Model Ramseya. dr hab. Marcin Kolasa, prof. SGH. Szkoªa Gªówna Handlowa. M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 1 / 36

Model Ramseya dr hab. Marcin Kolasa, prof. SGH Szkoªa Gªówna Handlowa M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 1 / 36

Spis tre±ci 1 Wst p 2 Model 3 Stan ustalony 4 Dynamika 5 Rozszerzenie o sektor skalny 6 Przypadek gospodarki otwartej M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 2 / 36

Wst p Autorzy: Frank Ramsey (1928), David Cass (1965), Tjalling Koopmans (1965) W skrócie: model Solowa z endogeniczn stop oszcz dno±ci (optymalizacj konsumenta) Podstawowy model wspóªczesnej makroekonomii, punkt wyj±cia dla bardziej zªo»onych modeli wzrostu i cyklu M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 4 / 36

Gªówne zaªo»enia Zamkni ta gospodarka Brak polityki skalnej Ceny doskonale elastyczne - model realny Brak roli dla polityki monetarnej Jedno homogeniczne dobro, jego cena znormalizowana do jedno±ci Dwa typy agentów: Przedsi biorstwa Gospodarstwa domowe Brak heterogeniczno±ci w±ród rm i gospodarstw domowych: reprezentatywni agenci, agregacja trywialna M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 6 / 36

Przedsi biorstwa Produkuj dobra nalne w warunkach doskonaªej konkurencji Neoklasyczna funkcja produkcji z post pem technicznym wg Harroda y t = F (k t, A t l t ) (1) Kapitaª i praca wynajmowane od gospodarstw domowych Technologia ro±nie w staªym tempie g 0: Problem rm A t+1 = (1 + g)a t max{f (k t, A t l t ) w t l t r k,t k t } l t,k t Firmy maksymalizuj zysk traktuj c ceny jako dane Warunki konieczne optimum: w t = F l t r k,t = F k t = F (k t ) (2) M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 7 / 36

Gospodarstwa domowe I S wªa±cicielami czynników produkcji i wynajmuj je rmom Dostarczaj pracy w sposób nieelastyczny wg równania (n 0): l t+1 = (1 + n)l t Akumuluj kapitaª z inwestycji I t, kapitaª deprecjonuje w tempie δ > 0: k t+1 = (1 δ)k t + i t (3) Przeznaczaj dochód na konsumpcj lub oszcz dno±ci (inwestycje): w t l t + r k,t k t = c t + s t = c t + i t (4) Dokonuj optymalnych decyzji odno±nie konsumpcji/oszcz dno±ci M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 8 / 36

Gospodarstwa domowe II Maksymalizuj»yciow u»yteczno± swoich czªonków (obecnych i przyszªych): U 0 = β t u( c t )l t (5) t=0 gdzie: c t = ct l t - konsumpcja per capita β - czynnik dyskontuj cy (0 < β < 1) u( c t ) - chwilowa funkcja u»yteczno±ci: u( c t ) = c t 1 θ 1 θ (6) gdzie: θ > 0 Je±li θ = 1, to u( c t) = ln c t M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 9 / 36

Gospodarstwa domowe III Uwagi: Dosªownie: niesko«czona dªugo±»ycia Interpretacja: dbaªo± o u»yteczno± przyszªych pokole«dyskontowanie: gospodarstwa domowe s niecierpliwe Uwagi do funkcji u»yteczno±ci u( c t ): Staªa wzgl dna awersja do ryzyka (CRRA): c tu ( c t ) u ( c t ) = θ Staªa mi dzyokresowa elastyczno± substytucji: ( ) ln 2 1 c ) = 1 ln θ ( u ( c 1) u ( c 2) Forma funkcyjna wymagana dla zrównowa»onego wzrostu M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 10 / 36

Gospodarstwa domowe IV Problem: maksymalizacja (5) przy ograniczeniach: Akumulacja kapitaªu (3) i ograniczenie bud»etowe (4) Warunek transwersalno±ci: ( ) t 1 lim k t+1 0 (7) t 1 + r s s=1 gdzie: r t r k,t δ = F (k t ) δ jest rynkow stop zwrotu z kapitaªu (realna stopa procentowa) Interpretacja warunku transwersalno±ci: Analogia z warunkiem ko«cowym w sko«czonym horyzoncie Warto± bie» ca netto aktywów na koniec horyzontu planowania musi by nieujemna Wykluczenie piramid nansowych (no-ponzi games) Optymalizacja gospodarstw domowych implikuje równanie (7) speªnione jako równo± M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 11 / 36

