Metoda wyznaczania najtańszych 1-diagnozowalnych struktur opiniowania diagnostycznego

Transkrypt

1 BIULETYN INSTYTUTU AUTOMATYKI I ROBOTYKI NR 7, 2002 Metoda wyznaczana natańszych -dagnozowalnych struktur opnowana dagnostycznego Roman KULESZA Zakład Automatyk, Instytut Automatyk Robotyk WAT, ul. Kalskego 2, Warszawa STRESZCZENIE: W artykule przedstawono metody (przyblżone dokładną) proektowana -dagnozowalnych struktur opnowana dagnostycznego systemu w przypadku, gdy zachodz potrzeba uwzględnana uogólnonych kosztów wzaemnego testowana sę elementów systemu. Metody te maą zastosowane, mędzy nnym, przy proektowanu struktur dagnostycznych sec komputerowych. Przedstawono równeż sposób określena lczby spónych oraz dowolnych, zaetyketowanych -optymalnych struktur opnowana dagnostycznego, zaweraących k elementów wyznaczono te lczby dla k 8. Artykuł est wynkem częścowym badań nad automatyzowanem procesu admnstrowana secą komputerową, prowadzonych w Instytuce Automatyk Robotyk WAT.. Wprowadzene Czasam, przy proektowanu struktury wzaemnego testowana sę elementów systemu (utożsamane często ze strukturą dagnostyczną systemu), spełnaące wymagana nezbędne do uzyskana zamerzonych własnośc dagnostycznych systemu, konecznym est uwzględnane różnego rodzau czynnków powoduących, że uogólnone koszty wzaemnego testowana sę elementów systemu, ne mogą być uważane za ednakowe. Ma to mesce (na przykład) w odnesenu do komputerowych systemów heterogencznych, w których czasy wzaemnego testowana sę określonych komputerów (przy zachowanu wymagane skutecznośc kontrolne testów) mogą różnć sę w sposób stotny (z uwag na różne możlwośc funkconalne poszczególnych komputerów) lub w odnesenu do homogencznych sec komputerowych, w których przesyłane paketów danych testuących obnża efektywność sec. 3

2 R. Kulesza W przypadku gdy ne ma potrzeby uwzględnana uogólnonych kosztów testowana, strukturę dagnostyczną systemu, dagnozowanego metodą opnowana dagnostycznego, przedstawa sę w postac przecwzwrotnego (bez pętl) grafu Berge a G ( G = E, U, e E), nazywanego grafem opnowana dagnostycznego ( [ 9 ] ). Tak węc, eżel przez K( < e, e > ) (0 < K( u) <, u U) oznaczymy uogólnony koszt testowana elementu e przez element e, to graf opsany G = G;{ K( u): u U} możemy nazwać ekonomcznym grafem opnowana dagnostycznego, a wartość K( G ) = K( u) - uogólnonym kosztem grafu G. Graf opnowana dagnostycznego (dla określonego sposobu (modelu) wnoskowana z wynków testowań) nazywamy grafem m-dagnozowalnym, eżel wnoskowane z wynków wszystkch przewdzanych (przez ten graf) testowań, umożlwa zdentyfkowane (zlokalzowane) m nezdatnych elementów systemu, pod warunkem, że ne est ch węce nż m ( m ), a graf m-dagnozowalny o mnmalnym (w sense własnym) zborze łukówgrafem m-optymalnym. Graf częścowy G grafu G, który est takm m-dagnozowalnym grafem opnowana dagnostycznego, że koszt K( G ) przymue wartość mnmalną, nazywamy natańszym (względem G ) m-dagnozowalnym grafem opnowana dagnostycznego. Zauważmy, że natańszy graf m-dagnozowalny est grafem m-optymalnym, to est takm grafem m-dagnozowalnym, którego żaden graf częścowy ne est grafem m-dagnozowalnym. Tak węc, wyznaczane natańszego grafu m-dagnozowalnego sprowadza sę do wyznaczana natańszego grafu m-optymalnego. Celem nneszego artykułu, est przedstawene metod wyznaczana natańszego, -dagnozowalnego grafu opnowana dagnostycznego. W częśc druge artykułu, przedstawmy ops formalny problemu, a w częśc trzece przyblżone metody ego rozwązana. Dokładną metodę rozwązana przedstawmy w częśc czwarte. W częśc pąte, przedstawmy sposób określena lczby spónych oraz dowolnych (nekoneczne spónych), zaetyketowanych -optymalnych struktur opnowana dagnostycznego rzędu k oraz podamy te lczby dla k 8. u U 4

