531 Zmi ukłdów odieiei Z kżdą brłą twą możem wiąć ukłd wółrędch oiując ruch tej brł w retrei Dltego w dlm ciągu w kiemtce brł będiem ię jmowć główie wjemm ruchem ukłdów wółrędch Zjąc ruch ukłdu wółrędch j,, (r 58) two k i j r k R 58 Wceie leżości omięd ukłdmi wółrędch i r r M wiąego brłą (ukłdu ruchomego) wględem ieruchomego ukłdu odieiei,,, będiem mogli oblicć rędkość i rśieeie wtkich uktów brł W dlej kolejości wrowdim leżości geometrce omięd tmi ukłdmi wółrędch W tm celu utlm leżości omięd wółrędmi w obu ukłdch tego mego uktu M W ierwej kolejości rotrm leżości omięd werormi obu ukłdów wółrędch Weror i, j, k ruchomego ukłdu wółrędch,, iem w ukłdie ieruchomm,, : ( i i) i+ ( i j) j+ ( i k)k i () Zwrte w wich iloc klre werorów ą rutmi weror i odowiedio oie,,, ą oe rówież koiumi kierukowmi międ oią oimi,,, które ocm,, : i i co i j co i k co (, ), (, ), (, ) (b)
Powiw owże ocei do woru () or otąiw odobie werormi j i k otrmm wor: i j k i+ i+ i+ j+ j+ j+ k, k, k (53) Widim, że do ii werorów ruchomego ukłdu wółrędch w ukłdie ieruchomm leż ć diewięć koiuów kierukowch etwioch w oiżej tbeli i j k i j k Międ tmi diewięciom koiumi kierukowmi itieje eść leżości trmm je e worów iloc klre werorów (16) i i j j + + + + k k + + i j + j k + k i + 1, 1, 1, + + + 0, 0, 0 (54) Dl wcei ołożei ukłdu wółrędch,, wględem ukłdu,, wtrc odć 6 wielkości:,,, ) tr wółręde wektor r ( ) b) tr ieleże koiu kierukowe becie wcm wółręde wektor wodącego r uktu M w ukłdie,, Z ruku 58 widim, że wektor wodąc r tego uktu możem ić jko umę dwóch wektorów: r r + r (55)
Wektor r jet wektorem łącącm ocątki obu ukłdów wółrędch Ziem go litcie w ukłdie wółrędch,, : r i + j + (56) k Wektor r jet wektorem wodącm uktu M w ukłdie,, Moż go wrić omocą wółrędch w tm ukłdie: r i + j + k (57) Po owieiu worów (56) i (57) do rówi (55) otrmm: r r + r i+ j+ k+ i + j + k (58) Po rutowiu owżego wektor oie ukłdu wółrędch,, or wkortiu leżości (b) otrmm jego wółręde w tm ukłdie wółrędch: r i r j r k + + + + + + + + +,, (59) W odob oób moż wrić wółręde wektor r w ukłdie,, logicie moż ić dowol wektor c d w jedm ukłdie wółrędch w drugim
53 Prędkość i rśieeie dowolego uktu brł w ruchu ogólm Dl rotrei kiemtki brł rjmiem, tk jk w oredim ukcie, dw ukłd wółrędch rotokątch: jede ieruchom o oich,, i ocątku w ukcie, drugi o oich,, i ocątku w dowolm ukcie (bieguie), orując ię rem brłą (r 58) Wektor wodąc dowolego uktu M brł w ieruchomm ukłdie wółrędch,, jet godie e worem (55) umą dwóch wektorów r r,którch ceie omówioo w 531: i r r + r Widomo kiemtki uktu, że rędkość uktu jet ochodą wektor wodącego r wględem cu t (wór 54) Ztem uką rędkość uktu M wrż leżość: d r d r + (530) Pochod wektor r wględem cu jet rędkością uktu : d r d d d i+ j+ k () Po różickowiu wględem cu woru (57) otrmm: d r d d d d i d j d k i + j + k + + + (b) Poiewż wektor r jet wektorem łącącm dw ukt brł twej, więc jego moduł jet tł, r cot, co tm idie, jego wółręde,, ą wielkościmi tłmi ieleżmi od cu Ztem ich ochode wględem cu ą rówe eru d d d 0 Wór (b) rjmuje więc otć: d r d i d j d k + + (c)
