KINEMATYKA RELATYWISTYCZNA Wstęp Mehanika klasyzna, hoć daje świetne przewidywania dla rh pojazdów, maszyn zy statków kosmiznyh, zawodzi ałkowiie, gdy opisjemy ząstki porszająe się z wielkimi prędkośiami, porównywalnymi z prędkośią światła (,998 8 m/s). Ponadto problemem, który wymagał wyjaśnienia (a pojawił się pod konie 9-tego wiek), był fakt doświadzalny, iŝ prędkość światła jest taka sama w róŝnyh kładah odniesienia (spozywająyh bądź porszająyh się). Nie stosje się zatem ttaj prawo dodawania prędkośi (przykładowo w mehanie klasyznej, względna prędkość obserwowanego przez nas pojazd zaleŝy od tego zy stoimy zy jedziemy samohodem). Wspomniane fakty doprowadziły do powstania kinematyki relatywistyznej, zwaną takŝe szzególną teorią względnośi (STW). Teorię tę ogłosił Albert Einstein w rok 95. PoniŜej wymieniono harakterystyzne ehy i zagadnienia związane z STW: ) STW stosje się gdy prędkość iała jest rzęd ; natomiast dla << mehanika relatywistyzna przehodzi w klasyzną, ) Stwierdza się doświadzalnie, Ŝe prędkość światła (w próŝni.998 8 m/s) jest stała, niezaleŝnie w jakim kładzie odniesienia ją mierzymy (patrz Rys.); jest to ponadto największa prędkość jaka istnieje w przyrodzie, Rys.. Zmierzona prędkość światła będzie taka sama dla obserwatora A, stojąego na Ziemi, jak i dla obserwatora B porszająego się względem Ziemi z prędkośią B.
3) Magnetyzm iał, a śiśle pole magnetyzne jest relatywistyzną poprawką do pola elektryznego ( równania Mawella są w istoie równaniami relatywistyznymi), 4) Cząstki elementarne (te dohodząe na Ziemię z kosmos jak i te wytwarzane w eksperymentah na yklotronah) porszają się z prędkośiami zbliŝonymi do prędkośi światła (np..95 ); natomiast fotony i netrina posiadają prędkość. 5) Współzesna astronomia zęsto korzysta z teorii względnośi (np. odległe galaktyki porszają się z prędkośiami bliskimi ). 6) Wyjaśnienie wiel zjawisk fizyznyh wymaga względnienie STW (np. efekt Comptona; innym przykładem jest relatywistyzne ogólnienie równanie Shrödingera, znane pod nazwą równania Diraa). 7) Nawet w kltrze masowej poplarne są takie hasła, wywodząe się ze STW jak: Em², ma, paradoks bliźniąt, dylataja zas zy teŝ skróenie Lorentza. Doświadzenie Mihelsona i Morleya Dopóki nie została ogłoszona teoria względnośi Einsteina (95), większość fizyków rozmowała, Ŝe msi istnieć eter - spręŝysty, hoć niewaŝki ośrodek, w którym rozhodzą się fale elektromagnetyzne. Zgodnie z tą konepją, tylko w eterze prędkość światła wynosiłaby: natomiast dla obserwatora mająego prędkość względem eter i porszająego się w przeiwnym kiernk niŝ światło, prędkość światła byłaby równa: W latah osiemdziesiątyh biegłego wiek Mihelson i Morley przeprowadzili doświadzenie, które dało jednak wynik negatywny ( tzn. stwierdzili, Ŝe prędkość światła mierzona przez dowolnie porszająego się obserwatora wynosi. W doświadzeni tym wykorzystano rh obrotowy Ziemi wokół Słońa ( 3km/s) patrz rysnek poniŝej. Jeśli załoŝy się przykładowo, Ŝe eter jest nierhomy względem Układ Słoneznego, to prędkość Ziemi, krąŝąej po orbiie wokół-słoneznej, ma róŝne względem eter orientaje.
