1 Grfy hmiltonowski, problm komiwojżr lgorytm optymlny Wykł oprcowny n postwi książki: M.M. Sysło, N.Do, J.S. Kowlik, Algorytmy optymlizcji yskrtnj z progrmmi w języku Pscl, Wywnictwo Nukow PWN, 1999
2 Grfy hmiltonowski Df. Cykl (rog) Hmilton jst to cykl (rog), w którym kży wirzchołk grfu występuj okłni rz. Grf jst hmiltonowski (półhmiltonowski), o il posi cykl (rogę) Hmilton. Przykł Grf hmiltonowski Grf półhmiltonowski Grf ni jst ni hmiltonowski ni półhmiltonowski
3 Grfy hmiltonowski Tw. (Or, 1960) Jśli G jst grfm prostym o n 3 wirzchołkch i g(u) + g(v) n l kżj pry nisąsinich wirzchołków u i v, to grf G jst hmiltonowski. Dowó: Złóżmy, ż istnij grf G o ponych złożnich l ni jst hmiltonowski. Możmy złożyć, ż G posi rogę Hmilton v 1 v 2... v n orz {v 1,v n } E(G). Stą wynik, ż g(v 1 ) + g(v n ) n to ozncz, ż istnij inks i tki, ż {v 1,v i } E(G) orz {v i-1, v n } E(G), co pokzno n rysunku. To prowzi o sprzczności, gyż v 1 v 2... v i-1 v n v n-1... v i v 1 jst cyklm Hmilton. v 1 v 2 v 3 v i-1 v i v n-2 v n-1 v n
4 Grfy hmiltonowski Wniosk (Dirc, 1952) Jśli G jst grfm prostym o n 3 wirzchołkch i g(v) n/2 l kżgo wirzchołk v, to G jst hmiltonowski. Dowó: Wynik z poprznigo twirzni, gyż g(u) + g(v) n l kżj pry (równiż nisąsinich) wirzchołków. Uwg Problm polgjący n stwirzniu czy ny grf G jst hmiltonowski jst NP-zupłny. Ozncz to, ż ni są znn fktywn (ziłjąc w czsi wilominowym) lgorytmy rozwiązując tn problm. Ni jst równiż znn twirzni pojąc wrunki koniczn i osttczn n to, by G był hmiltonowski.
5 Problm komiwojżr Dny jst zbiór mist. Komiwojżr chc owizić wszystki mist (kż okłni rz) i powrócić o punktu wyjści. Problm polg n znlziniu njkrótszj trsy o tj włsności. Zfiniujmy powyższy problm w języku torii grfów. Nich bęzi ny grf płny G. Zkłmy, ż z kżą krwęzią i jst skojrzon jj wg (ługość) oznczn lj przz w i. Rozwiąznim problmu komiwojżr jst tki cykl Hmilton, którgo sum wg krwęzi jst minimln. Σ = 26 Przykł 2 7 8 3 9 6 8 4 6 5
6 Problm komiwojżr Uwgi problm komiwojżr jst NP-truny, co ozncz, ż ni są znn lgorytmy o wilominowj złożoności obliczniowj rozwiązując tn problm (przypuszczlni tki ni istniją) w prktyc jstśmy zmuszni posługiwć się wilominowymi lgorytmmi przybliżonymi, tzn. tkimi, któr szybko znjują rozwiązni, któr jst w przybliżniu równ optymlnmu Przykł Jnym z możliwych lgorytmów okłnych jst sprwzni wszystkich możliwych cykli Hmilton i wybrni njkrótszgo. Wą tkigo pojści jst to, ż liczb cykli jst zbyt uż, gyż l n-wirzchołkowgo grfu wynosi (n!)/2. Stą, jśli ysponujmy komputrm sprwzjącym milion prmutcji n skunę, to: n = 10 ilość cykli = (10!)/2 = 1814400 czs obliczń = 1.8 s n = 20 ilość cykli = (20!)/2 10 18 czs obliczń 40 tys. lt
