OBLICZNIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁDNOŚCI FIGUR PŁSKICH, TWIERDZENIE STEINER LBORTORIUM RCHUNKOWE Prz oblczeach wtrzmałoścowch dotczącch ektórch przpadków obcążea (p. zgae) potrzeba jest zajomość pewch welkośc geometrczch charakterzującch przekroje poprzecze prętów. Welkoścam tm są momet bezwładośc względem os, momet względem układu os, azwa róweż mometem dewacj lub odśrodkowm oraz momet beguowe. Momet bezwładośc fgur płaskej względem os azwam sumę loczów elemetarch pól d tego pola przez kwadrat odległośc tch pól od os (rs.). Momet bezwładośc: - osowe momet bezwładośc, (względem prostej lub os). - beguow momet bezwładośc O (momet bezwładośc względem ustaloego puktu O, zwaego często beguem), - dewacj momet bezwładośc (zboczeow momet lub odśrodkow) momet bezwładośc względem układu os. Rs.. Ozaczee elemetarego pola d. edostką wmarową mometów bezwładośc jest m 4. Momet osowe oraz momet beguow są zawsze dodate, atomast momet dewacj może bć dodat lub ujem lub rów zero.
Defcja mometów bezwładośc:. Osowe momet bezwładośc d. Beguow momet bezwładośc Momet bezwładośc beguow fgur płaskej względem początku układu prostokątego rówa sę sume mometów bezwładośc względem dwu os układu leżącego w płaszczźe fgur. 0 d ( + ) d 3. Momet dewacj (zboczea, odśrodkow) d ρ d+ d + d Momet bezwładośc względem os rówoległch. Twerdzee Steera Przesuńm prostokąt układ współrzędch w stosuku do perwote przjętego O o składowe przesuęca a, b. Zając dla perwotego układu os momet bezwładośc, momet dewacj wzacza sę dla owego układu momet c, c cc. Rs.. Ozaczee do wzoru Steera. W przpadku gd początek układu pokrwa sę ze środkem cężkośc fgur, momet statcze są rówe zero twerdzee Steera moża przedstawć: c + a c + b cc + ab
Momet bezwładośc fgur płaskej względem os odległej od środka cężkośc o a jest rów mometow bezwładośc względem os rówoległej przechodzącej przez środek cężkośc, zwększoemu o locz całej powerzch fgur przez kwadrat odległośc a (a ). Twerdzee Steera umożlwa oblczae mometów bezwładośc fgur płaskch względem os rówolegle przesuętch w stosuku do os cetralch (os przechodzącch przez środek cężkośc przekroju). Momet bezwładośc fgur złożoch są sumą mometów bezwładośc prostch fgur składowch. Fgura złożoa może składać sę z fgur pełch oraz pustch. Prz sumowau mometów bezwładośc fgur puste uważa sę za fgur z ujemm polam powerzch. Rs.3. Podzał fgur złożoej a fgur proste (jede z możlwch do zastosowaa podzałów fgur). 3
Defcja mometu statczego w układze os X Y. Rs.4. Defcja mometu statczego W zależośc od położea przekroju względem os układu współrzędch mogą przjmować wartośc dodate ujeme. Wkorzstując zae ze statk pojęce środka sł, dla środka cężkośc moża apsać: Oblczae współrzędch środka cężkośc fgur płaskch. Prz wkorzstau defcj mometów statczch fgur płaskch współrzęde środka cężkośc fgur płaskej oblczm ze wzorów: c S c S Przdate twerdzea do oblczaa współrzędch środka cężkośc fgur płaskej: - gd fgura płaska ma oś smetr, to środek cężkośc leż a tej os, - jeżel fgura płaska ma dwe ose smetr, to środek cężkośc leż w pukce przecęca tch os. 4
eżel przekrój składa sę z częśc o zach polach powerzch oraz współrzędch środków cężkośc to współrzęde środka cężkośc oblcza sę ze wzorów. c Przkład [3] Określć położee środka cężkośc fgur przedstawoej a rsuku. Przekrój podzeloo a trz prostokąt o astępującch polach powerzch: cm, 5 0 cm, 3 4 cm. Współrzęde środka cężkośc całej fgur woszą c Celem laboratorum jest wzaczee osowch mometów bezwładośc oraz dewacjego mometu bezwładośc Kolejość postępowaa prz wzaczau położea główch cetralch os bezwładośc wartośc główch cetralch mometów bezwładośc: - przjęce początkowego układu os współrzędch O. - podzał fgur a proste fgur składowe, - oblczea pola powerzch wzaczee środków cężkośc fgur składowch, - oblczea pola powerzch wzaczee położea środka cężkośc pola całej fgur, - wzaczee osowch mometów bezwładośc oraz dewacjego mometu bezwładośc. 5
Lteratura: [] Dląg Zdzsław, akubowcz to, Orłoś Zbgew, Wtrzmałość materałów. Tom I, WNT, 007. [] Nezgodzńsk Mchał E., Nezgodzńsk Tadeusz Wtrzmałość materałów, Wdawctwo Naukowe PWN, 00. [3] Ostwald Mara, Podstaw mechak, Poltechka Pozańska; e-skrpt: www.sms.am.put.poza.pl/eskrpt_plk/podstawmechak/9mometbezwlados cfgurplaskch.pdf 6
7