydat k zostae przyęty do s, kandydat k l do s p, s est lepsza od s p dla k l oraz ( k > k ) ~ l (bo kl P, k O, stąd k l > k, a węc na mocy asymetr ~ ( k > kl ) ). Twerdzene 2. Jeśl wszystke funkce odrzuceń O spełnaą warunek addytywnośc (2), to przydzał wyznaczony przez algorytm UGS est stablny. Dowód. Załóżmy, że f est przydzałem wyznaczonym przez algorytm UGS. Rozważmy dowolnych kandydatów k k l oraz szkoły s s p take, że f ( k ) = s, f ( k l ) = s p kandydat k l wol s od s p. Udowodnmy, że stnee zbór L tak, że k, kl L, k O (L), k l O (L) (czyl k > kl ). Będze to znaczyło, że nemożlwe est ednoczesne spełnene warunków 1 4 z defnc 7, a węc, że przydzał f est stablny. Nech L t oznacza zbór tak ak w lemace 1, tzn. zbór kandydatów, którzy w kroku t algorytmu maą szkołę s na perwszym mescu swoe lsty preferenc. Poneważ kandydat k w wynku dzałana algorytmu UGS zostae przyęty przez szkołę s, muszą być węc spełnone warunk:
96 Z. ŚWITALSKI a) r t r, k Lt, b) t, k O ( Lt ). Inacze mówąc, kandydat k ma zawsze, począwszy od pewnego kroku r, szkołę s na perwszym mescu swoe lsty preferenc oraz w żadnym kroku ne zostae on odrzucony przez szkołę s. Z kole kandydat k l zostae przyęty przez szkołę s p, chocaż wol od ne szkołę s, a węc w którymś kroku algorytmu, powedzmy w kroku k, zostae on odrzucony przez szkołę s. Stąd k O L ). (9) l ( k Kandydat k ne mus należeć do L k, ale z warunku a) wynka, że należy do któregoś ze zborów L t dla t k. Nech s 0 będze namneszą lczbą taką, że Z warunku (10) wynka, że 0 k L k + s 0. (10) k Lk + 1... + s0 a z (9) z monotoncznośc funkc O wynka, że, (11) k l k k + 1 k + s 0 O ( L L... L ). (12) Z kole na podstawe warunku b) oraz lematu 1 mamy O ( L ) O ( L )... O ( L ) = O ( L L... L ). (13) k k k + 1 k + s0 k k + 1 k + s0 Jeśl węc L = Lk + 1... + s, to na podstawe (11), (12) (13) mamy 0 k, kl L, k O (L), k l O (L), stąd k > kl, a węc warunek 4 w defnc 7 ne est spełnony, czyl przydzał f est stablny. Następne twerdzene określa warunk, przy których algorytm UGS dae rozwązane optymalne. Twerdzene 3. Jeśl wszystke funkce odrzuceń O spełnaą warunk monotoncznośc, nezależnośc asymetr, to przydzał otrzymany za pomocą algorytmu UGS est ne gorszy od dowolnego przydzału stablnego. Dowód. Załóżmy, że w wynku dzałana algorytmu UGS kandydat k został przyęty do szkoły s. Jeśl szkoła s p est lepsza od s dla kandydata k, to w którymś z kroków algorytmu odrzucła ona kandydata k, a węc na mocy lematu 2 w żadnym przydzale stablnym kandydat k ne może zostać przyęty przez szkołę s p. Wynka
Optymalny system rekrutac... 97 stąd, że w każdym przydzale stablnym kandydat k zostane przyęty albo do szkoły s, albo do szkoły gorsze od s, a węc przydzał tak est na pewno gorszy lub co nawyże tak samo dobry ak przydzał otrzymany w wynku dzałana algorytmu UGS. Jako wnosek z twerdzeń 2 3 otrzymuemy następuące końcowe twerdzene: Twerdzene 4. Jeśl wszystke funkce odrzuceń spełnaą warunk addytywnośc, nezależnośc asymetr, to przydzał otrzymany za pomocą algorytmu UGS est optymalny. 5. Uwag końcowe Udowodnlśmy, że uogólnony algorytm Gale a Shapleya, w którym wykorzystuemy funkce odrzuceń spełnaące trzy warunk: addytywnośc, nezależnośc asymetr, zawsze prowadz do optymalnego przydzału kandydatów do szkół. Poawa sę wele pytań zwązanych z poruszaną problematyką: Jake rodzae funkc odrzuceń (oprócz funkc wyznaczonych przez sztywne mękke lmty przyęć) odpowadaą kryterom przyęć stosowanym w praktyce czy spełnaą one podane w pracy warunk (a węc w akch przypadkach w praktyce może być stosowany algorytm UGS)? Czy podane warunk są nezależne (czy np. któryś z nch ne wynka z nnego)? Czy możlwe są nne układy warunków dla funkc odrzuceń, gwarantuące poprawne dzałane algorytmu UGS (tzn. gwarantuące, że algorytm ten prowadz do rozwązana optymalnego)? Czy podane warunk są koneczne, czy tylko wystarczaące dla poprawnego dzałana algorytmu UGS? Udzelene (chocażby częścowe) odpowedz na te pytana może ułatwć analzę optymalzacę funkconuących proektowanych systemów rekrutac kandydatów do szkół lub nnych podobnych systemów (np. systemów rekrutac pracownków do frm). Bblografa [1] ALKAN A., GALE D., Stable schedule matchng under revealed preference, Journal of Economc Theory, 2003, nr 112, s. 289 306. [2] BALINSKI M., SÖNMEZ T., A Tale of Two Mechansms: Student Placement, Journal of Economc Theory, 1999, nr 84, s. 73 94. [3] EHLERS L., Monotonc and mplementable solutons n generalzed matchng problems, Journal of Economc Theory, 2004, nr 114, s. 358 369. [4] GALE D., SHAPLEY S., College admssons and the stablty of marrage, Amercan Mathematcal Monthly, 1962, nr 69, s. 9 15. [5] PAWŁOWSKI J., Żeby w wynku naboru nkt ne poczuł sę nabrany. Rodzcelske reflekse po egzamnach do szkół średnch, Informatyka w szkole Buletyn Informacyny, 31(2000), (www.vulcan.edu.pl/buletyn).
98 Z. ŚWITALSKI Optmal recrutment system of canddates to schools We generalze a well-known Gale Shapley algorthm [4] concernng optmal assgnment of canddates to schools. In the classcal Gale Shapley model we consder a set of schools (colleges) S, a set of canddates K, canddates preferences n S and schools preferences n the set K (represented by strct lnear orders). We assume that each school has a quota q,.e. q, s the maxmal number of canddates whch t can admt. We want to assgn canddates to schools n such a way that some condton of stablty (defned n [4]) s satsfed. In our generalzed model schools preferences are represented by the socalled reecton functons. We ntroduce a generalzed stablty condton and formulate condtons under whch the generalzed G S algorthm leads to stable and optmal assgnments. Our results can be appled n practce, e.g., they can help n constructng computerzed recrutment systems, n whch we want to ncorporate soft quotas and tes between canddates. Keywords: recrutment system, two-sded matchng problem, Gale Shapley algorthm