Wtęujące w tm wore ochode wględem cu werorów i, j, k ukłdu ruchomego ą mirą mi ich kieruków w cie, oiewż ich moduł ą tłe Moż wkć [9], że ochode te moż wrić omocą worów: d i i, d j j, dk k (531) Wektor jet rędkością kątową chrkterującą mi kieruków oi,, w cie W ruchomm ukłdie wółrędch rędkość kątową moż wrić omocą wółrędch: i + j + k (d) Po owieiu leżości (531) do woru (c) otrmm: d r ( i ) + ( j ) + ( k ) ( i + j + k Wrżeie wtęujące w wiie, godie leżością (57), jet wektorem r Ztem ) d r r (e) Po owieiu do woru (530) worów () i (e) otrmujem ottecie wór rędkość dowolego uktu M brł w ruchu ogólm + r (53) Z otrmego woru wik, że rędkość dowolego uktu M brł jet rów umie rędkości dowolie obrego biegu, rjętego ocątek ruchomego ukłdu wółrędch, or ilocu wektorowego r rędkości kątowej i romiei wodącego r uktu M w ruchomm ukłdie wółrędch N owie woru (53) możem oo formułowć tęujące wioki: ) Prędkość uktu leż od wboru tego uktu b) Prędkość kątow ie leż od wboru uktu, lec jedie od mi kieruków oi,, w cie c) Mimo mi uktu rędkość uktu M ie ulegie miie, oiewż miei ię rówież odowiedio wrżeie r
Po różickowiu wględem cu woru rędkość (53) otrmm rśieeie uktu M: d d d d r + r + (f) Po oceiu rśieei ocątku ruchomego ukłdu wółrędch re or rśieei kątowego re d (g) d ε (h) i wkortiu woru (e) wór (f) rjmie końcową otć: ( r ) + ε r + (533) Wór te moż rewić w ieco iej otci o roiiu wtęującego w im odwójego ilocu wektorowego godie leżością (34): ( ) + ε r + r r (534) Ze worów rędkość (53) i rśieeie (533) wik, że b wcć rędkość i rśieeie dowolego uktu M brł, leż ć cter wielkości wektorowe chrkterujące ruch ogól brł: ) rędkość i rśieeie jedego uktów brł (biegu), b) rędkość kątową i rśieeie kątowe brł ε Wrowdoe w tm ukcie wor rędkość i rśieeie dowolego uktu brł w ruchu ogólm wkortm r omwiiu w tęch uktch tego rodiłu cególch rdków ruchu ogólego brł, cli otęowego, obrotowego, śrubowego, łkiego i kulitego
533 Ruch otęow Ruch brł twej wm otęowm, jeżeli dowol rot two wią brłą ootje w cie ruchu tle rówoległ do ołożei ocątkowego Z owżej defiicji wik, że kżd oi ukłdu wółrędch,, rewioego r 58 będie mił w ruchu otęowm te m kieruek Podobie wektor r M ie miei w cie ruchu wojego kieruku, tem będie o wektorem tłm ieleżm od cu: r cot, więc jego ochod we wore (530) będie rów eru Stąd rędkość dowolego uktu brł wrż leżość: d r (535) Po różickowiu tego woru otrmujem rśieeie d r d (536) Ze worów (535) i (536) or defiicji ruchu otęowego wikją tęujące wioki: ) Wtkie ukt brł twej w ruchu otęowm mją te me rędkości i rśieei w tej mej chwili cu b) Tor wtkich uktów brł mją te m ktłt c) Dl oiu ruchu otęowego brł wtrc odć rówie ruchu jedego r r t uktu brł, ocątku ruchomego ukłdu wółrędch, ( )
534 Ruch obrotow Ruch brł twej wm obrotowm, jeżeli itieje jed rot wią brłą, której ukt w cie ruchu ootją w ocku ϕ ε rr R 59 Ruch obrotow brł twej wokół tłej oi obrotu M ϕ Złóżm, że oią obrotu jet oś Dl ułtwiei rowżń rjmiem ukłd wółrędch wią brłą tk, b oś okrwł ię oią ukłdu ieruchomego or b jego ocątek jdowł ię w ukcie, jk r 59 Poiewż weror k cot, co wik okrwi ię oi oią obrotu, jego ochod wględem cu jet rów eru Ztem wrżei: dk k 0 wik, że wektor leż oi obrotu Z oią obrotu okrw ię rówież wektor rśieei kątowego ε W tej tucji wektor te moż ić w tęując oób: k k or ε ε k ε k (537) Jeżeli kąt międ oimi tłą i ruchomą ocm re ϕ, to leżość ϕ ϕ(t) jet rówiem ruchu obrotowego brł wokół tłej oi Moż wkć [9], że ochod wględem cu kąt obrotu ϕ jet modułem rędkości kątowej, drug ochod modułem rśieei kątowego: dϕ d d ϕ, ε (538) Z ruku 59 widć, że romień wodąc r uktu M jet rów r, oiewż r 0 Tm mm 0 i 0 Uwględiw owże leżości we worch rędkość (53) i rśieeie (533) uktu w ruchu ogólm, otrmm wor rędkość i rśieeie dowolego uktu brł w ruchu obrotowm wokół tłej oi obrotu: r, (539)
