16. CO KRYJE TWIERDZENIE PITAGORASA? 1. Realizowane treœci podstawy programowej Przedmiot Realizowana treœæ podstawy programowej Matematyka 10. Figury p³askie. Uczeñ: oblicza pole ko³a, pierœcienia ko³owego, wycinka ko³owego stosuje twierdzenie Pitagorasa oblicza pola i obwody trójk¹tów i czworok¹tów rozpoznaje wielok¹ty przystaj¹ce i podobne rozpoznaje wielok¹ty foremne i korzysta z ich podstawowych w³asnoœci Fizyka 8. Wymagania przekrojowe. Uczeñ: pos³uguje siê pojêciem niepewnoœci pomiarowej zapisuje wynik pomiaru lub obliczenia fizycznego jako przybli ony (z dok³adnoœci¹ do 3 cyfr znacz¹cych) Informatyka. Wyszukiwanie i wykorzystywanie (gromadzenie, selekcjonowanie, przetwarzanie) informacji z ró nych Ÿróde³; wspó³tworzenie zasobów w sieci Uczeñ: pos³uguj¹c siê odpowiednimi systemami wyszukiwania, znajduje informacje w internetowych zasobach danych, katalogach, bazach danych. Kszta³cone kompetencje matematyczne i podstawowe kompetencje naukowo-techniczne, informatyczne, uczenia siê. 3. Cele zajêæ blokowych pokazanie innej wersji twierdzenia Pitagorasa, uczeñ bêdzie móg³ podawaæ cechy podobieñstwa figur, korzystaj¹c z przeprowadzonego przez siebie doœwiadczenia. Podstaw¹ tego doœwiadczenia bêdzie w³aœnie twierdzenie Pitagorasa, uczeñ pozna wiele zastosowañ twierdzenia Pitagorasa w yciu codziennym. strona 156
4. Oczekiwane osi¹gniêcia ucznia Uczeñ: konstruuje trójk¹t równoramienny, konstruuje trójk¹t równoboczny, konstruuje szeœciok¹t, wyznacza d³ugoœæ z zadan¹ dok³adnoœci¹, oblicza pola trójk¹ta dowolnego, równoramiennego i równobocznego, korzysta z tego, e szeœciok¹t foremny sk³ada siê z szeœciu trójk¹tów równobocznych, rozpoznaje figury podobne. 5. Wykaz pomocy dydaktycznych Lp. Pomoc dydaktyczna do przeprowadzenia eksperymentu Iloœæ sztuk 1 komputer z dostêpem do Internetu Jeden na kilka osób cyrkiel Jeden na ucznia 3 linijka Jedna na ucznia 4 kalkulator Jedna na ucznia 5 kartki formatu A4 w kratkê Dwie na ucznia 6. Proponowany przebieg zajêæ z rozliczeniem czasowym Lp. Opis kolejnych dzia³añ Uwagi do realizacji dla nauczyciela (rysunki, schematy, fotografie, linki do WWW itp.) Czas trwania w min 1 Rozdanie kart pracy uczniom. Ka dy uczeñ pracuje samodzielnie. 1 Narysowanie trójk¹ta prostok¹tnego 3cmx4cmx5cm. 3 Zbudowanie dowolnych trójk¹tów równoramiennych na trójk¹cie prostok¹tnym. 4 Obliczenie wysokoœci trójk¹tów równoramiennych i ich pól. 5 Sprawdzenie s³usznoœci twierdzenia o zwi¹zku miêdzy polami trójk¹tów. 6 Narysowanie trójk¹ta prostok¹tnego 3cmx4cmx5cm. 7 Zbudowanie trójk¹tów równobocznych na ka dym boku trójk¹ta prostok¹tnego. Ka dy uczeñ pracuje samodzielnie. 1 Ka dy uczeñ pracuje samodzielnie. 7 Ka dy uczeñ pracuje samodzielnie. strona 157