Równowaga ogólna Czyszczenie si rynków: Produkcja rm musi by równa wydatkom gospodarstw domowych: y t = c t + i t (8) Poda» pracy gospodarstw domowych musi by równa popytowi na ni ze strony rm Poda» kapitaªu gospodarstw domowych musi by równa popytowi na niego ze strony rm Denicja równowagi konkurencyjnej Sekwencja {k t, y t, c t, i t, w t, r k,t } dla zadanej sekwencji {l t=0 t, A t } oraz t=0 pocz tkowego zasobu kapitaªu k 0, takie»e: (i) gospodarstwa domowe maksymalizuj u»yteczno± traktuj c ceny czynników produkcji {w t, r k,t } jako dane; (ii) przedsi biorstwa maksymalizuj zyski traktuj c t=0 ceny czynników produkcji jako dane; (iii) ceny czynników produkcji zapewniaj czyszczenie si rynków. M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 12 / 36

Charakterystyka równowagi Zaªó»my dla uproszczenia brak post pu technicznego i staª populacj (n = g = 0) i znormalizujmy poda» pracy do jedno±ci (l t = 1), tak»e c t = c t Funkcja Lagrange'a: ( L = β t ct 1 θ 1 θ + λ [ ] ) t (1 δ)kt + w t + r k,t k t c t k t+1 t=0 Warunki konieczne optimum: L c t = 0 = c θ t = λ t (9) L k t+1 = 0 = βλ t+1 (1 δ + r k,t+1 ) = λ t (10) M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 13 / 36

Równanie Eulera Równania (9) i (10) implikuj : ( ct+1 ) θ = β (1 δ + r k,t+1) = β (1 + r t+1) (11) c t Interpretacja: Dla θ > 0: c t+1 > c t 1 + r t+1 > β 1 Aby konsumpcja byªa wy»sza jutro ni» dzi±, (rynkowa) stopa procentowa musi przekracza subiektywn stop dyskonta stosowan przez gospodarstwa domowe Gospodarstwom domowym opªaca si odkªada konsumpcj na przyszªo± je±li zwi zana z tym utrata u»yteczno±ci jest wi cej ni» skompensowana stop zwrotu z oszcz dno±ci Rola θ: Im wy»sze θ tym mniej wra»liwa konsumpcja na stop procentow, czyli tym silniejszy motyw wygªadzania konsumpcji (ni»sza mi dzyokresowa elastyczno± substytucji) M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 14 / 36

Charakterystyka równowagi - podsumowanie W równowadze dynamika modelu mo»e by opisana nast puj cymi trzema równaniam: ( ct+1 ) θ = β(f (k t+1) + 1 δ) (12) c t lim t k t+1 k t ( k t+1 = (1 δ) + F (k t) c t (13) k t ) t 1 F = 0 (14) (k t+1 ) + 1 δ s=1 W chwili t = 0 kapitaª jest dany. Dla danego k 0 i c 0, równania (12) i (13) determinuj ±cie»ki k t i c t w kolejnych okresach. Warunek transwersalno±ci (14) determinuje c 0. M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 15 / 36

Stan ustalony I W stanie ustalonym k t i c t s staªe. Dªugookresowa rozwi zanie wykorzystuj c (12) i (13): F (k ) = 1 β 1 + δ (15) c = F (k ) δk (16) M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 17 / 36

Stan ustalony II Ilustracja (15) i (16) w przestrzeni (k, c): c t c t+1 =c t c* k t+1 =k t k* k G k t M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 18 / 36

Zmodykowana zªota reguªa I Sk d wiemy»e k < k G? Równanie (16) implikuje: F (k G ) = δ Warunek transwersalno±ci (14) w stanie ustalonym: Co implikuje: lim t k ( ) t 1 F (k = 0 ) + 1 δ F (k ) > δ Poniewa» F (k) < 0 dla dowolnego k > 0 (neoklasyczna funkcja produkcji) mamy F (k ) > F (k G ) = k < k G (17) M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 19 / 36

Zmodykowana zªota reguªa II Równowa»nie mo»na pokaza,»e stopa oszcz dno±ci w stanie ustalonym s jest ni»sza od tej implikowanej przez (niezmodykowan ) zªot reguª (czyli maksymalizuj cej konsumpcj w stanie ustalonym): Równanie (16) implikuje,»e stopa oszcz dno±ci w stanie ustalonym wynosi: c k s = 1 F (k ) = δ F (k ) Wykorzystuj c równanie (17) otrzymujemy: k s < F (k ) F (k ) = α(k ) Intuicja: gospodarstwa domowe s niecierpliwe (β < 1). M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 20 / 36

