będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

Podobne dokumenty
ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

. Wtedy E V U jest równa

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:

będzie próbką prostą z rozkładu normalnego ( 2

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Macierz prawdopodobieństw przejścia w pojedynczym kroku dla łańcucha Markowa jest postaci

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA

16, zbudowano test jednostajnie najmocniejszy dla weryfikacji hipotezy H

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

65120/ / / /200

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

X i T (X) = i=1. i + 1, X i+1 i + 1. Cov H0. ( X i. k 31 ) 1 Φ(1, 1818) 0, 12.

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Funkcja wiarogodności

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

θx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,

Nieparametryczne Testy Istotności

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

Weryfikacja hipotez dla wielu populacji

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.

Hipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.

1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.

Statystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE

Liniowe relacje między zmiennymi

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.

1.1. Uprość opis zdarzeń: 1.2. Uprościć opis zdarzeń: a) A B A Uprościć opis zdarzeń: 1.4. Uprościć opis zdarzeń:

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE

Zadania z rachunku prawdopodobieństwa

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.

Lista 6. Estymacja punktowa

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

Statystyka Inżynierska

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

0 0,2 0, p 0,1 0,2 0,5 0, p 0,3 0,1 0,2 0,4

Testowanie hipotez statystycznych

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Funkcje i charakterystyki zmiennych losowych

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2

TESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.

Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Metoda największej wiarogodności

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn

Metoda najmniejszych kwadratów

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).

SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?

ANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH

Transkrypt:

Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8

Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech 0,,, K,,K będą ezależym zmeym losowym o tym samym rozkładze wykładczym z wartoścą oczekwaą rówą. Nech N będze zmeą losową o rozkładze Possoa z wartoścą oczekwaą EN = λ, ezależą od zmeych 0,,, K,,K. Nech M N = m{ 0,,, K, N }. Wyzaczyć ( M N ) Cov N,. λ + λ ( e ) λ λ ( e ) λ λ ( e ) λ e λ λ

Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech N,,, K,,K będą ezależym zmeym losowym, przy czym zmea losowa N ma rozkład geometryczy P( N = ) = ( q) q dla = 0,,, K, gdze q ( 0, ) jest ustaloą lczbą, a,, K,, K są zmeym losowym o tym samym rozkładze wykładczym z wartoścą oczekwaą S = + + K+ 0 N gdy N > 0. gdy N = 0 Wyzaczyć prawdopodobeństwo ( S x) P, gdy x 0.. Nech λ e q e λ ( q) λ ( q) x x + q e λ( q)x ( ) qe λ ( q)x qe λqx q + λ( q)x

Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. W ure zajduje sę trzydześc kul, a każdej arysowaa jest ltera cyfra. Mamy 0 kul ozaczoych 8 kul ozaczoych Y 8 kul ozaczoych kule ozaczoe Y. Losujemy bez zwracaa kul. Nech N określa lczbę kul ozaczoych lterą wśród kul wylosowaych, a N lczbę kul z cyfrą wśród kul wylosowaych. Oblczyć E( N N ). 8 N N + N ( + N ) 8 + N

Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Zmee losowe, K,,K są warukowo ezależe przy daej wartośc θ (0,) mają rozkład prawdopodobeństwa P ( = θ ) = θ = P( = 0 θ ). Zmea losowa θ ma rozkład beta określoy a przedzale (0,) o gęstośc = f ( θ ) = θ ( θ ). ( S > S 0) Nech S =. Oblczyć P 8 0 =. 7

Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Wykoujemy rzutów koścą do gry weryfkujemy hpotezę H 0 mówącą, że kość jest rzetela - tz. że każda lczba oczek pojawa sę z jedakowym prawdopodobeństwem rówym. Stadardowy test χ a pozome stotośc 0.0 odrzuca hpotezę zerową, jeśl oblczoa wartość statystyk χ przekracza.08 χ (kwatyl rzędu 0.99 rozkładu z pęcoma stopam swobody). Przypuśćmy, że wykoalśmy tylko = rzutów. Jest to zbyt mało, żeby asymptotycze przyblżee rozkładu było zadowalające. Faktyczy rozmar testu: odrzucamy H 0, jeśl wartość statystyk χ przekroczy.08 wyos: χ

Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae 7. Zakładamy, że zależość czyka Y od czyka x (elosowego) opsuje model regresj lowej Y = β + ε. Obserwujemy elemetową próbkę, w której x = dla x, =,, K,. Zmee losowe Y, Y, K Y są ezależe błędy mają rozkłady ormale o wartośc oczekwaej 0, przy czym Varε = σ, gdy =,, K,. Wyzaczoo estymator βˆ parametru β wykorzystując ważoą metodę ( Y βx ) ajmejszych kwadratów, to zaczy mmalzując sumę = Varε stałą z tak, aby P ( ˆ β β < zσ ) = 0. 9..9 7.9.9 0. 0.. Wyzaczyć 7

Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae 8. Nech,, K będą ezależym zmeym losowym z rozkładu, ( ),θ jedostajego a przedzale 0, gdze θ > 0 jest ezaym parametrem. Zbudowao test jedostaje ajmocejszy dla weryfkacj hpotezy H : θ przy alteratywe H : θ a pozome stotośc 0.. Obszar krytyczy tego testu jest rówy { } ( ) max,, K, 0,, + { } ( ) max,, K, max {,, K, } {,, K, } 0,, + 7 max,+ 8 max {,, K, } 0, +, +, + 0 = 8

Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae 9. Nech,,..., dla x > 0 wzorem: będze próbką z rozkładu wykładczego o gęstośc określoej f ( x) = λ exp( λ x). Ne obserwujemy dokładych wartośc zmeych, tylko wartośc zaokrągloe w górę do ajblższej lczby całkowtej. Iym słowy, dae są wartośc zmeych losowych Z, Z,..., Z, gdze Z =. (symbol a ozacza ajmejszą lczbą całkowtą k taką, że a k ). Z = Nech S =. Oblcz estymator ajwększej warogodośc λˆ ezaego parametru obserwacjach Z, Z,..., Z. λ oparty a ˆ S λ = l λˆ = S λˆ = S S λˆ = ˆλ = l S 9

Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae 0. Załóżmy, że W, W,..., W,... jest cągem zmeych losowych takm, że zmea W ma gęstość Pareto: dla w > 0 f ( w ) = ( + w ) warukowo, dla daych W W,...,, zmea ma gęstość Pareto: dla w + > 0, W W + f ( w + w,..., w Wyzaczyć lm E( W ). ( + w ) = ( + w + ) + ) gdy gdy w w ; > ;. lm E ( W ) = lm E ( W ) = lm E ( W ) = lm E ( W ) = lm E ( W ) = 90 7 9 90 0

Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Egzam dla Aktuaruszy z 8 paźdzerka 007 r. Prawdopodobeństwo statystyka Arkusz odpowedz * Imę azwsko :... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadae r Odpowedź Puktacja E A C C A D 7 D 8 B 9 E 0 B * Oceae są wyłącze odpowedz umeszczoe w Arkuszu odpowedz. Wypeła Komsja Egzamacyja.