MODELOWANIE HISTEREZY MATERIAŁU MAGNETYCZNEGO ZA POMOCĄ MODELU PREISACH A

Zeszyty Naukowe WSInf Vol 6, Nr, 007 Zbgnew Gmyrek Wyższa Szkoła Informatyk, Katera Inżynerskch Zastosowań Informatyk, 93-008 Łóź, ul Rzgowska 7a emal: gmyrek@wsnf.eu.pl MODELOWANIE HISTEREZY MATERIAŁU MAGNETYCZNEGO ZA POMOCĄ MODELU PREISACH A Streszczene W pracy przestawono problemy moelowana pętl hsterezy materału magnetycznego, z wykorzystanem jenego z najbarzej popularnych moel, jakm jest moel Presach a. Wskazano na różne postace matematyczne tego moelu, w zależnośc o rozaju analzy jaką chcemy przeprowazć (analza statyczna czy analza ynamczna) a także pokazano zmany parametrów tego moelu w zależnośc o aktualnego punktu pracy (wymuszena w określonym punkce pracy). Praca otyczy moelowana pętl hsterezy w materałach magnetyczne mękkch, posaających strukturę krystalczną. Wstęp Klasyczny moel Presach a zel materał magnetyczny na nezależne cząstk zwane hysteronam. Hysterony scharakteryzowane są woma krytycznym natężenam pola magnetycznego, oznaczonym jako a oraz b, które przełączają magnetyczny stan hysteronu rys. Wraz ze zmaną zewnętrznego pola magnetycznego, hysteron zmena swój stan magnetyczny wykonując skok Barkhausen a. Obywa sę to po przekroczenu krytycznych wartośc pola magnetycznego. Rzeczywsty materał magnetyczny można traktować jako zbór hysteronów, których nejenakowe zachowane tworzy tzw. hstorę magnetyczną materału. Poneważ zachowane hysteronów jest zależne o lokalnego natężena pola magnetycznego, węc prowaz to o nejenakowej aktywnośc hysteronów w procese magnesowana ferromagnetyka. Tak węc chocaż pojeynczy hysteron posaa pętlę hsterezy w kształce prostokąta to wypakowa pętla hsterezy la materału magnetycznego posaa obrze znany kształt, obegający o prostokąta. 50

Z. Gmyrek Moel matematyczny statycznej pętl hsterezy Fakt, że pętla ne jest symetryczna wzglęem os Y umożlwł autorow moelu uwzglęnene wpływu sąsench cząstek poprzez zastosowane określonego rozkłau gęstośc charakteryzującego materał ferromagnetyka. (rys. ). + m hc h 0 H a b - m Rys.. Charakterystyka magnesowana elementarnej cząstk Presach a (a,b wartośc pola przełączającego, hc wartość pola koercj, h wartość pola ozaływana). Rozkła ten la neskończene małych cząstek staje sę funkcją cągłą zwaną funkcją gęstośc Presach a. Dogona forma tej funkcj została zaproponowana przez Everett a wele lat późnej przyjęła postać ( H H ) = a b p( a, b), H a E () H H Jenocześne określono zwązek pomęzy funkcją Everett a funkcją gęstośc Presach a w postac p ( a, b) ( a, b) E = a b () Z pomocą tej funkcj można było stworzyć moel w którym magnetyzacja ferromagnetyka zależy ne tylko o aktualnej wartośc natężena pola magnetycznego ale równeż o tzw. hstor magnetycznej materału. Dla rzeczywstych materałów magnetycznych 5

Moelowane hsterezy... funkcja gęstośc Presach a jest otrzymywana na roze pomarowej, gze merzy sę zmany magnetyzacj powoowane przez zmany zewnętrznego pola magnetycznego. Weług nnych autorów funkcję gęstośc można równeż aproksymować za pomocą rozkłau w którym pewne parametry muszą być określone na roze eksperymentalnej p M s ( ) ( hc hc ) h, h exp c h exp σ = πσ cσ σ c (3) gze: h c śrena wartość natężena koercj, σ c szerokość rozkłau natężena pola koercj, σ szerokość rozkłau pola ozaływana pomęzy omenam. 3 Moel matematyczny ynamcznej pętl hsterezy Przeprowazone baana pokazują jenak, że wynk otrzymane z moelu ferromagnetyka opsanego tak jak uczynono to w poprzenm punkce, wykazują obrą zgoność z pomarem wtey, gy otyczą statycznych warunków pracy. Poczas analzy zachowana w warunkach ynamcznych występują rozbeżnośc w przebegu pętl hsterezy. Tak węc zaproponowano aby w moelu uwzglęnć występowana tzw. pola efektywnego. Powstaje węc ynamczny moel Presach a w którym o zachowanu elementarnej cząstk Presach a ecyuje wartość pola efektywnego gze zmana magnetyzacj elementarnej cząstk Presach a była proporcjonalna o różncy pomęzy wartoścą pola efektywnego oraz pola przełączającego a lub b (a,b wartośc przełączające la hysteronu). Zaproponowano węc następujące oatkowe zależnośc opsujące moel M = k ( H e() t α ) H e( t) > α M t M = k ( H e() t β ) H e( t) < β M t M = 0 la nnych przypaków t gze: M magnetyzacja elementarnej cząstk Presach a, < + > (4) 5

