Elementarna analiza statystyczna

Podobne dokumenty
Interpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne

Matlab III Instrukcje, interpolacja, dopasowanie krzywych,

Interpolacja i aproksymacja, pojęcie modelu regresji

MATLAB Prowadzący: dr hab. inż. Marek Jaszczur Poziom: początkujący

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.

x y

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Zał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)

Całkowanie numeryczne

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A

Ćwiczenie 3. MatLab: Algebra liniowa. Rozwiązywanie układów liniowych

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki.

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Elementy metod numerycznych - zajęcia 9

Metody numeryczne Wykład 6

INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

dr inż. Damian Słota Gliwice r. Instytut Matematyki Politechnika Śląska

Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a

Wprowadzenie do Mathcada 1

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

Analiza współzależności zjawisk

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY

DOPASOWYWANIE KRZYWYCH

Elementy projektowania inzynierskiego Przypomnienie systemu Mathcad

Matematyka stosowana i metody numeryczne

GNU Octave (w skrócie Octave) to rozbudowany program do analizy numerycznej.

Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

Narzędzia matematyczne zastosowane w systemie biomonitoringu wody

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ

ECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures.

Bardzo łatwa lista powtórkowa

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Wprowadzenie do Scilab: macierze

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

Metody i analiza danych

Matlab Składnia + podstawy programowania

Interpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Matlab (5) Matlab równania różniczkowe, aproksymacja

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI

Transformacje i funkcje statystyczne

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II

APROKSYMACJA. Rys. 1. Funkcja aproksymująca zbiór punktów pomiarowych (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) ... Zmienna y

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

Spis treści. I. Skuteczne. Od autora... Obliczenia inżynierskie i naukowe... Ostrzeżenia...XVII

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Funkcja pierwotna, całka oznaczona na podstawie funkcji pierwotnej

Weryfikacja hipotez statystycznych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Matlab MATrix LABoratory Mathworks Inc.

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych

Wprowadzenie do Mathcad 15 ćwiczenie 4

Interpolacja funkcji

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

Metody numeryczne w przykładach

Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R

Niepewności pomiarów

Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe

Grafika komputerowa Wykład 7 Modelowanie obiektów graficznych cz. I

Zaawansowane metody numeryczne

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2016/2017

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

X Y 4,0 3,3 8,0 6,8 12,0 11,0 16,0 15,2 20,0 18,9

Ważne rozkłady i twierdzenia

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Statystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Równania i układy równań liniowych i nieliniowych. Artur Wymysłowski, prof. PWr.

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

5. Twierdzenie Weierstrassa

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Rozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu

Przykładowy program ćwiczeń

Dodatkowo klasa powinna mieć destruktor zwalniający pamięć.

Transkrypt:

MatLab część V 1

Elementarna analiza statystyczna W standardowym pakiecie MatLab-a istnieją jedynie podstawowe funkcje analizy statystycznej. Bardziej zaawansowane znajdują się w pakiecie statystycznym dokupywanym osobno pakiecie (toolbox) Statistics Toolbox Istnieją alternatywne (bezpłatne) pakiety statystyczne, napisane przez użytkowników MatLab-a, np. Stixbox stworzony przez Andersa Holtsberga, dostępny na stronie: http://www.maths.lth.se/matstat/stixbox/ 2

Elementarna analiza statystyczna W pakiecie podstawowym mamy następujące funkcje statystyczne: wartości minimalne i maksymalne: min(x), max(x) wartość średnia: mean(x) odchylenie standardowe próby: std(x) wariancja z próby: var(x) przydatne w konstrukcji funkcji statystycznych sumowanie i mnożenie elementów: sum(x), prod(x) macierz kowariancji: cov(x) macierz wspólczynników korelacji: corrcoef(x) 3

Elementarna analiza statystyczna Analiza częstościowa histogramy: polecenie h=hist(x) zwraca wektor wartości histogramu z próby x na dziesięciu przedziałach polecenie h=hist(x, n) zwraca wektor wartości histogramu z próby x na n przedziałach polecenie h=hist(x, xc) zwraca wektor wartości histogramu z próby x na przedziałach o środkach podanych w wektorze xc polecenie h=histc(x, edges) zwraca wektor wartości histogramu z próby x na przedziałach pomiędzy wartościami podanymi w wektorze edges powyższe polecenia bez podania zmiennej, do której będą zwracane wartości, tworzą wykres słupkowy histogramu. 4

Elementarna analiza statystyczna Analiza częstotliwościowa transformata Fouriera: dyskretna transformata Fouriera: fft(x) odwrotna dyskretna transformata Fouriera: ifft(x) 5

Aproksymacja wielomianowa Aproksymujemy za pomocą wielomianu nieznaną funkcję y=f(x), dla której znamy zbiór par wartości x,y polecenie p=polyfit(x,y,n) zwraca wartości współczynników wielomianu stopnia n dopasowanego do zbioru wartości x,y metodą najmniejszych kwadratów polecenie yi=polyval(p,xi) zwraca wartość yi wielomianu o współczynnikach p dla zadanej wartości xi polecenie r=roots(p) zwraca pierwiastki wielomianu o współczynnikach p polecenie p=poly(r) zwraca współczynniki wielomianu o pierwiastkach r 6