3 Metody wyznaczana natańszych -dagnozowalnych struktur Ops formalny problemu Możlwośc wzaemnego testowana sę elementów zboru E oraz uogólnone koszty tych testowań, dane są w postac ekonomcznego grafu opnowana dagnostycznego G (rys.) przy czym zakłada sę, że graf G( G ) est spónym, -dagnozowalnym grafem opnowana dagnostycznego ([9]), a węc: ( E 3) ( µ ( e), e E) (( E E: E = E 2): Γ( E ) ), () gdze: µ ( e ) oznacza stopeń weścowy węzła e, a Γ( E ) - zbór tych następnków węzłów zboru E, które są elementam zboru E \ E. M ( G ) K Graf G można równeż przedstawć w postac take macerzy kosztów ( m M( G ), <, < E ), że ( < e, e > U) ( m =,, = ( < e, e > )) oraz ( < e, e > U) ( m = 0) (rys.)., Z zależnośc () wynka, że ( I : { m M( G ): m 0} ),, (( I I : I = E 2): { I \ I :( I : m 0)} ), (2), gdze I = {,..., E}. Oczywśce K G = K M G = m ( ) ( ( )).,, E Wadomo ([9], [0]), że -optymalny graf opnowana dagnostycznego (poza cyklam rzędu drugego), zarówno dla modelu PMC (Preparata F.P.; Metze G.; Chen R.T.), ak dla modelu BGM (Bars F.; Grandon F.; Maestrn P.) est takm grafem opnowana dagnostycznego, którego każda składowa spónośc zawera dokładne eden cykl zorentowany rzędu co namne trzecego, a w węzłach każdego (takego) cyklu są zagneżdżone korzene dendrytów. 5

4 R. Kulesza G c b a d f 2 3 e 4 g h l k m 5 ł 6 n o 7 u a b c d e f g h k l ł m n o K(u) M G = ( ) Rys.. Przykład ekonomcznego, -dagnozowalnego grafu opnowana dagnostycznego G (przedstawonego w postac grafczne oraz w postac macerzy M ( G ) ) Twerdzene. Przecwsymetryczny ( e' Γ( e'') ) ( e'' Γ ( e') ), przecwzwrotny graf Berge a G, w którym stopeń weścowy każdego węzła est równy eden, est -optymalnym grafem opnowana dagnostycznego. 6

5 Metody wyznaczana natańszych -dagnozowalnych struktur... D o w ó d. Poneważ stopeń weścowy każdego węzła grafu G est równy eden, to każda składowa spónośc tego grafu zawera dokładne eden cykl zorentowany oraz ma lczbę cyklomatyczną równą eden, a węc w węzłach każdego cyklu zorentowanego są zagneżdżone korzene dendrytów. Z przecwsymetrycznośc grafu G wynka natomast, że każdy ego cykl zorentowany est rzędu co namne trzecego. Z twerdzena wynka (bezpośredno) następuąca własność. Własność. Każda przecwsymetryczna (( m 0) ( m = 0)) macerz,, bnarna M ( k 3) o zerowe przekątne, zaweraąca w każde kolumne ( k k) dokładne eden element równy eden, est macerzą prześć zaetyketowanego, -optymalnego grafu opnowana dagnostycznego rzędu k. Tak węc, wyznaczene natańszego grafu częścowego N G ( G ) grafu G sprowadza sę do wyznaczena take przecwsymetryczne macerzy N częścowe M ( G ) macerzy M ( G ), które każda kolumna zawera dokładne eden element różny od zera, a suma wartośc e elementów est wartoścą mnmalną (rys. 2). Oczywśce, zastępuąc każdy nezerowy element macerzy N symbolem, otrzymamy macerz prześć grafu G ( G ). M G N ( ) M G = ( ) M G = N ( ) Rys. 2. Macerz częścowych macerzy M G est edną z dwóch możlwych takch, przecwsymetrycznych macerzy N ( ) M G ( ), których każda kolumna zawera dokładne eden element różny od zera, a suma wartośc tych elementów est wartoścą mnmalną 7