Lp. Opis kolejnych dzia³añ Uwagi do realizacji dla nauczyciela (rysunki, schematy, fotografie, linki do WWW itp.) Czas trwania w min 8 Obliczenie pól trójk¹tów równobocznych Ka dy uczeñ pracuje samodzielnie. 9 Sprawdzenie s³usznoœci twierdzenia o zwi¹zku miêdzy polami trójk¹tów. 10 Narysowanie trójk¹ta prostok¹tnego 3cmx4cmx5cm. Ka dy uczeñ pracuje samodzielnie. 1 11 Zbudowanie na bokach trójk¹ta prostok¹tnego trzech trójk¹tów dowolnych, których boki bêd¹ do siebie proporcjonalne. Ka dy uczeñ pracuje samodzielnie. 10 1 Wyznaczenie d³ugoœci wysokoœci trójk¹tów z dok³adnoœci¹ do 1 mm. 13 Obliczenie pól wszystkich trójk¹tów. Ka dy uczeñ pracuje samodzielnie. 14 Sprawdzenie s³usznoœci twierdzenia o zwi¹zku miêdzy polami trójk¹tów. 15 Narysowanie trójk¹ta prostok¹tnego 3cm x 4cm x 5cm. Ka dy uczeñ pracuje samodzielnie. 1 16 Zbudowanie na bokach trójk¹ta prostok¹tnego szeœciok¹tów foremnych. Ka dy uczeñ pracuje samodzielnie. 10 17 Obliczenie pól wszystkich szeœciok¹tów. Ka dy uczeñ pracuje samodzielnie. 5 18 Sprawdzenie s³usznoœci twierdzenia o zwi¹zku miêdzy polami szeœciok¹tów. 19 Narysowanie trójk¹ta prostok¹tnego 3cmx4cmx5cm. Ka dy uczeñ pracuje samodzielnie. 1 0 Zbudowanie na bokach trójk¹ta prostok¹tnego pó³koli o promieniach równych po³owie d³ugoœci boków trójk¹ta. Ka dy uczeñ pracuje samodzielnie. 1 Obliczenie pól pó³koli. Ka dy uczeñ pracuje samodzielnie. Sprawdzenie s³usznoœci twierdzenia o zwi¹zku miêdzy polami pó³koli. 3 Udzielenie odpowiedzi na pytanie 6 i 7. Ka dy uczeñ pracuje samodzielnie. 5 strona 158 4 Wyszukanie w Internecie 3 zastosowañ twierdzenia Pitagorasa. Ka dy uczeñ pracuje samodzielnie. 10 5 Wype³nienie ankiet i oddanie kart pracy. Ka dy uczeñ pracuje samodzielnie. 4 Ca³kowity czas trwania jednostki 90
7. Obudowa do zajêæ blokowych Przyk³adowe rozwi¹zanie: 1. Narysowanie trójk¹ta prostok¹tnego o bokach d³ugoœci 3 cm x 4 cm x 5 cm 1 pkt. Narysowanie dowolnych trójk¹tów równoramiennych o podstawach, których d³ugoœci s¹ równe d³ugoœciom boków trójk¹ta prostok¹tnego 3 pkt (po 1 pkt za ka dy trójk¹t). Obliczenie wysokoœci ka dego zbudowanego trójk¹ta równoramiennego 3 pkt (po 1 pkt za ka d¹ wysokoœæ). Obliczenie pól trójk¹tów równoramiennych 3 pkt (po 1 pkt za ka de pole). Sprawdzenie s³usznoœci twierdzenia zawartego w treœci zadania i udzielenie odpowiedzi na pytanie pkt (po 1 pkt za ka de polecenie). Spodziewamy siê, e uczeñ nie zgodzi siê, e w rozpatrywanym przyk³adzie twierdzenie by³o prawdziwe. Wyj¹tkiem mo e byæ sytuacja, w której uczeñ narysuje trójk¹ty równoramienne, których ramiona bêd¹ w takich proporcjach, jak ich