Prśieeie moż ić w otci: ( r ) ε r + (540) ( ) ε r + r r (541) Dl ilutrcji wektor rędkości rewim r 510 r l ( r ) ε r M rr ( r ) ε - r R 510 Skłdowe rędkości i rśieei w ruchu obrotowm brł N owie worów (539), (540) i (541) or r 510 możem formułowć tęujące wioki: ) Prędkość jet rotodł do łc rechodącej re oś obrotu l i ukt M, cli jet tc do okręgu kreśloego re ukt M b) Prśieeie uktu M m dwie kłdowe: tcą do toru uktu M, rówą ε r, wą rśieeiem tcm, i ormlą, rówą ( r ), rotodłą do i r, cli kierową do środk krwi toru uktu M, wą rśieeiem ormlm lub dośrodkowm c) Prśieeie ormle moż rołożć kłdową rówoległą do oi obrotu ( r ) i kłdową kierową do obrego uktu rówą r Gd ukt odieiei rjmiem w środku okręgu kreśloego re ukt M, wted kłdow rśieei ormlego rówoległ do oi obrotu będie rów eru, r, rśieeie ormle r W tm ( ) 0
rdku moduł rędkości, rśieei tcego i ormlego wrżją rote wor: r, εr, r (54) Prkłd 54 iężr mocow do liki wiiętej mł obwód kołowrotu (r 511) oru ię w dół ruchem otęowm rotoliiowm według rówi: 15t, r cm t jet wrżo w ekudch, w M M cetmetrch blicć rędkość i rśieeie uktu M leżącego M r obwodie dużego koł kołowrotu ε Promieie kołowrotu woą: R 60 M cm, r 0 cm R 511 Wceie rędkości i rśieei uktu M w ruchu b Prędkość liiow uktu M R Rowiąie Prędkość liiow ciężru d t 30 t cm/ Prędkość kątową kołowrotu oblicm owie ierwego woru (54): r 30t r 30t R M R R 30 t 90tcm / r r Prśieeie liiowe ciężru jet ochodą jego rędkości wględem cu: 3 t 1 d 30 cm / Prśieeie kątowe kołowrotu oblicm owie drugiego woru (54): 30 3 ε r r Prśieeie liiowe uktu M jet umą wektorową kłdowej tcej i ormlej: + M M M
Wrtości tch kłdowch oblicm drugiego i treciego woru (54): 3 3 εr R 90cm /, M R t R 135t cm M / Moduł rśieei uktu M ( M ) ( M ) 4 4 + 90 + 135 t 45 4 + 9 t cm/
535 Ruch śrubow W ukcie 53 wko, że rędkość dowolego uktu M brł w ruchu ogólm jet umą dwóch kłdowch: ) rędkości, któr jet rędkością uktu (biegu), b) rędkości r wikjącej ruchu obrotowego brł rędkością kątową wokół tego biegu Po miie biegu i ie miei ię rędkość kątow, miie ulegie tomit rędkość biegu or kąt α wrt omięd wektormi (r 51) W wiąku tm uw ię tie, c itieje tki biegu i redukcji, w którm kąt będie rów eru, cli wektor będie rówoległ do wektor rędkości kątowej Wkżem, że dl wtkich uktów leżącch rotej l wektor te będą do iebie rówoległe Zjdowie tkich uktów, dl którch w kżdej chwili cu wektor jet rówoległ do wektor, wm rowdiem ruchu ogólego brł do ruchu śrubowego r α r r l R 51 Ruch śrubow brł Pukt leż rotej l rówoległej do wektor, wej chwilową oią ruchu śrubowego Dl wcei rędkości ruchu śrubowego i ołożei chwilowej oi l ruchu śrubowego, r, łożm, że e ą wektor r i Prędkość uktu godie rówiem (53) możem wrić worem:, + r (543) Po omożeiu owżego woru klrie re otrmm: ( r ) + () Jeżeli iloc mie wtęując w tm wore rewim godie e worem (31), to uwżm, że jet o rów eru
( r ) r ( ) 0 W tej tucji rówie () urc ię do otci Poiewż wektor o lewej troie tego rówi ą rówoległe, owie defiicji ilocu klrego moż ić: Stąd moduł rędkości uktu (b) / (544) Prędkość uktu otrmm o omożeiu owżego woru re wektor jedotkow / o kieruku oi l ( ) / (545) W celu wcei wektor r orówm tromi wor (543) i (545) rędkość trmm wted rówie wektorowe: r + ( ) / Po reieieiu rędkości rwą troę i rowdeiu do wólego miowik mm: lub r [ ( ) ] / r [ ( ) ( ) ] / W orówiu e worem (34) łtwo uwżć, że wrżeie wtęujące w wiie kwdrtowm o rwej troie tego rówi jet rowiięciem odwójego ilocu wektorowego Ztem rówie to możem ić w tki oób: r [ ( )] / (546) W owżm rówiu wektorowm jet tlko jed iewidom r Łtwo uwżć, że rowiąie ogóle tego rówi m otć: ( ) r / + λ, (547)