6 R. Kulesza Wyznaczene macerzy zadanem łatwym. Nech N M ( G ), w welu przypadkach, ne est M oraz m( M ) oznaczaą odpowedno: zbór nezerowych elementów -te kolumny macerzy tego zboru, a ( M = { m M : m = m( M )})., N, M ( G ) oraz mnmalną wartość elementów N M - zbór natańszych elementów zboru M Oczywśce, eżel { m M( G ):( m 0) ( m 0)} =, to,,, rozwązane est banalne polega na pozostawenu w każde kolumne, ednego (dowolnego) z natańszych elementów. W tym przypadku, stnee N N M L M E rozwązań. Jeżel I : M N = E, to rozwązane est równeż banalne polega na pozostawenu w każde kolumne, ednego takego elementu, którego element symetryczny został zredukowany (zastąpony symbolem 0). W tym przypadku stnee R ( E )(zależność ()) rozwązań. Oczywśce, w obu (powyższych) przypadkach: K G G = m M N ( ( )) ( ). E Oznaczmy Q( M( G )) = { m M( G ):( m M ) N,, ( m M ) ( M = M = )}. N N N, Jest rzeczą zrozumałą, że stopeń trudnośc wyznaczena macerzy N M ( G ) wzrasta wraz ze wzrostem lczebnośc zboru Q( M( G )). s Oznaczmy: M = { m M : m 0} ( I ).,, s Zauważmy, że pozostawene w zborze M \ M tylko ednego (dowolnego) z natańszych elementów, a zredukowane pozostałych, ne ma N wpływu na wyznaczene macerzy M ( G ). 8

7 Metody wyznaczana natańszych -dagnozowalnych struktur... Dale, będzemy analzować macerz wstępne zredukowaną, to est taką, że M G ( ), która est macerzą [(( M = ) ( m 0)) ( m = 0)],, [( M > ) ( m M : m 0)] ( I ) N,, (3) oraz Dla przykładu, macerz wstępne zredukowaną dla które: s M M + ( I). (4) M G ( ), przedstawona na rys, est macerzą 2 Q( M( G )) = Metody przyblżone N Można dążyć do wyznaczena macerzy M ( G ) za pomocą procedury sekwencynego redukowana macerzy M ( G ) (zastępowana wybranych (nezerowych) elementów macerzy M ( G ), symbolem 0), polegaące na rozstrzyganu (w każdym kroku procedury), który z nezerowych elementów (w koleno powstaące) macerzy, pozostawć ako edyny element, w określone kolumne te macerzy. Jeżel przez Ρ oraz R oznaczymy odpowedno element macerzy pozostawany (w odpowednm kroku procedury) w -te kolumne te macerzy oraz zbór e elementów redukowanych, to formalne, procedurę taką, można zapsać w postac: ( Ρ= m ) ( m = 0) ( R= M \{ m });,,, ( Ρ= m ) ( m 0) ( R= { M \{ m }} { m }).,,,, Każdorazowe rozstrzygane o tym, który z elementów macerzy pozostae w określone e kolumne, odbywa sę zgodne z następuącym regułam. Reguła : ( m M ) ( M = ) ( P = m ).,, 9

8 R. Kulesza N N N N Reguła 2: ( m M ) (( m M ) ( m M ) ( M > )),,, ( P = m )., N N N N Reguła 3: ( m M ) ( M = ) ( m M ) ( M = ),, (( m( M \{ m }) m m( M \{ m }) m ) ( P = m )).,,,,, Procedura redukowana macerzy M ( G ) zgodne z powyższym regułam, ne gwarantue wyznaczena struktury natańsze. M ( G ) = G Rys. 3. Macerz M ( G ) uzyskano z macerzy M ( G ) (rys. 2) po sekwenc P: m ; m ; m ; m ; m ; m ; m pozostawana (zgodne z regułam, 2 3) 5, 7 3, 2, 3 5, 2 6, 5 6, 4 7, 6 elementów macerzy M ( G ) ( G - struktura odpowadaąca macerzy M ( G )) Dla przykładu, można upewnć sę, że sekwenca P: m ; m ; m ; m ; m ; m ; m pozostawana (zgodne z regułam, 2 3) 5,7 3, 2,3 5,2 6,5 6,4 7,6 elementów macerzy M G ( ), przedstawone na rys.2, wyznacza macerz 0

