KONSTRUKCJE METALOWE II

1 POLITECHNIKA POZNAŃSKA Wdział Budownictwa, Architektur i Inżnierii Środowiska Insttut Konstrukcji Budowlanch dr inż. Jacek Tasarek KONSTRUKCJE METALOWE II POZNAŃ, 004

1.ELEMENTY ZGINANE - BELKI 1.1.Wiadomości wstępne. Belki są podstawowm elementem konstrukcji stalowch przenoszą obciążenia głównie poprzez zginanie w jednej lub dwu płaszczznach. Wstępuje również możliwość złożonego stanu obciążenia belki to znacz jednoczesnego zginania i ścinania oraz dodatkowo rozciągania względnie ściskania osiowego. Najczęściej belki wstępują jako konstrukcje nośne stropów, pomostów, rgli dachowch i ściennch, dźwigarów mostowch, belek podsuwnicowch, płatwi, krokwi itp. 1..Podział belek. Rozróżnia się kilka krteriów podziału: ze względu na schemat statczn: - wolnopodparte - najczęściej stosowane z uwagi na brak wpłwu temperatur i osiadania podpór, dogodn montaż, niestet są mało ekonomiczne; - ciągłe - mniejsz przekrój, a więc lżejsze, mniejsze ugięcie, jednak trudniejsze wkonanie ze względu na stki montażowe; - gerberowskie (przegubowe) stosowane w płatwiach i mostownictwie ze względu na przekrój poprzeczn: - bismetrczne środek ścinania pokrwa się ze środkiem ciężkości, zatem nie wstępuje skręcanie (rs.1.1) -

3 DWUTEOWE walcowane spawane nitowane POZOSTAŁE rur skrznkowe rs.1.1 - monosmetrczne (rs1.) ts.1.

4 - złożone (rs1.3) rs.1.3 - specjalne(rs1.4a, 1.4b, 1.4c) AŻUROWE rs.1.4a Z KSZTAŁTOWNIKÓW ZIMNOGIĘTYCH rs.1.4b

5 ZESPOLONE (STALOWO ŻELBETOWE) rs.1.4c 1.3. Rozpiętości obliczeniowe belek Rozpiętość obliczeniową belek lo określa się na podstawie rozpiętości w świetle podpór, prz czm dla: belki opartej na łożskach (podporach punktowch) lo=l rs 1.5 lo = l belki opartej na murze w zależności od stuacji:

6,5%*l l lo=l+*0,05*l,5%*l l01 l0 l1=l01+0,05*l01 l=l0+0,05*l0 rs. 1.6 1.4.Podstaw teoretczne projektowania belek Projektując belkę obciążoną obciążeniem statcznm należ określić rozkład sił wewnętrznch w belce następnie znaleźć najniekorzstniej obciążone przekroje i sprawdzić ich nośność z uwzględnieniem możliwości utrat stateczności lokalnej oraz sprawdzić możliwość utrat stateczności ogólnej całej belki (zwichrzenia) a także obliczć ugięcie i porównać z ugięciem granicznm. 1.4.1.Hipotez wtrzmałościowe. Podczas projektowania elementów konstrukcjnch bardzo istotną rolę odgrwają hipotez wtrzmałościowe. Wted, gd dla złożonego stanu naprężenia (dwu lub trójosiowego) należ wznaczć naprężenie zastępcze-jednoosiowe i sprawdzić cz nie przekracza ono naprężenia niszczącego. Hipotezą, która najbardziej oddaje zachowanie się stali podczas badań doświadczalnch (najlepiej obrazuje zniszczenie stali rozumiane jako przejście w stan plastczn lub sprężsto - plastczn) jest hipoteza Hubera Henck eg Missesa. Prz założeniu zasad płaskich przekrojów oraz że osiągniecie w elemencie granic plastczności jest jednoznaczne z jego zniszczeniem, hipoteza wtężeniowa staje się warunkiem plastczności i zarazem warunkiem nośności.

7 σ Stan niebezpieczn σy σz 3 τ τ 0,58σ Stan bezpieczn rs. 1.7 z 3 Powierzchnią graniczną stanu naprężenia dla hipotez Hubera Henck eg Missesa jest nieskończenie długa pobocznica walca kołowego nachlona pod tm samm kątem do osi układu współrzędnch. Uwaga: Hipotez wtężeniowe określają wtężenie materiału w danm punkcie i obowiązują tlko dla konstrukcji w stanie sprężstm. W stanach poza sprężstch, wstępującch w konstrukcjach metalowch posługujem się pojęciem wtężenia przekroju, gdzie zamiast analiz wtężenia w danm punkcie rozpatruje się cał stan naprężeń w przekroju. 1.4..Zginanie belek w jednej płaszczźnie.

