Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Transkrypt

1 Plan wykładu Wykład Prezentacja graficzna danych liczbowych. Cel i zastosowania graficznej prezentacji danych. Dane w postaci zbioru liczb 3. Funkcja jednej zmiennej 4. Funkcja dwóch zmiennych. Niektóre typy wykresów stosowane w elektronice Cel i zastosowania graficznej prezentacji danych liczbowych Cel: Lepsze zrozumienie natury analizowanych liczb. Zastosowania. Zagadnienia inżynierskie i naukowe. Prezentacje biznesowe i reklamowe i inne 3. Nomografia jako wykorzystanie metod graficznych do przetwarzania danych Metody graficznej prezentacji i przetwarzania danych - zastosowania Nomografia dział matematyki stosowanej zajmujący się rozwiązywaniem zagadnień obliczeniowych, na przykład rozwiązywaniem układów równań, przy pomocy metod wykreślnych. Obecnie, ze względu na rozwój komputerów nomografia utraciła praktyczne znaczenie. Przykład nomogramu: Wykres Smitha służący do obliczania impedancji linii transmisyjnej

2 Histogram Dany jest zbiór X, zawierający n liczb rzeczywistych. Przykładowo dla n = może to być zbiór: X = {-.436, -.666,.3,,.69, -.87, -.66 } Histogram jest rysunkiem, który prezentuje w sposób ilościowy (przy pomocy słupków) przynależność liczb ze zbioru X do arbitralnie ustalonych podzakresów osi liczbowej. Algorytm budowy histogramu. Wyznaczenie zakresu rysowania (w oparciu o największą i najmniejszą wartość liczbową danych).. Podział zakresu rysowania na k równych podprzedziałów wyznaczenie dla każdego podprzedziału liczby należących do niego danych, narysowanie odpowiedniego wykresu słupkowego, w którym wysokość słupka odpowiada liczbie danych należących do podprzedziału Histogram danych ze zbioru X Jaki jest wpływ liczby podprzedziałów k na wygląd histogramu? Dane ze zbioru X narysowano na trzy sposoby, dobierając różne liczby k : k = k = k = Reguły histogramowania Jak dobrze dobrać szerokość podprzedziału i ich liczbę? Zgodnie z podanym algorytmem można napisać, że: max X min X k = h gdzie: k liczba podprzedziałów h szerokokość pojedynczego podprzedziału - przybliżenie do najbliższej większej liczby całkowitej (ceil)

3 Reguły histogramowania Jak dobrze dobrać liczbę k (lub h)? W literaturze podawane są różne reguły.. k = n k = log n + (wzór pierwiastkowy). (wzór Sturgesa) 3.σ 3. h = (wzór Scotta) 3 n Reguły zostały użyte dla tych samych danych (n=). Przykład zastosowania: X = {.6686,.98, -.,, ,.78,.69} gdzie σ oznacza tzw. odchylenie standardowe dla liczb ze zbioru X. (wzór pierwiastkowy) k = (wzór Sturgesa) k = 8 (wzór Scotta) k = 7 Trudności w histogramowaniu Histogramowane liczby mają nietypowy rozkład. Na przykład jedna z liczb jest o wiele większa od pozostałych. Wynik histogramowania może być w takim przypadku niezbyt czytelny. Histogram obrazu liczba pikseli Do stu liczb z poprzedniego przykładu ( minx=-.77, maxx =.83) dodano liczbę. Problem można rozwiązać różnie na przykład dobierając podprzedziały o nierównej szerokości. obraz 6 x 6 x 6 Histogram jest wykresem ilustrującym ile pikseli w obrazie przyjmuje poszczególne stopni szarości. Histogramowane liczby należą do skończonego zbioru wartości. skala szarości i histogram stopnie szarości 3

4 Funkcja jednej zmiennej Histogram obrazu przykład zastosowania Obraz źle naświetlony i jego histogram. Dwie postacie danych opisujących funkcję:. Funkcja określona w postaci wzoru matematycznego y = f ( x). Funkcja zadana tabelaryczne Obraz poprawiony przy pomocy algorytmu wyrównywania histogramu. x x y y x i y i x n y n W praktyce liczby w tabeli są często wynikami pomiarów. Funkcja jednej zmiennej w postaci wzoru Funkcja określona w postaci wzoru matematycznego Wykres rysuje się zazwyczaj w postaci łamanej. Kolejne punkty oblicza się ze wzoru y = f(x). Dobór liczby segmentów łamanej zależy od kształtu funkcji. Funkcja jednej zmiennej określona tabelarycznie żywa się różnych form graficznych prezentacji danych segmentów segmentów Wykres punktowy (point graph) Wykres słupkowy (bar graph) 4

5 Funkcja jednej zmiennej określona tabelarycznie Funkcja jednej zmiennej określona tabelarycznie Wykres liniowy (line graph) Wykres schodkowy (stairs graph) Wykres łodygowy (stem graph) Problem: Jak prowadzić linię wykresu, gdy punktów (x i, y i ) jest stosunkowo niewiele? Rozwiązanie: Przybliżyć dane (x i, y i ) funkcją f(x) i narysować wykres jako łamaną. Funkcja jednej zmiennej interpolacja Funkcja jednej zmiennej interpolacja Interpolacja, aproksymacja, ekstrapolacja. Interpolacja y (x i, y i ) Obszar rozważań Poszukuje się funkcji (najczęściej wielomianu), przechodzącej przez n zadanych punktów (x i, y i ), zwanych węzłami. Celem interpolacji jest określenie przebiegu funkcji pomiędzy węzłami. x Interpolacja - zastosowania upraszczanie postaci skomplikowanych danych przez opisywanie ich zmienności przy pomocy stosunkowo prostych wzorów, uzupełnianie brakującej informacji dotyczącej badanego zjawiska w obszarach pomiędzy punktami pochodzącymi z pomiaru, Interpolacja metody matematyczne interpolacja wielomianowa, interpolacja funkcjami sklejanymi (spline),