9 Metody wyznaczana natańszych -dagnozowalnych struktur... ( G ) (rys.3), dla które M (rys. 2). K( M ( G )) = 22 natomast K M G = N ( ( )) 2 Rozpatrzmy nny sposób wyznaczana zboru quas-natańszych, -optymalnych struktur opnowana dagnostycznego. M G ( ) Nech z M ( M( G )) oznacza macerz uzyskaną z macerzy w tak sposób, że ( m = 0) ( m = 0) z,, oraz ( m 0) ( m = m m( M ) + ( m, m( M )) + ) (5) z,,,, gdze ( m, m( M )) = m({ M }\{ m }) m,,, eżel ( m = m( M )) ( M = ) N, oraz ( m, m( M )) =0, w przypadku przecwnym. Nech M z ( ( M G )) p + oznacza macerz uzyskaną, w analogczny (do powyższego) sposób, z macerzy z = M ( M( G ))), to est M z ( ( M G )) = p+ z M ( M( G )) ( p, M ( M( G )) = p z M M M G, a z z ( ( ( ))) p zbór nezerowych elementów -te kolumny macerzy M M G Z zależnośc (5) wynka, że z p( ( )). M M G - z ( ( )) p, p I m M G = (6) z : ( ( )). p,

10 R. Kulesza Nech M ( M ( M( G ))) oznacza macerz utworzoną z macerzy z p M z ( M( G )) spełnaące zależność (6), po zredukowanu (do wartośc równe p 0) elementów o wartośc wększe od. Zauważmy, że zależność (5) wyraża,,lokalny przyrost uogólnonego N kosztu macerzy M ( G ) spowodowany wybranem elementu m, ako edynego elementu w -te kolumne te macerzy. z Tak węc, każda taka macerz utworzona z macerzy M ( M ( M( G ))) p przez zredukowane nektórych elementów o wartośc równe, która est macerzą przecwsymetryczną zaweraącą w każde kolumne dokładne eden element o wartośc równe, uważana est za macerz prześć quas-natańszego -optymalnego grafu opnowana dagnostycznego. Dla przykładu ( rys.4 ): M = z M ( M( G )) dla macerzy z z rys. oraz M = M ( M ) przy czym macerz M spełna zależność ( 6 ). M ( G ) Tak węc, macerz M,,ndukue dwe quas-natańsze struktury (względem struktury G z rys.), które przedstawone są na rys M = M = z z Rys. 4. Macerze M = M ( M( G )) M = M ( M ) wyznaczone (zgodne z zależnoścą (5)) dla macerzy M ( G ) z rys. 2

11 Metody wyznaczana natańszych -dagnozowalnych struktur Rys.5. Struktury quas-natańsze względem struktury G z rys. Dale przekonamy sę, że struktury przedstawone na rys. 5 są edynym, natańszym strukturam względem struktury G z rys.. 4. Metoda dokładna Struktura natańsza est strukturą optymalną, a węc dokładne wyznaczene struktury natańsze polega na znalezenu w zborze struktur optymalnych, struktury natańsze. Ne oznacza to, że należy określć uogólnony koszt każde (możlwe) struktury optymalne bowem można podać reguły rozstrzygaące o tym, które ze struktur optymalnych mogą być (albo ne) strukturą natańszą. Dla przykładu, struktura z rys. ma 34 struktury -optymalne, a przekonamy sę, że wystarczy rozpatrzyć tylko 4 z nch, aby wyznaczyć (edyne stneące) dwe struktury natańsze. CG ( ) oznacza zbór cykl zorentowanych rzędu co namne Nech trzecego, stneących w grafe węzłów oraz łuków cyklu c( c C( G )). G, a E( c ) oraz U( c ) (odpowedno)- zbór Cykl c będzemy przedstawać ako cąg cyklczny c = (,,..., ) 2 E ( c ) ndeksów kolenych węzłów cyklu. Mówmy, że cykle c c są wzaemne slne nezależne, eżel E( c ) E( c ) =. Dla przykładu, graf G (rys.) ma dzewęć następuących cykl zorentowanych: c = (, 2, 3); c = (, 3, 2); c = (2,3,4,6,5); c = (2,5,6,4,3);