8 h r l τ σ rs.1.8. zginanie M I M W ścinanie ; ma Q S I t dla zginania ze ścinaniem naprężenie zastępcze w danm punkcie wnosi: z 3 1.4.3. Zginanie belek w dwóch płaszczznach przekroje smetrczne. względem osi głównch

9 Q M W M W Q S I b Q S I b Q wted naprężenia zastępcze wznacza się z zależności: z 3 względem osi nie będącch osiami głównmi (z uwzględnieniem skręcania) Q Q W przpadku takiego przekroju można obciążenie P rozłożć na P i P i obliczć belkę za pomocą wzorów zamieszczonch wżej. Warunkiem jest jednak to, ab siła P działała po kierunku przechodzącm przez środek ciężkości układu. θ Q o o Względnie układ taki można obliczć dokładniej korzstając ze wzorów: M I M I I I I M I M I I I I gdzie:

10 I da A Dla układu współrzędnch obróconego o kąt względem układu osi głównch odpowiednie moment bezwładności wnoszą: I I 0 cos I 0 sin I I 0 sin I 0 cos I I 0 I 0 sin W przpadku, gd znam moment bezwładności w układzie odwróconm położenie osi głównch względem tego układu wznaczam z zależności: tan I I I Moment bezwładności względem układu głównego: I 0 I cos I sin I sin cos I 0 I cos I sin I sin cos musi bć spełnion warunek: I 0 I 0 I I 1.4.4.Zginanie przekrojów otwartch z uwzględnieniem skręcania. W tm przpadku konieczne jest określenie środka ścinania danego przekroju. Środek ścinania w przekroju określa punkt, w którm przłożenie obciążenia nie powoduje skręcania przekroju. Inaczej mówiąc: jeśli belka obciążona jest poprzecznie siłą, która nie przechodzi przez środek ścinania jest ona nie tlko zginana, ale również skręcana. Do takich belek zaliczam wszstkie kształtowniki posiadające tlko jedną oś smetrii np. ceowniki, teowniki itp. Poniżej zobrazowane jest położenie środka ścinania w niektórch przekrojach:

11 eo rs.1.9. położenie środka ścinania Dla ceownika: 1 Q o od Środek ścinania znajduje się w odległości eo na osi osi środnika: eo e e0 o 1 b0 1 1 A 1 śr 6 Ap o hi S gdzie: Ap pole powierzchni pasów bo Aśr zaokrąglenia pole powierzchni środnika poza Prz znanm położeniu sił ścinającej Q (przłożonej w odległości e od środka ścinania S) naprężenia od skręcania będą równe: s Q e g Is gdzie: Is moment bezwładności prz skręcaniu, któr dla przekroju przmatcznego wznacza się

1 za pomocą wzoru: Is 1 3 i b i g 3i b szerokość półki; g grubość półki; Ponadto w przekroju ceownika wstąpią naprężenia od ścinania jak i zginania: Q Q S M i I g I Nośność danego przekroju sprawdza się za pomocą warunku: 3 fd gdzie: s Q 0,58 f d Przekroje zginane z jedną osią smetrii, w którch środek ścinania nie pokrwa się ze środkiem ciężkości, mają mniejszą nośność niż przekroje bismetrczne ze względu na wstępowanie naprężeń ścinającch prz skręcaniu. 1.5. Stan sprężste a stan plastczne w belkach zginanch 1.5.1.Próba rozciągania stali Wkres naprężeń i odkształceń podczas prób rozciągania stali.

13 Wtrzmałość na rozciąganie Rm Naprężenia pozorne Rm foz Naprężenia po zerwaniu f Umowna granica plastczności Dolna i górna granica plastcznosci fh Granica proporcjonalności i sprężstości (umowne) STAL MIĘKKA stal konstrukcjna - węglowa STAL TWARDA stal konstrukcjna - stopowa rs.1.10 Nośność przekroju elementu zginanego określa się na podstawie wtrzmałości obliczeniowej stali fd będącej kwantlem granic plastczności f z prób rozciągania 1.5.. Nośność graniczna przekroju na zginanie w stanie sprężstm. o m a σ o σ rs.1.11. Nośność przekroju wznacza się ze wzorów: M R da A jak wnika z rsunku: f d ma fd ma zatem:

14 M R fd A ma a ponieważ da fd ma da A da I o ponadto A I o W ma stąd: M R W f d o ε pl σm in ε wzm - jądro sprężste 1.5.3. Nośność graniczna przekroju na zginanie w stanie plastcznm o + σm a naprężenia odkształcenia rs.1.1 W konsekwencji rosnącch odkształceń, które zmieniają ę na skutek wzrastającego obciążenia powstaje w stanie przegubu plastcznego jądro sprężste. Jednakże dla celów obliczeniowch nośności przekroju pomijam fakt, iż ono powstaje i zakładam wkres naprężeń w postaci dwóch prostokątów. Nośność przekroju wznaczam wchodząc ze tego samego równania: M R da A z tą różnicą, że = fd, a zatem: M R f d da f d da da A At Ac gdzie da S A zatem : M R f d S c S t

