Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych zawiera co najmniej 3 tomy. Zdarzenie A s oznacza, że z pierwszych dzieł zebranych wzięto s tomów, a zdarzenie B k, że z drugich dzieł zebranych wzięto k tomów. Co oznaczają zdarzenia A B C, A B C, A 1 B 3, A 2 B 2, (A 1 B 3 B 1 A 3 ) C? Zad. 2. Spośród liczb naturalnych wybrano jedną liczbę. Zdarzenie A oznacza, że wylosowana liczba dzieli się przez 5, zdarzenie B, że kończy się ona zerem. Co oznaczają zdarzenia A \ B i A B? Zad. 3. Niech A, B i C będą trzema dowolnymi zdarzeniami. Zapisz zdarzenia: 1. zachodzi tylko A, 2. zachodzą tylko A i B, 3. zachodzą wszystkie trzy zdarzenia, 4. zachodzi przynajmniej jedno z trzech zdarzeń, 5. zachodzą przynajmniej dwa zdarzenia, 6. zachodzi dokładnie jedno zdarzenie, 7. zachodzą dokładnie dwa zdarzenia, 8. nie zachodzi ani jedno zdarzenie, 9. zachodzą nie więcej niż dwa zdarzenia. Zad. 4. Wiadomo, że P (A) = 0, 8, P (B) = 0, 7, P (A \ B) = 0, 2. Obliczyć P (A B), P (B A), P (A B), P (A B), P (A \ B). Zad. 5. Wiadomo, że P (A) = 0, 4, P (B) = 0, 8, P (A B) = 0, 3. Obliczyć P (A B), P (A \ B), P (A B ), P (A B), P (A B). Zad. 6. W tabeli podano dane dotyczące reakcji pewnej grupy dzieci na przeprowadzony na niej test: wiek liczebność dziewczynki dziewczynki reakcja + chłopcy reakcja + [6, 8) 40 15 8 20 [8, 10) 30 20 16 6 [10, 12) 60 25 15 8 [12, 14) 40 20 10 10 [14, 16) 50 25 15 20 Losujemy jedną osobę z grupy. Znaleźć prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba: 1. jest chłopcem co najmniej 10-letnim, 1

2. ma wynik ujemny, 3. ma wynik dodatni, jeśli wiadomo, że ma poniżej 12 lat, 4. jest chłopcem, jeśli wiadomo, że wynik jest ujemny. 5. Czy cechy bycie chłopcem i wynik testu jest ujemny są niezależne? Zad. 7. W tabeli podano dane dotyczące wyników testu z matematyki przeprowadzonego w klasach pierwszych szkoły A i szkoły B. Informacje dotyczą czasu potrzebnego do rozwiązania całego (w minutach) testu oraz liczebności testów rozwiązanych bezbłędnie. czas liczba testów w A bezbłędne w A liczba testów w B bezbłędne w B [10, 15) 10 6 10 7 [15, 20) 16 10 20 16 [20, 25) 20 12 30 22 [25, 30) 24 15 8 4 [30, 35) 15 9 7 5 Z wszystkich testów losujemy jeden. Znaleźć prawdopodobieństwo, że: 1. został rozwiązany w czasie krótszym niż 25 minut, 2. zawiera błędy, 3. zawiera błędy i został napisany przez dziecko ze szkoły A, 4. zawiera błąd, jeżeli wiadomo, że został napisany w czasie krótszym niż 20 minut, 5. został napisany w czasie krótszym niż 20 minut, jeżeli wiadomo, że zawiera błąd. 6. Czy cechy test zawiera błąd i czas krótszy niż 20 minut są niezależne? Zad. 8. W fizyce statystycznej rozważa się rozkład (rozmieszczenie) k cząstek w n elementarnych obszarach zwanych komórkami. W zależności od postaci tych cząstek przyjmuje się jedno z trzech następujących założeń: 1. cząstki różnią się między sobą (zatem wzajemna zamiana komórek przez dwie cząstki daje nowy rozkład) i liczba cząstek w danej komórce jest dowolna (statystyka Maxwella Boltzmanna), 2. cząstki są nierozróżnialne między sobą (zatem wzajemna zamiana komórek przez dwie cząstki daje ten sam rozkład istotne jest tylko ile cząstek trafiło do poszczególnych komórek, a nie to jakie to są cząstki) i liczba cząstek w jednej komórce jest dowolna (statystyka Bosego Einsteina), 3. cząstki nie różnią się między sobą i w każdej komórce może się znaleźć co najwyżej jedna cząstka (statystyka Fermiego Diraca). Zakładamy ponadto, ze wszystkie dopuszczalne rozmieszczenia są jednakowo prawdopodobne. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że 2

