Dr inż. Michał Chłędowski AUTOMATYKA Materiały dydaktyczne dotyczące zagadnień przewidzianych w I pracy kontrolnej Zakres tematyczny: Podstawowe człony automatyki, opis własności statycznych i dynamicznych, transmitancja operatorowa, charakterystyka skokowa, charakterystyka częstotliwościowa Treść zadania:w pracy należy zrealizować następujące zadania: 1. Wybrać dowolny element automatyki. Narysować go schematycznie oraz narysować jego schemat blokowy z zaznaczeniem sygnału wejściowego i wyjściowego a także przyjąć liczbowe wartości parametrów charakteryzujących ten element. 2. Wyprowadzić równanie opisującego właściwości dynamiczne i statyczne elementu automatyki w dziedzinie czasu. 3. Określić transmitancję przejścia opisywanego elementu z równania operatorowego uzyskanego w wyniku zastosowania przekształcenia Laplace a do równania w dziedzinie czasu. 4. Wyznaczyć wzór na charakterystykę skokową korzystając z odwrotnego przekształcenia Laplace a i tablic przekształceń Laplace a. Narysować wykres charakterystyki skokowej korzystając z dowolnego programu komputerowego (Matlab, Scilab, Codas, Origin). Sprawdzić wybrane punkty wykresu wykonując obliczenia h(t) ze wzoru dla odpowiednich wartości czasu. Wyniki obliczeń zamieścić w tabelce. 5. Wyznaczyć wzory na charakterystykę częstotliwościową (amplitudowo-fazową) badanego elementu oraz na charakterystyki logarytmiczne: amplitudową i fazową. Narysować wykresy tych charakterystyk. Sposób rysowania i sprawdzania jak w pkt.4. 6. Wszystkie punkty pracy kontrolnej należy wykonać ze zrozumieniem realizowanych czynności i operacji, podchodząc krytycznie do otrzymywanych wyników i przeprowadzić analizę ich poprawności. Tok postępowania: 1. Wybrać dowolny element automatyki. Może to być element mechaniczny, elektryczny, pneumatyczny, hydrauliczny a także mieszany, np. mechaniczno-elektryczny. Warto w tym celu przeglądnąć kilka pozycji literatury z zakresu automatyki i znaleźć przykład, który przynajmniej częściowo będziemy mogli wykorzystać. Ważnym jest, aby wybrany przykład elementu automatyki był zrozumiały z punktu widzenia jego budowy, zasady działania i przeznaczenia. Rozważnym jest wybieranie przykładu o średniej skali trudności. W szczególności chodzi o to, aby był to element liniowy a równanie opisujące właściwości dynamiczne było równaniem różniczkowym (całkowym) 1-go lub 2-go rzędu (chociaż oczywiście może być i wyższego). Nie będą akceptowane przykłady z elementem proporcjonalnym jako zbyt proste. Tak więc odpadają elementy w postaci np. belki dwuramiennej czy dzielnika napięcia. Wybrany element należy przedstawić graficznie w postaci prostego ale zrozumiałego rysunku a także jako schemat blokowy elementu automatyki w postaci prostokąta z wyraźnym zaznaczeniem wielkości fizycznych, które w naszym przykładzie będą pełnić rolę sygnału wejściowego i sygnału wyjściowego. Proszę
podać miana tych sygnałów a także przyjąć przykładowe (ale rozsądne!) wartości liczbowe parametrów występujących w opracowywanym przykładzie. 2. Dla tak zdefiniowanego elementu automatyki wyznaczyć opis matematyczny jego właściwości. Przeprowadzając analizę pracy elementu oraz wykorzystując wiedzę ze stosownych, mających w danym przypadku zastosowanie dziedzin, należy napisać równanie w dziedzinie czasu (najczęściej różniczkowe), wiążące sygnał wyjściowy z sygnałem wejściowym i parametrami charakteryzującymi badany element. Tak napisane równanie da nam opis właściwości dynamicznych elementu. Przyrównując do zera wszystkie pochodne występujące w równaniu otrzymamy tzw. równanie statyki, czyli zależność sygnału wyjściowego od wejściowego w stanie ustalonym. 3. Zastosowanie przekształcenia Laplace'a do równania różniczkowego pozwoli napisać równanie operatorowe. Równanie to powinno być równaniem algebraicznym a zmienną niezależną będzie operator Laplace'a s. Korzystając z definicji transmitancji operatorowej, którą najprościej można zapisać jako: transmitancją operatorową G(s) nazywamy stosunek transformaty sygnału wyjściowego Y(s) do transformaty sygnału wejściowego X(s) przy zerowych warunkach początkowych, przekształcimy równanie operatorowe tak, aby napisać wzór na transmitancję operatorową G(s)=Y(s)/X(s). 