15 podstawiając: S c S t Wpl :otrzmam: M R Wpl f d gdzie: Sc, St -odpowiednio moment statczn stref ściskanej i rozciąganej przekroju, Wpl plastczn wskaźnik wtrzmałości Dlatego też znając współcznnik rezerw plastcznej przekroju pl można obliczć nośność przekroju w stanie plastcznm, przemnażając nośność w stanie sprężstm przez ten współcznnik:. M R pl W f d Przkładowo wartość współcznnika rezerw plastcznej przekroju pl dla belki o przekroju prostokątnm oblicza się następująco: b W I o ma b h3 h ; ma 1 3 b h h b W 1 h 6 gdzie : I o h o o rs.1.13 natomiast Wpl h h h h h b b b 4 4 4 zatem współcznnik pl dla tego przekroju jest równ:

16 pl h b 6 1,5 4 h b W praktce prz projektowaniu zamiast współcznnika pl posługujem się posługujem się obliczeniowm współcznnikiem rezerw plastcznej p, o wartości mniejszej od pl, określonm z zależności: p = (Wpl +W)/W 1.5.4.Nośność przekroju belki z uwzględnieniem utrat stateczności lokalnej środnika o ψ*fd σkr o rs. 1.14 O nośności przekroju w stanie sprężstm w niektórch przpadkach może decdować wboczenie najcieńszej ścianki przekroju poddanej naprężeniom normalnm, ściskającm lub stcznm. Najczęściej takie zjawisko wstąpi w środniku belki blachownicowej. Wartość maksmalna naprężeń normalnch ściskającch w chwili utrat stateczności będzie równa: ma kr f d natomiast kr f d zatem nośność takiego przekroju będzie można wznaczć z zależności: MR W fd 1.6. Klasfikacja przekrojów elementów ściskanch i zginanch. Ze względu na różne możliwe zachowanie się przekrojów pod obciążeniem przedstawione poprzednim rozdziale, które zależ od parametrów geometrcznch kształtu przekroju należ dokładnie przeanalizować

17 wpłw geometrii przekroju na jego nośność. Najłatwiej wpłw ten można zaobserwować w przpadku belki poddanej czstemu zginaniu s 1.6.1.Parametr geometrczne przekroju a jego nośność Dane są czter różne przekroje, w którch wskaźniki wtrzmałości maja tę samą wartość. Belka jest zginana, w rozpatrwanm przekroju wstępuje tlko moment zginając a cała belka zabezpieczona jest przed globalną utrata stateczności. W1 W W3 W4 W 1 = W = W 3 = W 4 rs.1.15 Przekroje charakterzują się tm, że pierwsz ma ścianki najgrubsze, a każd następn przekrój ma ścianki trochę cieńsze od poprzedniego. Dzięki temu zróżnicowaniu można zobrazować wpłw grubości ścianki na nośność przekroju (patrz na wkres). M Mp 3 M 4 1 Δ rs.1.16 gdzie:

18 Mp nośność w stanie plastcznm; M nośność w stanie sprężstm; Δ strzałka ugięcia belki Z analiz wkresu na rs. 1.16 wnika, że nośność przekroju na zginanie zależ od grubości ścianek rozpatrwanego przekroju. Największą nośność mają przekroje nr1 i nr (krzwe 1 i ) prz czm w przekroju nr 1 powstanie pełen przegub plastczn o nieograniczonm kącie obrotu a w przekroju nr powstanie również przegub plastczn lecz odkształcenia skrajnch włókien przekroju będą ograniczone np. poprzez lokalne wboczenie plastczne przez co ograniczon będzie kąt obrotu przegubu Przekrój nr 3 ma mniejszą nośność niż 1 i. Nośność tego przekroju wznacza osiągnięcie w skrajnm włóknie naprężeń równch granic plastczności; Najmniejszą nośność uzska przekrój nr 4. Nośność tego przekroju wznaczona jest utratą stateczności sprężstej ścianki, a więc w dowolnm punkcie przekroju naprężenia nie mogą przekroczć wartości naprężeń krtcznch dla którejkolwiek ścianki przekroju (σρ σkr).. Powższe spostrzeżenia bł podstawą do opracowania klasfikacji przekrojów zamieszczonej w normie PN-90/B-0300. Norma ta dzieli przekroje zginane na 4 klas: KLASA 1 przekroje mogą osiągnąć nośność pełnego przegubu plastcznego, istnieje możliwość nieograniczonego obrotu; KLASA przekroje mogą osiągnąć nośność pełnego przegubu plastcznego, jednakże obrót jest ograniczon niestatecznością plastczną; KLASA 3 nośność przekroju ograniczona jest początkiem uplastcznienia stref ściskanej, c = fd KLASA 4 nośność przekroju ograniczona jest utratą stateczność lokalnej conajmniej jednej ścianki przekroju znajdującej się w strefie ściskanej, c <fd; Rozkład naprężeń w przekroju w chwili osiągnięcia pełnej nośności na zginanie w poszczególnch klasach przekroju pokazano na rs 1.17.