A ZS ZS Słońe SE ZS ZS B Rys.. Przykładowe pozyje Ziemi na orbiie wokół Słońa (w odstępah 3 miesięy). Zakładają, Ŝe prędkość Układ Słoneznego względem eter wynosi SE,zaś prędkość Ziemi względem Słońa wynosi ZS, to wypadkowa prędkość Ziemi względem eter, SE ZS, powinna zmieniać się w trakie rh orbitalnego Ziemi wokół Słońa. Mihelson i Morley przeprowadzili swoje doświadzenie Ŝywają spejalnie skonstrowanego interferometr (Rys. 3). W interferometrze tym wiązka światła pada na półprzepszzalne zwieriadło, tak Ŝe zęść światła biegnie w kiernk pionowym (ramię ), a zęść w kiernk poziomym (ramię ), po zym po odbii od zwieriadeł mieszzonyh na końah tyh ramion oraz po ponownym przejśi przez zwieriadło półprzepszzalne, obie wiązki interferją ze sobą na ekranie. Jedno ze zwieriadeł, np. na koń ramienia, moŝna lekko przeswać (wartość tego przesnięie odzytjemy na śrbie mikrometryznej). Dzięki tem na ekranie moŝemy doprowadzić do zniknięia lb powstania wyraźnego obraz interferenyjnego. Interferenja konstrktywna, tzn. zyskanie prąŝka jasnego, zahodzi wtedy, gdy oba promienie spotykają się na ekranie w tyh samyh fazah. Odpowiada to sytaji, gdy róŝnia dróg, którą przeszły oba promienie jest wielokrotnośią dłgośi fali świetlnej. ZałóŜmy, Ŝe na ekranie obserwjemy maksimm interferenyjne. Jeśli teraz przesniemy zwieriadło rhome o ¼ dłgośi fali ( ¼ λ) w prawo, to promień przejdzie dodatkowo drogę ½ λ i oba promienie na ekranie wygaszą się (zawaŝmy przy okazji, Ŝe interferometr ten moŝe słŝyć takŝe do pomiar dłgośi fali świetlnej). Zakłóenie stawionego maksimm interferenyjnego moŝna by takŝe zyskać, gdyby prędkośi światła w ramieni i legały zmianie (wtedy dłgośi fali w ob kiernkah byłyby róŝne). Ta właśnie moŝliwość została wykorzystana w doświadzeni Mihelsona-Morleya. 3
zwieriadło źródło światła zwieriadło półprzepszzalne zwieriadło rhome ekran Rys.3. Zasada bdowy interferometr Mihelsona. Zwieriadło moŝna przeswać i w ten sposób doprowadzać do powstawania kolejnyh maksimów i minimów interferenyjnyh. Wedłg wyobraŝenia klasyznego, wypadkowa prędkość światła w kiernk kaŝdego z ramion spektrometr ( i ) będzie róŝnią (wektorową) prędkośi światła względem eter oraz prędkośi Ziemi względem eter. Ta ostatnia zaś (), byłaby smą prędkośi Układ Słoneznego względem eter ( SE ) oraz prędkośi Ziemi względem Słońa ( ZS ), zyli: SE ZS (patrz Rys.). PoniewaŜ wypadkowa prędkość światła w kiernk kaŝdego z ramion zmieniałaby się wraz z rhem orbitalnym Ziemi Rys.4 (nie mówią o modyfikaji wprowadzanej przez dobowy rh obrotowy Ziemi), prowadziłoby to do modyfikaji zyskiwanyh prąŝków interferenyjnyh. Oblizenia pokazją, Ŝe róŝnia zas przebieg w ob ramionah, gdy interferometr obrói się o 9 o wynosi około:t3,3-7 s. W iąg tego zas światło przebywa około /4 swojej dłgośi fali. Takie efekty byłyby wyraźnie widozne jako przesnięie (modyfikaja) prąŝków interferenyjnyh. Jednak, prąŝki interferenyjne, obserwowane przez dowolnie dłgi zas, nie zmieniały się!!! Stąd wniosek, Ŝe nie istnieje hipotetyzny ośrodek koniezny do rozhodzenia się fali elektromagnetyznej, jaką jest światło. Ponadto, prędkość światła jest stała, niezaleŝna od rh obserwatora. 4
