KOHERENCJA ŚWIATŁA PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ

KOHERENCJA ŚWIATŁA PODSTAWY OPTYKI STATYSTYCZNEJ prof. dr hab. inŝ. Krzysztof Patorski Krzysztof 1. WłaściwoW ciwości statystyczne światła a termicznego ( losowego( losowego ) A. NatęŜ ęŝenie (intensywność ść) ) promieniowania B. Koherencja czasowa i rozkład widmowy C. Koherencja przestrzenna 2. Interferencja w świetle częś ęściowo koherentnym A. Interferencja dwóch wiązek częś ęściowo koherentnych B. Interferencja a koherencja czasowa C. Interferencja a koherencja przestrzenna

Właściwości statystyczne światła termicznego Promieniowanie zdecydowanej większości źródeł światła odbywa się na drodze emisji spontanicznej. Atomy lub cząsteczki wzbudzane do wyŝszych stanów energetycznych przez aktywację termiczną, elektryczną itp. przypadkowo i niezaleŝnie powracają do stanu podstawowego i emitują światło. Promieniowanie będące sumą licznych, niezaleŝnych procesów nazywane jest promieniowaniem (światłem) termicznym. Kontrastowo róŝnym od promieniowania termicznego jest stosunkowo dobrze uporządkowane promieniowanie wymuszone, emitowane przez laser. Dowolną falę optyczną opisuje funkcja falowa u(r,t) = Re{U(r,r)}, gdzie U(r,t) oznacza zespoloną funkcję falową. Przykładowo, U(r,t) = U(r) exp(-i2πνt) dla światła monochromatycznego, lub teŝ U(r,t) moŝe być sumą podobnych funkcji dla wielu częstotliwości występujących w świetle polichromatycznym. Dla światła termicznego, obydwie funkcje u(r,t) i U(r,t) są funkcjami losowymi, które moŝna charakteryzować pewnymi średnimi statystycznymi. A. NatęŜenie (intensywność) światła NatęŜenie (intensywność) światła koherentnego (patrz poprzednie części wykładu) jest równe kwadratowi modułu zespolonej funkcji falowej,. (1) W przypadku światła termicznego U(r,t) jest losową funkcja czasu i połoŝenia. Intensywność jest równieŝ opisana funkcją losową. Intensywność średnią moŝna zdefiniować jako (2) gdzie < > oznacza uśrednianie wielu wartości funkcji losowej dla róŝnych wartości czasu i połoŝenia. Wartość I(r,t) nazywamy intensywnością (w domyśle uśrednioną), a U(r,t) 2 jest intensywnością chwilową (losową). Dla światła monochromatycznego i źródła punktowego operacja uśredniania nie jest konieczna, wszystkie realizacje (dla kaŝdej chwili) dają ten sam wynik. Średnia intensywność moŝe nie zaleŝeć od czasu lub być funkcją czasu. W pierwszym przypadku fala optyczna jest statystycznie stacjonarna (średnia nie zaleŝy od czasu). Intensywność chwilowa U(r,t) 2 zmienia się losowo w czasie, ale wartość średnia I(r) pozostaje bez zmian. Jest ona tylko funkcją odległości od źródła. Natomiast losowa intensywność U(r,t) 2 zmienia się w czasie i przestrzeni.