12 R. Kulesza c = (5,7,6); c = (, 2, 5, 6, 4, 3); c = (,3,4,6,5,2); c = (2,5,7,6,4,3) oraz c = (,2,5,7,6,4,3) przy czym tylko cykle c 9 c 5 oraz c 2 c 5 są cyklam wzaemne slne nezależnym. Zauważmy, że cykl c 9 est edynym cyklem Hamltona. Zbór C( G ) można wyznaczyć za pomocą znanych (z teor grafów ([4], [])) metod algebracznych. Ne ma węc potrzeby omawana tych metod. Zauważmy tylko, że w omawanym przykładze, zbór cykl { c,..., c } stanow 5 bazę cykl zboru CG ( ), a każdy z cykl zboru { c,..., c } est odpowedną 6 9 kombnacą lnową nektórych cykl te bazy. N Oczywśce, natańszy graf G ( G ) może być grafem o p ( p r) składowych spónośc (r- maksymalna lczebność zboru cykl wzaemne slne nezależnych). Rozpatrzymy wyznaczane struktury natańsze w klase struktur spónych. Kondensacą grafu G ( c ), utworzony z grafu G do podgrafu E c G przez: ( ) G będzemy nazywać graf zastąpene podgrafu E( c) G poedynczym węzłem e ; c k k usunęce łuków należących do zboru { u U : e ( u ) E( c)} ( e ( u )- węzeł, do którego dochodz łuk u ) oraz usunęce, poza dokładne ednym (dowolnym) z natańszych, łuków z każdego takego zboru p k p { u U :( e ( u ) E( c)) ( e ( u ) e )} ( e ( u )- węzeł z którego wychodz łuk u ), że e E\ E( c) (rys. 6). Macerz M ( G ( c )) uzyskuemy, w prosty sposób, przez: wykreślene z macerzy M ( G ) werszy kolumn o numerach odpowadaących ndeksom elementów zboru E( c ) ; uzupełnene (tak powstałe macerzy) początkowym werszem początkową kolumną zerową, etyketuąc e symbolem ( c ) oraz przypsuąc elementom perwszego wersza macerzy, wartośc m = mn{ m M( G )( m 0): I( E( c))}( I( E( c)), gdze I( E( c )) c,,, oznacza zbór numerów odpowadaących ndeksom elementów zboru E( c ). 4

13 Metody wyznaczana natańszych -dagnozowalnych struktur... G ((, 2, 3)) 5, 2, 3 7 MG ( ( c )) = 4 6 (c) (c) Rys. 6. Graf G ( c)( c = (,2,3)) oraz macerz G (przedstawonego na rys. ) M ( G ( c )) grafu Twerdzene 2. Każda taka przecwsymetryczna macerz częścowa M macerzy M ( G ( c )), które każda kolumna, z wyątkem kolumny ( c ), zawera dokładne eden element nezerowy oraz graf G( M ) est grafem spónym, przedstawa dendryt ekonomczny (dendryt o łukach opsanych przez uogólnony koszt), którego korzenem est węzeł e. c D o w ó d: Poneważ graf G( M ) est takm spónym grafem Berge a bez pętl, który ma dokładne eden węzeł e bez poprzednków ( Γ ( e ) ) c c =, a każdy węzeł zboru E( G( M ) ) \{ e c } ma dokładne eden poprzednk, to est dendrytem ekonomcznym, którego korzenem est węzeł e. c Oczywśce, zbór grafów częścowych grafu G ( c) ( c C( G )), które są dendrytam ekonomcznym o korzenu e c, ne est zborem pustym, bowem (z założena) graf G( G ) est -dagnozowalnym grafem opnowana dagnostycznego, a węc zbór spónych grafów częścowych grafu G( G ), które są -optymalnym grafam opnowana dagnostycznego, ne est zborem pustym. 5