A ZS ZS Słońe SE ZS ZS B Rys.4. Wypadkowa prędkość Ziemi względem eter, SE ZS, zmienia się w trakie rh orbitalnego Ziemi wokół Słońa. Przykładowo w połoŝeniah Ziemi zaznazonyh jako A i B, wartość wynosiłaby SE ZS oraz SE - ZS, zaś jej kiernek byłby równoległy do ramienia interferometr. Spowodowałoby to róŝnie w zasie przebieg światła w ob ramionah interferometr, a zatem modyfikaję prąŝków interferenyjnyh. Ten podstawowy fakt doświadzalny zmsił fizyków do weryfikaji wyobraŝeń zas i przestrzeni. Doprowadził takŝe do powstania STW. A oto dwie podstawowe zasady dotyząe przestrzeni i zas: ) światła jest stała i niezaleŝna od rh obserwatora ; Prędkość światła jest największą, jaka istnieje w przyrodzie. Cząstki bezmasowe (jak np. kwanty γ zy teŝ netrina) porszają się z tą prędkośią względem wszystkih obserwatorów. ) Zasada względnośi ( wypowiedział ją pierwszy i epliite Galilesz): Prawa fizyki są takie same da wszystkih obserwatorów porszająyh się względem siebie ze stałą prędkośią. Inazej mówią, nie ma wyróŝnionego kład odniesienia. Nie ma takŝe sens pojęie prędkośi bezwzględnej (np. jeśli w samoloie, porszająym się bez zakłóeń, zamkniemy ozy i szy to nie moŝemy stwierdzić zy on stoi zy lei). PowyŜsza zasada względnośi jest podstawą fizyki klasyznej. Uzpełnienie jej o postlat stałej prędkośi światła (patrz pnk ), daje pnkt wyjśia do naszkiowania głównyh wyników STW. 5
W el oswojenia się z typowym zagadnieniem, whodząym w skład STW, rozpatrzmy w prosty sposób problem pływania zas w róŝnyh kładah odniesienia. Dylataja zas Wyobraźmy sobie zegar świetlny, skonstrowany w ten sposób, Ŝe kwant światła biega wewnątrz ylindryznej tby odbijają się na jej końah od mieszzonyh tam zwieriadeł (Rys.5). Przyjmijmy, Ŝe jednostką zas, τ, tego zegara jest okres, jaki pływa pomiędzy dwoma kolejnymi odbiiami się kwant od dolnego lsterka; wynosi on: gdzie D jest dłgośią tby. D τ () D Rys.5. Zegar świetlny. Kwant światła odbija się kolejno od dolnego i górnego lsterka. Okres, który pływa pomiędzy dwoma kolejnymi odbiiami się kwant od dolnego lsterka, τ D, jest jednostką zas tego zegara. Rozpatrzmy teraz sytaję, gdy zegar się porsza: T/ D T/ T Rys.6. Bieg kwant światła w porszająym się zegarze 6
Zegar przemieszza się na prawo z prędkośią. Rozpatrzmy jeden ykl przebieg światła w zegarze, tzn. okres T, który pływa między dwoma kolejnymi odbiiami się od dolnego lsterka. PoniewaŜ zegar się porsza, wię kwant światła, aby odbić się od górnego lsterka, msi porszać się po torze przedstawionym na Rys. 6. Kwant odbije się od górnego lsterka po zasie T/, zegar zaś przemieśi się w tym zasie o zegara wynosi T. Pamiętają, Ŝe dłgość tby τ D i korzystają z twierdzenia Pitagorasa, moŝemy napisać: T 4 τ 4 T 4 (zawaŝmy, Ŝe światło, aby napotkać górne lsterko, msi przebie kośny odinek o () dłgośi T ). Wylizają z powyŝszego równania T, otrzymamy: T τ (3) Rezltat ten zapisje się równowaŝnie: T γτ gdzie γ (4) Czynnik γ nazywamy zynnikiem Lorentza; jest on prawie zawsze γ>, gdyŝ prawie zawsze <. Jedynie, gdy obiekt porsza się z prędkośią światła to γ. A zatem: T > τ gdyŝ γ > (5) Co nam mówi powyŝszy wynik? OtóŜ, rezltat ten mówi, Ŝe zas nie pływa w jednakowym tempie w dwóh porszająyh się względem siebie kładah odniesienia. W kładzie związanym z zegarem świetlnym (zyli w takim, w którym zegar spozywa), mamy taką sytaję, jaką przedstawia Rys. 5) okres zas między dwoma kolejnymi odbiiami się kwant od dolnego lsterka wynosi τ (zas w tym kładzie nazywamy zasem własnym). 7