Rola czynnika dyskontuj cego Wy»sza β oznacza wi ksz cierpliwo± gospodarstw domowych Z równania (15): Je±li β ro±nie, F (k ) spada, co oznacza wzrost k Warunek c t+1 = c t przesuwa si w prawo w przestrzeni (k, c) W efekcie mamy wzrost konsumpcji w stanie ustalonym Intuicja: bardziej cierpliwe gospodarstwa domowe oszcz dzaj wi cej M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 21 / 36

Diagram fazowy Z (12) mamy: k k = c 0 Z (13) mamy: c F (k) δk = k 0 c t c t+1 =c t c* k t+1 =k t k* k t M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 23 / 36

cie»ka siodªowa (stabilne rami ) Warunek transwersalno±ci (14) determinuje c 0 dla dowolnego k 0 tak by gospodarka zmierzaªa do stanu ustalonego: c t c t+1 =c t c* k t+1 =k t c 0 k 0 k* k t M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 24 / 36

Unikalno± równowagi Sk d wiemy»e ±cie»ka siodªowa jest jedyn równowag? Je±li c 0 byªoby poni»ej zgodnego ze ±cie»k siodªow : Kapitaª ostatecznie osi gn ªby swój maksymalny poziom k > k G, co oznacza F ( k) < F (k G ) = δ co jest niezgodne z warunkiem transwersalno±ci (14) gdy»: ( ) t 1 lim k = t F ( k) + 1 δ Nieformalnie (ale intuicyjnie): na koniec horyzontu planowania gospodarstwa domowe posiadaj warto±ciowe aktywa, co nie mo»e by optymalne Je±li c 0 byªoby powy»ej ±cie»ki siodªowej: Kapitaª ostatecznie osi gn ªby poziom 0, co oznaczaªoby drastyczny spadek konsumpcji do zera, co jest niezgodne z równaniem Eulera M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 25 / 36

Konwergencja W porównaniu z modelem Solowa, tempo zbie»no±ci do stanu ustalonego zale»y dodatkowo od zachowania stopy oszcz dno±ci Kluczowym parametrem jest θ ( Barro and Sala-i-Martin, 2004, ch. 2.6.4): 1 θ < s = s t s zale»y dodatnio od k t k 1 θ = s = s t = s = s t s zale»y ujemnie od k t k 1 θ > s Intuicja (przypadek k 0 < k, wi c c 0 < c ): Je±li gospodarstwa domowe maj siln skªonno± do wygªadzania konsumpcji (θ wysoka), staraj si j przyspieszy wiedz c,»e dochód b dzie wy»szy w przyszªo±ci Je±li gospodarstwa domowe maj nisk skªonno± do wygªadzania konsumpcji (θ niska), godz si na jej odroczenie, dzi ki czemu gospodarka oszcz dza wi cej i szybciej zbiega do stanu ustalonego Dla standardowej parametryzacji 1 θ > s, wi c model Ramseya implikuje relatywnie szybkie tempo zbie»no±ci do stanu ustalonego M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 26 / 36

Wªadze skalne Wydatki rz du: zakup dóbr i usªug g t (egzogeniczne, bez bezpo±redniego wpªywu na u»yteczno± gospodarstw domowych) Dochody rz du: podatki proporcjonalne τ (kilka typów, staªe stawki dla uproszczenia) i zryczaªtowane v t, wszystkie nakªadane na gospodarstwa domowe Emisja dªugu b t po stopie r g t Ograniczenie bud»etowe rz du g t + (1 + r g t )b t 1 = τ w w t l t + τ k r k,t k t + τ c c t + τ i i t + v t + b t (18) Rz d prowadzi odpowiedzialn polityk, tzn. jest wypªacalny: ( ) t 1 lim b t+1 t 1 + rs g 0 (19) s=1 Wypªacalno± oznacza,»e warto± bie» ca netto wydatków rz dowych jest równa warto±ci bie» cej netto dochodów M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 28 / 36