Z. Gmyrek k współczynnk materałowy wynkający z ynamk poruszającej sę ścany omenowej w śroowsku przewozącym prą elektryczny. Jak poaje Bertott, występujący w równanach współczynnk k jest zwązany ze strukturą materału następującą zależnoścą [5] N0 k = (5) σgsm s gze: σ - przewoność elektryczna materału, G współczynnk równy 0.357, wynkający z tłumena ruchu ścany omenowej w śroowsku przewozącym prą elektryczny, S pole przekroju baanej próbk, N 0 lczba magnetycznych obektów borących uzał w procese magnesowana, zależnych pośreno o welkośc zarna struktury, M s magnetyzacja nasycena. 4 Wynk oboru parametrów moelu Presach a W lteraturze można znaleźć także opsy moelu Presach a w których zakłaa sę, że całkowty efekt wzajemnej nterakcj pomęzy hysteronam może być różny. Moeluje sę to przesuwając funkcję Presach a. Możlwa jest także zmana szerokośc funkcj reprezentujące wzajemne ozaływane. Wykorzystując ops klasycznego moelu Presach a, można opsać zmanę magnetyzacj, wskutek narastana zewnętrznego pola magnetycznego o wartośc H o wartośc H + la H + >H, za pomocą równana M + ( H ) M ( H ) = E( H H ) = a b p( a, b) +, + H H a H (6) Realzacje przykłaowych pętl hsterezy, otrzymanych za pomocą opsanego moelu, przestawono na ponższych rysunkach. Należy pamętać, że najłatwejszym obszarem la moelowana pętl hsterezy ferromagnetyka jest tzw. obszar Reyleygh a czyl obszar pracy w otoczenu punktu H=0 B=0. W obszarze tym pętla hsterezy ma regularny kształt zblżony o łezk. W nnych obszarach pracy pętla hsterezy swym kształtem znaczne obega o wspomnanej łezk może nawet być pętlą asymetryczną wzglęem określonego punktu pracy H,B. Można take pętle obserwować w przypaku 53

Moelowane hsterezy... pomagnesowana pole stałym. Wtey la punktu pracy, określonego przez stałe pole pomagnesowujące, wymuszające ość użą nukcję np..5 T, pętla hsterezy wynkająca z nałożena na stałe pole skłaowej zmennej pola, jest asymetryczna. Rys.. Pętle hsterezy otrzymywane ze statycznego moelu Presach a. Pętle otrzymywane w regone Reyleygh a. Rys. 3. Fragment pętl hsterezy. Skok magnetyzacj wywołane zachowanem pojeynczych hysteronów. Materały magnetyczne wykazują sę anzotropą czyl zmaną własnośc magnetycznych w zależnośc o kąta pomęzy tzw. osą łatwego magnesowana a aktualnym kerunkem pomarów lub analzy. Dlatego też zaproponowano tzw. wektorowy moel Presach a, który uwzglęna zmany własnośc. 54

Z. Gmyrek Klasyczny (skalarny moel) można opsać w neco nnej, nż poprzeno prezentowana, forme [] h xs xs ( x) = ( α β ) γ ( x) xs β μ, α β (7) αβ gze: μ(α, β) funkcja gęstośc Presach a, γ αβ - elementarny hsterezowy operator przyjmujący wartośc ±/. W swoch prachach Mayergoyz [] proponuje zastosować zotropowy wektorowy moel Presach a, który jest superpozycją skalarnych moel Presach a, określonych la różnych kerunków w stosunku o kerunku łatwego magnesowana. Moel tak jest opsany równanem Π / ( x) = eϕ ( eϕ x) ϕ h h (8) Π / gze: e φ - wektor jenostkowy skerowany po kątem φ, h (x) skalarna funkcja hsterezy uzyskana ze skalarnego moelu Presach a. Wykonując symulację komputerową z wykorzystanem wynków pochozących z moelu Presach a, musmy posaać wezę na temat przebegu funkcj Everetta oraz funkcj gęstośc Presach a. Przykłaowe rozkłay możemy spotkać np. w pracy Fuz ego [3] Rys. 4. Rozkła całk Everett a la materału anzotropowego (po lewej strone la kerunku łatwego magnesowana, po prawej la kerunku prostopałego o kerunku łątwego magnesowana). 55