Natomiast, gdy obserwjemy porszająy się zegar, zyli patrzymy na porszająy się kład odniesienia związany z zegarem, stwierdzimy, Ŝe pomiędzy dwoma kolejnymi odbiiami płynął zas T (sytaja z Rys. 6). Powiemy zatem, Ŝe: Czas mierzony w kładzie rhomym względem zegara pływa szybiej niŝ w kładzie spozywająym względem zegara), zyli T>τ. Dla trwalenia tego nieodziennego wynik, rozwaŝmy następjąe dwie modelowe sytaje: a) Ja jestem obserwatorem, stojąym na peronie dwora. Zegar świetlny stoi koło mnie. Zmierzona przeze mnie jego jednostka zas τ wynosi przykładowo τ seknda, b) Dalej stoję na peronie, ale zegar porsza się w rakieie wzdłŝ peron z zawrotną prędkośią. Obserwję przebieg kwant światła w zegarze i wedłg mojego pomiar wyhodzi, Ŝe jednostka zas porszająego się zegara wynosi T, np. T.5 sekndy. (Tγτ). A zatem, stwierdzamy, Ŝe T>τ, zyli: Czas własny, mierzony w kładzie (np. zegara), płynie wolniej niŝ zas mierzony przez kogoś, kto jest względem tego kład w rh (np. złowiek obserwjąy z peron zegar, który porsza się w rakieie). ZawaŜmy jeszze jedną harakterystyzną ehę. Mierzą zas własny obserwator zanotje, kiedy nastąpiły kolejne odbiia kwant od dolnego lsterka, znajdjąego się w tym samym pnkie przestrzeni. Natomiast patrzą na zegar porszająy się, dwa kolejne odbiia kwant od lsterka wypadają w innyh połoŝeniah (pnktah przestrzeni). Widzimy na tym przykładzie, Ŝe ehy zas i przestrzeni mono zazębiają się między sobą. Omawiany efekt: T > τ nazywamy wydłŝeniem, albo dylatają zas. Okazje się, Ŝe jest to efekt niwersalny, niezaleŝny od Ŝytego zegara. I tak np. jeden z bliźniaków wysłany w podróŝ kosmizną będzie wolniej się starzał, niŝ jego brat bliźniak, który pozostał na Ziemi. Jest to słynny paradoks bliźniąt. 8
RównieŜ ząstka elementarna porszająa się z większą prędkośią będzie miały dłŝszy tzw. zas Ŝyia niŝ identyzna ząstka, ale porszająa się wolniej. Stwierdza się to w doświadzeniah nad ząstkami elementarnymi o wielkih energiah, poprzez rejestraję ih tor rh np. na kliszy fotografiznej (Rys. 7). Przykładowo, jeśli ząstka ma prędkość.99, to γ 7 i tyleŝ razy wzrośnie jej zas Ŝyia obserwowany w kładzie laboratoryjnym (t ), w porównani z jej zasem własnym, wyznazonym w kładzie odniesienia z nią związanym (t). t' γt (6) B Rys.7. Tory dwóh ząstek elementarnyh, o róŝnyh prędkośiah ( > ), które wpadają w pole magnetyzne o wektorze indkji B prostopadłym do płaszzyzny ih rh. Cząstkę o większej prędkośi poznajemy po tym, Ŝe jej tor jest słabiej zakrzywiany przez pole magnetyzne. Ma ona takŝe dłŝszy zas Ŝyia, o objawia się odpowiednio wydłŝonym torem aŝ do jej rozpad (pnkty, gdzie ząstki się rozpadają zaznazono krzyŝykami). Po tym pozająym przykładzie, który mogliśmy zanalizować w prosty, intiyjny sposób, pora przejść do bardziej systematyznego podejśia. 9
Elementy szzególnej teorii względnośi ) Mehanika klasyzna i relatywistyzna W mehanie klasyznej obowiązją zasady Newtona i jej przewidywania są poprawne pod warnkiem, Ŝe prędkośi iał, któryh rh opisjemy są znaznie mniejsze od prędkośi światła (<<3 km/h). Jednak, gdy prędkość iała zazyna być porównywalna z prędkośią światła, wtedy mehanika klasyzna zawodzi i do opis rh iała Ŝyć msimy szzególnej teorii względnośi. Opraował ją jeden z najwybitniejszyh zonyh wszehzasów Albert Einstein (ogłosił ją w rok 95). Pnktem wyjśia tej teorii jest inny sposób przelizania odległośi i zas, gdy przehodzimy z jednego kład odniesienia do drgiego, zyli transformaja. ) Transformaje Galilesza i Lorentza Jak pamiętamy, w mehanie rozróŝnia się dwa podstawowe typy kładów odniesienia: kłady inerjalne i nieinerjalnie. Te pierwsze spozywają lb porszają się rhem jednostajnym prostoliniowym, drgie zaś porszają się rhem, w którym występje przyspieszenie (np. jadą