14 R. Kulesza N Tak węc, eżel przez G ( c, G ) oznaczymy natańszy, spóny graf częścowy grafu G, który est grafem -optymalnym zaweraącym cykl c, N a przez D ( G ( c)) - natańszy graf częścowy grafu G ( c ), który est dendrytem ekonomcznym o korzenu e, to c N N K( G ( c, G )) = K( c) + K( D ( G ( c))), (7) gdze: K( c) = K( u); u U( c) K D G c K u U G c N ( ( ( ))) = ( ) ( ( ( )) ) N u U( D ( G ( c))) oraz ( U( G ( c )) = ) N ( K( D ( G ( c ))) = 0). N Wartość K( D ( G ( c ))) ( U( G ( c)) ) określamy albo przez wyznaczene (zgodne z twerdzenem 2) take przecwsymetryczne macerzy częścowe macerzy M ( G ( c )), które każda kolumna zawera dokładne eden element nezerowy, a suma wartośc tych elementów est wartoścą mnmalną sprawdzene czy graf opsany, odpowadaący take macerzy, est grafem spónym albo przez wybrane ze zboru ekonomcznych karkasów grafu G ( c ), natańszego dendrytu ekonomcznego o korzenu e. Wadomo, że karkas grafu G można wyznaczyć przez wykreślene z bnarne macerzy ncydenc M ( G ) grafu G, λ ( G ) ( λ ( G )- lczba cyklomatyczna grafu G ) kolumn sprawdzenu czy tak powstała macerz M( G ), est bnarną macerzą ncydenc spónego grafu G. Jeżel tak, to graf G est karkasem grafu G. Aby sprawdzć czy macerz ( ) M G est bnarną macerzą ncydenc spónego grafu, należy wykreślć z ne take dwe kolumny, których loczyn logczny ne est wektorem zerowym oraz dopsać kolumnę, która est sumą logczną kolumn wykreślonych. Z tak uzyskaną macerzą należy postąpć analogczne. Jeżel w wynku dowolne sekwenc takego postępowana, c 6

15 Metody wyznaczana natańszych -dagnozowalnych struktur... dopsywana kolumna będze zawerać same edynk, to graf G est grafem spónym. Na przykład, można przekonać sę, że dla grafu G ( c ) ( c = (,2,3)) przedstawonego na rys.6 stnee 2 karkasów, z których tylko 6 est dendrytam o korzenu e c, przy czym uogólnony koszt natańszego z tych dendrytów równa sę 4. Tak węc, w nagorszym przypadku, powtarzaąc rozwązane dla wszystkch cykl ze zboru C( G ), wyznaczamy natańszy poszukwany N graf G ( G ), w klase grafów spónych. W welu przypadkach, zbór cykl wśród których należy poszukwać takego rozwązana, można ogranczyć do zboru C ( C C( G ). Oczywśce [( E( c ) = E( c )) ( K( c ) > K( c ))] [ c C ]. (8) Zauważmy, że kres dolny K oraz kres górny K kosztu dendrytu nf sup D( G ( c )) można określć sumuąc po kolumnach macerzy M ( G ( c )), wartośc -odpowedno- natańszego (nezerowego) oraz nadroższego elementu w każde kolumne macerzy, to est K ( D( G ( c))) = K ( M( G ( c))) nf mn, I( M( G ( c))) oraz K ( D( G ( c))) = K ( M( G ( c))) sup max, I( M ( G ( c))) gdze: K ( M( G ( c))) = mn{ m M( G ( c)), m 0 : mn,,, : I( M( G ( c)))} ( I( M( G ( c))); 7

16 R. Kulesza K ( M( G ( c))) = max{ m M( G ( c)): max,, : I( M( G ( c)))} ( I( M( G ( c))), a I( M( G ( c ))) oznacza zbór ndeksów macerzy Oczywśce M ( G ( c )). [ Kc ( ) + K ( DG ( ( c ))) > Kc ( ) + K ( DG ( ( c )))] [ c C ]. (9) nf sup Dla przykładu, w tablcy zestawono wartośc Kc () dla wszystkch cykl c( c C( G )) grafu (odpowadaące dendrytom G (przedstawonego na rys. ) oraz D( G ( c ))) wartośc K K. nf sup Tablca c Kc ( ) K nf K sup (,2,3) (,3,2) (2,3,4,6,5) (2,5,6,4,3) (5,7,6) (,2,5,6,4,3) (,3,4,6,5,2) (2,5,7,6,4,3) (,2,5,7,6,4,3) Z tablcy oraz z zależnośc (7), (8) (9) wynka, że natańsza struktura (w klase struktur spónych) ne zawera cyklu należącego do zboru N N { c, c, c, c, c } oraz że K( G ( c, G ) ) = K( G ( c, G ) ) = Poneważ E( c ) = E( c ), to G ( c ) = G ( c ), natomast z macerzy 2 2 M ( G ( c )) (rys. 6) twerdzena 2 wynka (bezpośredno), że N K( D ( G ( c ))) > 3, a węc żadna ze struktur zaweraących cykl c 2, ne est strukturą natańszą. Analogczne, wyznaczaąc macerz M ( G ( c )), 5 N otrzymuemy, że K( D ( G ( c ))) >