a) b) IU(r,t)I 2 I(r,t) IU(r,t)I 2 I(r,t) Rys. 1. Fala statystycznie stacjonarna ma niezmienną w czasie średnią wartość intensywności; b) zmienna w czasie intensywność fali statystycznie niestacjonarnej. Przypadek a) odpowiada światłu lampy Ŝarowej ze stabilizowanym zasilaniem prądowym. Przypadek b) ilustruje zasilanie impulsem elektrycznym. t t t t Operację statycznego uśredniania realizuje się zazwyczaj przez uśrednianie w czasie znacznie dłuŝszym od czasu pojedynczej realizacji, tzn. (3) B. Koherencja czasowa i rozkład widmowy RozwaŜmy zmiany stacjonarnego światła w funkcji czasu dla ustalonego połoŝenia r. Stacjonarna, losowa funkcja U(r,t) ma stałą intensywność I(r) = < U(r,t) 2 >. Dla uproszczenia, opuśćmy zaleŝność od r (r jest ustalone), a więc U(r,t) = U(t) i I(r) = I. Losowe zmiany U(t) charakteryzuje statystyczna średnia nazywana funkcją autokorelacji. Funkcja ta opisuje zakres, w którym funkcja falowa zmienia się zgodnie (unisono) w dwóch oddzielnych chwilach czasowych, a więc ustanawia skalę czasu procesu, która tkwi u podstaw generacji funkcji falowej. Funkcja czasowej koherencji Funkcja autokorelacji stacjonarnej, zespolonej, losowej funkcji U(t) stanowi średnią iloczynu U*(t) i U(t + τ) w funkcji opóźnienia czasowego lub (4)

RozwaŜmy przypadek < U(t) > = 0. Faza fazora U(t) moŝe przyjmować kaŝdą wartość między 0 i 2π, patrz rysunek niŝej. Faza iloczynu, czyli kąt między fazorami U(t) i U(t + τ), moŝe Im{U(t)} przyjąć dowolną wartość, a więc funkcja autokorelacji Γ (τ) (wartość średnia) zeruje się. W innym przypadku, jeśli dla danego opóźnienia czasowego τ funkcje U(t) i U(t+τ) są skorelowane, to faza iloczynu U*(t)U(t+τ) przyjmuje uprzywilejowaną wartość i średnia Γ(τ) 0. W teorii koherencji pól optycznych funkcja autokorelacji nazywana jest funkcją korelacji czasowej. MoŜna łatwo wykazać, Ŝe Γ(τ) posiada symetrię hermitowską Γ(-τ) =Γ*(τ), oraz Ŝe intensywność I, dana wzorem (2), jest równa Γ(τ) jeśli τ = 0, Re{U(t)} Zmiany fazora U(t) w czasie, gdy jego argument przyjmuje wartości w przedziale 0,2π. Średnie wartości części rzeczywistej i urojonej są równe zero, a więc <U(t)> = 0. I =Γ( 0) Stopień koherencji czasowej Funkcja autokorelacji Γ(τ) zawiera informację o intensywności I = Γ(0) i stopniu korelacji (koherencji) światła (statystycznie stacjonarnego). Miarą koherencji niezaleŝną od intensywności jest unormowana funkcja autokorelacji * Γ ( ) ( τ) U ( t) U( t + τ) γτ = = * Γ( 0) U ( t) U( t) nazywana zespolonym stopniem koherencji czasowej, której wartość bezwzględna nie moŝe przekroczyć jedności (7) Wartość γ(τ) jest miarą stopnia korelacji między U(t) i U(t+τ). Jeśli światło jest monochromatyczne i pochodzi ze źródła punktowego, tzn. U(t) = A exp(-i2πν 0 t), gdzie A oznacza stałą, wtedy z wzoru (6) otrzymuje się (8) czyli γ(τ) = 1 dla wszystkich wartości τ. Zmieniające się wartości U(t) i U(t + τ) są całkowicie skorelowane dla wszystkich opóźnień τ. Zazwyczaj wartość γ(τ) zmniejsza się od maksymalnej wartości γ(0) = 1 ze wzrostem τ. Dla odpowiednio duŝego opóźnienia τ zmiany stają się całkowicie nieskorelowane. (5) (6)