na karzeli znajdjemy się w kładzie nieinerjalnym, w związk z zym działa na nas siła bezwładnośi w tym wypadk siła odśrodkowa). Jak pamiętamy, stwierdziliśmy, Ŝe prawa fizyki mają taką samą postać we wszystkih kładah inerjalnyh (jest to zasada względnośi Galilesza). Natomiast, aby zyskać poprawny opis praw przyrody w kładzie nieinerjalnym, trzeba do istniejąyh sił fizyznyh dodać siły bezwładnośi. ZawaŜmy, Ŝe nie istnieje bezwzględny inerjalny kład odniesienia, a wię istnieje ih nieskońzenie wiele; Ŝaden z nih nie jest wyróŝniony. A zatem: We wszystkih kładah inerjalnyh prawa fizyki są jednakowe. Zastanówmy się teraz jak wygląda, zgodnie z mehaniką klasyzną, opis rh iała obserwowany z dwóh kładów inerjalnyh - patrz Rys. 8. RozwaŜamy dwa kłady
odniesienia porszająe się względem siebie wzdłŝ osi, przy zym w hwili pozątkowej one się pokrywały. z t z Rys. 8. Dwa kłady odniesienia porszająe się względem siebie wzdłŝ osi PoniewaŜ w hwili t kłady pokrywały się ze sobą, to związki między współrzędnymi zasowo-przestrzennymi w ob kładah są następjąe: ' t y y' z z' t t' oraz ' t y' y z' z t' t (7) Jest to TRANSFORMACJA GALILEUSZA. Oparta jest ona na intiyjnym załoŝeni, Ŝe zas płynie jednakowo w ob kładah odniesienia. Praje ona świetnie w zakresie mehaniki klasyznej. Natomiast nie opisje poprawnie przejśia między inerjalnymi kładami odniesienia w przypadk praw elektromagnetyzm (równania Mawella). Np. pole magnetyzne jest przejawem pola elektryznego w kładzie porszająym się względem ładnków i zaleŝy ono od kład odniesienia. Transformaja Galilesza nie opisje poprawnie tego efekt. Ponadto, moŝliwia ona otrzymanie prędkośi większej od prędkośi światła (). Np. jeśli jedziemy poiągiem z prędkośią, a światło biegnie naprzeiw nas z prędkośią, to wedłg powyŝszej transformaji, prędkość światła względem nas powinna wynosić. A wiemy, Ŝe jest to sprzezne z doświadzeniem, które wykonali Mihelson i Morley. Tak wię, trzeba było sformłować nową transformaję, która nie prowadzi do tego błędnego wynik. Pogodzenie tej sprzeznośi (Ŝe daje w wynik znow ) jest moŝliwe, gdyŝ w relatywistye obowiązje inna zaleŝność między współrzędnymi przestrzennymi i zasem.
Poprawną formę nowej transformaji sformłował w rok 897 fizyk holenderski Lorentz i nosi ona nazwę transformaji Lorentza. Transformaja ta jest podstawą relatywistyki, zyli szzególnej teorii względnośi. RozwaŜmy znów dwa, identyzne jak poprzednio, sytaję szzególnie prostą, a mianowiie taką, Ŝe dwa kłady odniesienia porszająe się względem siebie wzdłŝ osi z prędkośią - Rys. 8 (zakładamy ponadto, Ŝe w hwili pozątkowej pokrywały się). TRANSFORMACJA LORENTZA ma następjąą postać: ' γ y y z z ( t ) t γ t oraz ' γ y y z z ( t) t γ t W transformaji Lorentza występje znany nam jŝ zynnik Lorentza: γ ZawaŜmy, Ŝe harakterystyzną ehą tej transformaji jest przeplatanie się współrzędnyh zasowyh i przestrzennyh; występje to w formle na transformaję zas: γ t'. Ponadto, zgodnie z tą transformają zas nie płynie w tym samym tempie w t ob kładah ( t t' ). (8) 3. Kilka wniosków z transformaji Lorentza UPŁYW CZASU WykaŜemy teraz, Ŝe z transformaji Lorentza wynika wniosek, iŝ tempo pływ zas jest róŝne w kładah i, zyli w takih, które się porszają względem siebie (wykazaliśmy to jŝ powyŝej, poprzez proste rozmowanie z zegarem świetlnym Rys. 5 i 6). Z transformaji Lorentza mamy: γ t t