19 fd fd fd φ<0 kl. 1 kl. fd fd σ kr <fd φ<0 kl. 3 kl. 4 rs.1.17 1.6.. Smukłość ścianki przekroju. Badanie smukłości ścianki przekroju przeprowadza się w celu określenia kas przekroju i jest to istotne tlko dla przekrojów zginanch, ściskanch oraz pod obciążeniem złożonm, prz którm w przekroju wstępują naprężenia ściskające. Ponadto smukłość bada się w elementach ścinanch również w celu określenia możliwości utrat stateczności lokalnej ścianki pod wpłwem ścinania.. Smukłość pasa i środnika belki spawanej i walcowanej określa się prz przjęciu wmiarów ścianek jak na rs.1.18 z wzorów:

0 o tr σ h b1 h b1 h o tr - tr tw σ b rs. 1.18 - smukłość pasa: b b1 t tf - smukłość środnika: b h t tw Tak wznaczone smukłości należ porównać z wartościami granicznmi dla poszczególnch rodzajów ścianek podan w tabl. 6 w PN 90/B-0300. Wszstkie przekroje, którch smukłość jest większa od granicznej smukłości dla klas 3 należ zaliczć do klas 4.

1

1.7. Nośność obliczeniowa przekroju prz jednokierunkowm zginaniu. Nośność obliczeniową przekrojów zginanch określa się ze wzorów: dla przekrojów klas 1 i MR p W fd gdzie: p to obliczeniow współcznnik rezerw plastcznej przekroju prz zginaniu wznaczon wg załącznika 4; PN90/B-0300 Współcznnik p >1,0 można stosować w przpadku elementów obciążonch statcznie i zginanch w płaszczźnie smetrii przekroju. W pozostałch przpadkach należ przjąć p =1,0. Współcznnik rezerw plastcznej przekroju prz zginaniu pl określa się jako stosunek momentu przenoszonego przez przegub plastczn Mpl do granicznego momentu w stanie sprężstm Mel, a jego wartość teoretczna wnosi: p Wpl W 1 S Sd W g Wpl wskaźnik poru plastcznego prz zginaniu równ sumie bezwzględnch wartości momentów statcznch ściskanej (Ac) i rozciąganej (At) stref przekroju względem osi obojętnej w stanie pełnego uplastcznienia, prz czm zachodzi wted: Ac A t 1 A Do projektowania konstrukcji należ przjmować obliczeniow współcznnik p określon zależnością: p 1 1 pl Dla dwuteowników walcowanch, zginanch w płaszczźnie środnika można przjmować: p = 1,07 dla dwuteowników IPN i IPE; p = 1,05 dla dwuteowników szerokostopowch HEA i HEB; p = 1,0 prz zginaniu w płaszczźnie prostopadłej do środnika W wskaźnik wtrzmałości przekroju prz zginaniu sprężstm dla najbardziej oddalonej od osi obojętnej krawędzi ściskanej (Wc) lub rozciąganej (Wt); W = min (Wc, Wt)

3 Wkorzstanie nośności przekroju klas 1stosowane jest w tzw. teorii nośności granicznej, w której analizuje się konstrukcje w momencie przekształcania się w mechanizm chwilowego ruchu wskutek otwarcia się kilku przegubów plastcznch. Metod szacowania nośności konstrukcji wg teorii nośności granicznej bazują na teorii plastczności w przeciwieństwie do powszechnie stosowanch metod opartch na teorii sprężstości. W przpadku belek ciągłch o jednakowej rozpiętości przęseł i jednakowm obciążeniu do określenia nośności w stanie plastcznm można stosować współcznniki zawarte w tablic Z4-. W przpadku ram liczonch wg teorii nośności granicznej należ warunki nośności ram i przekrojów liczć z uwzględnieniem tablic Z4-1 i pkt. Z4.3, Z4.4 i Z4.5 PN90/B- 0300. Prz obliczaniu konstrukcji wg. teorii nośności granicznej należ uwzględnić wmagania ogólne zawarte w pkt. Z4.1 norm: Metod i oszacowania teorii nośności granicznej można stosować prz projektowaniu belek i ram płaskich obciążonch przerażająco statcznie (obciążenie elementu musi bć statczne; w przpadku obciążeń dnamicznch nie można dopuszczać do uplastcznienia przekroju), a także prz ocenie nośności konstrukcji w stuacjach wjątkowch (awarjnch), jeśli konstrukcja spełnia warunki konieczne do plastcznej redstrbucji sił wewnętrznch, a w szczególności: - stal, z jakiej zaprojektowane są kształtowniki i blach charakterzuje się wdłużalnością A 5 15% i stopniem wzmocnienia R m R e 1, ; - każd element, w którm mogą powstać przegub plastczne jest homogeniczn, pełnościenn i ma stał co najmniej monosmetrczn przekrój klas 1; - płaszczzna obciążania (zginania) pokrwa się z osią smetrii przekroju brak skręcania; - element zginane względem osi największej bezwładności przekroju są zabezpieczone przed zwichrzeniem; w miejscach potencjalnch przegubów plastcznch element są zabezpieczone przed przemieszczeniem (obrotem) z płaszczzn układu; - w miejscach działania sił skupionch, w którch mogą powstać przegub plastczne element są usztwnione żebrami poprzecznmi; - połączenia zginane (węzł sztwne) w miejscach lub bezpośrednim sąsiedztwie przegubów plastcznch mają nośność nie mniejszą niż nośność przekroju elementów łączonch; dla przekrojów klas 3 ( = 1,0) i 4 ( <1,0) M R Wc f d jednak, gd Wc > Wt = w należ sprawdzić nośność na: - krawędzi ściskanej: M Rc Wc f d