Czas koherencji Jeśli wartość γ(τ) zmniejsza się monotonicznie z opóźnieniem czasowym τ, to dla pewnego przyjętego spadku stopnia koherencji do wartości, np. równej ½ lub 1/e, wartość opóźnienia nazywa się czasem koherencji (patrz rysunek niŝej). Dla τ < fluktuacje pozostają silnie skorelowane, podczas gdy dla τ > są słabo skorelowane. W ogólności jest szerokością funkcji γ(τ). Często do zdefiniowania czasu koherencji stosuje się wzór. (9) Czas koherencji światła monochromatycznego jest nieskończenie długi gdyŝ γ(τ) = 1. a) u(t) γ(τ) 1 t b) u(t) γ(τ) 1 0 τ t 0 τ Przykłady funkcji falowej, stopnia koherencji γ(τ) i czasu koherencji dla pola optycznego o krótkim (a) i długim (b) czasie koherencji. Amplituda i faza funkcji zmieniają się losowo ze stałymi czasowymi równymi, w przybliŝeniu, czasowi koherencji. W obydwu przypadkach czas koherencji jest większy od czasu trwania pojedynczego cyklu. W zakresie czasu koherencji fala jest raczej przewidywalna i moŝe być przybliŝona sinusoidą. W czasie krótszym od czasu koherencji nie jest moŝliwe przewidzenie amplitudy i fazy fali.

Światło jest koherentne jeśli odległość c jest znacznie większa od wszystkich róŝnic dróg optycznych występujących w układzie. Odległość (10) nazywa się długością koherencji promieniowania. Gęstość widmowa mocy W celu wyznaczenia średniego rozkładu widmowego światła termicznego oblicza się transformatę Fouriera losowej zespolonej funkcji falowej U(t). Energia składowej zespolonej funkcji falowej o częstotliwości ν (dla ustalonego r) jest równa Średnia energia w zakresie częstotliwości od ν do ν + dν wynosi < V(ν) 2 >, a więc < V(ν) 2 > reprezentuje gęstość spektralną energii promieniowania (na jednostkową powierzchnię i jednostkowy przyrost częstotliwości). Przyjęto, Ŝe zespolona funkcja falowa U(t) spełnia warunek V(ν) = 0 dla ujemnych wartości ν. RozwaŜmy teraz gęstość spektralną mocy. Gęstość spektralna energii w przedziale czasu T jest równa < V T ( ν) 2 >, gdzie (11) Gęstość spektralna mocy to gęstość spektralna energii na jednostkowy przedział (1/T) < V T (ν) 2 >. Rozszerzając przedział czasu T do nieskończoności, T = otrzymujemy czasowy, tzn. Funkcja G(ν) nosi nazwę gęstości spektralnej mocy. Ma ona niezerowe wartości tylko dla dodatnich częstotliwości. PoniewaŜ U(t) zdefiniowano tak, Ŝe U(t) 2 reprezentuje moc na jednostkową powierzchnię lub intensywność (W/cm 2 ), to G(ν) dν reprezentuje średnią moc na jednostkową powierzchnię niesioną przez częstotliwości w zakresie od ν do dν. Tak więc G(ν) odpowiada gęstości spektralnej intensywności (W/cm 2 -Hz), często mówi się o gęstości spektralnej. Całkowita intensywnośćśrednia wynosi (13) Funkcja autokorelacji Γ(τ) funkcji U(t) i gęstość spektralna G(ν) powiązane są przekształceniem Fouriera (14) Związek ten znany jest pod nazwą twierdzenia Wienera-Chinczyna. (12)

Szerokość spektralna Szerokość spektralna lub szerokość linii promieniowania to szerokość ν gęstości widmowej G(ν). Z uwagi na związek między G(ν) i Γ(τ) poprzez przekształcenie Fouriera, szerokości tych funkcji są odwrotnie proporcjonalne. Źródło światła o szerokim widmie ma krótki czas koherencji i odwrotnie, patrz rysunek poniŝej. u(t) γ(τ) G(ν) t ν τ ν u(t u(t) ) t γ(τ) γ(τ) G(ν) ν τ ν Dwie fale losowe, odpowiadające im moduły zespolonego stopnia koherencji czasowej i gęstości spektralne (widmowe). W szczególnym przypadku promieniowania monochromatycznego mamy Γ(τ) = Iexp(-i2πν 0 τ), czyli G(ν) = I δ (ν - ν 0 ) zawiera tylko jedną częstotliwość ν 0. W tym przypadku = i ν = 0. Czas koherencji źródła moŝna zwiększyć stosując filtr spektralny, ale odbywa się to kosztem straty energii. Istnieje wiele definicji szerokości widmowej. Najczęściej spotykana to tzw. szerokość połówkowa G(ν), czyli ν 0.5. Związek między czasem koherencji a szerokością widmową zaleŝy od profilu rozkładu widmowego.