ZałóŜmy, Ŝe jakieś dwa zdarzenia mają miejse w kładzie O pnkie, w hwilah t i t, zyli następją w odstępie zas t. Chemy wylizyć odpowiadająy m odstęp zas t w kładzie O. Zgodnie z powyŝszym równaniem: γt γ t gdzie: t ' t t. PoniewaŜ oba wydarzenia zahodzą w tym samym miejs w kładzie (9) O, wię:. A zatem t γ t () Wynik ten dostaliśmy jŝ wześniej, przy okazji rozmowania z zegarem świetlnym (Równ. 4). Ozywiśie: t > t. ZałóŜmy teraz, Ŝe dwa wydarzenia zahodząe w pnktah i ( a zatem w kładzie ) są jednozesne ( t ). MoŜe to być, na przykład, zapalenie się dwóh Ŝarówek. Jaki jest odstęp zas miedzy tymi wydarzeniami w kładzie? Z Równ. 9, biorą pod wagę, Ŝe t, otrzymjemy : t γ ' Widzimy zatem, Ŝe te same dwa wydarzenia w kładzie (porszająym się względem kład ) nie są jednozesne. A zatem jednozesność jest względna!!! Jeśli dwa kłady odniesienia porszają się względem siebie, to dwa wydarzenia jednozesne w jednym kładzie nie będą jednozesne w drgim. W mehanie klasyznej taka sytaja jest nie do pomyślenia! () SKRÓCENIE DŁUGOŚCI ZałóŜmy, Ŝe obserwator he zmierzyć dłgość pręta, który spozywa w kładzie ; końe pręta znajdją się w pnktah i. Z transformaji Lorentza moŝemy napisać kolejno: γ γ a zatem γt γt ' t γ ' t γ () 3
Dłgość porszająego się pręta mierzona w kładzie wynosi, zyli: gdzie ozywiśie: ' t γ t t Obserwator msi zmierzyć połoŝenie ob końów równoześnie (gdyŝ one się porszają); a wię t t t. Otrzymjemy ostateznie: t γ ' (3) A zatem dłgość pręta, którą otrzymamy w kładzie (kład rhomy względem pręta) jest krótsza niŝ ta, którą zmierzymy w kładzie (kład w którym pręt spozywa). Podsmjmy: < dłgość pręta mierzona z kład porszająego się (względem pręta) jest mniejsza niŝ dłgość wyznazona dla pręta spozywająego. A zatem mamy efekt skróenia dłgośi. Przykład: Dwóh obserwatorów mija się, kaŝdy trzymają identyzny pręt metalowy; dłgość pręta zmierzona w kładzie własnym wynosi m. Jednak kaŝdy z obserwatorów mierzą dłgość pręta partnera znajdjąego się w kładzie kolegi (zyli porszająego się), zobazy pręt partnera skróony razy. Jeśli względna ih prędkość wynosi.6, to zgodnie z Równ., kaŝdy z dwóh obserwatorów zamiast zobazyć pręt o dłgośi m, zobazy pręt o dłgośi 8 m. m 8 m gdy.6 ÿ º 4
RELATYWISTYCZNE DODAWANIE PRĘDKOŚCI: Zobazmy teraz, jakie prawo dodawania prędkośi wynika z transformaji Lorentza (Równ.8): ' γ y y z z ( t) t γ t Przypśćmy, Ŝe jakieś iało porsza się z prędkośią względem. Jaka jest prędkość iała w kładzie? Przyjmją, Ŝe kład porsza się względem kład z prędkośią (patrz Rys. 9) z z ' Rys.9. Ciało porsza się z prędkośią względem kład, zaś kład ma prędkość względem kład. Jaką prędkość ma względem kład? Wedłg mehaniki klasyznej otrzymalibyśmy zgodny z naszą odzienną intiją wynik:. A jaką prędkość wypadkową zarejestrjemy w kładzie zgodnie z STW? Z transformaji Lorentza wynika, Ŝe: γ ( t) t γ t Dzielą dwa powyŝsze równania stronami: (4) 5
6 t t t t t (5) ZawaŜmy, Ŝe: t ; t zyli: (6) Przekształają: Ostateznie otrzymjemy wynik na wypadkową prędkość : (6a) Z tego wzor moŝemy potwierdzić postlat stałej prędkośi światła, niezaleŝnej od kład odniesienia. ZałóŜmy, Ŝe, zyli, Ŝe np. porszająym się iałem jest kwant światła (jego prędkość wynosi względem kład ); wiemy, ponadto, Ŝe kład porsza się z prędkośią względem kład. Ile zatem wyniesie wypadkowa prędkość kwant światła względem kład? Podstawiają do powyŝszego równania, otrzymjemy: ( ) ( ) A zatem dostaliśmy poprawny, zgodny z doświadzeniem rezltat, Ŝe prędkość światła wynosi względem kaŝdego z dwóh porszająyh się kładów odniesienia. Jak widzimy, transformaja Lorentza praje poprawnie!