gdie λ jet dowolą wielkością doią lub ujemą Wór te oiuje ołożeie wtkich uktów leżącch rotej rówoległej do rędkości kątowej Jet to więc uke rówie chwilowej oi l ruchu śrubowego w ukłdie ruchomm (wiąm brłą) W ukłdie wółrędch,, rówie to możem ić w otci trech rówowżch rmetrcch rówń klrch: + λ + λ + λ,, (548) N ruku 51 widim, że ołożeie kżdego uktu chwilowej oi ruchu śrubowego w ukłdie ieruchomm wc romień wodąc r, któr moż rewić w otci um wektorów r ir Po uwględieiu woru (547) wektorowe rówie chwilowej oi ruchu śrubowego w ukłdie ieruchomm będie miło otć: ( ) r r + r r / + λ (549) + Temu rówiu w ukłdie ieruchomm będą odowidł tr rmetrce rówi W tm celu wektor wtęujące w rówiu (549) leż wrić w ukłdie wółrędch,, : + + + + λ, + λ, + λ (550) Wkliśm tm mm, że ruch ogól brł moż w dowolej chwili rowdić do ruchu śrubowego defiiowego wtęie tego uktu Ruch te jet umą dwóch ruchów rotch:
) obrotowego rędkością kątową wokół chwilowej oi ruchu śrubowego, b) otęowego rędkością wdłuż tej oi c c M l M R513 Złożeie ruchu ogólego brł ruchu obrotowego wokół chwilowej oi ruchu śrubowego i ruchu otęowego wdłuż tej oi Jeżeli mit dowolego biegu obierem biegu redukcji leżąc chwilowej oi l ruchu śrubowego (r 513), to rędkość dowolego uktu M brł będie umą dwóch wjemie rotodłch kłdowch: o-tęowej i obrotowej M : + M liując ruch śrubow brł, możem roróżić dw rdki: ) (t) 0; wted jrotm ruchem brł jet chwilow ruch śrubow; ie będiem ię tu im jmowć; b) (t) 0; wted jk to widć r 51 i 513 ruch brł rowd ię do chwilowego obrotu wokół oi l, którą będiem wć chwilową oią obrotu
536 hwilowe oie obrotu Jk już owiedio wżej, jeżeli ruch śrubow brł rowd ię do rdku, w którm w kżdej chwili rędkość (t) 0, to jej ruch chwilow jet obrotem wokół chwilowej oi obrotu Jeżeli łożm, że ruch ogól brł oiuje rędkość biegu or rędkość kątow, to e woru (544) wik leżość: / 0 Ztem iloc klr i w kżdej chwili ruchu mui bć rów eru: ( t) ( t) 0, (551) tąd wioek, że b ruch brł rowdł ię do chwilowch obrotów, wektor te muą bć w kżdej chwili rotodłe hwilow oś obrotu miei woje ołożeie w cie Wormi określjącmi ołożeie chwilowej oi obrotu wględem ruchomego ukłdu wółrędch (brł) ą wor (547) lub (548), wględem ukłdu ieruchomego wor (549) lub (550) Jeżeli chwilow oś ie remiec ię w cie, to ruch brł jet omówiom już w 534 ruchem obrotowm wokół tłej oi obrotu R 514 hwilowe oie obrotu koid Jeżeli dl dowolej chwili t wkreślim dwie okrwjące ię chwilowe oie obrotu l w ukłdie tłm i l w ukłdie ruchomm (w brle) to o cie t oie te retą ię okrwć, chwilowmi oimi obrotu będą ie dwie rote l1 i l 1 (r 514) Premiecjące ię w cie ruchu brł chwilowe oie obrotu kreślą dwie owierchie rotokreśle: ) koidę tłą σ, któr jet śldem remieci ię chwilowej oi obrotu w ukłdie ieruchomm, b) koidę ruchomą σ, któr jet śldem remieci ię chwilowej oi obrotu l w ukłdie ruchomm