Związek między szerokością widmową i czasem koherencji Rozkład gęstości widmowej Prostokątny Wg funkcji Lorentza Gaussowski Szerokość widmowa ν 1/ 1/π 0.32/ (2ln2/π) 1/2 / 0.66/ ν 0.5 Inną wygodną definicję szerokości spektralnej przedstawia wzór z którego wynika związek (16) niezaleŝnie od profilu rozkładu gęstości widmowej. Jeśli G(ν) ma rozkład prostokątny w zakresie częstotliwości od ν 0 B/2 do ν 0 + B/2, wtedy ze wzoru (15) otrzymujemy ν c = B. Dwie definicje szerokości widmowej ν c i ν 0.5 ν róŝnią się współczynnikiem mieszczącym się w zakresie od 1/π 0.32 do 1. (15) Przykładowe wartości szerokości widmowej, czasu koherencji i długości koherencji dla kilku źródeł światła (w próŝni) Źródło ν c (Hz) = 1/ ν c l c = c c Promieniowanie słoneczne (λ 0 = 0.4 0.8 µm) 3.75 x 10 14 2.67 fs 800 nm Dioda elektroluminescencyjna (λ 0 = 1 µm, λ 0 = 50 nm) 1.5 x 10 13 67 fs 20 µm Niskociśnieniowa lampa sodowa 5 x 10 11 2 ps 600 µm Wielomodowy laser HeNe (λ 0 = 633 nm) 1.5 x 10 9 0.67 ns 20 cm Jednomodowy laser HeNe (λ 0 = 633 nm) 1 x 10 6 1 µs 300 m

Przykład: Fala zawierająca losową sekwencję falek Światło emitowane przez źródło niekoherentne moŝna zamodelować w postaci sekwencji falek emitowanych losowo w skali czasu. KaŜda falka jest emitowana przez inny atom. ZałóŜmy falkę w postaci zanikającej wykładniczo sinusoidy, tzn. U p (t) = A p exp(-t/ ) exp(-i2πν 0 t), t 0 U p (t) = 0 t < 0 u(t) γ(τ) t 0 τ Światło złoŝone z ciągu falek emitowanych w losowych odstępach czasu charakteryzuje czas koherencji równy czasowi trwania pojedynczej falki. Czasy emisji są całkowicie niezaleŝne, losowo niezaleŝne wartości fazy emisji są zawarte w A p. Wyznaczając charakterystyczne parametry średnie otrzymujemy, Ŝe zespolony stopień koherencji jest równy γ(τ) = exp(- τ / )exp(-i2πν 0 τ). Gęstość spektralna mocy ma rozkład według funkcji Lorentza, G(ν) = ( ν/2π)/[(ν - ν 0 ) 2 + ( ν/2) 2 ], gdzie ν = 1/π. W tym przypadku czas koherencji jest dokładnie równy czasowi trwania pojedynczej falki.

C. Koherencja przestrzenna Funkcja wzajemnej koherencji Przestrzenne i czasowe fluktuacje losowego zaburzenia U(r, t) dobrze opisuje równieŝ funkcja korelacji wzajemnej U(r 1, t) i U(r 2, t) w połoŝeniach r 1 i r 2 Γ(r 1, τ) = < U*(r 1, t) U(r 2, t + τ) >. (17) Funkcja ta nosi nazwę funkcji koherencji wzajemnej. Jej unormowana postać (18) nosi nazwę zespolonego stopnia koherencji. Gdy dwa punkty pokrywają się, tzn. r 1 = r 2 = r, wzory (17) i (18) dotyczą wtedy funkcji koherencji czasowej i zespolonego stopnia koherencji czasowej dla połoŝenia r. Dodatkowo, gdy τ = 0 mamy I(r) = Γ(r, r, 0). Zespolony stopień koherencji przyjmujący wartości w zakresie 0 γ(r 1, τ) 1 (19) jest miarą stopnia korelacji między fluktuacjami w punktach r 1 i r 2 opóźnionymi o τ. Przypadki szczególne: moduł zespolonego stopnia koherencji równy 0 i 1. ZaleŜność zespolonego stopnia γ(r 1, τ) od opóźnienia czasowego i odległości między połoŝeniami r 1 i r 2 charakteryzuje koherencję czasową i przestrzenną promieniowania. Dwa przykłady tej zaleŝności pokazano na rysunkach poniŝej.