4 - krawędzi rozciąganej: M Rt Wt f d 1 p 1 gdzie: współcznnik redukcjn dotcząc stateczności lokalnej; p obliczeniow współcznnik rezerw plastcznej przekroju; W przpadku pojednczch ceowników walcowanch, zginanch w płaszczźnie środnika lub do niego równoległej, wpłw drugorzędnego skręcania można uwzględniać w sposób przbliżon przjmując nośność obliczeniową zredukowaną wg wzoru: 0 tf e 0 S M R, red V e tw W f d 0,85 V b t R f tw b rs.1.19 w którm: V siła poprzeczna w rozpatrwanm przekroju; VR nośność obliczeniowa przekroju prz ścinaniu Pozostałe oznaczenia według rsunku. Należ pamiętać ab mimośród obciążenia poprzecznego względem środka skręcania spełniał warunek:

5 e b Ponadto prz sprawdzaniu warunku normowego porównujem nośności przekroju, a nie naprężenia, a co za tm idzie musi bć spełnion warunek nośności przekroju prz zginaniu: M 1,0 MR 1.8. Nośność przekroju na ścinanie. Prz określaniu nośności przekroju naścinanie uwzględnia się uproszczon wkres naprężeń stcznch. Np. dla przekroju dwuteowego wkres naprężeń jak na rs. 1.0 τ τm a τśr τ Naprężenia rzeczwiste Naprężenia uśrednione rs. 1.0 Nośność obliczeniową przekroju prz ścinaniu siła poprzeczna określa się wg wzoru: VR 0,58 pv A v f d gdzie: pv współcznnik niestateczności lokalnej prz ścinaniu, któr przjmuje wartość zależności: pv 1 p wznaczoną z lecz pv 1,0 natomiast:

6 p - smukłość względna, którą należ obliczać z poniższego wzoru, przjmując miarodajną szerokość ścianki b równa rozstawowi usztwnień podłużnch; p b K fd t 56 15 ; p 5 Av pole przekroju cznnego ścinania wg tablic 7 PN 90/B-0300 Współcznnik K =Kv zależn jest od sposobu podparcia i obciążenia ścianki. Jego wartość należ obliczć wg tabl. 8 PN wg poniższch zasad: b a=β*b W zależności od stosunku a współcznnik KV przjmuje odpowiednie wartości: b 1,0 K V 0,65 1 0,8 1,0 K V 0,65 W tablic tej podane są również graniczne wartości smukłości ścinanej h. t Jeżeli spełnione są warunki smukłości granicznej λ λgr oznacza to, że ścianka kształtownika jest odporna na miejscową utratę stateczności prz czstm ścinaniu i współcznnik niestateczności lokalnej prz ścinaniu pv = 1,0 h gr t pv 1,0

7 Warunek nośności przekroju na ścinanie jest następując: V 1,0 VR gdzie: V- siła poprzeczna w przekroju VR- nośność obliczeniowa przekroju na ścinanie

8 1.9 Przpadki obciążeń złożonch.. 1.9.1. Zginanie ze ścinaniem. W stanach sprężstch (przekroje co najwżej kl. 3) można sprawdzić warunek naprężeń, któr dla trójosiowego stanu naprężeń ma postać : 3 f d gdzie: - naprężenia normalne w kierunku (zginanie) - naprężenia normalne w kierunku (docisk) - naprężenia stczne (ścinanie) W pozostałch przpadkach dla dowolnej klas przekroju posługujem się siłami uogólnionmi +nośnością przekroju i siłami przekrojowmi. Jeżeli w przekroju wstępuje siła poprzeczna V > V0, to należ przjmować nośność obliczeniową zredukowaną MR,V, którą wznacza się jak niżej: dla bismetrcznch przekrojów dwuteowch klas 1 i, zginanch względem większej osi bezwładności, gd V >V0 = 0,6 VR M R,V V M R 1,1 0,3 VR w pozostałch przpadkach, gd V > V0 = 0,3 VR M R,V I ( V) M R 1 I V VR gdzie: I(V) moment bezwładności części przekroju cznnej prz ścinaniu względem osi obojętnej; I moment bezwładności całego przekroju; Wted warunek nośności przekroju dla zginania ze ścinaniem określon jest zależnością:

9 M 1,0 M R,V 1.9.. Dwukierunkowe zginanie ścinanie i rozciąganie. Warunek nośności przekroju dla tego stanu obciążenia określa się metodą superpozcji. Dla przekroju dowolnego (klas 1,, 3, 4) sprawdzenie nośności przekroju, w którm wstępuje zginanie w dwóch płaszczznach siła normalna i poprzeczna można przeprowadzić wg. wzorów: M N M 1 N Rc M R,V M R,V V V R, N VR N 1 N Rt gdzie: M R,V - nośność obliczeniowa przekroju prz zginaniu ze ścinaniem. NRt- nośność obliczeniowa przekroju na rozciąganie M, V, Nt- sił wewnętrzne w przekroju 1.9.. Dwukierunkowe zginanie ścinanie i ściskanie Warunek nośności przekroju dla tego stanu obciążenia określa się również metodą superpozcji wpłwów. Dla przekroju dowolnego (klas 1,, 3, 4) sprawdzenie nośności przekroju, w którm wstępuje zginanie w dwóch płaszczznach siła normalna ściskająca i poprzeczna można przeprowadzić wg wzoru: M M N 1 N Rt M R, V M R,V gdzie MR,v- nośność obliczeniowa przekroju prz zginaniu ze ścinaniem. NRc- nośność obliczeniowa przekroju na ściskanie M, V, Nc- sił wewnętrzne w przekroju 1.10. Sprawdzenie ugięcia belek ( Stan graniczn użtkowania). Sprawdzenie ugięcia belek polega na wznaczeniu maksmalnego ugięcia sprężstego belki i porównaniu tej wartości z granicznmi ugięciami podanmi w normie tablica 4: ma f gr. Oznacza to, że w przpadku belek kl 1 i pomijam ewentualne plastczne odkształcenia a w przpadku belek kl.4 liczonch w stanie nadkrtcznm zamiast przekroju efektwnego uwzględniam przekrój pierwotn. Jest to możliwe tlko dla tego, że w obliczeniach stanu granicznego użtkowania uwzględniam obciążenia charakterstczne. Prz obliczaniu belek ciągłch jednakowch długościach przęseł i jednakowo obciążonch (dotcz tlko belek, którch długości oraz obciążenie sąsiednich belek nie różni się więcej aniżeli o 0%) można

30 ugięcia tch belek liczć wzorami jak dla belki swobodnie podpartej redukując obciążenie współcznnikami podanmi w normie. Np. w przpadku belki ciągłej obciążonej równomiernie ugięcie można liczć ze wzoru: ma 5 q l4 384 E I gdzie: q obciążenie charakterstczne zredukowane odpowiedniowspółcznnikami; 0,5; ( 0, ) dla g q 0,75; ( 0,6) dla p g obciążenie stałe; p obciążenie zmienne; Wartości w nawiasach dotczą przęseł skrajnch, natomiast te bez nawiasów dotczą przęseł środkowch Wartości graniczne ugięć należ przjmować: f gr - dla głównch belek stropowch - dla innch belek stropowch f gr 1 l 350 1 l 50 1.11. Uwagi dotczące przekrojów klas 4. 1.11.1 Stateczność lokalna ścianki przekroju Analizując stateczność ścianki przekroju posługujem się modelem płt obciążonej naprężeniami działającmi w płaszczźnie głównej i określonch warunkach podparcia na krawędziach. Naprężenia normalne kr dla dowolnego przpadku obciążeń, prz którch nastąpi wboczenie płt określa się ze wzoru:

31 b1 tf tw p E tw kr c 1 (1 u ) b b gdzie: c - współcznnik zależn od rozkładu obciążenia i sposobu podparcia t,b - grubość i szerokość ścianki υ- współcznnik Poissona E- moduł Younga Nośność przekroju wznaczoną naprężeniami krtcznmi nazwam nośnością w stanie krtcznm: W tm stanie w dowolnm miejscu ścianki musi zachodzić warunek: kr gdzie: - naprężenia wewnętrzne w przekroju; kr- najmniejsze naprężenie krtczne rozpatrwanej ścianki. Jednakże istnieje możliwość dalszego obciążania płt po osiągnięciu stanu krtcznego. Taki stan nazwam stanem nadkrtcznm. 1.11. Nośność na zginanie w przekroju klas 4 w stanie krtcznm określa się ze wzoru: M R ψ Wc f d gdzie: Wc- wskaźnik wtrzmałości stref ściskanej fd- wtrzmałość obliczeniowa stali elementu. - współcznnik niestateczności lokalnej ( = p < 1,0); prz czm p należ przjmować w zależności od smukłości względnej ścianki p obliczonej ze wzoru: _ λ b k fd t 56 15 gdzie: t, b - grubość i szerokość ścianki K- współcznnik z tabl.8 PN zależn od sposobu podparcia i obciążenia płt

3 -w tablic 8 określa stosunek naprężeń średnich do największch naprężeń ściskającch w rozpatrwanej ściance Wartości współcznnika p można odcztać.z tablic 9 PN dla wszstkich przekrojów za wjątkiem kształtowników skrznkowch i rurowch z naprężeniami spawalniczmi, dla którch obowiązują zależności: p 1,0 dla p p 0 0,75 0,5 p 1,6 0,3 p (0,8 0, ) dla p wg tabl. 9 dla p 0 p 1,35 p 1,35

33 W przpadku belki dwuteowej blachownicowej najsmuklejszm elementem na ogół jest środnik. W przpadku środnika klas 4 powinno się go usztwnić żeberkami poprzecznmi, które należ rozmieścić w rozstawach a b. Na rsunku 1.1 pokazano fragment belki z żebrami usztwniającmi i obciążeniem naprężeniami prz zginaniu ze ściskaniem i czstm zginaniu.

