Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014
Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II
Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej rozkładu
Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej rozkładu Zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) nazywamy funkcję X : Ω R 1 dla której określone są prawdopodobieństwa P(X > u) = P ({ω ; X (ω) > u}), u R 1.
Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej rozkładu Zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) nazywamy funkcję X : Ω R 1 dla której określone są prawdopodobieństwa P(X > u) = P ({ω ; X (ω) > u}), u R 1. Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo P X na R 1 zadane na odcinkach wzorem P X ((a, b]) := P(a < X b) = P ({ω ; X (ω) (a, b]}).
Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej rozkładu Zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) nazywamy funkcję X : Ω R 1 dla której określone są prawdopodobieństwa P(X > u) = P ({ω ; X (ω) > u}), u R 1. Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo P X na R 1 zadane na odcinkach wzorem P X ((a, b]) := P(a < X b) = P ({ω ; X (ω) (a, b]}). Uwaga: P X ((a, + )) = P(X (a, + )), P X ((, a]) = P(X (, a]).
Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd.
Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja wartości oczekiwanej zmiennej losowej
Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja wartości oczekiwanej zmiennej losowej Wartością oczekiwaną nieujemnej zmiennej losowej X nazywamy całkę EX := + 0 P(X > u) du [0, + ].
Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja wartości oczekiwanej zmiennej losowej Wartością oczekiwaną nieujemnej zmiennej losowej X nazywamy całkę EX := + 0 P(X > u) du [0, + ]. Niech f będzie funkcją o wartościach rzeczywistych. Częścią dodatnią f + (ujemną f ) funkcji f nazywamy złożenie tej funkcji z funkcją h + (x) = 0 x (z funkcją h (x) = 0 ( x)).
Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja wartości oczekiwanej zmiennej losowej Wartością oczekiwaną nieujemnej zmiennej losowej X nazywamy całkę EX := + 0 P(X > u) du [0, + ]. Niech f będzie funkcją o wartościach rzeczywistych. Częścią dodatnią f + (ujemną f ) funkcji f nazywamy złożenie tej funkcji z funkcją h + (x) = 0 x (z funkcją h (x) = 0 ( x)). Niech X będzie zmienna losową i niech EX + < + i EX < +. Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X nazywamy całkę EX := EX + EX (, + ).
Interpretacja formalizmu Wartość oczekiwana Dystrybuanty
Interpretacja formalizmu Wartość oczekiwana Dystrybuanty Wartość zmiennej losowej X (ω) to liczbowa (na ogół niepełna) charakterystyka wyniku eksperymentu losowego ω Ω.
Interpretacja formalizmu Wartość oczekiwana Dystrybuanty Wartość zmiennej losowej X (ω) to liczbowa (na ogół niepełna) charakterystyka wyniku eksperymentu losowego ω Ω. Rozkład zmiennej losowej określa wartości oczekiwane Ef (X ) (w szczególności prawdopodobieństwa zdarzeń P(X A)).
Interpretacja formalizmu Wartość oczekiwana Dystrybuanty Wartość zmiennej losowej X (ω) to liczbowa (na ogół niepełna) charakterystyka wyniku eksperymentu losowego ω Ω. Rozkład zmiennej losowej określa wartości oczekiwane Ef (X ) (w szczególności prawdopodobieństwa zdarzeń P(X A)). Dzięki prawom wielkich liczb i innym rezultatom teoretycznym możemy przyjąć, że potrafimy obliczać Ef (X ).
Interpretacja formalizmu Wartość oczekiwana Dystrybuanty Wartość zmiennej losowej X (ω) to liczbowa (na ogół niepełna) charakterystyka wyniku eksperymentu losowego ω Ω. Rozkład zmiennej losowej określa wartości oczekiwane Ef (X ) (w szczególności prawdopodobieństwa zdarzeń P(X A)). Dzięki prawom wielkich liczb i innym rezultatom teoretycznym możemy przyjąć, że potrafimy obliczać Ef (X ). Wynika stąd, że w ramach eksperymentów losowych potrafimy badać własności rozkładów zmiennych losowych.
Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana Dystrybuanty Uwaga: zmienna losowa X ma skończoną wartość oczekiwaną dokładnie wtedy, gdy E X < +. Mówimy również, że zmienna X jest całkowalna i piszemy X L 1 (P).
Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana Dystrybuanty Uwaga: zmienna losowa X ma skończoną wartość oczekiwaną dokładnie wtedy, gdy E X < +. Mówimy również, że zmienna X jest całkowalna i piszemy X L 1 (P). Twierdzenie (Własności wartości oczekiwanej)
Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana Dystrybuanty Uwaga: zmienna losowa X ma skończoną wartość oczekiwaną dokładnie wtedy, gdy E X < +. Mówimy również, że zmienna X jest całkowalna i piszemy X L 1 (P). Twierdzenie (Własności wartości oczekiwanej) 1 Jeżeli X 0, to EX 0. Jeżeli X 0 i EX = 0, to P(X = 0) = 1.
Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana Dystrybuanty Uwaga: zmienna losowa X ma skończoną wartość oczekiwaną dokładnie wtedy, gdy E X < +. Mówimy również, że zmienna X jest całkowalna i piszemy X L 1 (P). Twierdzenie (Własności wartości oczekiwanej) 1 Jeżeli X 0, to EX 0. Jeżeli X 0 i EX = 0, to P(X = 0) = 1. 2 EX E X.
Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana Dystrybuanty Uwaga: zmienna losowa X ma skończoną wartość oczekiwaną dokładnie wtedy, gdy E X < +. Mówimy również, że zmienna X jest całkowalna i piszemy X L 1 (P). Twierdzenie (Własności wartości oczekiwanej) 1 Jeżeli X 0, to EX 0. Jeżeli X 0 i EX = 0, to P(X = 0) = 1. 2 EX E X. 3 Jeżeli E X < + i E Y < +, to dla dowolnych liczb α, β R 1 funkcja αx + βy jest zmienna losową i ma miejsce równość: E (αx + βy ) = αex + βey.
Własności wartości oczekiwanej Wartość oczekiwana Dystrybuanty Uwaga: zmienna losowa X ma skończoną wartość oczekiwaną dokładnie wtedy, gdy E X < +. Mówimy również, że zmienna X jest całkowalna i piszemy X L 1 (P). Twierdzenie (Własności wartości oczekiwanej) 1 Jeżeli X 0, to EX 0. Jeżeli X 0 i EX = 0, to P(X = 0) = 1. 2 EX E X. 3 Jeżeli E X < + i E Y < +, to dla dowolnych liczb α, β R 1 funkcja αx + βy jest zmienna losową i ma miejsce równość: E (αx + βy ) = αex + βey. 4 Jeżeli Y X, to EY EX pod warunkiem, że wartości oczekiwane istnieją.
Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd.
Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja dystrybuanty zmiennej losowej
Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja dystrybuanty zmiennej losowej Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X : R 1 [0, 1] określoną wzorem F X (u) = P(X u) ( = P X ((, u]) ).
Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja dystrybuanty zmiennej losowej Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X : R 1 [0, 1] określoną wzorem F X (u) = P(X u) ( = P X ((, u]) ). Wniosek: rozkład P X zmiennej losowej jest znany dokładnie wtedy gdy znana jest dystrybuanta F X tej zmiennej.
Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja dystrybuanty zmiennej losowej Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X : R 1 [0, 1] określoną wzorem F X (u) = P(X u) ( = P X ((, u]) ). Wniosek: rozkład P X zmiennej losowej jest znany dokładnie wtedy gdy znana jest dystrybuanta F X tej zmiennej. Wniosek: jeśli X 0, to EX = + 0 (1 F X (u)) du.
Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II, cd. Definicja dystrybuanty zmiennej losowej Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F X : R 1 [0, 1] określoną wzorem F X (u) = P(X u) ( = P X ((, u]) ). Wniosek: rozkład P X zmiennej losowej jest znany dokładnie wtedy gdy znana jest dystrybuanta F X tej zmiennej. Wniosek: jeśli X 0, to EX = + 0 (1 F X (u)) du. Wniosek: Wartość oczekiwana jest funkcją rozkładu (dystrybuanty) zmiennej losowej, a nie samej zmiennej. W ten sposób prawdopodobieństwa na (R 1, B 1 ) pełnią szczególną rolę. Nazywamy je rozkładami prawdopodobieństwa.
Własności dystrybuanty Wartość oczekiwana Dystrybuanty
Własności dystrybuanty Wartość oczekiwana Dystrybuanty Twierdzenie (Własności dystrybuanty zmiennej losowej)
Własności dystrybuanty Wartość oczekiwana Dystrybuanty Twierdzenie (Własności dystrybuanty zmiennej losowej) 1 Jeżeli u v, to F X (u) F X (v) (monotoniczność).
Własności dystrybuanty Wartość oczekiwana Dystrybuanty Twierdzenie (Własności dystrybuanty zmiennej losowej) 1 Jeżeli u v, to F X (u) F X (v) (monotoniczność). 2 F X jest funkcją prawostronnie ciągłą.
Własności dystrybuanty Wartość oczekiwana Dystrybuanty Twierdzenie (Własności dystrybuanty zmiennej losowej) 1 Jeżeli u v, to F X (u) F X (v) (monotoniczność). 2 F X jest funkcją prawostronnie ciągłą. 3 lim F X (u) = 0, u lim F X (u) = 1. u +
Własności dystrybuanty Wartość oczekiwana Dystrybuanty Twierdzenie (Własności dystrybuanty zmiennej losowej) 1 Jeżeli u v, to F X (u) F X (v) (monotoniczność). 2 F X jest funkcją prawostronnie ciągłą. 3 lim F X (u) = 0, u lim F X (u) = 1. u + Twierdzenie (O dystrybuantach) Jeżeli funkcja F : R 1 [0, 1] spełnia warunki 1-3 z powyższego twierdzenia, to istnieje zmienna losowa X taka, że F = F X.
Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe
Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Rozkłady dyskretne Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny, jeśli istnieją liczby x 1, x 2,... R 1 i prawdopodobieństwa p 1, p 2,... 0, j=1 p j = 1, takie, że P(X = x j ) = p j, j = 1, 2,....
Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Rozkłady dyskretne Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny, jeśli istnieją liczby x 1, x 2,... R 1 i prawdopodobieństwa p 1, p 2,... 0, j=1 p j = 1, takie, że P(X = x j ) = p j, j = 1, 2,.... Rozkłady absolutnie ciągłe Zmienna losowa X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości p(x), jeśli dla każdych a < b P(a < X b) = b a p(x) dx. (Wtedy p(x) 0 i p(x) dx = 1). Gęstość rozkładu absolutnie ciągłego jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do równości l-prawie wszędzie (gdzie l jest miarą Lebesgue a).
Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe cd. P X {x} = P(X = x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dystrybuanta F X ma skok w punkcie x i F X (x) F X (x ) = P(X = x).
Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe cd. P X {x} = P(X = x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dystrybuanta F X ma skok w punkcie x i F X (x) F X (x ) = P(X = x). Gęstość a pochodna dystrybuanty
Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe cd. P X {x} = P(X = x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dystrybuanta F X ma skok w punkcie x i F X (x) F X (x ) = P(X = x). Gęstość a pochodna dystrybuanty Można pokazać, że każda dystrybuanta F jest l-prawie wszędzie różniczkowalna i pochodna F (określona l-prawie wszędzie) spełnia warunek F (x) F (x) dx. (,x] Może się więc zdarzyć, że R 1 F (x) dx < 1.
Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe cd. P X {x} = P(X = x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dystrybuanta F X ma skok w punkcie x i F X (x) F X (x ) = P(X = x). Gęstość a pochodna dystrybuanty Można pokazać, że każda dystrybuanta F jest l-prawie wszędzie różniczkowalna i pochodna F (określona l-prawie wszędzie) spełnia warunek F (x) F (x) dx. (,x] Może się więc zdarzyć, że R 1 F (x) dx < 1. Jeżeli R 1 F (x) dx = 1, to rozkład odpowiadający dystrybuancie F jest absolutnie ciągły z gęstością p(x) = F (x).