a) b) γ(r 1,r 2,τ γ(r 1,r 2,τ r 1 - r 2 r 1 - r 2 τ τ Dwa przykłady γ(r 1, τ) w funkcji odległości r 1 r 2 i opóźnienia czasowego τ. W przypadku a) maksymalna korelacja dla danego r 1 r 2 występuje dla τ = 0. W przypadku b) maksimum korelacji występuje dla r 1 r 2 = cτ. Intensywność wzajemna (natęŝenie wzajemne) Przestrzenną spójność promieniowania ocenia się badając zaleŝność funkcji koherencji wzajemnej dla ustalonej wartości opóźnienia czasowego τ, zazwyczaj τ = 0 (patrz rys. (a) powyŝej). Funkcja wzajemnej koherencji dla τ = 0, Γ(r 1, 0) = < U*(r 1, t) U(r 2, t) > nosi nazwę funkcji wzajemnej intensywności (natęŝenia wzajemnego) i jest oznaczana, dla prostoty, jako Γ(r 1 ). Gdy róŝnice dróg optycznych w układzie są << l c = c, promieniowanie jest czasowo w pełni koherentne i funkcja koherencji wzajemnej jest harmoniczną funkcją czasu Γ(r 1, τ) = Γ(r 1 ) exp(-i2πν 0 τ), (20) gdzie ν 0 oznacza średnią częstotliwość. Przypadek oświetlenia quasi-monochromatycznego, funkcja wzajemnej intensywności Γ(r 1 ) opisuje w pełni koherencję przestrzenną.

Zespolony stopień koherencji γ(r 1, 0) zapisuje się, podobnie, jako γ(r 1 ). Stanowi on unormowaną postać intensywności wzajemnej. γ(r 1 ) przyjmuje wartości od 0 do 1 i stanowi miarę stopnia koherencji przestrzennej (gdy τ = 0). Obszar koherencji Przestrzenną koherencję światła quasi-monochormatycznego, w pewnej płaszczyźnie, w pobliŝu połoŝenia danego wektorem r 2, opisuje γ(r 1 ) będący funkcją odległości r 1 r 2. Obszar w otoczeniu r 2 zakreślany przez wektor r 1, dla którego stopień koherencji jest większy od pewnej przyjętej wartości (np. ½ lub 1/e) nazywany jest obszarem koherencji. γ(r 1 ) γ(r 1 ) (21) O r 1 r 2 r 1 1 1 A r 2 c O A c Dwa przykłady unormowanej wartości wzajemnego natęŝenia w funkcji r 1 w pobliŝu ustalonego punktu r 2. Obszar koherencji a wymiary poprzeczne układu optycznego. Jeśli wymiar poprzeczny obszaru koherencji jest większy od średnicy źrenicy układu optycznego, a więc γ(r 1, r 2 ) 1 dla wszystkich punktów źrenicy, promieniowanie moŝna uwaŝać za całkowicie koherentne ( nieograniczony obszar koherencji). Jeśli wymiar poprzeczny obszaru koherencji jest mniejszy od rozdzielczości układu optycznego, to wtedy moŝna zapisać γ(r 1 ) = 0 praktycznie dla wszystkich r 1 r 2. W tym przypadku mamy do czynienia z oświetleniem niekoherentnym.