podstawy. Podstawami, za ka dym razem, s¹ boki trójk¹ta prostok¹tnego.. Narysowanie trójk¹ta prostok¹tnego o bokach d³ugoœci 3 cm x 4 cm x 5 cm 1 pkt. Narysowanie trójk¹tów równobocznych o bokach, których d³ugoœci s¹ równe d³ugoœciom boków trójk¹ta prostok¹tnego 3 pkt (po 1 pkt za ka dy szeœciok¹t). Obliczenie pól trójk¹tów równobocznych 3 pkt (po 1 pkt za ka de pole). Sprawdzenie s³usznoœci twierdzenia zawartego w treœci zadania i udzielenie odpowiedzi na pytanie pkt (po 1 pkt za ka de polecenie). Uczeñ powinien daæ odpowiedÿ potwierdzaj¹c¹ s³usznoœæ twierdzenia zawartego w treœci zadania. 3. Narysowanie trójk¹ta prostok¹tnego o bokach d³ugoœci 3 cm x 4 cm x 5 cm 1 pkt Zmierzenie linijk¹ d³ugoœci wysokoœci ka dego zbudowanego trójk¹ta z dok³adnoœci¹ do 0,1cm 3 pkt (po 1 pkt za ka d¹ wysokoœæ). Obliczenie pól trójk¹tów 3 pkt (po 1 pkt za ka de pole). Sprawdzenie s³usznoœci twierdzenia zawartego w treœci zadania i udzielenie odpowiedzi na pytanie pkt (po 1 pkt za ka de polecenie). Uczeñ powinien daæ odpowiedÿ potwierdzaj¹c¹ s³usznoœæ twierdzenia zawartego w treœci zadania. 4. Narysowanie trójk¹ta prostok¹tnego o bokach d³ugoœci 3 cm x 4 cm x 5 cm 1 pkt. Narysowanie szeœciok¹tów foremnych o bokach, których d³ugoœci s¹ równe d³ugoœciom boków trójk¹ta prostok¹tnego 3 pkt (po 1 pkt za ka dy szeœciok¹t). Obliczenie pól szeœciok¹tów 3 pkt (po 1 pkt za ka de pole). Sprawdzenie s³usznoœci twierdzenia zawartego w treœci zadania i udzielenie odpowiedzi na pytanie pkt (po 1 pkt za ka de polecenie). strona 159
Uczeñ powinien daæ odpowiedÿ potwierdzaj¹c¹ s³usznoœæ twierdzenia zawartego w treœci zadania. 5. Narysowanie trójk¹ta prostok¹tnego o bokach d³ugoœci 3 cm x 4 cm x 5 cm 1 pkt. Narysowanie pó³koli o promieniach, których d³ugoœci s¹ równe po³owie d³ugoœci poszczególnych boków trójk¹ta prostok¹tnego 3 pkt (po 1 pkt za ka dy szeœciok¹t). Obliczenie pól pó³koli 3 pkt (po 1 pkt za ka de pole). Sprawdzenie s³usznoœci twierdzenia zawartego w treœci zadania i udzielenie odpowiedzi na pytanie pkt (po 1 pkt za ka de polecenie). Uczeñ powinien daæ odpowiedÿ, potwierdzaj¹c¹ s³usznoœæ twierdzenia zawartego w treœci zadania. 6. Udzielenie poprawnej odpowiedzi na pytanie 1pkt Jeœli na danym trójk¹cie prostok¹tnym zbudujemy figury podobne w skali równej a: b: c, to pole figury zbudowanej na przeciwprostok¹tnej trójk¹ta prostok¹tnego bêdzie równe sumie pól figur zbudowanych na przyprostok¹tnych tego trójk¹ta. 7. Udzielenie poprawnej odpowiedzi na pytanie 1 pkt Figury podobne 8. Znalezienie 3 zastosowañ twierdzenia Pitagorasa 3 pkt Przyk³ady zastosowañ: rysowanie odcinków o d³ugoœciach wyra onych liczbami niewymiernymi, obliczanie d³ugoœci odcinków w uk³adzie wspó³rzêdnych, na czym w rzeczywistoœci polega chodzenie na skróty, przep³ywanie rw¹cej rzeki na drug¹ stronê, do obliczania pól wielu figur o zadanym boku. 8. Literatura uzupe³niaj¹ca, zalecana podrêczniki i artyku³y 1. Podrêczniki do matematyki do gimnazjum.. Miniatury matematyczne. strona 160