4. Charakterystyka skokowa h(t) jest odpowiedzią badanego członu (układu) na wymuszenie skokowe. Wymuszenie skokowe matematycznie zapisujemy jako a 1(t), gdzie a jest amplitudą wymuszenia a pogrubiona jedynka charakteryzuje skokową zmianę funkcji wymuszającej. Transformata wymuszenia skokowego ma postać: a/s. Transformatę charakterystyki skokowej możemy wyznaczyć bezpośrednio ze wzoru na G(s) wstawiając w miejsce ogólnie zapisanego sygnału wejściowego X(s) transformatę wymuszenia skokowego. Otrzymamy: H s =G s a. W celu znalezienia wzoru na charakterystykę s skokową badane elementu w dziedzinie czasu należy zastosować odwrotne przekształcenie Laplace'a. Zapiszemy to następująco: h t = L 1 [G s a s ]=a L 1 [G s 1 s ]. Oryginał wyrażenia z nawiasu kwadratowego znajdziemy w tablicach przekształceń Laplace'a. Korzystając z dowolnego graficznego programu komputerowego należy narysować wykres charakterystyki skokowej. Dla sprawdzenia poprawności wyniku należy wyliczyć przynajmniej 3-4 wartości h(t) dla wybranych wartości czasu i porównać z wykresem. 5. Charakterystyki częstotliwościowe rozpatrywać będziemy w oparciu o pojęcie transmitancji widmowej, którą definiujemy następująco: jest to transmitancja operatorowa, w której za operator Laplace'a s będący liczbą zespoloną, podstawiamy tylko część urojoną tej liczby, czyli jω, gdzie ω pulsacja zmieniająca się w zakresie od 0 do +. Czyli G j =G s s= j. Będziemy rozpatrywać dwa rodzaje charakterystyk: - charakterystykę amplitudowo-fazową, - logarytmiczne charakterystyki: amplitudową i fazową. Dla znalezienia wzoru a następnie narysowania na jego podstawie wykresu ch-ki a-f konieczne jest wydzielenie części rzeczywistej P(ω) i części urojonej Q(ω) z ogólnej postaci charakterystyki amplitudowo-fazowej G(jω). Dla wyznaczenia charakterystyk logarytmicznych: amplitudowej i fazowej należy wyznaczyć wzory na te charakterystyki. Wyznaczamy je korzystając z definicji. Amplitudową charakterystykę logarytmiczną definiujemy następująco: L(ω)=20logM(ω), gdzie M = P 2 Q 2, zaś fazową charakterystykę logarytmiczną: φ(ω)=arctan Q(ω). Charakterystyki P (ω) amplitudową i fazową rysujemy jedna pod drugą. L(ω) wyrażamy w [db] zaś φ(ω) najczęściej w stopniach, rzadziej w radianach. Na osi poziomej odkładamy pulsację ω w skali logarytmicznej (jednakowym odcinkom na tej osi odpowiada dziesięciokrotny wzrost pulsacji). Zakres zmian ω dobieramy w zależności od parametrów i własności badanego elementu. Wybieramy przedział w którym zachodzą istotne zmiany. Charakterystyki
częstotliwościowe (amplitudowo-fazową i logarytmiczne) rysujemy wykorzystując odpowiedni program komputerowy. W celu sprawdzenia poprawności przeprowadzonych działań liczymy dla wybranych wartości ω (w tym dla 0 i ) poszczególne parametry badanych charakterystyk, czyli: P(ω), Q(ω), L(ω) oraz φ(ω), zapisujemy w tabelce i porównujemy z otrzymanymi wykresami. Przykład rozwiązania: obcowzbudny silnik prądu stałego (DC) Krok I wybór elementu do badań Jako przedmiot badań wybierzemy obcowzbudny silnik elektryczny prądu stałego. Konstrukcję takiego silnika przedstawia rys.1 a jego zasadę działania rys. 2. Rys. 1. Budowa silnika DC Rys. 2. Zasada działania silnika DC Dla napisania równań opisujących dynamiczne własności silnika wygodnie jest przedstawić schematycznie obwody elektryczne i model mechaniczny wirnika (rys. 3). Schemat blokowy silnika DC jako elementu automatyki przedstawia rys. 4. Rys. 3. Uproszczony schemat silnika DC Rys. 4. Schemat blokowy silnika DC Wartości liczbowe parametrów charakteryzujących silnik prądu stałego przyjmiemy po wyprowadzeniu wzorów. Wówczas będzie znany pełny zestaw tych parametrów.