2. Interferencja w świetle częś ęściowo koherentnym Interferencja wiązek częściowo koherentnych widmowo i przestrzennie Dwa częściowo koherentne zaburzenia U 1 i U 2, w wyniku interferencji, dają rozkład intensywności I = < U 1 + U 2 2 >=< U 1 2 > + < U 2 2 > + <U 1 * U 2 > + < U 1 U 2 * > = I 1 + I 2 + Γ 12 + Γ 12* = I 1 + I 2 + 2 Re{Γ 12 } skąd = I 1 + I 2 + 2 (I 1 I 2 ) 1/2 Re{ γ 12 }, (22) I = I 1 + I 2 + 2 (I 1 I 2 ) 1/2 γ 12 cosϕ, (23) gdzie ϕ = arg {γ 12 } jest fazą γ 12. Ostatni wyraz po prawej stronie opisuje interferencję wiązek. Dwa szczególne przypadki to γ 12 = exp(iϕ) i γ 12 = 1, czyli oświetlenie w pełni koherentne, oraz γ 12 = 0, I = I 1 + I 2, czyli oświetlenie w pełni niekoherentne (brak interferencji). Kontrast prąŝków interferencyjnych, definiowany ogólnie znanym wzorem C = (I max I min ) / (I max + I min ), w rozwaŝanym przypadku jest równy Kontrast prąŝków jest więc proporcjonalny do modułu unormowanej funkcji intensywności wzajemnej, tj. γ 12. Gdy I 1 = I 2 mamy C = γ 12. (25) (24)

Interferencja a koherencja czasowa RozwaŜmy interferencję częściowo koherentnego zaburzenia U(t) o zespolonym stopniu koherencji czasowej γ(τ) = < U*(t) U(t + τ) > / I 0 z własną repliką przesuniętą w czasie o τ, tzn. U(t + τ). Z wzoru (26), podstawiając U 1 = U(t), U 2 (t + τ), I 1 = I 2 = I 0, γ 12 = < U * (t) U(t + τ)> / I 0 = γ(τ), otrzymuje się I = 2 I 0 [ 1 + Re {γ(τ)} ] = 2 I 0 [ 1 + γ(τ) cosϕ(τ) ], (26) gdzie ϕ(τ) = arg{γ(τ)}. Wynik interferencji w rozwaŝanym przypadku zaleŝy od zespolonego stopnia koherencji czasowej. I/2I 0 U d 1 d 2 2 2 γ(τ) 1 Schemat interferometru Michelsona (Twymana-Greena) do pomiaru stopnia koherencji czasowej wiązki o płaskim czole falowym. RozwaŜmy wiązkę o płaskim czole falowym o zespolonym stopniu koherencji równym γ(τ) = γ a (τ) exp(-i2πν 0 τ). Szerokość spektralna promieniowania wynosi ν c = 1/, gdzie jest szerokością γ a (τ) i jednocześnie czasem koherencji. Z ostatniego wzoru otrzymujemy gdzie ϕ a (τ) = arg{γ a (τ)}. I U 1 +U 2 I = 2 I 0 { 1 + γ a (τ) cos[2πν 0 τ + ϕ a (τ)]}, (27) Zakładając ν c << ν 0, funkcje γ a (τ) i ϕ a (τ) zmieniają się bardzo wolno w odniesieniu do okresu 1/ν 0, gdyŝ ν c = 1/ << ν 0. Kontrast interferogramu w pobliŝu danej wartości opóźnienia τ wynosi C = γ(τ) = γ a (τ). Dla τ = 0 osiąga maksymalną wartość równą jedności i zeruje się dla τ >>, tzn. gdy róŝnica dróg optycznych jest znacznie większa od długości koherencji l c = c. 0 0 r=2(d 2 -d 1 )/c