1. k cząstek rozmieści się po jednej w k ustalonych komórkach dla każdej z rozważanych statystyk, 2. w przypadku statystyki Bosego Einsteina znajdzie się dokładnie m cząstek i) w ustalonej komórce, ii) w jednej z n komórek, 3. w przypadku statystyki Bosego Einsteina wszystkie komórki będą zajęte, 4. w przypadku statystyki Maxwella Boltzmanna w pierwszej komórce znajdzie się dokładnie k 1 cząstek, w drugiej k 2 cząstek,..., w n tej k n cząstek. Zad. 9. Prawdopodobieństwo, że dany strzelec trafi w pierwszą tarczę jest równe 2. Jeśli 3 trafi on w tarczę przy pierwszym strzale, to uzyskuje prawo oddania drugiego strzału tym razem do drugiej tarczy. Prawdopodobieństwo, że trafi on w obie tarcze przy dwóch strzałach, jest równe 1. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia w drugą 2 tarczę, jeśli strzelec otrzymał prawo do oddania drugiego strzału. Zad. 10. Z sześciu kartek, na każdej z których jest zapisana jedna litera tworzymy słowo karate. Kartki mieszamy, a potem układamy losowo jedna bok drugiej. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po odczytaniu liter zapisanych na kolejnych kartkach otrzymamy słowo kareta? Zad. 11. Obie strony jednego z trzech żetonów są białe, drugiego czarne, a trzeci żeton ma jedną stronę białą, a jedną czarną. Wybieramy w sposób losowy jeden żeton i rzucamy na stół. Jeśli wierzchnia strona po upadnięciu na stół okaże się biała, to jakie jest prawdopodobieństwo, że jego spodnia niewidoczna strona jest także biała? Zad. 12. W grupie składającej się z 2n osób liczba kobiet i mężczyzn jest jednakowa. Osoby z tej grupy siadają losowo wokół okrągłego stołu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że żadne dwie osoby tej samej płci nie będą siedziały obok siebie. Zad. 13. Rzucamy dwiema kostkami. Oznaczmy zdarzenia: A 1 ={na pierwszej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek}, A 2 ={na drugiej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek}, A 3 ={suma liczb oczek wyrzuconych na obu kostkach jest liczbą nieparzystą}. Czy zdarzenia te są niezależne parami? Czy zdarzenia A 1, A 2, A 3 są niezależne zespołowo? Zad. 14. Z talii zawierającej 36 kart losujemy jedną kartę. Rozpatrujemy zdarzenia: A 1 ={wylosowana karta jest pikiem} i A 2 ={wylosowana karta jest damą}. Czy zdarzenia te są niezależne? Jaka będzie odpowiedź, gdy talia zawiera 52 karty? Zad. 15. Na n kartonikach jest zapisanych n różnych liczb rzeczywistych. Kartoniki włożono do pudełka, dobrze wymieszano, po czym losowano kolejno bez zwracania. Niech A k ={k-ta wylosowana liczba jest większa od poprzednich}. 1. Pokazać, że P (A k ) = 1, k = 1, 2,..., n. k 3

2. * Wykazać, że zdarzenia A 1,..., A n są niezależne. Zad. 16. Partia zawiera N wyrobów, z których n podlega sprawdzeniu. Zostaje ona przyjęta, jeśli wśród tych n wyrobów kontrola wykryje mniej niż m wybrakowanych. Obliczyć prawdopodobieństwo przyjęcia partii, jeśli zawiera ona M wyrobów wybrakowanych. Zad. 17. Do pociągu złożonego z n wagonów, wsiada k pasażerów, k n, którzy wybierają losowo wagony. Obliczyć prawdopodobieństwo, że do każdego wagonu wsiądzie przynajmniej jeden pasażer. Zad. 18. Gracz A otrzymuje informację wyrażającą się poprzez tak lub nie, i oznajmia ją graczowi B. W podobny sposób B przekazuje informację C, a następnie C przekazuje ją D, który ujawnia otrzymaną informację. Każdy z czterech graczy mówi prawdę w jednym przypadku na trzy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że A powiedział prawdę, jeśli wiadomo, że D ujawnił prawdziwy