Rówi koid otrmm rówń chwilowej oi obrotu W celu otrmi koid tłej σ leż do rówń (549) lub (550) wtwić fukcje cu: () t, ( t) i ( t) r r () wrżoe we wółrędch ukłdu ieruchomego,, Podc mi cu t chwilow oś kreśli owierchię, którą wliśm koidą tłą σ Podobie otrmm rówie koid ruchomej σ Nleż w tm celu do rówń (547) lbo (548) owić dwie trech fukcji (), i, wrżoe w ruchomm ukłdie wółrędch,, W cie ruchu brł obie koid ą do iebie tce wdłuż chwilowej oi obrotu l Poiewż wtkie ukt leżące tej oi mją rędkość rówą eru, 0, ruch brł moż rotrwć jko ruch owodow toceiem ię be ośligu koid ruchomej σ o koidie ieruchomej σ W leżości od rodju ruchu brł chwilowe oie obrotu mogą kreślić róże owierchie (koid): ) tożkowe (utworoe rotch recijącch ię w jedm ukcie), wted ruch chwilow jet ruchem kulitm, b) wlcowe (utworoe rotch rówoległch), wted ruch chwilow jet ruchem łkim, c) ie
537 Ruch kulit Ruchem kulitm wm tki ruch brł, w cie którego jede uktów ią wiąch jet ieruchom 1 r r M R 515 Ruch kulit brł twej Pukt te wm środkiem ruchu kulitego Wobec tego rędkość tego uktu będie tle rów eru, cli mui o w kżdej chwili cu leżeć jedoceśie koidie ruchomej i ieruchomej Ztem obie koid w ruchu kulitm ą tocącmi ię o obie tożkmi o wólm wierchołku Dl urocei rowżń ocątki i ukłdów wółrędch ruchomego,, i ieruchomego,, rjmiem w ieruchomm ukcie brł (r 515) Prjęcie tkich ukłdów rwi, że wektor będie rów eru, r 0 W tej tucji rówe eru będą rówież rędkość i rśieeie uktu : i r 0 0, () romień wodąc dowolego uktu M brł możem ić tk: r r (b) Po uwględieiu leżości () i (b) we worch (53) i (533) dl ruchu ogólego brł otrmm wor rędkość i rśieeie dowolego uktu M brł w ruchu kulitm: r, (55)
( r) ε r+ (553) Dl brł twej odległość międ uktmi i M jet we tł, cli moduł wektor wodącego jet rówież tł: r r r cot (c) Wobec tego wektor wodąc r możem ić jko iloc modułu i wektor jedotkowego 1 r : r r1 r (d) Po uwględieiu tej leżości we worch (546) i (547) rędkość i rśieeie otrmm: r r( 1 r ), (554) ( r) r[ ( ε 1 ) + ( 1 )] ε r+ (555) Z owżch worów wik, że w ruchu kulitm rędkość i rśieeie ą oie dwom wielkościmi kiemtcmi i ε N owie woru (c) or worów (554) i (555) możem formułowć wioki chrkterujące ruch kulit: ) W ruchu kulitm tor wtkich uktów brł leżą owierchich kul o środku w ukcie b) Wektor rędkości i rśieeń uktów leżącch rotej rechodącej re ukt ą do iebie rówoległe, ich moduł ą roorcjole do odległości r od środk ruchu kulitego W tm ukcie odo jedie wektorowe wor rędkość i rśieeie dowolego uktu brł w ruchu kulitm or ogóle włości tego ruchu Pr brdiej cegółowm rotrwiu ruchu kulitego brł do określei ołożei ruchomego ukłdu wółrędch,, wględem ieruchomego ukłdu wółrędch,, wrowd ię tw tr kąt Euler (obrotu włego, receji i utcji), którch ceie moż leźć w odowiediej literture, [7, 16] Z omocą tch kątów moż wrić wtkie koiu kierukowe międ oimi obu ukłdów wółrędch or wtkie wielkości wtęujące we worch (55) i (553) r r
538 Ruch łki brł Prędkość i rśieeie dowolego uktu brł Ruchem łkim wm tki ruch, w którm tor wtkich uktów brł ą rówoległe do ewej łc wej łcą ruchu Z łcę ruchu moż rjąć dowolą łcę ośród wtkich łc do iej rówoległch W ukcie 536 owiedio, że jeżeli koid ą owierchimi wlcowmi, to ruch ogól brł rowd ię do ruchu łkiego I recwiście, kżd łc rotodł do tworącch obu koid może bć łcą ruchu Poiewż koid ą owierchimi kreślomi re chwilową oś obrotu w cie remieci ię jej w ukłdie ieruchomm i ruchomm, jet ocwite, że chwilow oś obrotu w ruchu łkim będie w kżdej chwili rotodł do łc ruchu Z defiicji ruchu łkiego wik, że wektor rędkości i rśieei wtkich uktów brł ą rówież rówoległe do łc ruchu Z kolei wektor rędkości kątowej będie w kżdej chwili rówoległ do tworącch koid (rówoległ do chwilowej oi obrotu), cli rotodł do łc ruchu W dlch rowżich dotcącch ruchu łkiego łcę ruchu rjmiem łcę wcoą re ieruchom ukłd wółrędch, o ocątku