Stopień koherencji czasowej wiązki γ(τ) moŝna wyznaczyć mierząc kontrast prąŝków inteferencyjnych w funkcji opóźnienia. Interesujący wynik otrzymuje się zapisując wzór (26) posługując się widmową gęstością mocy. Korzystając ze związku, poprzez przekształcenie Fouriera, między Γ(τ) i G(ν) i zwaŝywszy, Ŝe funkcja G(ν) jest funkcją rzeczywistą oraz 0 G(ν) dν = I 0, otrzymuje się I = 2 0 G(ν) [ 1 + cos(2πντ) ] dν. (28) Ostatni wzór moŝna interpretować jako waŝoną superpozycję interferogramów wytwarzanych przez kaŝdą monochromatyczną długość fali. KaŜda długość fali (częstotliwość) wytwarza interferogram o okresie 1/ν i jednostkowym kontraście. Z powodu róŝnych okresów dla róŝnych częstotliwości w wyniku superpozycji otrzymuje się interferogram o obniŝonym kontraście. Postać wzoru (28) sugeruje metodę wyznaczania gęstości widmowej G(ν) źródła poprzez pomiar rozkładu intensywności interferogramu I w funkcji τ, a następnie obliczenie transformaty Fouriera. Metoda ta znana jest pod nazwą spektroskopii fourierowskiej. Interferencja a koherencja przestrzenna Efekt koherencji przestrzennej na obraz interferencyjny najlepiej ilustruje sławne doświadczenie Younga (interferometr Younga, z podziałem czoła falowego, omówiono w poprzedniej części wykładu dotyczącej róŝnych typów interferometrów). λ/θ I/2I 0 2a θ=2a/d z 2 λ/θ x 1 γ(r 1 ) d Doświadczenie Younga. Unormowane wzajemne natęŝenie między otworkami jest równe γ(r 1 ). ZałoŜono równe intensywności zaburzeń wychodzących z otworków. 0 0 x

W parabolicznym przybliŝeniu Fresnela dwie interferujące wiązki o sferycznych czołach falowych (i równych intensywnościach) moŝna zapisać w postaci (29a) U 2 ( r,t) αu r 2,t r r c 2 U r 2 d +,t ( x a) c 2 /2d (29b) Unormowana funkcja korelacji między tymi wiązkami w punkcie r wynosi gdzie γ 12 = < U 1 * (r, t) U 2 (r, t) > / I 0 = γ (r 1, τ x ), (30) jest róŝnicą opóźnień czasowych między dwiema falami. Podstawiając (30) do (23) otrzymuje się rozkład intensywności I I(x) w postaci I(x) = 2 I 0 [1 + γ(r 1, τ x ) cosϕ x ], (32) gdzie ϕ x = arg{γ(r 1, τ)}. Wzór ten opisuje rozkład intensywności prąŝków interferencyjnych w płaszczyźnie obserwacji w funkcji modułu i fazy zespolonego stopnia koherencji przy opóźnieniu czasowym τ x = θx/c. Promieniowanie quasi-mochromatyczne Jeśli teraz moŝemy zapisać γ(r 1, τ) γ(r 1 ) exp(-i2πν 0 τ), to ostatnie równanie upraszcza się do postaci (31) I(x) = 2 I 0 [ 1 + C cos{2π(θx/λ) + ϕ} ], (33) gdzie λ = c/ν 0, C = γ(r 1 ), τ x = θx/c, ϕ = arg{γ(r 1 )}. Okres prąŝków o sinusoidalnym rozkładzie intensywności wynosi λ/θ. Kontrast prąŝków C jest teraz determinowany przez stopień koherencji przestrzennej między zaburzeniami emitowanymi przez dwa otworki. PołoŜenie prąŝków wzdłuŝ osi x zaleŝy od fazy ϕ.