17 Metody wyznaczana natańszych -dagnozowalnych struktur... Tak węc, w klase struktur spónych stneą tylko dwe struktury natańsze (zaweraące cykl c lub cykl c (rys. 5)). 4 8 Poszukwane struktur natańszych w klase struktur o welu składowych spónośc, sprowadza sę do dekomponowanu grafu G (za pomocą przekroów mnmalnych) na wszystke możlwe grafy, w których każda składowa spónośc zawera (co namne) eden cykl ze zboru C( G ), wyznaczanu takego grafu częścowego, każde z tych składowych spónośc, który est natańszym, -dagnozowalnym grafem opnowana dagnostycznego. Zauważmy, że dla grafu z rys. natańsze rozwązane ne należy do klasy struktur o welu składowych spónośc, bowem mogą stneć tylko struktury o dwu składowych spónośc (zaweraące (odpowedno) cykle c c 5 lub c 2 c ), a koszt natańszego z takch rozwązań est wększy 5 N od K( c ) + K( c ) = K( G ( G ))(tab.) Metoda przelczana zaetyketowanych struktur -optymalnych Pokażemy ak można określć lczbę S ( k ) spónych oraz lczbę R ( k ) dowolnych (nekoneczne spónych) zaetyketowanych -optymalnych struktur opnowana dagnostycznego rzędu k wyznaczymy te lczby dla k 8. c Nech Λ ( k) oznacza zbór takch rozkładów λ ( λ = ( λ,..., λ ) ) c lczby naturalne k ( k c ) na c składnków prostych, że λ λ L λ 2 c a M ( λ) - macerz charakterystyczną rozkładu λ, to est taką macerz wymaru (2 r( λ)) ( r( λ) - lczba różnych wartośc składnków rozkładu λ ), że m ( λ),..., m ( ),, r ( λ λ est maleącym cągem wartośc ake przymuą składnk ) rozkładu λ, natomast m 2, ( λ ) ( r( λ)) est lczbą składnków rozkładu λ o wartośc m ( λ ) ([])., Oczywśce oraz m ( λ ) + L + m = c r 2, 2, ( λ ) m ( λ) m ( λ) + L + m m = k., 2,, r( λ) 2, r( λ) 9

18 R. Kulesza Zauważmy, że lczba c S ( λ ) ( λ Λ ( k )) rozważanych struktur zaweraących r( λ ) rodzn dendrytów, z których każda ma m ( λ ) dendrytów 2, rzędu m ( λ ), est loczynem:, lczby Z ( λ ) sposobów rozdzelena etyket na poszczególne rodzny dendrytów; lczb Pm ( ( λ), m ( λ )) ( r( λ )) sposobów rozdzelena etyket, 2, mędzy poszczególne dendryty w ramach każde rodzny dendrytów; m2, ( λ ) lczb ( D ( m ( ))), λ wszystkch zaetyketowanych dendrytów rzędu m ( λ ) ( r( λ)) oraz lczby ( c )! sposobów, utworzena cyklu zorentowanego rzędu c (zaweraącego c korzen dendrytów). Tak węc: k S k c Z ( ) = ( )! ( λ) c c= 3 λ Λ ( k ) r ( λ ) m2, ( λ ) Pm ( ( λ), m ( λ)) ( D( m ( λ))). (0), 2,, = Oczywśce: eżel r( λ) =, to Z( λ) = ; eżel k r( λ) = 2, to Z( λ) = ; m ( λ) m ( λ), 2, eżel r( λ) 3, to k Z( λ) = m ( λ) m ( λ), 2, r ( λ ) k m m + + m m m ( λ) m ( λ) ( ( λ) ( λ) ( λ) ( λ)), 2,, 2,. = 2, 2, 20

19 Metody wyznaczana natańszych -dagnozowalnych struktur... Posługuąc sę kombnatoryką matematyczną, lczbę Pa (, b ) podzałów a b lczb na b podzborów o ednakowe lczebnośc równe a, możemy wyznaczyć z zależnośc oraz (dla a 2, b 2) Pa (, ) = P(, b) = 2 2 2