7 Problm komiwojżr lgorytm optymlny ni jst znny żn wilominowy optymlny lgorytm l tgo problmu i jst mło prwopoobn, ż tki lgorytm w ogól istnij omówiony lj lgorytm polg n przszukiwniu cłj przstrzni rozwiązń poczs obliczń n biżąco uktulnin jst oln oszcowni n ługość optymlnj trsy, zięki czmu wimy, których rozwiązń częściowych n pwno ni się rozszrzyć n rozwiązni optymln i część obliczń możn pominąć rozwżmy przypk nico ogólnijszy, w którym ny jst n wjściu obciążony grf skirowny
8 Drzwo przszukiwń Df. Drzwo przszukiwń finiujmy jko zkorznion rzwo, którgo kży wirzchołk opowi pwnmu pozbiorowi rozwiązń. Pozbiory rozwiązń opowijąc synom węzł wynikją z sposobu poziłu zbioru rozwiązń ojc. Uwg: Dl problmu komiwojżr przyjmujmy nstępującą postć rzw przszukiwń: kży wirzchołk opowi rozwiązniom problmu, któr zwirją pwn łuki i jnoczśni innych wybrnych łuków ni zwirją (np. pwnmu wirzchołkowi opowiją optymln trsy zwirjąc łuki (,b),(,h) orz ni zwirjąc łuków (,),(,) i (b,) ) Kży węzł m wóch synów. Po wybrniu nowgo łuku, jn z synów opowi rozwiązniom o ogrnicznich nłożonych w ojcu orz zwirjących, ntomist rugi ni zwirjących.
9 Oszcowni oln Uwg: Poczs rlizcji lgorytmu (tzn. poczs trwrsowni rzw przszukiwń) pmiętmy wrtość njlpszgo znlziongo otychczs rozwiązni. Oznczmy ją przz min_sol. Uwg: Z kżym wirzchołkim v rzw przszukiwń jst związn zminn LB. Jst to liczb, któr stnowi oszcowni oln n wrtość kżgo rozwiązni nlżącgo o tgo wirzchołk. Wówczs: jśli LB > min_sol, to wimy, ż ni wrto przszukiwć porzw zkorzniongo w wirzchołku v, jśli LB = min_sol, to porzwo być moż zwir rozwiązni orównując otychczsowmu njlpszmu. Jśli zni polg n wyznczniu owolngo rozwiązni optymlngo, to ni przszukujmy porzw zkorzniongo w wirzchołku v jśli LB < min_sol, to nlży przszukiwć porzwo zkorznion w v (być moż ni cł).
10 Rukcj mcirzy Lmt Jśli M jst mcirzą sąsiztw grfu G, to: o owolngo cyklu Hmilton nlży okłni jn lmnt z kżgo wirsz M i okłni jn z kżj kolumny jśli o wszystkich lmntów w wybrnym wirszu (kolumni) ojmimy stłą, to ługość kżgo cyklu Hmilton jst o mnijsz o ługości tgo smgo cyklu, lcz prz ojęcim stłj jśli o wirszy i kolumn wilokrotni ojmimy stł tk,by kży wirsz i kolumn zwirły co njmnij jno zro, to sum ojętych liczb stnowi oln oszcowni optymlngo rozwiązni. Df. Procs ojmowni stłych o wirszy (kolumn) mcirzy sąsiztw nzywmy rukcją. Wniosk Jśli łuk (i,j) nlży o optymlnj trsy komiwojżr znlzionj n postwi zrukownj mcirzy sąsiztw, to (i,j) nlży rowniż o optymlnj trsy w wyjściowym grfi.