Moelowane hsterezy... Rys. 5. Rozkła funkcj gęstośc Presach a la materału anzotropowego (po lewej strone la kerunku łatwego magnesowana, po prawej la kerunku prostopałego o kerunku łątwego magnesowana). Rys. 6. Dynamczne pętle hsterezy la przypaku okształconego strumena magnetycznego [4]. Należy pamętać, że wspomnane moele wykorzystują parametry wyznaczone w warunkach statycznych czyl take które uzyskano na roze neskończene wolnych zman zachowana sę ferromagnetyka. Nestety wewnętrzna struktura ferromagnetyka jest na tyle skomplkowana, że próba zastosowana statycznych moel o analzy stanu pracy w którym występują szybke zmany wymuszena, np. 56

Z. Gmyrek poczas pracy w warunkach okształconego strumena magnetycznego, przynos nezaowalające rezultaty kształt zmerzonej pętl hsterezy obega o kształtu pętl bęącej wynkem symulacj. Przyczyną jest oczywśce ynamka omen magnetycznych z których zbuowany jest ferromagnetyk. Różnca w przebegu ynamcznej pętl hsterezy skutkuje w różnej wartośc pola powerzchn którą pętla obejmuje powouje różną wartość strat mocy których pole powerzchn jest marą. W takm przypaku proponowane są ynamczne omany moelu Presach a. Wykorzystują one w swom opse natężene pole efektywnego a ne zewnętrznego pola wymuszającego. Ops matematyczny moelu la takego przypaku może wygląać następująco H t m b = b = a + ( H H ) M M S m ( b b ) B b t (9) gze: H aktualna wartość natężena pola magnetycznego na powerzchn ferromagnetyka, B uśrenona na przekroju wartość nukcj magnetycznej, a, b stałe moelu. 5 Posumowane Dobór parametrów moelu Presach a jest nezwykle stotną czynnoścą poczas moelowane przebegu pętl hsterezy materału ferromagnetycznego. Najczęścej parametry te uzyskuje sę na roze eksperymentalnej, poczas pracy w warunkach nezbyt oległych o warunków późnejszej symulacj. Jak pokazuje szereg przykłaów znanych z lteratury występuje jenak różnca w kształce, zmerzonych otrzymanych na roze symulacj, pętl hsterezy zwłaszcza w przypaku występowana okształconego strumena magnetycznego. Istneje węc potrzeba alszych baań w tym zakrese. Lteratura [] Okumura K., Kshma A., Dgtal smulaton of hysteretc characterstcs an ts applcaton, Tran. Insttute of Electrcal Engneers of Japan, vol.03-b, pp.45-458, 983 57

Moelowane hsterezy... [] Mayergoyz I. D., Mathematcal moels o hysteress an ther applcatons, Sprnger-Verlag, New York,003 [3] Fuz J., Dynamc an vector Presach moels for engneerng applcatons, Akaema Kao, 005, pp. 5-64. [4] Dupre L. R., Bottausco O., Champ M., Repetto M., Melkebeek J. A. A. Moelng of electromagnetc phenomena n soft magnetc materals uner unrectonal tme peroc flux exctatons, IEEE Transactons on Magnetcs, Vol. 35, No 5, 999, pp.47-483 [5] Bertott G., Pasquale M. Applcaton of the Presach an Jles- Atherton moels to the smulaton of hysteress n soft alloys, Journal of Apple Physcs, Vol. 85, No. 8, 999, pp.4373-4375 THE HYSTERESIS MODELLING OF MAGNETIC MATERIAL WITH HELP OF THE PREISACH MODEL Summary In paper problems of the hysteress loop moellng of magnetc materal were ntrouce. The utlzaton one of the most popular moels, the Presach moel, was scusse. It was ponte that the moel has fferent mathematcal forms wth respect to the kn of analyss (statc analyss or ynamc analyss), as well as, changes of parameters of ths moel were shown n epenence on the current pont of work (external enforcement n efnte pont of work). The paper concerns the moellng of the hysteress loop of soft magnetc materals, possessng crystallne structure. 58