9. Karta pracy ucznia Co kryje twierdzenie Pitagorasa? Podrêczniki szkolne zawieraj¹ najbardziej rozpowszechnion¹ wersjê twierdzenia Pitagorasa, która brzmi: W trójk¹cie prostok¹tnym suma kwadratów d³ugoœci przyprostok¹tnych jest równa kwadratowi d³ugoœci przeciwprostok¹tnej. Z interpretacji geometrycznej twierdzenia wynika, e jeœli na bokach trójk¹ta prostok¹tnego zbudujemy trzy kwadraty (d³ugoœci boków poszczególnych kwadratów bêd¹ odpowiednio równe d³ugoœciom boków trójk¹ta prostok¹tnego), to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostok¹tnych bêdzie równa polu kwadratu, który zbudowaliœmy na przeciwprostok¹tnej. P=c P=a a+b=c P=b Ta interpretacja geometryczna to w rzeczywistoœci wersja twierdzenia, któr¹ poda³ sam Pitagoras. Twoim zadaniem bêdzie sprawdzenie, czy taki zwi¹zek, jak pomiêdzy polami kwadratów, bêdzie istnia³ tak e dla innych figur geometrycznych, zbudowanych na bokach trójk¹ta prostok¹tnego. Jeœli tak, to dla jakich figur? 1. Narysuj trójk¹t prostok¹tny o bokach d³ugoœci 3 cm, 4 cm i 5 cm. Na ka dym boku trójk¹ta zbuduj dowolne trójk¹ty równoramienne. U yj cyrkla. Zapisz: d³ugoœæ ramienia trójk¹ta zbudowanego na krótszej przyprostok¹tnej: l 1 = d³ugoœæ ramienia trójk¹ta zbudowanego na d³u szej przyprostok¹tnej: l = d³ugoœæ ramienia trójk¹ta zbudowanego na przeciwprostok¹tnej: l 3 = strona 161
Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa i oblicz wysokoœci wszystkich trójk¹tów. h 1 h h 3 1 a 1 b 1 c 1 h1 a l1 1 h b l 1 h3 c l h 1 = h = h 3 = Oblicz pola wszystkich trójk¹tów. P 1 = P = P 3 = 3 SprawdŸ, czy P1 P P3. OdpowiedŸ: strona 16. Narysuj trójk¹t prostok¹tny o bokach d³ugoœci 3 cm, 4 cm i5cm. Na ka dym boku trójk¹ta zbuduj trójk¹ty równoboczne. U yj cyrkla. Pole dowolnego trójk¹ta równobocznego mo esz obliczyæ ze wzoru: P d³ugoœæ boku trójk¹ta. Pola trójk¹tów równobocznych zbudowanych na trójk¹cie prostok¹tnym to: P 1 = P = P 3 = SprawdŸ, czy P 1 + P = P 3. OdpowiedŸ: a 3 4, gdzie