11 Algorytm rukcji procur Ruc( M ) bgin r := 0; for i := 1 to n o bgin min_row := njmnijszy lmnt w i-tym wirszu; if ( min_row > 0 ) thn bgin ojmij min_row o kżgo lmntu w wirszu i; r := r + min_row; n n; for i := 1 to n o bgin min_col := njmnijszy lmnt w i-tj kolumni; if ( min_col > 0 ) thn bgin ojmij min_col o kżgo lmntu w wirszu i; r := r + min_col; n n; rturn r; n Zminn: M mcirz sąsiztw rozmiru n r sum ojętych wrtości o wirszy i kolumn (jk wynik z poprznigo lmtu, jst to oln oszcowni n ługość cyklu w M)
12 Przykł rukcji M= b c b c 11 16 28 42 17 44 31 27 24 33 6 15 13 19 41 21 42 28 25 36 b c b c 0 5 17 31 0 27 14 10 18 27 0 9 0 6 28 8 17 3 0 11 11 17 6 13 25 r = 11 + 17 + 6 + 13 + 25 + 8 = 80 Stą, o wrtości LB potomków węzł omy 80 b c b c 0 5 17 23 0 27 14 2 18 27 0 1 0 6 28 0 17 3 0 11 0 0 0 0 8
13 Krytrium wyboru łuku procurfineg( M, r, c ) bgin mx := 1; for i := 1 to n o for j := 1 to n o if Mi,j = 0 thn bgin min_r := wrtość njmnijszgo lmntu w wirszu i z pominięcim Mi,j; min_c := wrtość njmnijszgo lmntu w kolumni j z pominięcim Mi,j; if min_r + min_c > mx thn bgin mx := min_r + min_c; (r,c) := (i,j); n n; rturn mx; n Zminn: M mcirz sąsiztw n rozmir M (r,c) łuk o poziłu zbioru rozwiązń Uwg: Aby utworzyć potomków w rzwi przszukiwń, wybirmy tki łuk, który powouj njwiększy wzrost olngo oszcowni w prwym porzwi. Wrtość, o którą wzrośni LB wyznczmy w zminnj mx.
14 Wybór łuku - przykł min_r+min_c=5+3=8 2+0=2 Zrukow. M= 0+0=0 b c b c 0 5 17 23 0 27 14 2 18 27 0 1 0 6 28 0 17 3 0 11 1+11=12 0+1=1 3+5=8 o poziłu zbioru rozwiązń wybirmy łuk (c,) lwy potomk opowi wszystkim rozwiązniom (cyklom) zwirjącym łuk (c,) prwy potomk zwir wszystki rozwiązni bz (c,)
15 Tworzni lwgo syn złóżmy, ż wybrno łuk (c,) w clu utworzni potomków wirzchołk v, lwy syn zwir wówczs zbiór rozwiązń o tych smych ogrnicznich, co w przypku v orz otkowo zwirjących łuk (c,), ozncz to, ż możmy zmnijszyć rozmir mcirzy sąsiztw o 1 poprzz usunięci c-tgo wirsz i -tj kolumny, koljn uproszczni mcirzy polg n zblokowniu łuku (,c) tzn. lmnt mcirzy n przcięciu -tgo wirsz i c-tj kolumny przyjmuj wrtość niskończoność, blokujmy równiż łuk, który tworzy cykl wrz z łukmi onymi poprznio o rozwiązni, wrtość LB wyliczmy ojąc o wrtości LB ojc liczbę r wyliczoną w procurz Ruc
16 Dl węzł wyjściowgo v (tutj korzń rzw) LB(v)=0 Zrukow. M= b c Lwy syn - przykł b c 0 5 17 23 0 27 14 2 18 27 0 1 0 6 28 0 17 3 0 11 (usunięci wirsz c i kolumny ) b b c 0 5 23 0 27 2 0 6 28 0 17 5 0 (zblokowni łuku (,c)) Wrtość oszcowni olngo LB(v l ) l lwgo potomk wynosi ztm LB(v)+r = 0+80 b b c 0 5 23 0 27 2 0 6 0 17 5 0 (blokowni łuków tworzących cykl z otychczs wybrnymi ) b b c 0 5 23 0 27 2 0 6 0 17 5 0