w ukcie Ruchom ϕ ukłd wółrędch o oich, i ocątku w dowolm bieguie będie ię r r oruł w łcźie ruchu (r 516) W tej M tucji oie i będą rówoległe do wektor r rędkości kątowej Z ruku 516 wik, że do jedocego określei ołożei brł wględem ukłdu ieruchomego, leż odć wektor wodąc R 516 Ruch łki brł twej r r ( t ) biegu or kąt obrotu ϕ ϕ(t) ukłdu ruchomego, wględem ieruchomego Wektor wodąc r możem ić w tęując oób: ( ) r r t i+ j (556) Ztem kiemtce rówi ruchu łkiego możem ić w otci trech fukcji lgebricch: dwóch wółrędch wektor or kąt ϕ: r ( ) ( ) t, t, (557) ϕ ϕ(t) (558) Do oblicei rędkości i rśieei dowolego uktu M brł wkortm wor (53) i (534): + r, (559) ( r ) + ε r + r (559) Poiewż w ruchu łkim wektor i r ą rotodłe, tem ich iloc klr wtęując we wore (559) jet rów eru ( r 0), więc wór te urości ię do otci:
+ ε r r (560) We worch (559) i (560) rędkość i rśieeie ocątku ukłdu ruchomego otrmm, oblicjąc odowiedio ierwe i drugie ochode wektor wodącego r wględem cu: d r d d i+ d r d d i+ j, (561) j (56) Prędkość kątową i rśieeie kątowe ε moż ić logicie jk w ruchu obrotowm (wór 537): k k or ε ε k εk (563) Moduł tch rśieeń, odobie jk w ruchu obrotowm (563), będą rówież odowiedimi ochodmi kąt obrotu ϕ wględem cu: dϕ d d ϕ, ε (564) Ze worów (563) wik, że rędkość kątow i rśieeie kątowe ε ą wektormi o m kieruku W tej tucji moż je uwżć klr, odobie jk w ttce momet ił wględem oi i momet łkiego ukłdu ił Ze worów (559) i (560) rędkość i rśieeie moż wciągąć tęujące wioki: ) Prędkość dowolego uktu brł w ruchu łkim jet umą rędkości otęowej dowolego biegu i rędkości wikjącej chwilowego obrotu brł wokół tego biegu: r b) W ruchu łkim rśieeie dowolego uktu brł jet umą rśieei dowolego biegu i rśieei wikjącego chwilowego obrotu brł wokół tego biegu: ε r r Wrowdoe wor rędkość i rśieeie dowolego uktu M brł w ruchu łkim rewim w otci brdiej rej do rowiąwi rówń kiemtki ruchu łkiego Złożm, że jet rędkość uktu i chwilow rędkość obrotow, chcem oblicć rędkość i rśieeie dowolego uktu brł (r 517) Gd ocątek ukłdu ruchomego rjmiem w ukcie, wektor o ocątku w ukcie i końcu w ukcie ocm jko r, to owie woru (559) rędkość uktu brł +, (565) + r lub gdie () r i jet rędkością uktu wględem uktu, której wektor jet rotodł do wektor r, wikjącą chwilowego obrotu brł wokół uktu rędkością kątową Ztem jej moduł oblicm e woru: r (b)
Podobie owie woru (560) rśieeie uktu (r 518) możem ić w tęując oób: lbo + ε r r + (566) Prśieeie jet rśieeiem uktu wględem uktu owodowm chwilowm obrotem brł wokół biegu : ε r r (c) w r r R 517 Wcie rędkości uktu brł twej metodą uerocji R 518 Wcie rśieei uktu brł twej metodą uerocji Z owżego woru wik, że rśieeie to możem rołożć dwie kłdowe: rśieeie tce i rśieeie ormle gdie +, (567) ε r or r (568) Moduł tch rśieeń ą tęujące: εr, r (569) Wektor rśieei tcego jet kierow rotodle do wektor r, cli m tki m kieruek jk wektor rędkości (r 517), wektor rśieei ormlego (dośrodkowego) jet kierow wdłuż rotej w troę uktu Po owieiu leżości (567) do woru (566) rśieeie uktu możem ić w otci: + + (570) Podc rktcego rowiąwi dń ie wtkie wielkości wtęujące we wore (570) będie moż oblicć beośredio rdo cęto iewidommi będą moduł rśieeń i Jeżeli wór (570) otrktujem jko rówie wektorowe o dwóch iewidomch, to widomo, że dl wektorów leżącch w jedej łcźie dwie iewidome moż wcć
