Józef Beluch Akadema Górczo-Hutcza w Krakowe płw wag współrzędch a wk trasformacj Helmerta
. zór a trasformację współrzędch sposobem Helmerta: = c + b = d + a + a b () 2
2. Dwa modele wzaczea parametrów trasformacj I. Model perwsz oparcu o wzór () tworzoe są rówaa warukowe z ewadomm [] ( c + c) + ( b + db) ( + v ) ( a + a) ( v ) + v = d d + ( d + dd ) + ( a + da) ( + v ) + ( b + b) ( v ) (2) + v = d + Forma macerzowa EV + B V + A + L p w p = (3) 3
4 ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + = b a d a b c b a d a b c...... L =...... A =...... b a a b b a a b p!!!! B (4) T w v v v v ]... = [ V (5) T p v v v v ]... = [ V (6) (7) T d c b a ] [ d d d d = -współrzęde wtóre puktów dostosowaa,, -współrzęde perwote puktów dostosowaa.,
wku rozwązaa układu (3) z wkorzstaem metod ajmejszch kwadratów otrzmam = ( ) ( ) T T T T T [ A P + B pp B p A ] A P + B pp B p L ( ) T P + B P B ( A L) w K = + V V w p gdze w P = C P = w w P = C p p p w p P p p p E B T p K w p (8) (9) () () (2) P, P w p - macerze wagowe współrzędch puktów dostosowaa, w układze wtórm oraz, w układze perwotm, C, C w p - macerze waracjo-kowaracje współrzędch puktów dostosowaa, 5 K - macerz korelat.
II. Model drug + V + V = = t t =, 2,..., gdze lczba puktów dostosowaa, t, t t (3) -współrzęde wtóre puktów dostosowaa wlczoe wzoram () po wzaczeu parametrów a, b, c, d. = c + b t = d + a + a b 6
7 Forma macerzowa przekształcoch wzorów (3): w A V = (4) gdze: = V V V V " V =... A = w " = d c b a ) (5
Zwkle P = E w (6) E macerz jedostkowa Moża wprowadzć P w = dag [ ] 2 2 2 2 m m... m m (7) wówczas = ( ) T T A P A A P w w w (8) 8
3. arat oblczeń różm dwa modele fukcjoale: I z wkorzstaem rówań warukowch z ewadomm, II z wkorzstaem rówań poprawek. zborze współrzędch puktów dostosowaa wdzelam: w w 2 p 2 - dwa podzbor w układze wtórm, - dwa podzbor p w układze perwotm. Zróżcowae średch błędów współrzędch pomędz podzboram m = m (9) welokrotość błędu średego m, m - moduł błędu średego arat oblczeń zestawoe w tabel. 9
Tabela Lp. Model fukcjoal arat Średe błęd współrzędch puktów dostosowaa w układach wtórm perwotm m m 2 mw m w 2 2 3 4 5 6 7 I m m m m 2 2/A 2m 2m m m 3 2/B m 2m,5m m 4 2/C 2m m m,5m 5 2/D m 3m,33m m 6 2/E 3m m m,33m 7 3/A m m 2m 2m 8 3/B,5m m m 2m 9 3/C m,5m 2m m 3/D,33m m m 3m 3/E m,33m 3m m 2 2/B/ m 2m,33m,5m 3 2/C/ 2m m,5m,33m 4 2/D/ m 3m 2m 4m 5 2/E/ 3m m 4m 2m 6 II 4 m m - - 7 4/B m 2m - - 8 4/C 2m m - - 9 4/D m 3m - - 2 4/E 3m m - - 2 5/B,5m m - - 22 5/C m,5 m - - 23 5/D,33m m - - 24 5/E m,33m - -
Podzbor puktów dostosowaa: = w ={,2}; 2 = w 2 ={3,4,5} z wjątkem waratów 2 5 w którch: = {,2}, 2 = {3,4,5}, w = {,2,3}, w 2 = {4,5}.