Zmodykowane problemy agentów Problem rm bez zmian Brak bezpo±redniego wpªywu rz du na u»yteczno± gospodarstw domowy oznacza,»e cel maksymalizacji jest ci gle zadany przez (5) Zmodykowane ograniczenie bud»etowe gospodarstw domowych (1 τ w )w t l t +(1 τ k )r k,t k t +(1+r g t )b t 1 = (1+τ c )c t +(1+τ i )i t +v t +b t (20) Zmodykowany warunek transwersalno±ci: ( ) t 1 lim k t+1 0 (21) t (1 τ k )r k,s + 1 δ s=1 M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 29 / 36

Charakterysytka równowagi Równowaga w przestrzeni (c, k) opisana jest nast puj cymi 3 równaniami: Równanie Eulera: ( ct+1 c t ) θ = β 1 + (1 τ k)f (k t+1 ) δ (1 + τ i ) (22) Akumulacja kapitaªu: k t+1 = (1 δ)k t + F (k t ) c t g t (23) Warunek transwersalno±ci: ( ) t 1 lim k t+1 t (1 τ k )F = 0 (24) (k t+1 ) + 1 δ s=1 M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 30 / 36

Ekwiwalencja Ricardia«ska Brak ryzyka niewypªacalno±ci rz du oraz doskonale funkcjonuj ce rynki nansowe implikuj r t = r g t, gdzie r t (1 τ k )F (k t ) δ Wówczas, po uwzgl dnieniu ograniczenia bud»etowego rz du, ograniczenie bud»etowe gospodarstw domowych mo»na zapisa jako: w t l t + r k,t k t = c t + i t + g t (25) A wi c, je±li proporcjonalne stawki podatkowe s staªe, nie ma znaczenia czy wzrost wydatków rz dowych nansujemy emisj dªugu, czy te» wzrostem podatków zryczaªtowanych Inne kluczowe zaªo»enie modelu dla ekwiwalencji: niesko«czony horyzont optymalizacji gospodarstw domowych (brak mo»liwo±ci przerzucenia ci»aru skalnego na przyszªe pokolenia) M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 31 / 36

Zaªo»enia Rozpatrujemy maª otwart gospodark, która nie ma wpªywu na reszt ±wiata Kraj mo»e po»ycza od / inwestowa w gospodark zagraniczn po stopie r Kraj jest bardziej niecierpliwy ni» zagranica: 1 + r < 1 β W przeciwnym wypadku kraj zakumulowaªby tyle aktywów zagranicznych,»e zªamane zostaªoby zaªo»enie o maªej gospodarce M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 33 / 36

Zmodykowane problemy agentów Przedsi biorstwa bez zmian Gospodarstwa domowe mog handlowa z zagranic obligacj b t, daj c stop zwrotu r Ograniczenie bud»etowe gospodarstw domowych w t l t + r k,t k t + (1 + r )b t 1 = c t + i t + b t (26) M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 34 / 36

Charakterystyka równowagi Warunki optymalno±ci gospodarstw domowych i rm implikuj : F (k t ) = r k,t = r + δ (27) ( ) θ ct+1 = β(1 + r ) (28) c t lim t b t+1 (1 + r ) t 0 (29) Wnioski: Brak dynamiki przej±ciowej - kapitaª natychmiast osi ga swój poziom w stanie ustalonym Oznacza to silny napªyw kapitaªu zagranicznego w momencie otwarcia gospodarki Je±li kraj jest mniej cierpliwy ni» zagranica (1+r < 1 β ), konsumpcja pocz tkowo skokowo ro±nie, a nast pnie maleje w staªym tempie, ostatecznie zbiegaj c do zera Rachunek obrotów bie» cych: pocz tkowo du»y decyt (napªyw kapitaªu), nast pnie nadwy»ki M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 35 / 36

Ograniczenie kredytowe Gospodarka krajowa po otwarciu zadªu»a si za granic Zadªu»enie zagraniczne ostatecznie osi ga warto± równ sumie kapitaªu oraz warto±ci bie» cej netto dochodów z pracy Spadaj cy prol konsumpcji po otwarciu oznacza,»e w pewnym momencie spada ona poni»ej poziomu sprzed otwarcia To stanowi silny bodziec do bankructwa, które si opªaca, zwªaszcza je±li nie mo»na w praktyce wyegzekwowa zabezpieczenia w postaci przyszªych dochodów z pracy Rozwi zanie: puªap dªugu zagranicznego na poziomie (cz ±ci) zycznego kapitaªu b t ak t (30) gdzie 0 < a 1 M. Kolasa (SGH) Model Ramseya 36 / 36