6 Funkcja jednej zmiennej aproksymacja Funkcja jednej zmiennej aproksymacja. Aproksymacja Aproksymacja - zastosowania y (x i, y i ) Obszar rozważań W zadanej klasie funkcji, poszukuje się takiej, która najlepiej (w sensie zadanego kryterium) przybliża punkty (x i, y i ). Celem aproksymacji jest określenie przebiegu funkcji pomiędzy tymi punktami i poza nimi. x upraszczanie postaci skomplikowanych danych, generalizacja związków pomiędzy danymi, modelowanie i identyfikacja obiektów, upraszczanie skomplikowanych problemów obliczeniowych. Aproksymacja metody matematyczne regresja liniowa i nieliniowa (jedno i wielowymiarowa), aproksymacja wielomianami i funkcjami wymiernymi. Funkcja jednej zmiennej ekstrapolacja Funkcja jednej zmiennej ekstrapolacja 3. Ekstrapolacja y Ekstrapolacja - zastosowania prognozowanie, analiza trendów, predykcja czasowa, uzupełnianie brakujących danych. (x i, y i ) Obszary rozważań Poszukuje się funkcji, przybliżającej n zadanych punktów (x i, y i ). Celem ekstrapolacji jest określenie przebiegu funkcji poza zakresem wyznaczonym przez dane. x Ekstrapolacja metody matematyczne ekstrapolacja wielomianowa, ekstrapolacja z wykorzystaniem funkcji sklejanych, 6

7 Funkcja jednej zmiennej skalowanie osi wykresu Funkcja jednej zmiennej skalowanie osi wykresu Problem zakresu zmienności argumentu i wartości funkcji Przykład: Funkcja gamma Eulera y = Γ( x) = s x s e ds x > 4 x Bardziej czytelny wykres można uzyskać nieliniowe skalowanie osi y. y = Γ( x) = s x s e ds x > wprowadzając 4 4 oś y została wyskalowana liniowo oś y została wyskalowana logarytmicznie Funkcja jednej zmiennej skalowanie osi wykresu Czasem nieliniowe skalowanie osi wprowadza się z innych powodów. log [ db] Funkcja dwóch zmiennych - zapis Zapis matematyczny funkcji dwóch zmiennych Postać uwikłana z = f ( x, y) ( x, y) D db db 3dB = = = 7. Hz 6.63 Hz 468 Hz charakterystyka amplitudowa wzmacniacza audio Postać parametryczna x = f ( u, v) y = f ( u, v) z = f z ( u, v) Postać tabelaryczna x y u, v 7

8 Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie Różne formy prezentacji graficznej funkcji dwóch zmiennych Siatka wieloboków (mesh) Siatka wieloboków kolorowana (wypełnienie jednotonowe) Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie Siatka oświetlona Mapa konturowa 8

9 Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie Pole wektorowe (quiver) Wykres plasterkowy (slice) Inne wykresy stosowane w elektronice Inne wykresy stosowane w elektronice Wykresy wskazowe - idea Wykresy wskazowe przykład zastosowania (telewizja DVB-S) φ T = /ω s( t) = sin( ω t + ϕ) ω Wektor wiruje wokół środka układu współrzędnych φ z prędkościąω (stan w chwili t = ) obraz i dźwięk koder Zasada działania modulatora: ϕ QPSK = strumień bitów modulator QPSK sygnał cos(ωt) - fala nośna. Kolejne bity sygnału na wyjściu kodera łączone są w pary.. Sygnał na wyjściu modulatora formowany jest według zasady: cos ( Ω t + π 4 ) dla ( x, x ) = (, ) cos ( Ω t + 3π 4 ) dla ( x, x ) = (, ) cos ( Ω t + π 4 ) dla ( x, x ) = (,) cos ( Ω t + 7 π 4 ) dla ( x, x ) = (,) antena 9

10 Inne wykresy stosowane w elektronice Inne wykresy stosowane w elektronice Wynik modulacji dla poszczególnych par bitów wygląda tak: Wykres przedstawiający odebrany sygnał może wyglądać tak: (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) zakłócenie sygnał bez zakłóceń Q Q (,) (,) (,) sygnał bez zakłóceń sygnał zmieniony przez zakłócenie (,) (,) Konstelacja wykres pokazujący wpływ zakłóceń w kanale transmisyjnym Inne wykresy stosowane w elektronice Inne wykresy stosowane w elektronice Wykresy we współrzędnych biegunowych Wykresy we współrzędnych biegunowych - przykłady 9 6 R = R( φ) φ π.7. 3 Przykład:. R φ 8 R( φ) = (sin3 t) (cos t) φ π charakterystyka kierunkowa mikrofonu charakterystyka kierunkowa anteny