7

8

Interpolacja Interpolujemy nieznane wartości yi dla zadanych xi, dla których znamy zbiór par wartości x,y połączonych nieznaną zależnością y=f(x) składnia: yi=interp1(x,y,xi,'metoda') Wartości parametru 'metoda': 'linear' interpolacja liniowa (domyślna) 'spline' interpolacja za pomocą kawałkami sklejanej funkcji kubicznej (3 stopnia) z zachowaniem krzywizny; tożsame poleceniu yi=spline(x,y,xi) 'cubic' lub 'pchip' interpolacja za pomocą kawałkami sklejanej funkcji kubicznej (3 stopnia) bez zachowania ciągłości krzywizny 'nearest' interpolacja funkcją najbliższego sąsiedztwa 9

'spline' vs 'cubic' Interpolacja 10

11

Metoda najmniejszych kwadratów Dopasowujemy parametry kształtu a1 an funkcji o zadanej postaci analitycznej y=f(x) lub z=f(x,y), mając zadane punkty o współrzędnych X i Y lub X, Y i Z Przypadek, gdy dopasowywana funkcja jest liniowo zależna od parametrów: y=a1*f1(x)+...+an*fn(x) zależność tę możemy przedstawić w postaci: FA=Y gdzie F=[f1(X),...,fn(X)], oraz A=[a1;...;an] można pokazać, że macierz parametrów uzyskujemy za pomocą rachunku: A=(F T F)\F T Y 12

Metoda najmniejszych kwadratów Przypadek ogólny rozwiązujemy za pomocą funkcji fit: składnia: fo=fit(x,y, ft) lub fo=fit([x,y], Z, ft) fo wynik dopasowania w postaci parametrów kształtu (wraz z podaniem przedziału ufności na poziomie 95%) i parametrów dobroci dopasowania X, Y, ewentualnie Z współrzędne zadanych punktów fn sposób dopasowania wyrażony za pomocą jego nazwy, albo za pomocą funkcji fittype 13

Metoda najmniejszych kwadratów fittype przykłady g = fittype('a*x^2+b*x+c') wyszczególnienie zmiennych niezależnych i zależnych: g = fittype('a*t^2+b*t+c','independent','t','dependent','h') funkcja zależna liniowo od parametrów (y=a*cos(x)+b): g = fittype({'cos(x)','1'}) jak wyżej, ale z podaniem nazw parametrów: g = fittype({'cos(x)','1'}, 'coefficients', {'a','b'}) z anonimową definicją funkcji: g = fittype( @(a,b,c,x) a*x.^2+b*x+c ) jak wyżej, ale dla funkcji powierzchniowej: g = fittype( @(a,b,c,d,x,y) a*x.^2+b*x+c*exp(-(y-d).^2), 'independent', {'x', 'y'}, 'dependent', 'z' ) 14

15

Nadokreślony układ równań Układ m równań na n niewiadomych, gdy m > n Postaci: AX=B A jest macierzą o wymiarach: m n B jest macierzą o wymiarach: m 1 X jest wektorem niewiadomych o wymiarach: n 1 Chcemy doprowadzić równanie do postaci: ΩX=Δ gdzie: Ω jest macierzą o wymiarach: n n Δ jest macierzą o wymiarach: n 1 16

Nadokreślony układ równań Uzyskujemy to mnożąc strony przez A T : A T AX=A T B gdzie A T A=Ω oraz A T B=Δ W MatLab-ie można to zrealizować, korzystając z operacji dzielenia: X=A\B uzyskujemy w ten sposób pseudorozwiązanie w sensie rozwiązania metodą najmniejszych kwadratów 17

18

19

20

21

Całkowanie numeryczne Metodą trapezów polecenie z=trapz(x,y) lub z=trapz(y) całkowanie funkcji przybliżonej łamaną o wierzchołkach w punktach o współrzędnych x,y Metodą Simpsona polecenie z=quad('funkcja',a,b) całkowanie funkcji podanej w parametrze 'funkcja', w granicach od a do b 'funkcja' musi być nazwą funkcji tablicowej zdefiniowanej w m-pliku 22

Różniczkowanie numeryczne Pochodną funkcji danej wzorem y=f(x) można interpretować jako iloraz różnicowy zmiennych x i y: f (x)=dy/dx Mając wektory wartości zmiennych x oraz y wystarczy policzyć ich różniczki, a potem podzielić je przez siebie: polecenie dy=diff(y), zwraca różnice pomiędzy kolejnymi wartościami y zamiast wektora wartości y można użyć wyrażenia obliczającego wartości funkcji, np.: dy=diff(sin(x.^2)) Jeżeli przyrosty dx są stałe, to licząc f (x) wystarczy dy podzielić przez skalar równy wartości przyrostu, np.: pochodna=diff(sin(x.^2))/h 23