wynik? Zad. 19. W pierwszej z trzech urn znajdują się 2 białe i 4 czarne kule, w drugiej 3 białe i 5 czarnych, a w trzeciej 4 białe i 6 czarnych. Dwie wylosowane kule z pierwszej urny przełożono do drugiej urny, następnie dwie kule z drugiej urny przełożono do trzeciej urny i w końcu dwie kule z trzeciej urny przełożono do pierwszej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1. liczba kul poszczególnych kolorów w każdej z trzech urn nie ulegnie zmianie; 2. liczba kul poszczególnych kolorów w każdej z trzech urn ulegnie zmianie. Zad. 20. Rozporządzamy trzynastoma urnami: Y 1,... Y 13, przy czym Y i zawiera i białych oraz 13 i czarnych kul, i = 1,..., 13. Wybieramy jedną z tych urn, przy czym prawdopodobieństwo wybrania każdej z nich jest proporcjonalne do liczby znajdujących się w niej kul białych. Z wybranej urny losujemy dwie kule, które okazują się różnych kolorów. Do której z urn należą z największym prawdopodobieństwem te dwie kule? Zad. 21. Podczas gry w brydża talią 52 kart jeden z czterech graczy nie dostał ani jednego asa w kolejnych trzech rozdaniach. Czy ma on podstawę do uskarżania się, że mu nie idzie karta? Zad. 22. W bibliotece znajdują się książki z zakresu techniki i matematyki. Dowolny czytelnik wybiera książkę matematyczną z prawdopodobieństwem 0,7, a książkę techniczną z prawdopodobieństwem 0,3. Zakładając, że każdy czytelnik wybiera tylko po jednej książce, oblicz prawdopodobieństwo, że pięciu kolejnych czytelników wybierze książki z tej samej dziedziny. Zad. 23. Co jest bardziej prawdopodobne przy grze z przeciwnikiem równej klasy z wykluczeniem remisów: 1. wygranie trzech z czterech partii, czy wygranie pięciu partii z ośmiu, 4

2. wygranie nie mniej niż trzech z czterech partii, czy wygranie nie mniej niż pięciu z ośmiu partii? Zad. 24. Prawdopodobieństwo zawiedzenie dowolnego urządzenia przy sprawdzaniu jego niezawodności jest równe 0,2. Ile urządzeń należy sprawdzić, żeby prawdopodobieństwo znalezienia przynajmniej trzech urządzeń niesprawnych było mniejsze niż 0,9? Zad. 25. Obliczyć najbardziej prawdopodobną liczbę błędów ujemnych i dodatnich przy czterech pomiarach i wyznaczyć odpowiednie prawdopodobieństwa, jeśli przy dowolnym pomiarze prawdopodobieństwo błędu dodatniego jest równe 2 3, a prawdopodobieństwo błędu ujemnego jest równe 1 3. Zad. 26. Najbardziej prawdopodobną liczbą detali dobrej jakości w partii złożonej z 90 detali jest 82. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany detal z tej partii będzie dobrej jakości? Zad. 27. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w czasie wykonywania 500 niezależny prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie 0,004 zaobserwuje się nie więcej niż trzy sukcesy? Zad. 28. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w 810 rzutach symetryczną kostką liczba szóstek zmieści się w przedziale [155,185]? Zad. 29. Wydział kontroli jakości fabryki produkującej części elektroniczne stwierdził, że 2% tych części jest wadliwych. Znajdź prawdopodobieństwo, że w próbce liczącej 1000 części znajdzie się od 20 do 30 (włącznie) części wadliwych. Zad. 30. Rzucamy n razy prawidłową monetą. Jak duże musi być n, aby z prawdopodobieństwem 0,9 liczba wyrzuconych orłów była zawarta pomiędzy 0, 48n a 0, 52n? Zad. 31. Wiadomo, że prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca wynosi w przybliżeniu 0,512. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 10 000 noworodków będzie 1. nie mniej dziewczynek niż chłopców, 2. co najmniej o 200 chłopców więcej niż dziewczynek? 5