3. Narysuj trójk¹t prostok¹tny o bokach d³ugoœci 3 cm, 4 cm i 5 cm. Na ka dym boku trójk¹ta zbuduj dowolny trójk¹t tak, eby d³ugoœci poszczególnych ramion trójk¹ta by³y do siebie proporcjonalne tak, jak d³ugoœci podstaw trójk¹tów. Przyjmij, e podstawami trójk¹tów s¹ boki trójk¹ta prostok¹tnego. Mo esz skorzystaæ z proporcji zaznaczonych na rysunku: 5 3 m n 5 3 n 3cm 5cm m 4cm 4 3 m 4 3 n W ka dym trójk¹cie narysuj wysokoœci padaj¹ce na podstawy równe 3 cm, 4 cm i 5 cm. Za pomoc¹ linijki zmierz ich d³ugoœci z dok³adnoœci¹ do 1 mm. h 1 = h = h 3 = Pola odpowiadaj¹cych im trójk¹tów oblicz ze wzoru: P P 1 = P = P 3 = SprawdŸ, czy P1 P P3. OdpowiedŸ: ah 1 4. Narysuj trójk¹t prostok¹tny o bokach d³ugoœci 3 cm, 4 cm i 5 cm. Na bokach trójk¹ta zbuduj szeœciok¹ty foremne. Aby na jednym boku trójk¹ta zbudowaæ szeœciok¹t foremny nale y: Najpierw przy u yciu cyrkla na podanym boku trójk¹ta prostok¹tnego zbudowaæ trójk¹t równoboczny. Nastêpnie do tak skonstruowanego trójk¹ta równobocznego doklejaæ kolejne identyczne trójk¹ty równoboczne, tak e przy u yciu cyrkla. strona 163
Wszystkich trójk¹tów równobocznych musi byæ w sumie 6. Pole szeœciok¹ta to szeœæ pól identycznych trójk¹tów równobocznych. a 3 Dlatego: Psz 6 4 P sz1 = P sz = P sz3 = SprawdŸ, czy Psz 1 Psz Psz3. OdpowiedŸ: 5. Narysuj trójk¹t prostok¹tny o bokach d³ugoœci 3 cm, 4 cm i5cm. Na ka dym boku trójk¹ta prostok¹tnego zbuduj pó³kole o promieniu równym po³owie d³ugoœci ka dego boku. Pole pó³kola mo esz obliczyæ ze wzoru: P 1 r P 1 = P = P 3 = SprawdŸ, czy P1 P P3. OdpowiedŸ: 6. Jakie warunki powinny spe³niaæ figury zbudowane na trójk¹cie prostok¹tnym, aby prawdziwe by³o twierdzenie, e pole figury zbudowanej na d³u szym boku takiego trójk¹ta jest równe sumie pól figur zbudowanych na krótszych bokach tego trójk¹ta? 7. Jak nazywaj¹ siê takie figury? 8. ZnajdŸ w Internecie 3 zastosowania twierdzenia Pitagorasa w yciu codziennym i wypisz je poni ej: Lp. Pomoc dydaktyczna do przeprowadzenia eksperymentu Iloœæ sztuk Cena jednostkowa Cena ³¹czna strona 164 1 Wszystkie potrzebne pomoce uczniowie przynosz¹ sami na zajêcia. Suma kosztów 0 z³
10. Oszacowanie kosztów pracy Lp. Zadanie Czas wykonania (h) Liczba osób ¹cznie osobogodzin pracy Cena osobogodziny pracy (z³) Koszt 1 Suma: strona 165
11. Ankieta ewaluacyjna zajêæ Lp. Pytanie do ucznia Tak Raczej tak Trudno powiedzieæ Nie Zdecydowanie nie 1 Czy spotka³eœ siê wczeœniej z tak¹ wersj¹ twierdzenia Pitagorasa? Czy zajêcia by³y ciekawe? 3 Czy dziêki tym zajêciom pozna³eœ wiêcej zastosowañ twierdzenia Pitagorasa? 4 Czy zdobyt¹ w trakcie zajêæ wiedzê bêdziesz móg³(³a) wykorzystaæ? 1. Karta samooceny ucznia 1. Wszystkie konstrukcje wykona³em(³am) samodzielnie: TAK NIE. Pola wszystkich figur obliczy³em(³am) samodzielnie: TAK NIE 3. Nie uda³o mi siê odpowiedzieæ samodzielnie, czy twierdzenie zawarte w treœci zadania jest prawdziwe: TAK NIE 4. Czêsto korzysta³em(³am) z pomocy kolegów lub kole anek: TAK NIE 5. Musia³em(³am) korzystaæ z pomocy nauczyciela: TAK NIE strona 166