Interferencja w przypadku źródła o skończonych wymiarach poprzecznych Jeśli otworki w ekranie oświetla quasi-monochromatyczna fala płaska propagująca się wzdłuŝ osi z, tzn. U(r, t) = exp(ikz) exp(-i2πν 0 t), to wtedy γ(r 1 ) = 1 i arg{γ(r 1 )} = 0. Jedno z maksimów intensywności prąŝków o jednostkowym kontraście pokrywa się z x = 0. W przypadku wiązki propagującej się pod małym kątem θ x względem osi z, tzn. U(r, t) exp[i(kz + kθ x x)] exp(-i2πν 0 t), wtedy γ(r 1 ) = exp(ikθ x 2a). Pochylenie wiązki oświetlającej otworki prowadzi do zmiany fazy ϕ = kθ x 2a = 2πθ x 2a/λ i poprzecznego przesuwu prąŝków o część okresu (2aθ x /λ). Gdy ϕ = 2π, przesunięcie poprzeczne jest równe okresowi prąŝków. Jeśli wiązka oświetlająca będzie zbiorem niekoherentnych względem siebie fal płaskich, ze źródła widzianego pod kątem θ s z płaszczyzny ekranu z otworkami, wtedy przesunięcie fazowe będzie występowało w zakresie (+/-)2π(θ s /2)2a/λ = (+/-) 2πθ s a/λ i obraz w płaszczyźnie obserwacji będzie stanowił superpozycję wielu rozkładów sinusoidalnych wzajemnie przesuniętych. Gdy θ s = λ/2a faza ϕ zmienia się w zakresie (+/-)π i wystarcza to do spadku kontrastu do zera. Odległość ρ c λ/θ s (34) jest miarą odległości (dlugości lub odcinka ) koherencji w płaszczyźnie ekranu z otworkami. Przyjmijmy, Ŝe kąt pod którym widać słońce wynosi 0.5 o. Wtedy odległość koherencji dla danej długości fali jest równa ρ c λ/θ s 115 λ. Dla λ = 0.5 µm mamy ρ c 57.5 µm. Bardziej ścisłe rozwaŝania dyfrakcyjne (patrz kolejna część wykładu dotycząca obrazowania w oświetleniu niekoherentnym) definiują odległość koherencji ρ c dla kołowego źródła o jednorodnym rozkładzie intensywności jako równą ρ c = 1.22λ/θ s. Wpływ szerokości spektralnej na obraz prąŝkowy w doświadczeniu Younga Przyjmijmy ν c << ν 0. Zespolony stopień koherencji ma teraz postać γ(r 1, τ) = γ a (r 1,τ) exp(-i2πν 0 τ), (35) gdzie γ a (r 1, τ) oznacza wolno zmienną funkcję względem τ (w stosunku do okresu 1/ν 0 ). Podstawiając (35) do (32) otrzymujemy I(x) = 2 I 0 [ 1 + C x cos {2π(θx/λ śr ) + ϕ x } ], (36) gdzie C x = γ a (r 1,τ x ), ϕ x = arg{γ a (r 1, τ x )}, τ x = θx/c, i λ śr = c/ν 0.

Okres prąŝków interferencyjnych wynosi teraz λ śr /θ. Ich kontrast C x i faza ϕ x, proporcjonalne do modułu i fazy zespolonego stopnia koherencji, zmieniają się z opóźnieniem czasowym τ x = θx/c. Jeśli γ a (r 1, τ) = 1 dla τ = 0, stopień koherencji zmniejsza się ze wzrostem τ i zeruje się dla τ >> ; kontrast C x = 1 dla x = 0 i zmniejsza się ze współrzędną x, zeruje się dla x >> x c = c /θ. PrąŜki są widzialne w zakresie x c = l c / θ, (37) gdzie l c = c jest długością (drogą) koherencji, a θ jest kątem pod którym widać otworki. I/2I 0 x c = lc θ 2 2a θ Płaszczyzna obserwacji 1 d Ekran 0 0 x Wiązka padająca Kontrast prąŝków interferencyjnych dla współrzędnej x jest równy stopniowi koherencji w płaszczyźnie ekranu z otworkami dla opóźnienia czasowego τ x = θx/c. W przypadku pełnej koherencji przestrzennej liczba obserwowanych prąŝków jest równa x c / (λ śr /θ) = l c /λ śr = c /λ śr = ν 0 / ν c. Jest więc ona równa ilorazowi długości koherencji l c i średniej długości fali λ śr, lub ilorazowi średniej częstotliwości ν 0 i spektralnej szerokości linii widmowej ν c. Jeśli γ(r 1, 0) < 1, tzn., źródło nie jest przestrzennie koherentne, kontrast prąŝków będzie szybciej zanikał i liczba obserwowanych prąŝków będzie mniejsza.