4. Czasoprzestrzeń, interwał Czterowymiarową przestrzeń Einsteina: (,y,z,t) nazywamy zasoprzestrzenią. Kiedy hemy sharakteryzować odległość między dwoma wydarzeniami, nie wystarzy podać tylko róŝniy współrzędnyh przestrzennyh (, y, z) ; trzeba równieŝ podać róŝnię współrzędnej zasowej (t). Wielkość fizyzna opisjąa odległość między dwoma zdarzeniami nazywa się interwałem, który definijemy następjąo: s ( y ), t z (7) MoŜna wykazać, Ŝe interwał jest niezmiennikiem względem transformaji Lorentza, tzn. ma taką samą wartość w kaŝdym inerjalnym kładzie odniesienia: s (8), ' s, 5. Dynamika relatywistyzna ZALEśNOŚĆ MASY OD PRĘDKOŚCI Podstawowe prawa mehaniki, jak zasady zahowania : pęd, kręt, i energii pozostają waŝne i w mehanie relatywistyznej, ale znazenie niektóryh wielkośi lega zmianie. Np., wykazje się, Ŝe jeśli ma pozostać słszna zasada zahowania pęd, to masa iała nie moŝe być wielkośią stałą; msi ona zaleŝeć od prędkośi wg. wzor: m m γ m (9) W relaji powyŝszej m oznaza masę spozynkową iała, zyli masę iała pozostająego w spozynk, zaś masę m nazywamy teŝ masą ałkowitą. 7
8 7 γm/m 6 5 4 3 /...4.6.8. Rys.. ZaleŜność masy ałkowitej od prędkośi. Masę i prędkość wyraŝono w sposób znormalizowany, tzn. jako m/m oraz /. Pęd w mehanie relatywistyznej wyraŝa się podobnie jak w mehanie klasyznej, z tym, Ŝe jako masę trzeba wziąć masę ałkowitą: p m () p m γ ZaleŜność masy od prędkośi (Równ.9) została potwierdzona doświadzalnie w szereg doświadzeń, np. w badaniah rh i zderzeń ząstek elementarnyh. MASA I ENERGIA Aby trzymać w moy zasadę zahowania energii w mehanie relatywistyznej, pomiędzy masą a ałkowitą a energią iała, zwaną energią ałkowitą, msi zahodzić związek : E m m γ () Jest to słynne równanie Einsteina wyraŝająe równowaŝność masy i energii. Przedysktjmy to równanie. ZałóŜmy, Ŝe iało jest w spozynk. Wtedy masa tego iała jest równa m i jego energia, zwana energią spozynkową, wynosi: E () m Czym jest, zatem energia kinetyzna? Jest ona po prost róŝnią pomiędzy energią ałkowitą i spozynkową: 8
E k ( m m ) E E (3) lb teŝ: E k m ( γ ) m Uzyskaną zaleŝność na energię kinetyzną przedstawiono na Rys.. (4) 7 6 5 Ek/m o Ek (m - m o) 4 3 Zakres meh. klasyznej E k m...4.6.8. / Rys.. ZaleŜność energii kinetyznej od prędkośi. Energię kinetyzną i prędkość wyraŝono w sposób znormalizowany, tzn. jako E k /m oraz /. W relatywistye msimy Ŝywać, zatem zpełnie innej formły na energię kinetyzną, niŝ ta do której przywykliśmy w fizye klasyznej ( E k m ). Niemniej, łatwo moŝna wykazać Ŝe dla małyh prędkośi, równanie relatywistyzne (Równ.4) przehodzi w relaję klasyzną. Rozwińmy w szereg Taylora wyraŝenie występjąe w powyŝszym równani: ( ) gdzie dla bardzo małyh, w wokół pnkt, biorą tylko dwa pierwsze wyrazy rozwinięia; otrzymamy: ( ) Podstawiają ten wynik dla z powrotem do Równ.4, otrzymjemy: E k m E k m 9
Czyli, gdy przehodzimy do bardzo małyh prędkośi (w porównani z prędkośią światła), relatywistyzny wzór na energię kinetyzną przehodzi we wzór klasyzny. Zaznazono to symboliznie na Rys.. Z drgiej strony widzimy, Ŝe gdy to E. A zatem rozpędzenie iała (obdarzonego masą) do prędkośi światła wymagałoby nieskońzenie wielkiej pray, a zatem jest niemoŝliwe. Z prędkośią światła mogą porszać się jedynie ząstki elementarne o zerowej masie spozynkowej, takie jak foton (zyli kwant światła). Energia kinetyzna związana jest z przyrostem masy iała. Okazje się, Ŝe to samo dotyzy innyh