17 Tworzni prwgo syn złóżmy, ż wybrno łuk (c,) w clu utworzni potomków wirzchołk v, prwy syn zwir wówczs zbiór rozwiązń o tych smych ogrnicznich, co w przypku v orz otkowo ni zwirjących łuku (c,), blokujmy więc łuk (c,) poprzz wpisni wrtości niskończoność n przcięciu c-tgo wirsz i -tj kolumny w mcirzy sąsiztw ni nstępuj zmnijszni rzęu mcirzy sąsiztw w tym przypku wrtość LB wyliczmy ojąc o wrtości LB ojc liczbę r wyliczoną w procurz Ruc orz wrtość wrtość mx wyliczoną w procurz FinEg
18 Prwy syn - przykł Dl węzł wyjściowgo r (tutj korzń rzw) LB(r)=0 Zrukow. M= b c b c 0 5 17 23 0 27 14 2 18 27 0 1 0 6 28 0 17 3 0 11 (zblokowni łuku (c,)) Wrtość oszcowni olngo LB(r p ) l prwgo potomk wynosi ztm LB(r) + r + mx = 0 + 80 + 12 = 92 b c b c 0 5 17 23 0 27 14 2 18 27 1 0 6 28 0 17 3 0 11
19 Wrunki końc rkurncji Przypk 1: wrtość LB w wirzchołku v jst większ lub równ o njlpszgo znlziongo otychczs rozwiązni. Wówczs rzwo zkorznion w v ni jst przszukiwn. Przypk 2: M jst stopni 2. M on wówczs jną z wóch postci: M= + 0 lub 0 + M= 0 + + 0. Ztm bz wzglęu n postć mcirzy ni m wyboru co o tgo jki łuki nlży włączyć o końcowgo rozwiązni. Jśli kolumny opowiją wirzchołkom w,x ntomist wirsz u,v to: jśli Mu,w = 0, to o cyklu komiwojżr nlżą łuki (u,w), (v,x) jśli Mu,x = 0, to o cyklu komiwojżr nlżą łuki (v,w), (u,x)
20 Algorytm procur TrvrsTr( M, C, LB ) bgin r := Ruc( M ); if LB + r < min_sol thn if C = n 2 thn bgin ołącz w łuki o C i uktulnij min_sol orz zpmiętj now rozwiązni jśli jst lpsz o otychczsowych; n ls bgin mx := FinEg( M, c, ); TrvrsTr( M *, C {(c,)}, LB + r ); if LB + r + mx < min_sol thn bgin Mc, := + ; TrvrsTr(M,C, LB + r ); Mr,c := 0; n n; otwórz mcirz M o postci sprz rukcji; n Zminn: M mcirz sąsiztw C krwęzi nlżąc o cyklu LB wrtość olngo oszcowni l ngo węzł M * powstj z M poprzz usunięci c-tgo wirsz, -tj kolumny i zblokowni łuku (,c) i łuków tworząych cykl z C {(c,)} min_sol inicjlni równ +
Przykł M= b c b c 42 6 28 35 9 29 35 38 22 13 29 34 17 21 14 2 23 24 31 5 LB=0 r = 35 mx=34 21 LB=35 r = 35 mx=5 LB=35 r = 0 mx=41 b c b c 0 5 0 0 0 0 b 0 26 29 0 16 21 15 19 0 18 19 0 (b,) (,c) 35+0+41 > min_sol LB=69 r = 34 mx=23 b c 69+34 > min_sol b c 14 0 7 0 8 26 29 9 0 16 21 15 19 0 0 18 19 14 0 69+34+23> min_sol LB=70 r = 0 b 0 0 min_sol =70 (c,) LB+r+mx = 35+35+5=75> min_sol=70 M mcirz wyjściow (prz rukcją), ntomist w wszystkich potomkch pokzno mcirz po rukcji
22 Złożoność Czs ziłni procury Ruc wynosi O(n 2 ) Czs ziłni procury FinEg wynosi O(n 3 ) Zpmiętni i otworzni mcirzy to oprcj rzęu O(n 2 ) Zpmiętywni nowgo njlpszgo rozwiązni w czsi O(n) Ozncz to, ż rlizcj lgorytmu TrvrsTr w obrębi jngo węzł wymg czsu O(n 3 ) Złożoność cłgo lgorytmu możn oszcowć ztm przz O(f(n)n 3 ), gzi f(n) jst liczbą węzłów rzw poszukiwń owiznych przz procurę TrvrsTr. Liczb wykonnych obliczń zlży o konkrtnych nych wjściowych i w psymistycznym przypku jst wykłnicz.