Krok II Model matematyczny silnika DC Analizę tego układu przeprowadzimy przy założeniu, że dynamikę silnika obcowzbudnego prądu stałego można, z wystarczającym przybliżeniem, opisać za pomocą równania różniczkowego pierwszego rzędu. Dokładniejsza analiza wymagałaby uwzględnienia szeregu zjawisk (chociażby indukcyjność obwodu twornika), które poprawiają jakość odzwierciedlenia rzeczywistego zachowania silnika ale znacznie komplikują model. Tutaj ograniczymy się opisem wynikającym z rys.3. Wielkością sterowaną jest prędkość obrotowa silnika n a wielkością sterującą napięcie U s przyłożone do obwodu twornika (rys. 4.). Uzwojenie wzbudzenia zasilane stałym napięciem U w wytwarza stałe pole magnetyczne pomiędzy nabiegunnikami, stąd nazwa silnik obcowzbudny (nie ze stałymi magnesami). Obwód elektryczny twornika uwzględnia oporność twornika R t oraz siłę elektromotoryczną indukcji e. Wartość siły elektromotorycznej możemy wyrazić zależnością: gdzie: c stała konstrukcyjna maszyny elektrycznej, Φ strumień pola magnetycznego wzbudzenia, n - prędkość obrotowa silnika. e=c n (1) Ponieważ napięcie wzbudzenia U w jest stałe to wytwarzany strumień pola magnetycznego wzbudzenia Φ jest również stały. Możemy zatem napisać: e=k e n (2) gdzie: k e - stała elektromechaniczna silnika. Z prawa Kirchhoffa zastosowanego do obwodu twornika otrzymamy równanie: e=k e n=u s i t R t (3) Z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego wynika, że: J dn dt =M M e (4) gdzie: J - całkowity moment bezwładności (wszystkich elementów wirujących), M e - elektromagnetyczny moment obrotowy wytwarzany przez wirnik silnika, M - moment sił hamujących (obciążenie silnika). Moment obrotowy wytwarzany przez silnik możemy wyliczyć z zależności: M e =c m Φi t =k m i t (5) gdzie: k m =c m Φ - stała momentowa. Ostatecznie, podstawiając do równania (4) zależności (3) i (5) otrzymujemy równanie dynamiki silnika prądu stałego: JR t dn k m k e dt n= 1 U k s R t M (6) e k e k m Widzimy, że w równaniu (6) występują dwie wielkości wejściowe: napięcie sterujące U s oraz moment obciążenia M. W układzie tym sterujemy prędkością obrotową n(t) za pomocą napięcia twornika U s t przy występowaniu zakłóceń w postaci zmiennego obciążenia M(t). Mając wszystkie parametry występujące w opisie własności dynamicznych silnika możemy określić ich wartości liczbowe. Wykorzystamy dane silnika wykonawczego produkcji krajowej PZTK88-35TRR. Producent dostarcza następujących danych: Moment długotrwały (dla n=0) 0,55 Nm, Napięcie maksymalne zasilania 35 V,
Prędkość maksymalna - 3200 obr/min, Moment maksymalny - 2,8 Nm, Prąd maksymalny - 27 A, Stała momentowa - k m =c m Φ = M e i t =0,105 Nm/ A, Stała elektromechaniczna silnika - k e =cφ = e n =11V /1000obr /min, Rezystancja twornika - R t =0,56, Indukcyjność twornika - L t =0,9 mh, Moment bezwładności - J =1,45 10 4 kgm 2. Równanie (6) warto zapisać w skróconej postaci: T dn t n t =k dt u U s t k o M t (7) gdzie: T = JR t = 1,45 10 4 0,56 k m k e 0,105 0,011 =0,07, k u = 1 = 1 k e 0,011 =90,91, k o = R t 0,56 = k e k m 0,105 0,011 =484,85. Lewa strona tego równania opisuje własności silnika. Jak widzimy, w tym przypadku jest to równanie różniczkowe I-go rzędu. Bardziej szczegółowa analiza silnika jako obiektu sterowania (uwzględniająca indukcyjność obwodu twornika) prowadzi do równania II-go rzędu. Pojawia się wówczas w tym równaniu druga stała czasowa, tzw. elektryczna, która jest przynajmniej o dwa rzędy wielkości mniejsza aniżeli stała mechaniczna (T) co powoduje, że współczynnik przy drugiej pochodnej jest bardzo mały i można go przy mniej dokładnej analizie zaniedbać. Po prawej stronie równania występuje sygnał sterujący (napięcie twornika) i sygnał zakłócający (zmienny moment obciążenia). Strukturę sterowania silnika prądu stałego w pętli otwartej można przedstawić jak na rys. 5. Rys. 5. Schemat blokowy sterowania silnika w otwartej pętli Obliczymy transmitancję operatorową silnika przyjmując zgodnie z rys. 4 za sygnał wejściowy napięcie U s t a za sygnał wyjściowy - prędkość obrotową n(t). Moment obciążający M(t) w tym przypadku jest stały, w szczególności równy zero. Równanie (7) w takim przypadku przyjmie postać: T dn t n t =k dt u U s t (8) Z równania (8) opisującego własności dynamiczne silnika łatwo uzyskać równanie statyki.