4. Szkc sec puktów - pukt dostosowaa, - pukt o współrzędch w układze perwotm. 2
5. Różce parametrów trasformacj pomędz waratam oblczeń Tabela 2 3
6. Przedzał bezwzględch wartośc różc współrzędch przetrasformowach pomędz różm waratam oblczeń. Tabela 3 4
7. osk. płw wboru modelu fukcjoalego e uwdacza sę w wkach trasformacj jeśl przjęta zostae jedakowa macerz wag dla współrzędch wtórch puktów dostosowaa gd współczk proporcjoalośc k średch błędów współrzędch w podzborach = w oraz 2 = w 2 puktów dostosowaa, dla modelu I, będze jedakow czl gd P = k ; P w = k P 2 2 w P Stąd też różce wków trasformacj współrzędch, w waratach podach w tabel 3, lp. 4, są rówe zero. 5
2. Newelke zma współrzędch przetrasformowach wstąpł pomędz waratam obu model, podam w tabel 3, l.p. 5, kol. 2 3, gd średe błęd współrzędch perwotch w modelu I, są 3 4 raz mejsze od średch błędów współrzędch wtórch puktów dostosowaa (tabela, poz. 2 3). Różce współrzędch przetrasformowach w tm przpadku obejmują przedzał,8 mm (tab. 3, lp. 6, kol. 2 3). 6
3. Istote zma w wartoścach współrzędch wstąpł w obu modelach gd średe błęd współrzędch perwotch puktów dostosowaa są wększe od średch błędów współrzędch wtórch tch puktów. przkładze oblczeowm welokrotość zma średch błędów wosła,3 2, (tab., lp. 4 5). Różce współrzędch przetrasformowach pomędz waratam podam w tabel 3, lp. 5, kol. 4 5 meszczą sę w przedzale (,5 7,5) mm, a węc w praktce e pow bć zaedbwae. Należ zazaczć, że wosek 2 3 jest słusz prz założeu zróżcowaa współczka proporcjoalośc wag współrzędch perwotch wtórch przajmej dla 2 podzborów współrzędch obejmującch e detcze pukt w obu układach. 7
4. Na podstawe wosku 3 moża stwerdzć, że wbór modelu może bć stot dla wków trasformacj współrzędch gd wstępuje zróżcowae stosuku wag współrzędch w podzborach puktów dostosowaa dla układów perwotego wtórego. Szczególe to zróżcowae uwdacza sę gd wag współrzędch perwotch są mejsze od wag współrzędch w układze wtórm. 8
5. Prz porówwau wków oblczeń waratu z pozostałm moża stwerdzć, że zróżcowae wag współrzędch ma wpłw a wartośc przetrasformowach współrzędch z wjątkem przpadków gd welokrotośc zma wag są jedakowe dla wszstkch współrzędch puktów dostosowaa w obrębe zboru wtórego oddzele - perwotego (tab. 5, lp. 5, kol. 2). Moża także zauważć, że jedakowe wk przetrasformowach współrzędch uzskujem dla porówwach waratów, w którch wag, w tch samch podzborach współrzędch, zróżcowae są w jedakowej proporcj, tj. P : P = Pw : Pw = k - dla modelu 2 2 I P : P = k - dla modelu II. osek te wka z 2 porówaa dach w kolumach 3 6 tabel 3 obejmującch lp. 5, z uwzględeem błędów średch podach w tabel, dla aalzowach waratów. 9
6. prezetowam przkładze lczbowm zróżcowae wag, w stosuku do waratu, w którm wag wszstkch współrzędch są jedakowe (warat 4), powoduje maksmalą zmaę współrzędch przetrasformowach rzędu 2,3 mm zarówo w perwszm jak drugm modelu fukcjoalm (por. lp. 5 w tab. 3). 2
7. k oblczeń zameszczoe w tabel 3, lp. 7 określają wpłw zama wag w podzborach, w dwu waratach oblczeń oraz j, a zmaę wartośc przetrasformowach współrzędch. Jeśl średe błęd współrzędch w podzborach, brae do oblczea wag, spełają proporcję: m j j j j : m = mw : mw = m : m = mw : mw q 2 2 2 2 - dla modelu I = j j m : m = m : m = 2 2 q - dla modelu II to dla q = 2 maksmale różce współrzędch woszą 24 mm, atomast dla q = 3 różce w przetrasformowach współrzędch w obu waratach dochodzą do 34,9 mm. k te mogą także wskazwać a wpłw edokładego oszacowaa średch błędów współrzędch w poszczególch podzborach, a rezultat trasformacj. 2
8. Jeśl w trasformacj współrzędch stosujem model II przjmem jedakowe wag dla wszstkch puktów dostosowaa, to w przpadku, gd w rzeczwstośc, przajmej w jedm podzborze średe błęd różą sę dwukrote to maksmale różce współrzędch dochodzą do 4,2 mm, atomast prz trzkrotm zróżcowau średch błędów maksmale różce współrzędch dochodzą do 2,3 mm. ka z tego, że ezależe od wboru modelu trasformacj wag współrzędch wtórch mają wpłw a wk przetrasformowach współrzędch. 22
8. Lteratura [] Osada E.; Aalza, wrówae modelowae geodach. dawctwo Akadem Rolczej we rocławu, 998. 23
Dzękuję za uwagę 24