rodzajów energii: np. zegarek z nakręoną spręŝyną waŝy nieo więej, niŝ ten sam zegarek nienakręony, zy teŝ iało podniesione nad poziom Ziemi, zwiększa swoją masę. Te zmiany są bardzo niewielkie i są trdno zawaŝalne w obserwajah Ŝyia odziennego. Dopiero w zjawiskah atomowyh i jądrowyh zamiana masy na energię moŝe być łatwiej zademonstrowana. Na przykład praa reaktora jądrowego polega przeieŝ na tym, Ŝe zęść masy jąder atomowyh, zestniząyh w reakji rozszzepienia, zamienia się na energię zgodnie z wzorem: Em (nawiasem mówią szzególna teoria względnośi dostarzyła podstaw teoretyznyh do konstrkji reaktorów atomowyh oraz niestety takŝe bomby atomowej). Innym iekawym przykładem konwersji energii jest fakt, Ŝe kwanty promieniowania (energia ih wynosi hν, gdzie h jest stałą Planka, zaś ν zęstotliwośią promieniowania), zmieniają swoją zęstotliwość, jeśli porszają się w kiernk pionowym w pol grawitayjnym Ziemi. Zwiększają swoją zęstotliwość, jeśli porszają się w dół, zaś zmniejszają, jeśli biegną w górę. Oddziaływają one z polem grawitayjnym tak, jakby miały masę mhν/. Biegną do góry wykonją praę przeiw pol grawitayjnem, przez o ih energia, a zatem i zęstotliwość maleją. k ZWIĄZEK ENERGII, MASY I PĘDU Na konie naszyh rozwaŝań wyprowadzimy harakterystyzną relaję wiąŝąą energię i masę ałkowitą iała oraz jego pęd. Przypomnijmy wzory na energię ałkowitą i pęd iała: E m oraz p m Podnieśmy te równania do kwadrat: E m 4 oraz p m przy zym drgie z nih pomnoŝyliśmy jeszze dodatkowo przez. Odejmijmy je teraz stronami:
4 E p m ( ) Podstawiają do powyŝszego, wyraŝenie na masę ałkowitą: m otrzymjemy: m zyli: 4 m E p ( ) ( ) 4 p m (5) E lb równowaŝnie: E m 4 p (6) Otrzymaliśmy bardzo harakterystyzny rezltat. Mówi on, Ŝe na ałkowitą energię (E) iała składają się: energia spozynkowa (m o ) oraz przyzynek związany z rhem iała (p ), przy zym te dwa składniki dodają się jak składowe wektora. Ponadto z Równ.5 widać, Ŝe wyraŝenie: E p (7) jest niezmiennikiem, tzn. jego wartość jest taka sama we wszystkih inerjalnyh kładah odniesienia (w szzególnośi nie zaleŝy ono od prędkośi, a zatem i od zynnika Lorentza γ) w przeiwieństwie do E oraz p. Przeprowadźmy na konie dysksję wyraŝenia na ałkowitą energię, E (Równ.6), rozpatrją trzy przypadki: a) Jeśli ząstka nie ma masy spozynkowej (m o, np. kwant światła lb γ, netrino) to E p (8) Znajdjemy stąd przydatne wyraŝenie na pęd foton: E hν p (9)
gdyŝ energia foton wynosi hν. Pęd niesiony przez kwanty promieniowania elektromagnetyznego wyjaśnia proes elastyznego zderzenia kwantów γ z elektronami (w zjawisk Comptona) zy teŝ iśnienie wytwarzane przez światło. ZawaŜmy, Ŝe wynik z Równ.8 jest takŝe w przybliŝeni prawdziwy dla ząstki mająej bardzo dŝą energię kinetyzną (o się wyraŝa dŝym pędem), tak Ŝe moŝna w porównani z nią zaniedbać energię spozynkową (por. Równ. 6). b) Jeśli pęd ząstki wynosi zero (p) to jej energia ałkowita równa jest energii spozynkowej (por. Równ. 6): Jest to przypadek ząstek pozostająyh w spozynk. E m (3) o ) Rozpatrzmy teraz ząstkę o niewielkim pędzie. Energia kinetyzna wynosi: lb: E k E m o E k m 4 p m m p m m p ZałóŜmy teraz, Ŝe pęd ząstki jest mały tak, iŝ wyraz <<. Zastosjmy w powyŝszym m równani przybliŝone rozwinięie pierwiastka kwadratowego: (poprawne dla małyh ); otrzymamy zatem: E k m m m p p m A wię dostaliśmy klasyzne wyraŝenie na energię kinetyzną ( E warnkiem, Ŝe ząstka ma mały pęd. p m ), pod m k