wieloboku wektorów (rśieeń) lbo dwóch rówowżch wektorowemu rówń lgebricch hwilow środek obrotu N wtęie tego uktu owiedio, że w ruchu łkim brł chwilow oś obrotu jet w kżdej chwili rotodł do łc ruchu Pukt rebici re chwilową oś obrotu łc ruchu będiem wć chwilowm środkiem obrotu lbo icej, chwilow środek obrotu to tki ukt, którego rędkość w dej chwili jet rów eru Wiem, że w cie ruchu łkiego brł chwilow M M oś obrotu miei woje ołożeie, w śld ią będie ię remiecł chwilow środek obrotu W cie r ρ remieci ię chwilow środek obrotu (r 519) kreśli dwie krwe: ρ ) cetroidę ruchomą ρ w ukłdie ruchomm, b) cetroidę tłą ρ w ukłdie ieruchomm R 519 hwilow środek obrotu etroid Po owieiu do rówń (547) i (549) chwilowej oi obrotu λ 0 otrmm wektorowe wor ołożeie chwilowego środk obrotu w ukłdie ruchomm: ( ) r / (571) i w ukłdie ieruchomm: ( ) r / (57) r + r r + dowiedie rówi cetroid otrmm re wtwieie do tch worów fukcji r r t, t i t () ( ) ( ) Mjąc wco chwilow środek obrotu, moż oblicć rędkość dowolego uktu M brł Jeżeli biegu redukcji rjmiem w chwilowm środku obrotu, ie w dowolm ukcie (r 519), to rędkość dowolego uktu M brł możem wrić worem: + M Poiewż łożei rędkość uktu jet rów eru ( 0), więc rędkość uktu M będie oi worem: M (573) Z otrmego woru wik, że rękość dowolego uktu M brł jet rotodł do rotej łącącej ukt M chwilowm środkiem obrotu Poo wtęujące w tm wore wektor i M ą rotodłe, więc moduł rędkości M, (574) cli jet roorcjol do odległości M uktu M od chwilowego środk obrotu
Z owżch rowżń or otrmch worów wikją tęujące wioki: ) Ruch łki brł moż rowdić do tocei ię be ośligu cetroid ruchomej o ieruchomej b) Ruch łki brł moż w kżdej chwili rotrwć jko chwilow ruch obrotow wokół chwilowego środk obrotu α β R 50 Wcie chwilowego środk obrotu Ze woru (573) wik, że chwilow środek obrotu leż rotej rotodłej do wektor rędkości dowolego uktu M brł Ztem do wcei chwilowego środk obrotu wtrc jomość kieruków rędkości dwóch uktów brł ędie o leżł w miejcu recięci rotch rotodłch do kieruków rędkości uktów i (r 50) Mjąc już wco ukt, wrtości rędkości uktów i oblicm e woru (574): i (d) Dl ej wrtości ierwego woru oblicm chwilową rędkość obrotową :, tęie możem wcć moduł rędkości uktu N owie r 50 o uwględieiu worów (d) możem ić: tgα or tgβ Wik tąd wioek, że chwilowego środk obrotu wektor rędkości wtkich uktów brł widć od tm mm kątem α β Twierdeie o rutch rędkości Rut wektorów rędkości dwóch uktów brł twej rotą rechodącą re te ukt ą rówe r α r r β Dowód N ruku 51 coo wektor rędkości i dwóch uktów i brł twej, romieie łącące ieruchom ukt tmi uktmi re r i r Wektor r łącąc ukt uktem w cie ruchu brł może mieić wój kieruek, R 51 Rut rędkości dwóch uktów brł twej rotą
le jego długość ootje tł: r r cot Ztem iloc klr Po różickowiu tego wrżei wględem cu otrmm: r r r cot (e) lub d r r + r d r d r 0 r 0, (f) oiewż ochod rwej tro rówi (e) jet rów eru Z ruku widć, że: r r + r, kąd r r r Po różickowiu tego wrżei wględem cu mm: d r d r d r le ochode romiei wodącch uktów i ą rówe rędkościom tch uktów i, cli d r Powiw owżą leżość do rówi (f) otrmujem: ( ) o roiiu iloców klrch r 0 lub r r, r co β r co α Po króceiu re r mm: coβ coα (575) Iloc wtęujące w tej rówości ą odowiedio rutmi wektorów rędkości i rotą łącącą ukt i Tm mm udowodiliśm twierdeie o rutch wektorów rędkości dwóch uktów brł twej rotą łącącą te ukt N owie tego twierdei moż w łtw oób oblicć rędkość w iektórch rotch dich kiemtki ruchu łkiego Prkłd 55 Końce ręt śligją ię o dwóch wjemie rotodłch łcch (r 5) Koiec oru ię rędkością 10 cm/ i rśieeiem 15 cm/ blicć rędkość i rśieeie końc or rśieeie kątowe ręt w ołożeiu jk r 5, jeżeli długość ręt b 0 cm Rowiąie Prędkość uktu oblicm, rotrując ruch ręt jko chwilow ruch obrotow wokół chwilowego środk obrotu Zm rędkość końc ręt i kieruek rędkości końc, któr jet kierow wdłuż rotej hwilow środek obrotu jduje ię recięciu rotodłch do kieruków wektorów rędkości (r 5b) cw re i