Charakterystyka statyczna to zależność sygnału wyjściowego od wejściowego w stanach ustalonych. W stanach ustalonych wielkości wejściowe i wyjściowe nie zmieniają się (mamy przecież stan ustalony). A jeśli tak, to wszystkie pochodne są równe zeru. Przyrównanie do zera członów równania w których występują pochodne daje nam równanie statyki. W omawianym przypadku równanie to przyjmie postać: n 0 =k u U s0 (9) gdzie indeks 0 oznacza wartość danej zmiennej w stanie ustalonym. Krok III Określenie transmitancji operatorowej G(s) Równanie operatorowe otrzymamy stosując znane reguły przekształcenia Laplace'a. Symbol d różniczkowania zastępujemy operatorem Laplace'a s, zmienne uzależniamy również od dt s i piszemy dużą literą, parametry stałe nie ulegają zmianie (nie podlegają przekształceniu). W naszym przypadku, po zastosowaniu opisanych reguł do równania (8) otrzymamy równanie algebraiczne: T sn s N s =k u U s s (10) Teraz możemy napisać transmitancję operatorową badanego silnika DC. Przypomnimy definicję: transmitancją operatorową G(s) układu lub członu automatyki nazywamy stosunek transformaty sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy zerowych warunkach początkowych. Rolę sygnału wyjściowego pełni prędkość obrotowa n(t) a jej transformata to N(s). Rolę sygnału wejściowego pełni napięcie twornika, zwane napięciem sterującym U s t. Jego transformata to U s s. Tak więc: G s = N s U s s = k u Ts 1 = 90,91 (11) 0,07 s 1 Krok IV Charakterystyka skokowa W pkt. Tok postępowania (str.2) mamy podane podstawowe informacje na temat charakterystyki skokowej (więcej w poz. [1], str.71) i w szczególności przytoczony jest wzór: h t = L 1 [G s a s ]=a L 1 [G s 1 s ] (12) Przeanalizujemy tok postępowania zmierzający do otrzymania charakterystyki skokowej zarówno w postaci analitycznej (tabelka) jak i graficznej (wykres) w oparciu o wzór (12). W badanym silniku maksymalne napięcie zasilające wynosi U s =35[V ]. Przyjmiemy zatem, że parametr a w równaniu (12) oznaczający amplitudę skoku wymuszającego równy będzie 35. Wzór (12) przyjmie postać: k h t = L 1 [ u a Ts 1 s ]=a k 1 u L 1 [ s Ts 1 ]=3181,85 1 L 1 [ s 0,07 s 1 ] (13) Symbol L 1 oznacza odwrotne przekształcenie Laplace'a. Oznacza on, że poszukujemy oryginału z wyrażenia znajdującego się w nawiasie kwadratowym za tym symbolem. Do tego celu wykorzystujemy tablice transformat Laplace'a. W każdym podręczniku do automatyki powinna znajdować się taka, mniej lub bardziej rozbudowana tablica. Jeśli korzystamy z pozycji [1] to na stronie 412 znajdziemy rozdział DODATEK a w nim bardzo rozbudowaną tablicę. Korzystanie z takiej tablicy w celu znalezienia odwrotnego przekształcenia Laplace'a polega na znalezieniu w drugiej kolumnie wyrażenia identycznego jak nasze wyrażenie w nawiasie kwadratowym i odczytaniu w trzeciej kolumnie oryginału, który będzie poszukiwanym wzorem charakterystyki