34 σma σma - σśr σśr + σmin b + σmin a dominując e ściskanie rs 1.1 W ten sposób na środniku tworz się układ płt w różn sposób obciążonch, opartch na żeberkach i pasach o stosunku boków: zatem: a b sr ma w zależności od wartości i wznacza się współcznnik podparcia i obciążenia ścianki K (wg tabl. 8). Przkładowo, - dla środnika: gd β 1 0 1 - przeważające ściskanie i K 0,4 0,6 0 - czste zginanie i K = 0 1 - czste ścinanie 0 K 0,4 1 - dla pasa: 1,6 0 1 K1, 0,8 W pozostałch przpadkach wartości K należ obliczć zgodnie z tabl.8 Wartość współcznnika p określone na podstawie tablic 9 tworzą na wkresie p( p ) charakterstczną krzwą wboczeniową. Z analiz tej krzwej wnika, że dla małch smukłości względnch p 0,75 nie zachodzi utrata stateczności lokalnej. Prz większch smukłościach p >0,75

35 wartość współcznnika p gwałtownie zmniejsz się wg krzwej zbliżonej do hiperboli do wartości p =0,138 prz p = 3,0 φp 1 0,75 1 0 3 λp rs 1.. Dla kształtowników skrznkowch i rurowch z naprężeniami wkres ma nieco inn przebieg. 1.11.3. Nośność przekroju klas 4w stanie nadkrtcznm. W stanach nadkrtcznch bierze się pod uwagę pracę części przekroju płt, które nie uległ utracie stateczności lokalnej. Tę część przekroju płt, nazwa się przekrojem efektwnm. Zgodnie z teoria nośności nadkrtcznej osiągnięcie naprężenia krtcznego w ściance przekroju, traktowanej jako płta obciążona w płaszczźnie środkowej, nie oznacza, że wczerpał się jej zdolności do dalszego przenoszenia obciążenia pod warunkiem, że jedna lub więcej krawędzi podłużnch pozostał nadal nie odkształcone. Omawian przebieg prac nadkrtcznej płt przedstawia model rusztow płt sformułowan przez Wintera, w którm pionowe pręt obciążone są siłami ściskającmi a poziome pręt są tlko elementami usztwniającmi (rs.1.3) P P P P P P P P P P P b) a) P P P P P rs.1.3.

36 a) płta usztwniona na dwóch krawędziach podłużnch; b) płta usztwniona na jednej krawędzi podłużnej Jak łatwo można stwierdzić im dalej od usztwnionej krawędzi, tm płta ma większą swobodę wboczenia, jest mniej skrępowana, co przcznia się do tego, że najpierw tracą stateczność element najbardziej odległe od krawędzi podparcia. Dodatkowe obciążenia po wboczeniu się pierwszch prętów mogą bć przkładane jednie do prętów w pobliżu krawędzi usztwnione. Obciążenia, prz którch wmoczą się pierwsze pręt rusztu odpowiadają obciążeniom stanu krtcznego, a sumarczne obciążenia po dociążeniu nie wboczonch stref odpowiadają obciążeniom stanu nadkrtcznego. Kresem dociązenia rusztu będzie uplastcznienie skrajnch prętów prz krawędziach usztwnionch. Rzeczwist rozkład naprężeń w przekroju płt prostokątnej obciążonej równomiernm ściskaniem przedstawia rs.1.4. W stanie nadkrtcznm obciążenia mogą wzrastać do wstąpienia w pasmach przkrawędziowch naprężeń równch granic plastczności Re. Dzięki temu płta może przenosić obciążenia większe od krtcznch. Dodatkowo można stwierdzić, że początkowo równomiern rozkład naprężeń w płcie zmienia się na coraz bardziej nierównomiern. W obliczeniach przjmuje się równomiern rozkład naprężeń w strefach przpodporowch powierzchniach efektwnch. Przekrój efektwn dla ścianki równomiernie ściskanej można określićnastępująco: N Z równowagi sił wpadkowch w przekroju wboczom: b bw ma sr b gdzie : N σ''ma σ'ma sr N g b bw szerokość efektwna płt natomiast: σ ma ma g N k1 E g bw bw b'w/ b''w/ Rs. 1.4 Z badań Kármána, Donnel a dla płt przegubowo opartej na krawędziach:

37 sr kr 0,89 ma ma dla k 1 3,6 ; b w 1,69 g E ma Z przeprowadzonej powżej analiz wnika, że w stanach nadkrtcznch zmienia się przekrój z nominalnego na efektwn, zatem wszędzie w obliczeniach statcznch należ uwzględnić przekrój efektwn. Szerokość współpracującą w praktce określam na podstawie PN90/B-0300. Dla przekroju zginanego zmniejsza się szerokość półek ściskanch bef i wprowadza niesmetrczne stref efektwne w sąsiedztwie pasów na środniku ( rs.1.5) bef σc1 be1w σc υ*σ bew σmin rs.1.5. Szerokość przekroju efektwnego określa się redukując szerokość b współcznnikiem pe określonm z tabl. 9 na podstawie smukłości zastępczej ścianki p : b e pe b pe p b K fd t 56 15 pe 0,8 ( p ) 0,8 0,7 p 3,0 gdzie:

38 pe współcznnik niestateczności dla stanu nadkrtcznego, Dla środnika dodatkowo rozbija się szerokość efektwną na dwie stref be1 i be (rs. 1.5) b e1 0,3 0, b e 0 1 ; b e b e b e1 ma C sr Dla półki b ef b f pef Dla przekroju prz czstm ściskaniu rozkład stref przekroju efektwnego będzie smetrczn (rs.1.6) bef σc be1w be1w σc rs. 1.6 Szerokość współpracująca dla przekroju ściskanego wznaczana jest za pomocą wzoru: b e1 0,3 0, b e 1,0 Jeśli największe naprężenia ściskające w przekroju współpracującm spełniają warunek c f d, to zamiast wartości pe można przjmować: pe, c p f f lecz pe, 1,0 d p pe p d c 1 p Nośność na zginanie w przekroju w stanie nadkrtcznm określa się ze wzoru

39 M R e Wc f d gdzie: e - współcznnik redukcjn nośności obliczeniowej przekroju określon z uwzględnieniem zmian środka ciężkości z uwagi na efektwną powierzchnię przekroju; e Wec Wc Wec wskaźnik wtrzmałości przekroju współpracującego Wc wskaźnik wtrzmałości przekroju rzeczwistego. Konstrukcje można obliczać w stanie nadkrtcznm gd : - obciążenie są przeważająco statczne; - utrata stateczności blach nie powoduje niekorzstnch zmian użtkowch; - brak sił skupionch przłożonch do przekroju. Ponadto w przpadku środnika belki blachownicowej klas 4 w złożonm stanie obciążenia należ dodatkowo sprawdzić warunek: Nw Mw N M Rw Rw V V 1,0 R w którm: Nw część obciążenia osiowego ściskającego lub rozciągającego przpadającego na środnik; NRw nośność środnika na ściskanie; Mw moment zginając przpadając na środnik; MRw nośność środnika na zginanie; V siła poprzeczna; VR nośność środnika na ścinanie ; Uwagi:

40 najczęściej dopuszcza się tlko utratę stateczności środnika, tak ab półki nie tracił stateczności lokalnej w praktce dobiera się odpowiednio grubsze półki. w przpadku, gd pas jest klas 3 lub niższej to stanowi on wstarczające usztwnienie krawędzi środnika i o nośności przekroju decduje nośność na ściskanie (stateczność) tego środnika - p obliczone dla p środnika. w przpadku, gd pas jest również klas 4, czli może on także ulec utracie stateczności i może nie stanowić wstarczającego usztwnienia ścianki środnika to o nośności przekroju decduje najniższa wartość p ; min p = { p środ ; p pasa }. Oznacza to, że o nośności na zginanie decduje stateczność najsłabszej ścianki ściskanej (rs.1.7). σ σ'c - σc σ'c - - M + + + σ't rs.1.7. c ' c 1.1. Warunki nośności obliczeniowej przekroju- podsumowanie Przed sprawdzeniem warunków obliczeniowch nośności przekroju należ określić klasę przekroju. Wkorzstanie pełnej nośności przekroju danej klas związane jest również z metodą obliczeń statcznch. Dla przekrojów klas 1 a także częściowo klas ab w pełni wkorzstać nośność obliczenia statczne należ wkonać metodami teorii plastczności (np. Metodą Nośności Granicznej). W pozostałch przpadkach obliczenia należ prowadzić metodami teorii sprężstości. Zastawienie metod obliczeniowch i metod wmiarowania przekroju prz wkorzstaniu pełnej nośności w poszczególnch klasach przedstawiono w tablic.

41 KLASA PRZEKROJU METODA OBLICZEŃ STATYCZNYCH METODA WYMIAROWANIA PRZEKROJU KLASA 1 PLASTYCZNA PLASTYCZNA KLASA SPRĘŻYSTA PLASTYCZNA PLASTYCZNA SPRĘŻYSTA KLASA 3 SPRĘŻYSTA SPRĘŻYSTA KLASA 4 SPRĘŻYSTA SPRĘŻYSTA (STAN KRYTYCZNY, STAN NADKRYTECZNY)