w wrtość licbową rędkości kątowej ręt w rotrwm ołożeiu, owie woru (574) mm:, () Z ierwego woru otrmujem: ) b) ε b b 45 o 45 o Z ruku 5b jdujem Ztem R 5 Wceie rędkości i rśieei uktu ręt b co45 o 1 b cm 0 1 10 1 1 (b) Z drugiego woru () mm: 1 10 10 / cm (c) Prśieeie uktu oblicm e woru (566) Zgodie tm worem rśieeie uktu będie rówe umie geometrcej rśieei uktu or rśieei uktu wględem wwołego re chwilow obrót ręt wokół końc : + (d) 10 10 Po rołożeiu rśieei uktu wględem uktu kłdową tcą i ormlą wór (d) możem ić w otci (570): + + (e) Prśieeie ormle uktu wględem dił wdłuż ręt i jet kierowe do uktu Zgodie drugim worem (569) 1 b 0 10cm /
Wrtość rśieei tcego wrż ierw wór (569): εb (f) Tego rśieei ie możem oblicć beośredio, oiewż ie m wrtości rśieei kątowego ε ręt Zm jedie kieruek rśieei, które jet rotodłe do ręt Po tm m kieruek rśieei cłkowitego, któr jet god rotą Wik tego, że w wektorowm rówiu (e) mm dwie iewidome wrtości rśieei i Po rjęciu w ukcie rotokątego ukłdu wółrędch, i rutowiu rówi (e) oie tego ukłdu otrmm dw rówi lgebrice dwom iewidommi o o co45 co45, 0 + i45 i45 Po rowiąiu tego ukłdu rówń or wkortiu woru (f) otrmujem: o o + o i45 ( ) i45 o 15 + 10 1 53 + 1 ( ) ( ) cm /, o o co45 + co45 10 1 + + 5 3 1 ε 5 + 3 b cm / + ( + ) 1 ( ) 1 5 3 o 3 + o bi45 i45 Prkłd 56 Korb mechimu korbowo-uwkowego rewioego r 53 obrc ię e tłą rędkością kątową o wrtości wokół uktu N końcu korbowodu jduje ię uwk, któr oru ię o rowdic DE jdującej ię w odległości h od uktu Dl ołożei rewioego ruku oblicć rędkość i rśieeie uwk or rśieeie kątowe korbowodu, jeżeli długość korb r, korbowodu b 0 4
) o r h 1 b α D α E α b) r o h b ε 1 1 D α E R 53 Wceie rędkości i rśieei uktu mechimu korbowo- -uwkowego Rowiąie Wektor rędkości uktu jet rotodł do korb, uwk jet kierow wdłuż rowdic DE (r 53) Prędkość uktu oblicm e woru (565): +, gdie jet rędkością uktu wględem uktu wikjącą chwilowego obrotu korbowodu wokół uktu rędkością kątową 1 Wektor rędkości jet rotodł do korbowodu, jego wrtość wrtość rędkości uktu Z ruku mm: r b 1, () b b h h iα,coα,tgα h b b h (b) Ztem leżości geometrcch wikjącch r 53 otrmujem: tgα coα b h b b h h b h rb b rh h, (c) Ze woru () wcm rędkość kątową:
b 1 (d) Prśieeie uktu rewim w otci um geometrcej rśieei uktu i rśieei uktu wględem (wór 570): b r h + + (e) Prśieeie uktu jet rówe rśieeiu ormlemu, oiewż rśieeie kątowe korb jet rówe eru Wrtość tego rśieei r Skłdow rśieei ormlego uktu wględem okrw ię kierukiem korbowodu i jet kierow w troę uktu (r 53b), jej wrtość r b 1 b (f) b h Prśieeie tce uktu wględem jet rotodłe do korbowodu Wrtość tego rśieei wrż wór: W owżm wore ε 1 1 ε b (g) jet rśieeiem kątowm korbowodu Prśieeie to ie jet e, dltego ie m wrtości rśieei tcego Drugą iewidomą w rówiu (e) jet wrtość rśieei cłkowitego uwk W celu wcei tch iewidomch rjmiem w ukcie rotokąt ukłd wółrędch, i rutujem wektor rśieei oie i trmm: coα iα, 0 iα coα Po rowiąiu tego ukłdu rówń i uwględieiu (b) otrmujem: S r ( b h ) r 1 + Wrtość rśieei kątowego korbowodu bh 3 rb ( b h ), 3 ( b h ) 3 r h ε1 b