1 skokowej. Poszukujemy zatem w drugiej kolumnie tablicy wyrażenia [ s 0,07 s 1 ]. Ponieważ rozpatrywany przykład jest stosunkowo prostym przykładem nie powinno być problemu ze znalezieniem takiego wyrażenia. W przypadkach bardziej złożonych, kiedy nie udaje się nam znaleźć odpowiedniego wyrażenia stosujemy zabieg rozkładu takiego wyrażenia na ułamki proste, przedstawiamy go więc jako sumę prostszych wyrażeń, w tablicy znajdujemy te prostsze wyrażenia a wynik uzyskujemy jako sumę oryginałów poszczególnych prostszych wyrażeń. Więcej szczegółów o toku przedstawionego postępowania można znaleźć w pozycji [1], str.76. Występujące w naszym przykładzie wyrażenie znajdujemy bez większego problemu w drugim wierszu tablicy. Odczytujemy oryginał: 1 e t gdzie = 1. Tak więc wzór (13) na T charakterystykę skokową w naszym przypadku przyjmie postać: t t h t = L 1 k [ u a Ts 1 s ]=a k 1 e T u =3181,85 1 e 0,07 (14) Dokonajmy odpowiedniej interpretacji otrzymanego wzoru. Przypomnijmy, że rozpatrywanym obiektem jest silnik prądu stałego (rys. 3 i 4). Wielkością wyjściową jest prędkość obrotowa w [obr/min] a wielkością wejściową napięcie zasilające w [V]. Wzór (14) wyraża zmiany prędkości obrotowej badanego silnika w czasie po podłączeniu go do napięcia 35 [V]. Silnik przed podłączeniem do zasilania miał prędkość obrotową zerową (zerowe warunki początkowe). Należy sprawdzić, czy po podstawieniu do (14) t=0 h(t) reprezentujące obroty będzie równe zero. Po odpowiednio długim czasie (ok. 3-4 stałe czasowe) prędkość obrotowa silnika obcowzbudnego (przy braku zmian jego obciążenia) ustali się na stałej wartości. Jakiej? Należy wyliczyć wartość (14) przy t= (stan ustalony). Tym sposobem określimy wartość początkową i końcową prędkości obrotowej. Natomiast dla określenia przebiegu jej zmian konieczne jest policzenie wartości (14) dla kilku wartości t z przedziału od 0 do (3-4)T. Najwygodniej wyniki tych obliczeń przedstawić w odpowiedniej tabelce. Tabela 1. Wybrane wartości h(t) t[s] 0 0,001 0,002 0,003 0,01 0,01 0,02 0,05 0,1 0,5 h(t)[obr/min] 0 45,13 89,62 133,48 219,35 423,57 790,76 1624,2 2419,31 3179,33 3181,85 Dokładny wykres charakterystyki skokowej można uzyskać wykorzystując dowolny program graficzny. W ramach ćwiczeń laboratoryjnych istnieje możliwość narysowania wykresu h(t) przy pomocy programu MATLAB. Poniżej podane są instrukcje ogólnodostępnego programu SciLAB pozwalające narysować wykres h(t) badanego silnika. -->s=poly(0,'s'); -->sl=syslin('c',3181.85/(0.07*s+1)); -->instants=0:0.01:1; -->y=csim("step",instants,sl); -->plot2d(instants',y'); Po wykonaniu tych instrukcji w programie SciLAB otrzymamy wykres jak na rys. 6.