Jak liczyć EX? Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Jeżeli X ma rozkład dyskretny,
Jak liczyć EX? Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Jeżeli X ma rozkład dyskretny, to dla dowolnej funkcji f : R 1 R 1 Ef (X ) = f (x i )P(X = x i ) = f (x i )p i, i=1 i=1
Jak liczyć EX? Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Jeżeli X ma rozkład dyskretny, to dla dowolnej funkcji f : R 1 R 1 Ef (X ) = f (x i )P(X = x i ) = f (x i )p i, i=1 i=1 przy czym Ef (X ) istnieje dokładnie wtedy, gdy f (x i ) p i < +. i=1
Jak liczyć EX? cd. Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Jeżeli X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości p(x),
Jak liczyć EX? cd. Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Jeżeli X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości p(x), to dla dowolnej funkcji (borelowskiej) f : R 1 R 1 Ef (X ) = + f (x)p(x) dx,
Jak liczyć EX? cd. Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Jeżeli X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości p(x), to dla dowolnej funkcji (borelowskiej) f : R 1 R 1 Ef (X ) = + f (x)p(x) dx, przy czym Ef (X ) istnieje dokładnie wtedy, gdy f (x) p(x) dx < +. +
Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III
Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III Definicje Momentem absolutnym rzędu q > 0 zmiennej losowej nazywamy liczbę m p = m p (X ) = E X p.
Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III Definicje Momentem absolutnym rzędu q > 0 zmiennej losowej nazywamy liczbę m p = m p (X ) = E X p. Wariancją całkowalnej z kwadratem zmiennej losowej X nazywamy liczbę D 2 (X ) = VarX := E(X EX ) 2 = EX 2 (EX ) 2.
Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III Definicje Momentem absolutnym rzędu q > 0 zmiennej losowej nazywamy liczbę m p = m p (X ) = E X p. Wariancją całkowalnej z kwadratem zmiennej losowej X nazywamy liczbę D 2 (X ) = VarX := E(X EX ) 2 = EX 2 (EX ) 2. Odchyleniem standardowym całkowalnej z kwadratem zmiennej losowej X nazywamy liczbę D(X ) := VarX = E(X EX ) 2.
Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III, cd.
Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III, cd. Definicje Medianą zmiennej losowej X (właściwie: rozkładu zmiennej losowej) nazywamy taką liczbę x 1/2, że P(X x 1/2 ) 1/2, P(X x 1/2 ) 1/2.
Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III, cd. Definicje Medianą zmiennej losowej X (właściwie: rozkładu zmiennej losowej) nazywamy taką liczbę x 1/2, że P(X x 1/2 ) 1/2, P(X x 1/2 ) 1/2. Kwantylem rzędu p, p (0, 1), rozkładu zmiennej losowej X nazywamy taką liczbę x p, że P(X x p ) p, P(X x p ) 1 p.
Definicje Obliczenia Charakterystyki liczbowe Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. III, cd. Definicje Medianą zmiennej losowej X (właściwie: rozkładu zmiennej losowej) nazywamy taką liczbę x 1/2, że P(X x 1/2 ) 1/2, P(X x 1/2 ) 1/2. Kwantylem rzędu p, p (0, 1), rozkładu zmiennej losowej X nazywamy taką liczbę x p, że P(X x p ) p, P(X x p ) 1 p. Zadanie: Przypuśćmy, że znamy dystrybuantę F X zmiennej losowej X. Jak znaleźć medianę i kwantyle tej zmiennej?
Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Słowniczek statystyki matematycznej, cz. I
Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Słowniczek statystyki matematycznej, cz. I Definicja przestrzeni statystycznej Przestrzenią statystyczną (lub modelem statystycznym ) nazywamy trójkę (X, B, {P θ } θ Θ ), gdzie dla każdego θ Θ trójka (X, B, P θ ) jest przestrzenią probabilistyczną.
Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Słowniczek statystyki matematycznej, cz. I Definicja przestrzeni statystycznej Przestrzenią statystyczną (lub modelem statystycznym ) nazywamy trójkę (X, B, {P θ } θ Θ ), gdzie dla każdego θ Θ trójka (X, B, P θ ) jest przestrzenią probabilistyczną. Zbiór X nazywamy przestrzenią próbek lub zbiorem prób losowych.
Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Słowniczek statystyki matematycznej, cz. I Definicja przestrzeni statystycznej Przestrzenią statystyczną (lub modelem statystycznym ) nazywamy trójkę (X, B, {P θ } θ Θ ), gdzie dla każdego θ Θ trójka (X, B, P θ ) jest przestrzenią probabilistyczną. Zbiór X nazywamy przestrzenią próbek lub zbiorem prób losowych. Definicja statystyki Statystyką nazywamy funkcję Y : (X, B) R 1 (lub R d ), która dla każdego θ Θ jest zmienną losową na (X, B, P θ ).
Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. n-krotny pomiar jednym przyrządem
Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. n-krotny pomiar jednym przyrządem Rozważmy ciąg pomiarów postaci X k = m + ε k, gdzie m - rzeczywista wartość pomiaru, a ε k - błąd k-tego pomiaru.
Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. n-krotny pomiar jednym przyrządem Rozważmy ciąg pomiarów postaci X k = m + ε k, gdzie m - rzeczywista wartość pomiaru, a ε k - błąd k-tego pomiaru. Co przyjąć za wynik pomiaru? X n = X 1 + X 2 +... + X n. n Dlaczego? Bo prawo wielkich liczb stwierdza, że ε 1 + ε 2 +... + ε n n Eε 1, gdzie Eε 1 = 0 dla przyrządu poprawnie skalibrowanego ( brak błędu systematycznego ).
Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. n-krotny pomiar jednym przyrządem Rozważmy ciąg pomiarów postaci X k = m + ε k, gdzie m - rzeczywista wartość pomiaru, a ε k - błąd k-tego pomiaru. Co przyjąć za wynik pomiaru? X n = X 1 + X 2 +... + X n. n Dlaczego? Bo prawo wielkich liczb stwierdza, że ε 1 + ε 2 +... + ε n n Eε 1, gdzie Eε 1 = 0 dla przyrządu poprawnie skalibrowanego ( brak błędu systematycznego ). Powyżej korzystamy z modelu błędu pomiaru w postaci ciągu niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie, z wartością oczekiwaną zero.
Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. Losowanie ze zwracaniem
Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. Losowanie ze zwracaniem Badamy rozkład danej cechy U w populacji Ω.
Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. Losowanie ze zwracaniem Badamy rozkład danej cechy U w populacji Ω. Losujemy (ze zwracaniem) N osobników ω 1, ω 2,..., ω N i badamy wartości cechy U(ω 1 ), U(ω 2 ),..., U(ω N ).
Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. Losowanie ze zwracaniem Badamy rozkład danej cechy U w populacji Ω. Losujemy (ze zwracaniem) N osobników ω 1, ω 2,..., ω N i badamy wartości cechy U(ω 1 ), U(ω 2 ),..., U(ω N ). Jak określić odpowiednią przestrzeń statystyczną (X, B, {P θ } θ Θ )?
Przestrzeń statystyczna Dwa ważne przykłady Przykład. Losowanie ze zwracaniem Badamy rozkład danej cechy U w populacji Ω. Losujemy (ze zwracaniem) N osobników ω 1, ω 2,..., ω N i badamy wartości cechy U(ω 1 ), U(ω 2 ),..., U(ω N ). Jak określić odpowiednią przestrzeń statystyczną (X, B, {P θ } θ Θ )? Niech X 0 = {U(ω) : ω Ω} R d. Kładziemy: X = (X 0 ) N ; B =? (jak wynika z kontekstu); Θ = P(X 0 ) (zbiór wszystkich rozkładów prawdopodobieństwa na X 0 ); P θ = θ θ... θ. }{{} N razy