20 R. Kulesza λ ϕ:3 ϕ k R k Z ( ) = ( λ) ϕ ϕ = λ Λ ( k ): λϕ 3 r ( ) m2, ( λ ) Pm ( ( λ), m ( λ)) ( S( m ( λ))). (), 2,, = Szereg tworzący R ( x ) (dla perwszych ośmu członów) ma węc postać: R ( x) = 2x + 30x + 420x x x x +L. Oczywśce, metoda przelczana nezaetyketowanych -optymalnych struktur opnowana dagnostycznego (przedstawona w pracy [0]) est bardze złożona, od metody przelczana takch struktur zaetyketowanych (z uwag na koneczność uwzględnana występowana odwzorowań automorfcznych struktur). Dla porównana, szereg tworzące S( x ) spónych oraz R( x ) dowolnych (nekoneczne spónych), nezaetyketowanych, -optymalnych struktur opnowana dagnostycznego (dla perwszych trzynastu wyrazów) maą postać: oraz S( x) x 2x 5x 5x 40x 8x 34x 970x = x x x +K Rx ( ) x 2x 5x 6x 42x 26x 367x 057x = K x 9208x x. 6. Podsumowane Wyznaczane natańsze -dagnozowalne struktury opnowana dagnostycznego, nastręcza kłopotów tylko wtedy, gdy stnee taka para elementów systemu, że koszt testowana ednego z nch przez drug, est nanższy z kosztów testowana go przez nne elementy systemu. Tym trudne est wyznaczyć strukturę natańszą, m lczebność zboru takch par elementów systemu est wększa. 22

21 Metody wyznaczana natańszych -dagnozowalnych struktur... Możlwośc wzaemnego testowana sę elementów systemu uogólnone koszty takch testowań, wygodne est przedstawać w postac macerzy kosztów, równoważne opsanemu (ekonomcznemu) danozowalnemu grafow opnowana dagnostycznego (p.2), a w przyblżonych metodach wyznaczana struktury quas-natańsze (p.3) oraz w dokładnych metodach wyznaczana struktury natańsze (p.4) - wykorzystać dzałana na take macerzy. Przyblżone metody wyznaczana struktury quas-natańsze są (stosunkowo) proste daą rezultaty, które (w welu przypadkach) można uznać za wystarczaące. Metody te łatwo poddaą sę komputerowe realzac. Dokładna metoda wyznaczana struktury natańsze est metodą (stosunkowo) złożoną polega na sukcesywnym redukowana zboru, do którego należy rozwązane. Komputerowa realzaca metody (oby mała mesce) będze węc meć charakter systemu eksperckego. Zaletą metody est możlwość wyznaczena wszystkch struktur natańszych. Znaomość lczby zaetyketowanych, -optymalnych struktur opnowana dagnostycznego określonego rzędu (p.5), pozwala zorentować sę aka est lczebność zboru struktur optymalnych, wśród których poszukwana est struktura natańsza. Lteratura: [] Andrews G.E.: The Theory of Parttons, London, Addson-Wesley Publshng Company, 976. [2] Bars F., Grandon F., Maestrn P.: A Theory of Dagnosablty of Dgtal Systems, IEEE Trans. on Comput. 6, 976, pp [3] Harary F., Palmer E.: Graphcal Enumeraton, New York and London, Academc Press, 973. [4] Korzan B.: Elementy teor grafów sec, WNT, Warszawa, 978. [5] Krawczyk H.: Analza synteza samodagnozowalnych systemów komputerowych, Zeszyty Naukowe Poltechnk Gdańske, Elektronka nr 64, Gdańsk, 987. [6] Kulesza R.: Nektóre własnośc grafów opnowana dagnostycznego, Kraowy Kongres Metrolog, Gdańsk 98, 998, tom 5, s [7] Kulesza R., Wach A.K.: Wyznaczane m-dagnozowalnych grafów opnowana dagnostycznego, Kraowy Kongres Metrolog, Gdańsk 98, 998, tom 5, s [8] Kulesza R., Wach A.K.: The Determnaton of a 2-optmal Dgraphs Set for a One- Step Dagnoss of System, 9 th IMECO TC-0, Internatonal Conference on Techncal Dagnostcs, September 999, Wrocław, Poland, pp

22 R. Kulesza [9] Kulesza R.: Podstawy dagnostyk sec logcznych komputerowych, Instytut Automatyk Robotyk, Wydzał Cybernetyk Woskowe Akadem Technczne, Warszawa, 2000, ss [0] Kulesza R.: Metoda przelczana -optymalnych struktur opnowana dagnostycznego, Buletyn Instytutu Automatyk Robotyk WAT, 200, nr 6, s [] Kulkowsk J.L.: Zarys teor grafów, PWN, Warszawa, 986. Recenzent: prof. dr hab. nż. Lesław Będkowsk Praca wpłynęła do redakc