Rys. 6. Wykres charakterystyki skokowej silnika prądu stałego Krok V - Charakterystyki częstotliwościowe W pkt. 5 Tok postępowania (str. 2) przytoczone są podstawowe pojęcia i wzory mające zastosowanie w analizie częstotliwościowej. Więcej informacji można znaleźć w rozdziale 3 pozycji [1], str. 88. W ramach pracy kontrolnej należy rozpracować dwa rodzaje charakterystyk częstotliwościowych: charakterystykę amplitudowo-fazową oraz charakterystyki logarytmiczne. Charakterystyka amplitudowo-fazowa (a-f) Dla narysowania charakterystyki a-f na płaszczyźnie fazowej konieczne jest rozdzielenie transmitancji widmowej G(jω) na część rzeczywistą P(ω) i część urojoną Q(ω): G j =P jq (15) W rozpatrywanym silniku DC, którego transformata operatorowa ma postać określoną równaniem (11), transmitancję widmową zapiszemy jako: k u G j = 1 j T W celu wydzielenia części rzeczywistej i urojonej z równania (16) pomnożymy jego licznik i mianownik przez liczbę zespoloną, sprzężoną do liczby znajdującej się w mianowniku. Jak pamiętamy, liczba sprzężona do danej liczby zespolonej to taka, która ma część rzeczywistą taką samą a część urojoną z odwrotnym znakiem. Tak więc w naszym przypadku pomnożymy licznik i mianownik równania (16) przez 1- jωt. Wykonamy kolejne przekształcenia i otrzymamy: (16)
i dalej k G j = u 1 j T 1 j T 1 j T = k u 1 j T 1 j T j k u T 1 j T 1 j T G j = k u 1 2 T j k u T 2 1 2 2= P jq T Ostatecznie, dla potrzeb narysowania charakterystyki amplitudowo-fazowej, obliczymy części rzeczywistą i urojoną transmitancji: k u 2 P = 1 2 T = 90,91 2 1 0,0049 (17) Q = k T u 1 2 T = 6,3637 2 1 0,0049 2 (18) W celu narysowania ch-ki a-f wygodnie jest wykonać obliczenia części rzeczywistej P(ω) i części urojonej Q(ω) dla ω zmieniającej się w zakresie od 0 do. Wyniki tych obliczeń dla wybranych wartości ω zamieścimy w tabeli 2. Tabela 2. Wyniki obliczeń charakterystyki amplitudowo-fazowej ω 0 0,01 0,1 0,25 0,5 1 5 10 20 100 P(ω) 90,91 90,9 90,9 90,88 90,8 90.46 81 61,01 30,71 1,82 0 Q(ω) 0-0,06-0,06-1,59-3,18-6,33-28,35-42,71-43 -12,73 0 Pełny wykres charakterystyki można również otrzymać korzystając z odpowiednich graficznych programów komputerowych. W ramach zajęć laboratoryjnych była możliwość wykorzystania do tego celu programu MATLAB. Poniżej podany jest zestaw instrukcji pozwalających narysować charakterystykę amplitudowofazową (tzw. ch-kę Nyquista) przy pomocy programu SciLAB. -->s=poly(0,'s'); -->h=syslin('c',90.91/(0.07*s+1)); -->nyquist(h,0.01,100); Sam wykres otrzymany w wyniku realizacji zaprezentowanych instrukcji przedstawiony jest na rys. 7. Charakterystyki logarytmicznej Analizujemy dwie charakterystyki logarytmiczne: amplitudową i fazową. Charakterystykę amplitudową wyznaczymy z zależności: którą najwygodniej zapisać w postaci: L =20 log P 2 Q 2 =20log k u 1 T 2 2 (19) L =20log k u 20log 1 T 2 2 (20) Wykres L(ω) można uprościć, pomijając we wzorze (20) dla ω<1/t składnik T 2 2, a dla ω>1/t składnik 1 pod pierwiastkiem. Otrzymamy wówczas tzw. asymptotyczną charakterystykę amplitudową: dla ω<1/t L =20 log k u, (21)
dla ω>1/t L =20 log k u 20log T (22) Rys. 7. Wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej silnika DC uzyskany przy pomocy programu SciLAB Pulsacja (częstotliwość kątowa) ω=1/t nazywa się pulsacją sprzęgającą i oznacza się ją symbolem s lub czasami 0. Logarytmiczną charakterystykę fazową wyznaczamy z zależności: =arctg Q =arctg T = arctg T (23) P Bardziej szczegółowe informacje na omawiane tematy można znaleźć w [1], str.100. Na rys. 8 przedstawione zostały wykresy charakterystyki amplitudowej i fazowej uzyskane przy pomocy programu SciLAB. Dla ich otrzymania wystarczy w programie SciLAB następujęce instrukcje: -->s=poly(0,'s'); -->h=syslin('c',90.91/(0.07*s+1)); -->bode(h,0.01,100); W ramach ćwiczeń laboratoryjnych przedstawiane było wykorzystanie programu MATLAB do takich zadań. W pracy kontrolnej w przypadku rysowania dokładnych charakterystyk logarytmicznych z wykorzystaniem programu komputerowego, na otrzymany wykres charakterystyki amplitudowej proszę nanieść przybliżoną charakterystykę (patrz: asymptotyczna charakterystyka amplitudowa wzór (21) i (22)).
Rys. 8. Charakterystyki logarytmiczne silnika CD Literatura 1. Wykłady z automatyki dla mechaników, M. Chłędowski, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów 2003 2. Podstawy automatyki w ćwiczeniach i zadaniach, M. Chłędowski, J. Pieniążek, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów 2009